精品解析：山东省菏泽市第二中学2025-2026学年高二上学期元旦开学测试数学试题

2026年菏泽市第二中学高二元旦开学测试数学试题 一、单选题 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 以，为端点的线段的垂直平分线的方程（ ） A. B. C. D. 3. 如果椭圆上一点P到焦点的距离为6，那么点P到另一个焦点的距离是（ ） A. 26 B. 10 C. 4 D. 14 4. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 已知双曲线的离心率为，则实数 的值为 A. B. C. 或 D. 6. 已知直线的一个方向向量为，则过点且与垂直的直线方程为（ ） A. B. C. D. 7. 平行六面体中，，则该平行六面体的体对角线的长为（ ） A. B. 5 C. D. 8. 已知数列满足，，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 二、多选题 9. （多选题）下列说法中，正确的是（ ） A. 直线的倾斜角为，则此直线的斜率为 B. 一条直线的倾斜角为 C. 若直线的倾斜角为，则 D. 任意直线都有倾斜角，且时，斜率为 10. 已知椭圆：上有一点，､分别为左､右焦点，，的面积为，则下列选项正确的是（ ） A. 若，则； B. 若，则满足题意的点有四个； C. 椭圆内接矩形周长的最大值为20； D. 若为钝角三角形，则； 11. 数列的通项公式为则（ ） A. B. C. D. 三、填空题 12. 已知双曲线左右焦点分别为、，是双曲线上的一点，若，则_____． 13. 已知为坐标原点，直线与抛物线相交于两点，则的面积为________． 14. 数列7，77，777，7 777，77 777，…的通项公式为________． 四、解答题 15. 在中，已知点，边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为. （1）求直线的方程； （2）求点的坐标. 16. 已知抛物线y2＝4x截直线y＝2x＋b所得的弦长为|AB|＝3 . （1）求b的值； （2）在x轴上求一点P，使△APB的面积为39. 17. 已知双曲线，O为坐标原点，离心率，点在双曲线上． （1）求双曲线的方程; （2）如图，若直线与双曲线的左、右两支分别交于点Q，P，且.求证:为定值； 18. 如图，直三棱柱，，，点是线段的中点. （1）证明：平面平面. （2）求异面直线与所成角的余弦值； 19. 如图，平面，，，四边形是菱形. （1）证明：平面； （2）若菱形的边长为，求直线与平面所成角的正弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年菏泽市第二中学高二元旦开学测试数学试题 一、单选题 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线斜率等于倾斜角的正切值，从而求出倾斜角 【详解】因为：，所以：k= 由于：，则，即：= 故选：B. 【点睛】本题考查直线斜率与倾斜角的关系 2. 以，为端点的线段的垂直平分线的方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据斜率公式结合垂直关系可求垂直平分线的斜率，以及中点坐标公式求线段AB的中点坐标，再结合直线的点斜式方程运算求解. 【详解】∵直线AB的斜率，则垂直平分线的斜率 又∵线段AB的中点为 ∴所求直线方程为，即 故选：A. 3. 如果椭圆上一点P到焦点的距离为6，那么点P到另一个焦点的距离是（ ） A. 26 B. 10 C. 4 D. 14 【答案】D 【解析】 【分析】先求出，再根据椭圆的定义计算求解即可. 【详解】根据题意可得， 椭圆的长轴长为，根据，得. 故选：D. 4. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将抛物线化为标准形式，得到，从而求出焦点坐标. 【详解】变形为，故，解得，故焦点坐标为. 故选：C 5. 已知双曲线的离心率为，则实数 的值为 A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【详解】分析：可用排除法，验证与是否符合题意即可得结果. 详解：可用排除法，当时，化为， 离心率为，符合题意； 当时，化为， 离心率为，符合题意, 的值为，故选C. 点睛：用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法. 若结果为定值，则可采用此法. 特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率. 6. 已知直线的一个方向向量为，则过点且与垂直的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】据直线方向向量求出斜率，由两直线位置关系求与垂直的直线斜率，点斜式表达方程即可得解. 【详解】的方向向量为，则斜率为，因为直线与垂直，所以斜率为 又过点，所以直线方程为，整理可得. 故选：D. 7. 平行六面体中，，则该平行六面体的体对角线的长为（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由空间向量加法的几何意义，结合平行六面体中相关线段的位置关系可得，再由空间向量数量积的运算律求，进而可得的长. 【详解】由题设，可得如下示意图， 由图知：，， ∴， 又， ∵， ∴，即. 故选：A 8. 已知数列满足，，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】结合递推关系式依次求得的值. 【详解】因为，， 所以，得． 由，得. 故选：C 二、多选题 9. （多选题）下列说法中，正确的是（ ） A. 直线的倾斜角为，则此直线的斜率为 B. 一条直线的倾斜角为 C. 若直线的倾斜角为，则 D. 任意直线都有倾斜角，且时，斜率为 【答案】CD 【解析】 【分析】根据题意，依次分析选项即可. 【详解】对于A，直线的倾斜角为，当时，斜率不存在，A错误； 对于B，直线的倾斜角的范围为，，B错误； 对于C，直线的倾斜角的范围为，，则有，C正确； 对于D，任意直线都有倾斜角，且时，斜率为，D正确； 故选：CD. 10. 已知椭圆：上有一点，､分别为左､右焦点，，的面积为，则下列选项正确的是（ ） A. 若，则； B. 若，则满足题意的点有四个； C. 椭圆内接矩形周长的最大值为20； D. 若为钝角三角形，则； 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题可得，，设，结合选项利用面积公式可得可判断ABD，设椭圆内接矩形的一个顶点为，利用辅助角公式可得周长的范围可判断C. 【详解】∵椭圆：， ∴，∴，， 设，则，， 若，则，所以不存在，故A错误； 若，则，可得，故满足题意的点有四个，故B正确； 设椭圆内接矩形的一个顶点为， 则椭圆内接矩形周长为其中， 由得， ∴椭圆内接矩形周长的范围为，即，故C正确； 由上知不可能为钝角，由对称性不妨设是钝角， 先考虑临界情况，当为直角时，易得，此时， 当为钝角三角形时，，所以，故D正确. 故选：BCD 11. 数列的通项公式为则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】直接求出即得解. 【详解】解：由通项公式得，，所以. 故选：BC. 三、填空题 12. 已知双曲线左右焦点分别为、，是双曲线上的一点，若，则_____． 【答案】13 【解析】 【分析】由焦半径取值范围确定P点位置，从而由双曲线定义即可求解. 【详解】由题意， 所以当在左支上时，当在右支上时， 因为，所以在右支上，所以. 故答案为：. 13. 已知为坐标原点，直线与抛物线相交于两点，则的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据弦长公式求出，再根据点到直线的距离公式及三角形面积公式即可求解. 【详解】设，， 由得，， 所以，， 所以， 因为点到直线的距离， 所以. 故答案为：. 14. 数列7，77，777，7 777，77 777，…的通项公式为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据每项的数字特征进行求解即可. 【详解】因为， 所以数列7，77，777，7 777，77 777，的通项公式为． 故答案为： 四、解答题 15. 在中，已知点，边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为. （1）求直线的方程； （2）求点的坐标. 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）先计算，过点，得到答案. （2）联立直线方程：解得答案. 【详解】解：（1）由边上的高所在直线方程为得， 则. 又∵，∴直线的方程为， 即（或）. （2）因为边上的中线过点，则联立直线方程：. 解得：， 即点坐标为. 【点睛】本题考查了直线方程，意在考查学生的计算能力. 16. 已知抛物线y2＝4x截直线y＝2x＋b所得的弦长为|AB|＝3 . （1）求b的值； （2）在x轴上求一点P，使△APB的面积为39. 【答案】（1）b＝－4 （2）（－11，0）或（15，0）． 【解析】 【分析】（1）直线与抛物线联立韦达定理，弦长公式求解. （2）设P（a，0），面积用与点到直线AB的距离的乘积. 【小问1详解】 联立方程组消去y，得方程：4x2＋（4b－4）x＋b2＝0， 设A（x1，y1），B（x2，y2），x1＋x2＝1－b，x1x2＝， |AB|＝，解得b＝－4. 【小问2详解】 将b＝－4代入直线y＝2x＋b，得AB所在的直线方程为2x－y－4＝0， 设P（a，0），则P到直线AB的距离为d＝.△APB的面积S＝，则a＝－11或15，所以P点的坐标为（－11，0）或（15，0）． 17. 已知双曲线，O为坐标原点，离心率，点在双曲线上． （1）求双曲线的方程; （2）如图，若直线与双曲线的左、右两支分别交于点Q，P，且.求证:为定值； 【答案】（1） （2）证明:由题意可得直线OP的斜率存在，可设直线OP的方程为，则直线OQ的方程为， 由 ，得，所以 同理可得，， 所以 【解析】 【分析】（1）根据离心率以及经过的点，联立即可求解； （2）联立直线与双曲线方程，可得交点坐标，即可根据两点距离公式代入化简求解. 【小问1详解】 因为，所以， 所以双曲线的方程为，即 因为点在双曲线上，所以，所以 所以所求双曲线的方程为即 【小问2详解】 略. 18. 如图，直三棱柱，，，点是线段的中点. （1）证明：平面平面. （2）求异面直线与所成角的余弦值； 【答案】（1）证明:直三棱柱中，平面， 平面，，                            又等腰中，点为得中点， ， 又，平面， 又平面，平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直可得线线垂直，再由线面垂直得出面面垂直； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 以为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，， 设异面直线与所成角为， 则. 19. 如图，平面，，，四边形是菱形. （1）证明：平面； （2）若菱形的边长为，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 证明：设，连接OE， 由平面，，可得 又，则，则 又，则，则. 由平面，，则平面， 则，又，，平面， 则平面，则， 又，,平面，则平面. （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直判定定理即可证得平面； （2）先利用题给条件求得直线与平面所成角，进而求得其正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可得平面，设垂足为P，连接BP， 则为直线与平面所成角，， 又，，， 则 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $