精品解析：四川成都市金牛区2025-2026学年九年级上学期期末考试数学试题

2025－2026学年度（上）期末检测 九年级数学 注意事项： 1．全套试卷分为A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分；考试时间120分钟． 2．在作答前，考生务必将自己的姓名，准考证号涂写在答题卷规定的地方． 3．选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分也必须使用黑色签字笔书写，字体工整，笔迹清楚． 4．请按照题号在答题卷上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸，试卷上答题均无效． 5．保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等． A卷（100分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1. 如图，这是由两块完全相同的长方体木块组成的几何体，其主视图为（ ） A. B. C. D. 2. 以下是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 随着科技的飞速发展，人工智能应运而生．多种软件崭露头角，某班级为更好地了解软件，计划举办演讲比赛，确定了“”“豆包”“”三个主题，若小红和小明从中随机选择其中一个主题，则他们都恰好选中“豆包”主题的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 已知点都在函数的图像上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 5. 在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为2，把放大，则点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. 如图，线段的长是1，点是线段的黄金分割点（），那么线段的长是（ ） A. B. C. D. 7. 有一种细胞分裂，1个细胞通过一次分裂后共有个细胞．某一个细胞按前面方式经过两次分裂后，细胞总数变为225个，那么根据题目条件求，可以列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在菱形ABCD中，点E是边AB上一点，，连接EC． 若，则∠BCE的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9. 已知，则__________． 10. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是________． 11. 如图，一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．已知，点D为边的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则_________cm． 12. 如图，反比例函数和，点、在轴上，点、在反比例函数图象上，则矩形的面积为__________． 13. 如图，在中，，为的中点，连接，以点为圆心、的长为半径画弧，交于点，再分别以点、为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，则的长为__________． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14. （1）计算：； （2）解方程：． 15. 我国古代曾以“六艺”（礼、乐、射、御、书、数）教授学生，其中“乐”和“书”主要是用音乐和书画来进行审美教育．某校计划在课后服务中开设美育相关课程，并在全校范围内随机抽取了部分学生进行调查，要求学生从．书法．国画．合唱．水彩画这四个课程中选择一个自己最喜爱的课程．将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题： （1）在扇形统计图中，所对应的圆心角度数为___________，请补全条形统计图； （2）该校共有名学生，请你估计选择“．书法”课程的学生有多少人？ （3）小明和小华打算从四个课程中各自选择一个，请用列表或画树状图的方法求出小明和小华所选的课程不相同的概率． 16. 天府艺术公园美术馆门口的《行走的人》雕像别具一格，为了测量雕像高度，点为雕像顶端，地面上点在点正下方．小明同学采取了如下方法：在地面上点处水平放置一面平面镜子，并在镜子上做一个标记，然后人退到点处，恰好看到点在镜子中的像与镜子上的标记重合（如图所示）．其中，，三点在同一条直线上．小明的眼睛点距离地面的高度的长约为米，和的长分别为米和米，求雕像的高度（即的长）．（说明：图中，，） 17. 如图，四边形中，对角线经过的中点，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）点为边上一点，作射线分别交及的延长线于点、，当时，求线段的长． 18. 如图，已知直线与反比例函数图象交于，与轴交于点，过作直线与反比例函数图象交于点（在点右侧），与轴交于点，与轴交于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）当时，连接，求面积； （3）如图2，在（2）的条件下，若双曲线上点、之间有一点，使得，求点的坐标． B卷（50分） 一、填空题（每小题4分，共20分） 19. 一个不透明的袋子里装有4个红球和若干个蓝球，这些球除颜色外完全相同，随机摸出一个球是红球的概率为，则蓝球的个数是___________． 20. 已知是方程的两个不相等的实数根，则___________． 21. 将一组数据从小到大排列，中位数处于这组数据“位置的中心”，中位数也称为第50百分位数或分位数，记作，前半部分数据的中位数记作，称为下四分位数，后半部分数据的中位数记作，称为上四分位数．根据定义，写出71，72，73，74，75，76，77，78，79，80的中位数___________；上四分位数___________． 22. 当时，关于，的方程组只有一组实数解，则的取值范围或取值是___________． 23. 如图，已知矩形，分别是边上的动点，且，点关于的对称点为，则点到边距离的最小值为___________． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 2026年是农历丙午马年，某玩具批发商以6元/个的价格购进了一批马的生肖挂件，准备在市场进行销售，若销售价12元/个，每天能售出1000个，经市场调查及大数据分析发现，当售价每降低1元时，平均每天可以多售出100个．（售价低于12元/个） （1）设降价后的售价为元，每天能售出个，请写出关于的函数表达式； （2）该批发商要想使平均每天的利润为4800，同时更大程度让利顾客，则售价应为多少元？ 25. 已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点． （1）求反比例函数表达式； （2）如图1，线段沿轴向右平移，点、分别对应点、，线段与反比例函数图象相交于点，当点为中点时，求线段向右平移了多少个单位？ （3）如图2，为反比例函数图象上一动点，四边形为平行四边形，交反比例函数图象于点，当点的横坐标与点的横坐标相等时，请探究、的数量关系，并说明理由． 26. 如图，矩形，连接，作的角平分线交于，过作，分别交线段、于点、． （1）求证：； （2）当时，是___________三角形，求的值； （3）当时，求的值．（请用表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度（上）期末检测 九年级数学 注意事项： 1．全套试卷分为A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分；考试时间120分钟． 2．在作答前，考生务必将自己的姓名，准考证号涂写在答题卷规定的地方． 3．选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分也必须使用黑色签字笔书写，字体工整，笔迹清楚． 4．请按照题号在答题卷上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸，试卷上答题均无效． 5．保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等． A卷（100分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1. 如图，这是由两块完全相同的长方体木块组成的几何体，其主视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图．根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 【详解】解：从正面看得到的图形是： 故选：B． 2. 以下是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，掌握只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的方程是一元二次方程是解题的关键． 根据一元二次方程的定义逐项判断即可解答． 【详解】解：A．含有两个未知数x和y，不是一元二次方程，不符合题意； B．含有两个未知数x和y，不是一元二次方程，不符合题意； C．只含未知数x，且最高次数为2，是一元二次方程，符合题意； D．只含未知数x，但最高次数为1，不是一元二次方程，不符合题意． 故选：C． 3. 随着科技的飞速发展，人工智能应运而生．多种软件崭露头角，某班级为更好地了解软件，计划举办演讲比赛，确定了“”“豆包”“”三个主题，若小红和小明从中随机选择其中一个主题，则他们都恰好选中“豆包”主题的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了画树状图求概率，掌握用树状图求解概率是解题的关键． 设“”“豆包”“”三个主题分别用A，B，C表示，画出树状图，共有9种等可能的结果，其中小红和小明从中随机选择其中一个主题，他们恰好选中一个主题的结果有3种，然后用概率公式求解即可，掌握列表法或画树状图求概率是解题的关键． 【详解】解：设“”“豆包”“”三个主题分别用A，B，C表示， 画树状图如下： 一共有9种等可能的结果，其中小红和小明从中随机选择其中一个主题，他们恰好选中一个主题的结果有1种， ∴他们恰好选中一个主题的概率为， 故选B． 4. 已知点都在函数的图像上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 由可得在每个象限内，y随x的增大而增大，进而由即可解答， 【详解】解：∵， ∴在每个象限内，y随x的增大而增大， ∵， ∴． 故选：A． 5. 在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为2，把放大，则点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了位似变换；根据位似图形的性质，将点的横纵坐标乘以即可求解． 【详解】解：∵以原点为位似中心，相似比为2，把放大，点A的坐标为， ∴点的对应点的坐标为或，即或， 故选：D． 6. 如图，线段的长是1，点是线段的黄金分割点（），那么线段的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查黄金分割，把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项，即，叫做把线段黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点． 直接利用黄金分割的定义计算出即可． 【详解】解：∵线段的长是1，点是线段的黄金分割点（）， ∴． 故选A． 7. 有一种细胞分裂，1个细胞通过一次分裂后共有个细胞．某一个细胞按前面方式经过两次分裂后，细胞总数变为225个，那么根据题目条件求，可以列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，审清题意、弄清量之间的关系是解题的关键． 细胞分裂每次使细胞数量变为原来的x倍，经过两次分裂后细胞总数为，据此列方程即可． 【详解】解：∵ 初始1个细胞，一次分裂后细胞数为x， ∴ 二次分裂后细胞数为． 又∵ 二次分裂后共得225个细胞， ∴． 故选A． 8. 如图，在菱形ABCD中，点E是边AB上一点，，连接EC． 若，则∠BCE的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由菱形的性质可得，由等腰三角形的性质可得， ，，即可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，且， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，熟练运用菱形的性质是本题的关键． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9. 已知，则__________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的基本性质、约分、代数式求值等知识点，掌握分式的基本性质是解题的关键． 将代入分式，再整理后约分即可解答． 【详解】解：将，代入分式得： ． 故答案为 3． 10. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】由于方程左边为完全平方式，则右边必须为非负数，即1-2k≥0，然后解不等式即可． 【详解】解：根据题意得1-2k≥0， 解得k≤． 故答案为k≤． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 11. 如图，一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．已知，点D为边的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则_________cm． 【答案】3 【解析】 【分析】先读尺确定，再根据直角三角形的性质即可求出答案． 【详解】根据刻度尺可知． 在中，点D是的中点， ∴． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，理解“直角三角形的斜边中线是斜边的一半”是解题的关键． 12. 如图，反比例函数和，点、在轴上，点、在反比例函数图象上，则矩形的面积为__________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的k的几何意义，熟练将k的几何意义与图形的面积有机结合是解题的关键． 如图：设与y轴相交于点E，利用反比例函数k的几何意义可得，再根据面积间的关系即可解答． 【详解】解：如图：设与y轴相交于点E， ∵反比例函数和，点、在轴上，点、在反比例函数图象上， ∴， ∴矩形的面积为：． 故答案为：6． 13. 如图，在中，，为的中点，连接，以点为圆心、的长为半径画弧，交于点，再分别以点、为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，则的长为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了垂线的尺规作图和性质，勾股定理，等面积法．熟练掌握等面积法的应用是解题关键． 利用勾股定理求出，则，进而求，再利用的面积求解即可． 【详解】解： ， ， 为的中点， ， ， ， 由作图轨迹可知， ， 解得． 故答案为：． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算、零次幂、负整数次幂、解一元二次方程等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）先根据零次幂、绝对值、负整数次幂化简，然后再计算即可； （2）运用因式分解法求解即可． 【详解】解：（1） ． （2）， ， ， ， 所以或． 15. 我国古代曾以“六艺”（礼、乐、射、御、书、数）教授学生，其中“乐”和“书”主要是用音乐和书画来进行审美教育．某校计划在课后服务中开设美育相关课程，并在全校范围内随机抽取了部分学生进行调查，要求学生从．书法．国画．合唱．水彩画这四个课程中选择一个自己最喜爱的课程．将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题： （1）在扇形统计图中，所对应的圆心角度数为___________，请补全条形统计图； （2）该校共有名学生，请你估计选择“．书法”课程的学生有多少人？ （3）小明和小华打算从四个课程中各自选择一个，请用列表或画树状图的方法求出小明和小华所选的课程不相同的概率． 【答案】（1）； 条形图补全如下： （2）人 （3）概率为 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，树状图或列表法求解概率，正确读懂统计图掌握树状图或列表法求解概率是解题的关键． （1）根据课程对应的人数和占比，求出总人数，再得出课程的占比，即可计算出所对应的圆心角度数； （2）用1200乘以“．书法”课程所占样本的比即可得解； （3）先列表到所有的等可能性的结果数，再找到小明和小华所选的课程不相同的结果数，最后依据概率计算公式求解即可 【小问1详解】 解：∵所对的人数为人，对应占比为， 故总人数为：人， ∴对应的占比为， 对应圆心角为， D对应的人数为人． 【小问2详解】 解：选择“．书法”课程的学生为人． 【小问3详解】 解：列表如下： 由表格可知，共有种等可能的情况， 其中小明和小华所选的课程恰好不相同的结果有12种， ∴小明和小华所选的课程恰好不相同的概率是． 16. 天府艺术公园美术馆门口的《行走的人》雕像别具一格，为了测量雕像高度，点为雕像顶端，地面上点在点正下方．小明同学采取了如下方法：在地面上点处水平放置一面平面镜子，并在镜子上做一个标记，然后人退到点处，恰好看到点在镜子中的像与镜子上的标记重合（如图所示）．其中，，三点在同一条直线上．小明的眼睛点距离地面的高度的长约为米，和的长分别为米和米，求雕像的高度（即的长）．（说明：图中，，） 【答案】雕像的高度为米． 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 先证明，再结合条件求出的长即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴． ∵，，， ∴，即， ∴雕像的高度为米． 17. 如图，四边形中，对角线经过的中点，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）点为边上一点，作射线分别交及的延长线于点、，当时，求线段的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． （2）2 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）先证明可得，再结合可证明四边形是平行四边形，最后根据对角线垂直的平行四边形是菱形即可证明结论； （2）由菱形的性质结合已知条件可得、、，得，再证明，最后根据相似三角形的性质即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，解得：． 18. 如图，已知直线与反比例函数图象交于，与轴交于点，过作直线与反比例函数图象交于点（在点右侧），与轴交于点，与轴交于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）当时，连接，求面积； （3）如图2，在（2）的条件下，若双曲线上点、之间有一点，使得，求点的坐标． 【答案】（1）； （2）面积为； （3）点． 【解析】 【分析】（1）将代入求出的值，再代入求出值即可求解； （2）先求点坐标，设点坐标，过点作，过点作，与交于，证明，求出点坐标，推出轴，求出，再用三角形的面积公式求解即可； （3）先求出直线的解析式，判断是等腰直角三角形，再连接，过点作与交于点，过点作与交于点，在上作，连接，过点作与交于点，推出、、是等腰直角三角形，证明，通过等量代换推出点是直线与反比例函数的交点，然后求出点的坐标，求出直线的解析式，最后联立直线和反比例函数求出交点即可． 【小问1详解】 解：∵直线与反比例函数图象交于， ∴将代入，得：，即， ∴将代入，得：，即； 【小问2详解】 解：∵， ∴当时，，即， ∵点在上， ∴设点， ∵过点作，过点作，与交于， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即：，解得：， ∴， ∵，， ∴轴， ∴，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：由（2）得， ∵设直线的解析式为：， 代入、得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∴当时，，即，， 当时，，即，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 连接，过点作与交于点，过点作与交于点，在上作，连接，过点作与交于点， ∵由（2）得轴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点在直线上， ∴点是直线与反比例函数的交点， ∵，， ∴点，是等腰直角三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴点， ∵设直线的解析式为：， 代入、，得； ， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∴联立， 得：， 整理得：， ， 解得：，， ∵点在点、之间， ∴， ∴将代入中，， ∴点． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何的综合题型、相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等，能够作出辅助线和具有数形结合思想是解题的关键． B卷（50分） 一、填空题（每小题4分，共20分） 19. 一个不透明的袋子里装有4个红球和若干个蓝球，这些球除颜色外完全相同，随机摸出一个球是红球的概率为，则蓝球的个数是___________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了概率的应用，弄清题意，熟练掌握概率的求解方法是解题的关键． 设蓝球个数为x，根据摸出红球的概率公式建立方程 【详解】解：设蓝球个数为x，则总球数为， 由概率公式得， 即， ， ， 解得：． 故答案为：6． 20. 已知是方程的两个不相等的实数根，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，，，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键.根据根与系数的关系求出和的值，并将原表达式通过代入方程化简为含和的式子，然后代入求值． 【详解】解：∵是方程的两个根， ∴根据根与系数的关系，得， 又∵满足方程， ∴，即 代入原式，得． 故答案为：． 21. 将一组数据从小到大排列，中位数处于这组数据“位置的中心”，中位数也称为第50百分位数或分位数，记作，前半部分数据的中位数记作，称为下四分位数，后半部分数据的中位数记作，称为上四分位数．根据定义，写出71，72，73，74，75，76，77，78，79，80的中位数___________；上四分位数___________． 【答案】 ①. ②. 78 【解析】 【分析】本题主要考查了中位数的定义，理解中位数的定义是解题的关键． 根据中位数和四分位数的定义，数据个数为偶数时，中位数取中间两个数的平均值；上四分位数取后半部分数据的中位数，据此即可解． 【详解】解：数据从小到大排列为71，72，73，74，75，76，77，78，79，80，共10个数据． ∴中位数 为第5个数据75和第6个数据76的平均值，即． 后半部分数据为76，77，78，79，80，共5个数据，其中位数为第3个数据78，故上四分位数 ． 故答案为 ，78． 22. 当时，关于，的方程组只有一组实数解，则的取值范围或取值是___________． 【答案】或 【解析】 【分析】先联立方程，将所联立的方程转换为二次函数，根据二次函数的交点问题进行分类讨论，即可求解． 【详解】解：联立方程，得：， 整理得：， 设二次函数的解析式为：， ∵在时，只有一组实数解， 情况一，抛物线与轴只有一个交点，即， ， 解得：，（舍，此时）， 情况二，抛物线与轴不止一个交点，即， 即，或 （i）如图， 可得：当时，， 当时，， ， 解得：无解； （ii）如图， 可得：当时，， 当时，， ， 解得：， （ⅲ）当时，， 解得， 则， 当时，解得，， ∴当时，与轴有2个交点，不符合题意，舍去； 当时，， 解得， 则， 当时，解得，， ∴当时，与轴有1个交点，符合题意； 综上，或． 23. 如图，已知矩形，分别是边上的动点，且，点关于的对称点为，则点到边距离的最小值为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】连接交于点，连接、，证明得，可知始终经过定点，又由对称得，即可得点在以点为圆心，为半径的圆上，过点作于，延长交于N，则当在上时，点到边距离的最小，利用矩形、相似三角形的性质、勾股定理等求出、的长即可求解． 【详解】解：连接交于点，连接、，如图， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴始终经过定点， ∵点关于的对称点为， ∴， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上， 如图，过点作于，延长交于N，则当在上时，点到边距离的最小， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴同理可求，，， ∵，， ∴， ∴， ∴点到边距离的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，点和圆的位置关系，相似三角形的判定和性质，勾股定理等，正确作出辅助线是解题的关键． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 2026年是农历丙午马年，某玩具批发商以6元/个的价格购进了一批马的生肖挂件，准备在市场进行销售，若销售价12元/个，每天能售出1000个，经市场调查及大数据分析发现，当售价每降低1元时，平均每天可以多售出100个．（售价低于12元/个） （1）设降价后的售价为元，每天能售出个，请写出关于的函数表达式； （2）该批发商要想使平均每天的利润为4800，同时更大程度让利顾客，则售价应为多少元？ 【答案】（1） （2）10元 【解析】 【分析】此题考查了一次函数和一元二次方程的应用． （1）根据题意降了元，多销售个，则； （2）设每天的利润为，则，再建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：设降价后的售价为元，则降了元，可多销售个， ， 答：关于的函数表达式为； 【小问2详解】 解：设每天的利润为， 每个可盈利元， ， 当时，即， 整理得，，即， 解得或（舍去）， 答：售价应为10元． 25. 已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点． （1）求反比例函数表达式； （2）如图1，线段沿轴向右平移，点、分别对应点、，线段与反比例函数图象相交于点，当点为中点时，求线段向右平移了多少个单位？ （3）如图2，为反比例函数图象上一动点，四边形为平行四边形，交反比例函数图象于点，当点的横坐标与点的横坐标相等时，请探究、的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） （2）线段向右平移了个单位 （3）， 设，则， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴， 联立方程组， 整理得， 解得，（不符合题意，舍去）， 过Q作于G，过M作于H， ∴， ∴， ∴ 【解析】 【分析】（1）将代入，可得，再进一步求解即可； （2）设线段向右平移了m个单位，则，，根据中点坐标公式求出，最后把D的坐标代入求解即可； （3）设，则，根据平行四边形的性质可求出，根据待定系数法求出直线解析式为，联立方程组，整理得，求出得，（不符合题意，舍去），过Q作于G，过M作于H，则，根据平行线分线段成比例求出，即可求解． 【小问1详解】 解：将代入， 解得， 将代入， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：设线段向右平移了m个单位，则，， ∵点为中点， ∴，即， ∵点D在反比例函数的图象上， ∴， 解得， 即线段向右平移了个单位； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了利用待定系数法求反比例函数的解析式，平行线分线段成比例，平移的性质，利用待定系数法求解一次函数的解析式，作出合适的辅助线是解题的关键． 26. 如图，矩形，连接，作的角平分线交于，过作，分别交线段、于点、． （1）求证：； （2）当时，是___________三角形，求的值； （3）当时，求的值．（请用表示）． 【答案】（1） 证明：∵矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）等边，2 （3） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质、同角的余角相等以及两组对应角相等的三角形相似即可证明结论； （2）根据等腰三角形的性质、角平分线的定义、对顶角相等说明，即，进而说明可判断等边三角形；再说明，然后设，根据直角三角形的性质可得、、；由线段的和差可得，然后代入求比例即可； （3）如图：过点M作于N， 过点E作于G，根据角平分线的性质定理可得，证可得；再证明可得，结合已知条件可得，；再证明可得，即；进而得到、，再证明可得，即，然后整理即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：如图：过点M作于N， 过点E作于G， ∵平分，作，， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即，即， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、含30度直角三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $