精品解析：重庆忠县2025年秋八年级期末学业水平监测 数学试卷

忠县2025年秋八年级期末学业水平监测 数学试卷 （本卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，理解轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义判断轴对称图形即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，不符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意； 故选A． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法、积的乘方运算．根据同底数幂乘除法、积的乘方运算法则计算即可． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D． 3. 已知两条线段的长度分别是、，则在下列长度的线段中可以和已知两线段组成三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系的应用，解题的关键是掌握判断三条线段能否构成三角形的方法：在具体应用三角形的三边关系时，只要两条较短的线段的长度之和大于第三条线段的长度，即可判定这三条线段能构成一个三角形．据此逐项判断即可． 【详解】解：A．∵， ∴此三条线段不能组成三角形，故此选项不符合题意； B．∵， ∴此三条线段不能组成三角形，故此选项不符合题意； C．∵， ∴此三条线段能组成三角形，故此选项符合题意； D．∵， ∴此三条线段不能组成三角形，故此选项不符合题意． 故选：C． 4. 下列从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查因式分解的定义，根据因式分解的定义，即把一个多项式化为几个整式的积的形式，判断各选项是否符合． 【详解】解：A、是整式乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意； B、是因式分解，故此选项符合题意； C、，结果不是积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意； D、，结果含有分式，不是整式，因此不是因式分解，故此选项不符合题意． 故选：B． 5. 命题“全等三角形的对应边相等”的逆命题为（ ） A. 两个三角形的对应边相等 B. 两组对应边相等的两个三角形全等 C. 对应边相等的两个三角形全等 D. 对应边相等的两个三角形不全等 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了逆命题，原命题是条件语句“如果两个三角形全等，那么对应边相等”，其逆命题需交换条件和结论，即“如果两个三角形的对应边相等，那么这两个三角形全等”. 【详解】解：原命题可表述为“若两个三角形全等，则对应边相等”， 逆命题为“若两个三角形的对应边相等，则这两个三角形全等”． 故选：C． 6. 在和中，已知，那么添加下列一个条件后能判定的是（ ） A. B. C. D. 点A、D到直线的距离相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，已知且为公共边，添加条件后，三边对应相等，可用判定全等，其他选项中的条件不符合题意． 【详解】解：A、在和中，（已知），（公共边），若添加，根据无法判断； B、在和中，（已知），（公共边），若添加，根据可判断； C、在和中，（已知），（公共边），若添加，根据无法判断； D、若点A、D到直线的距离相等，无法判断； 故选：B． 7. 下列说法错误的是（ ） A. 三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分 B. 有一个角为的等腰三角形是等边三角形 C. 三个角都相等的三角形是等边三角形 D. 三角形的三条角平分线一定交于三角形的重心 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形的基本性质，包括中线、等腰三角形、等边三角形的判定以及三角形的重心的概念. 需要判断每个选项的正确性. 【详解】解：A、 三角形的一条中线将三角形分成两个等底同高的三角形，两个三角形的面积相等，故A选项正确; B、等腰三角形有一个角为，则其余两个角也均为，三角形的三边相等，是等边三角形，故B选项正确; C、三个角都相等的三角形，每个角为，根据等角对等边可知三边相等，这个三角形是等边三角形，故C选项正确; D、∵ 重心是三条中线的交点，三角形的角平分线不一定交于重心，故D选项错误. 故选：D． 8. 边长为2的正方形在如图的平面直角坐标系中，设点，轴，若把正方形 “先沿y轴翻折，再向下平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2026次变换后，则点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的变化规律问题，先根据已知条件求出点A的坐标，然后根据规定把正方形“先沿y轴翻折，再向下平移1个单位”为一次变换，求出点A连续三次变换的坐标，找出其变化的规律，根据规律确定点A经过2026次变换后的坐标． 【详解】解：∵正方形的顶点D的坐标为．且轴，正方形的边长， ∴正方形的顶点A的坐标为． 由题意得，经过1次变换点A的坐标变为． 经过2次变换点A的坐标为． 经过3次变换点A的坐标为． 经过4次变换点A的坐标为． 从以上可以看出，奇数次变换点A的横坐标为，偶数次变换点A的横坐标为1； 变换的次数与点A的纵坐标的和为3． ∴当点A经过2026次变换后，点A的横坐标为1，点A的纵坐标为． ∴经过2026次变换后，点A的坐标为． 故选：D． 9. 在如图所示的中，平分并交于点D，于点E，且，若，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了角平分线定义，等腰三角形的判定和性质，作出正确的辅助线是解决本题的关键． 延长交于点F，证明是等腰三角形可得，通过角的转换证明，证明是等腰三角形可得，进而即可求解． 【详解】解：延长交于点F，如图， ∵平分，且， ∴是等腰三角形， ∴，， ∴， 在中，， ∴． ∵， ∴． ∵是等腰三角形， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴． ∴是等腰三角形， ∴ ， ∵， ∴． 故选：A． 10. 对于一列非零数，，，…，设，，且从第三个数起，以后每一个数都等于前面两个数的商，如：，，…，以此类推．以下结论：①；②若，则；③若，则；④若的值为整数，则整数x有6个不同值．其中正确的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式中的规律探究，分式的求值，正确的地找到规律，是解题的关键 先求出前几个数，得到这列数6个数为一个周期，循环出现，再逐一进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴这列数6个数为一个周期，循环出现， ∵， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵ 周期乘积， ， ∴， ∴，故③错误； ∵，， ∴，， ∴， ∵的值为整数， ∴，，，， ∴满足条件的整数共有8个． 又，，即，，， 故满足条件的整数共有6个．故④正确， 故选：B． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 中国北斗导航卫星授时误差小于，0.000000021用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数，据此解答即可． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 若点与点关于y轴对称，则______． 【答案】 3 【解析】 【分析】本题考查关于x轴，y轴对称的点的坐标，根据点关于y轴对称的性质，横坐标互为相反数纵坐标相等进行求解即可 【详解】解：∵点与点关于y轴对称， ∴，． ∴． 故答案为：3． 13. 如图，已知，点D恰好在边上，若，则的度数为______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，等边对等角，根据全等的性质，得到，进而得到，等边对等角，求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 14. 已知实数x，y满足，则______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值，将条件变形为，再代入要求代数式进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：9． 15. 在如图所示的中，已知，，，平分交于点D，则的面积为______（用含m，n的式子表示）；若动点E、F分别在线段上，连接，则的最小值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，含角直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，探究出最小值的位置是解题的关键． 过点A作于点M，用m的代数式表示出，根据三角形面积公式即可求出的面积；在上取一点，使，探究出最小时，点A，E，三点在一条直线上，且，即可解决问题． 【详解】解：过点A作于点M，则， ∵， ∴， ∴； 在上取一点，使， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴当最小时，点A，E，三点在一条直线上，且， ∴的最小值为的长，即． 故答案为：，． 16. 设M是各数位上的数字都不相同的四位数，若M的千位数字与十位数字之和、百位数字与个位数字之和都为8，则称这个四位数为“忠发数”．例如：四位数8602，因为，所以8602是“忠发数”．若将“忠发数”M的千位数字与百位数字调换位置，十位数字与个位数字调换位置，得到一个新数，记，则______；若“忠发数”M使分式的值为正数，且能被12整除，则M的最大值为______． 【答案】 ①. 198 ②. 7315 【解析】 【分析】本题考查整式的加减，理解题目中的“忠发数”和的定义是解题关键． 第一个空：根据定义计算即可； 第二个空：用字母表示出，由条件，先判断出，再计算，用字母表示，通过计算结果能被12整除，寻找规律即可． 【详解】解：当时，由定义，， ∴； 设，其中a，b，c，d分别表示M对应的千位数字，百位数字，十位数字，个位数字，均为非负整数， 则， ∵的值为正数，， ∴， ∴， 由定义，可知，a，b，c，d四个数字各不相同， ∴， ， 由定义，可知， ∴， ， 由题意，得是整数， 又33的因数中不含4， ∴是4的倍数， ∴或或（不合题意，舍去）， 当时，又， ∴，， ∴，， 由定义可知数字 互不相同， 故该情况不合题意，舍去； 当时，由数的特征可知，当a最大时，的值最大， ∴令，此时，，，符合题意， ∴的最大值为， 故答案为：198，7315． 三、解答题：（本大题9个小题，17与18题各8分，其余每题10分，共86分）解答时须写出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程写在答题卡中对应位置． 17. 分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． （1）整理后，提取公因式即可； （2）先提取公因式，再根据完全平方公式分解因式即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 如图所示，在中，已知是直角． （1）用尺规完成作图：作直角边的垂直平分线交于点D，交于点E，在射线上截取线段（点F在边的左边），使得，连接（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若，根据（1）中作图，证明：． （将证明过程中空白处的正确答案填在答题卡对应代号处） 证明：∵垂直平分， ∴ ① ，且， ∵，， ∴ ② ，， 在与中，又∵， ∴， ∴ ③ ， ∵在直角中，是直角， ∴， ∴，即 ④ ， ∴． 【答案】（1）见解析 （2）；；； 【解析】 【分析】本题考查的是尺规作图—作垂直平分线、线段及全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握基本知识． （1）按要求先作线段的垂直平分线，再截取线段，连接即可； （2）先证明，再证，得出，即可证明从而得出结论． 【小问1详解】 解：如图，即为所求作； 【小问2详解】 证明：∵垂直平分， ∴，且， ∵，， ∴，， 在与中，又∵， ∴， ∴， ∵在直角中，是直角， ∴， ∴，即， ∴． 故答案为:；；；． 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算． （1）根据积的乘方、单项式的乘除法可以解答本题； （2）根据平方差公式、完全平方公式可以解答本题． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 在如图所示的中，平分交于点D． （1）若，，求的度数； （2）过点D作于点E，若，，，求的面积． 【答案】（1） （2）18 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，关键是根据角平分线的性质得出解答． （1）根据三角形内角和定理得出，进而利用角平分线的定义得出即可； （2）过点D作于点F，根据角平分线的性质得出，进而利用三角形面积公式解答即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵的角平分线交于D， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：过点D作于点F， ∵， ∴， ∴， 又，， ∴的面积的面积的面积． 21. 已知代数式． （1）化简已知代数式； （2）若，求已知代数式的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查多项式化简，分式的化简求值，解题的关键是熟悉多项式的混合运算． （1）根据多项式和分式的混合运算法则化简得； （2）利用负整数指数幂和零次幂计算得到的值，最后代入计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， 当时，原式． 22. 在暑假期间，学校安排了甲、乙两人对学校的建筑外墙进行粉刷维修，以新的面貌迎接学生返校．已知乙每天比甲多粉刷20平方米，甲粉刷3天和乙粉刷2天共粉刷外墙面积为140平方米． （1）求甲、乙两人每天粉刷量分别是多少平方米？ （2）学校将480平方米的粉刷量承包给甲、乙两人分别完成，每人一半，两人的积极性大增，每天都增加了粉刷量．若乙每天增加粉刷量是甲每天增加粉刷量的2倍，两人共计12天完成任务，求甲每天增加的粉刷量． 【答案】（1）甲每天粉刷20平方米，乙每天粉刷40平方米 （2）甲每天增加的粉刷量为10平方米． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次方程的应用． （1）设甲每天粉刷x平方米，则乙每天粉刷平方米，根据“甲粉刷3天和乙粉刷2天共粉刷140平方米”列出一元一次方程，求解即可； （2）设甲每天增加粉刷量为a平方米，则乙每天增加粉刷量为平方米，根据“两人工作天数之和为12天”列出分式方程，求解即可． 【小问1详解】 解：设甲每天粉刷x平方米，则乙每天粉刷平方米， 根据题意，得： ， 解得： ， 所以甲每天粉刷20平方米，乙每天粉刷平方米。 答：甲每天粉刷20平方米，乙每天粉刷40平方米； 【小问2详解】 解：学校将480平方米的粉刷任务平均分给甲、乙两人，每人负责240平方米， 设甲每天增加粉刷量为a平方米，则乙每天增加粉刷量为平方米， 增加后，甲每天粉刷平方米，乙每天粉刷平方米， 根据题意得： ， 解得， 经检验，是原方程的解且符合题意， 答：甲每天增加的粉刷量为10平方米． 23. 如图，在边长为18的等边中，设点D在边上，且，已知点P从点B出发，以每秒2个单位长度速度沿方向运动；点Q从点C出发，以每秒a个单位长度速度沿方向运动．若点P、Q同时出发，设运动时间为t秒． （1）若点P运动到点C时，点Q恰好到达点D，求a的值； （2）当点Q沿方向运动时，能否成立，若成立，求a和t的值；若不成立，请说明理由． 【答案】（1） （2）成立，， 【解析】 【分析】本题考查等边三角形性质，全等三角形的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据速度等于路程除以时间，进行求解即可； （2）根据全等三角形的判定方法，得到当时，，进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵边长为18的等边， ∴，， ∵， ∴，， ∵点P运动到点C时，点Q恰好到达点D， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：成立； 由（1）知：，， ∴当时，， ∴，， ∴，． 24. 【综合与实践】在一次数学拼图实践活动中，数学兴趣小组为活动准备了如图1所示的三种A，B，C形状的纸片各若干张，纸片A，B分别是边长为a，的正方形，纸片C是长为b，宽为a的长方形． （1）若小忠同学用图1中x张纸片A，y张纸片B，z张纸片C拼成了一个面积为的长方形，求的值； （2）小义同学不仅用了图1中若干纸片，还自制了几张含边长为c的正方形及长方形纸片，然后拼成了图2边长为的正方形． ①观察图2的面积关系，写出含a，b，c的等量关系式； ②若，，根据①的结论，求的值； （3）小忠同学继续探索，用自制的8块积木拼成了如图3的棱长为的正方体，根据图3，写出的等式，若，，求的值． 【答案】（1）13 （2）①；② （3），630 【解析】 【分析】本题考查多项式乘以多项式与几何图形面积，熟练掌握多项式乘以多项式的法则是解题的关键： （1）将展开，求出的值，代入代数式进行计算即可； （2）①利用分割法表示出正方形的面积，即可得出等量关系式；②结合①中关系式利用整体代入法，进行求解即可； （3）根据分割法表示出正方体的体积，即可得出结果，将进行因式分解后，利用整体代入法进行计算即可． 【小问1详解】 解：， ∵纸片A，纸片B，纸片C的面积分别为， ∴， ∴； 小问2详解】 解：①由图形可知：； ②∵，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：由图可知：； ∵，， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴． 25. 在中，已知，为直角． （1）如图，若点在边上，，，，求的大小； （2）如图，若为等边三角形，且，过点作于点，交于点．证明：； （3）如图，设点在线段的延长线上，连接，以为边在的右侧作等边，连接，若，直接写出的最小值． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）的最小值为 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的性质及含角的直角三角形的性质，熟练掌握相关性质及判定定理，正确作出辅助线是解题关键． （1）过点作，交延长线于，根据角的和差关系得出，利用证明，得出，，即可得出，， 根据直角三角形两锐角互余得出，即可得出； （2）在截取，在上截取，连接、，设，根据等边三角形的性质及等边对等角得出，根据含角的直角三角形的性质得出，证明是等边三角形，得出，，，根据外角性质得出，利用证明，得出，即可得结论； （3）上方，作等边，连接，延长，交延长线于，利用可证明，得出，即可证明点在直线上运动，当时，有最小值，根据垂直平分可得，，，，，得出，利用证明，得出，即可得答案． 【小问1详解】 解：如图，过点作，交延长线于， ∵， ∴，， ∵为直角， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：如图，在上截取，在上截取，连接、，设， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，，， ∵，， ∴垂直平分， ∴，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：如图，在上方，作等边，连接，延长，交延长线于， ∵，为直角， ∴， ∵、都为等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴点在直线上运动，当时，有最小值， 当时， ∵，， ∴，， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 忠县2025年秋八年级期末学业水平监测 数学试卷 （本卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确是（ ） A. B. C. D. 3. 已知两条线段的长度分别是、，则在下列长度的线段中可以和已知两线段组成三角形的是（ ） A B. C. D. 4. 下列从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 命题“全等三角形的对应边相等”的逆命题为（ ） A. 两个三角形的对应边相等 B. 两组对应边相等的两个三角形全等 C. 对应边相等的两个三角形全等 D. 对应边相等的两个三角形不全等 6. 在和中，已知，那么添加下列一个条件后能判定的是（ ） A. B. C. D. 点A、D到直线的距离相等 7. 下列说法错误的是（ ） A. 三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分 B. 有一个角为的等腰三角形是等边三角形 C. 三个角都相等三角形是等边三角形 D. 三角形的三条角平分线一定交于三角形的重心 8. 边长为2的正方形在如图的平面直角坐标系中，设点，轴，若把正方形 “先沿y轴翻折，再向下平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2026次变换后，则点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 在如图所示的中，平分并交于点D，于点E，且，若，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 10. 对于一列非零数，，，…，设，，且从第三个数起，以后每一个数都等于前面两个数的商，如：，，…，以此类推．以下结论：①；②若，则；③若，则；④若的值为整数，则整数x有6个不同值．其中正确的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 中国北斗导航卫星授时误差小于，0.000000021用科学记数法表示______． 12. 若点与点关于y轴对称，则______． 13. 如图，已知，点D恰好在边上，若，则的度数为______． 14. 已知实数x，y满足，则______． 15. 在如图所示的中，已知，，，平分交于点D，则的面积为______（用含m，n的式子表示）；若动点E、F分别在线段上，连接，则的最小值为______． 16. 设M是各数位上的数字都不相同的四位数，若M的千位数字与十位数字之和、百位数字与个位数字之和都为8，则称这个四位数为“忠发数”．例如：四位数8602，因为，所以8602是“忠发数”．若将“忠发数”M的千位数字与百位数字调换位置，十位数字与个位数字调换位置，得到一个新数，记，则______；若“忠发数”M使分式的值为正数，且能被12整除，则M的最大值为______． 三、解答题：（本大题9个小题，17与18题各8分，其余每题10分，共86分）解答时须写出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程写在答题卡中对应位置． 17 分解因式： （1）； （2）． 18. 如图所示，在中，已知是直角． （1）用尺规完成作图：作直角边的垂直平分线交于点D，交于点E，在射线上截取线段（点F在边的左边），使得，连接（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若，根据（1）中作图，证明：． （将证明过程中空白处的正确答案填在答题卡对应代号处） 证明：∵垂直平分， ∴ ① ，且， ∵，， ∴ ② ，， 在与中，又∵， ∴， ∴ ③ ， ∵在直角中，是直角， ∴， ∴，即 ④ ， ∴． 19. 计算： （1）； （2）． 20. 在如图所示的中，平分交于点D． （1）若，，求的度数； （2）过点D作于点E，若，，，求的面积． 21. 已知代数式． （1）化简已知代数式； （2）若，求已知代数式的值． 22. 在暑假期间，学校安排了甲、乙两人对学校的建筑外墙进行粉刷维修，以新的面貌迎接学生返校．已知乙每天比甲多粉刷20平方米，甲粉刷3天和乙粉刷2天共粉刷外墙面积为140平方米． （1）求甲、乙两人每天粉刷量分别是多少平方米？ （2）学校将480平方米的粉刷量承包给甲、乙两人分别完成，每人一半，两人的积极性大增，每天都增加了粉刷量．若乙每天增加粉刷量是甲每天增加粉刷量的2倍，两人共计12天完成任务，求甲每天增加的粉刷量． 23. 如图，在边长为18的等边中，设点D在边上，且，已知点P从点B出发，以每秒2个单位长度速度沿方向运动；点Q从点C出发，以每秒a个单位长度速度沿方向运动．若点P、Q同时出发，设运动时间为t秒． （1）若点P运动到点C时，点Q恰好到达点D，求a的值； （2）当点Q沿方向运动时，能否成立，若成立，求a和t的值；若不成立，请说明理由． 24. 【综合与实践】在一次数学拼图实践活动中，数学兴趣小组为活动准备了如图1所示的三种A，B，C形状的纸片各若干张，纸片A，B分别是边长为a，的正方形，纸片C是长为b，宽为a的长方形． （1）若小忠同学用图1中x张纸片A，y张纸片B，z张纸片C拼成了一个面积为的长方形，求的值； （2）小义同学不仅用了图1中若干纸片，还自制了几张含边长为c的正方形及长方形纸片，然后拼成了图2边长为的正方形． ①观察图2的面积关系，写出含a，b，c的等量关系式； ②若，，根据①的结论，求的值； （3）小忠同学继续探索，用自制的8块积木拼成了如图3的棱长为的正方体，根据图3，写出的等式，若，，求的值． 25. 在中，已知，为直角． （1）如图，若点在边上，，，，求的大小； （2）如图，若为等边三角形，且，过点作于点，交于点．证明：； （3）如图，设点在线段的延长线上，连接，以为边在的右侧作等边，连接，若，直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $