精品解析：重庆巴南区2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题

2025—2026学年上期阶段性检测 八年级数学试题 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色签字笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列四个图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形，掌握轴对称图形的定义是解决问题的关键．轴对称图形是指沿一条直线折叠，两边能够完全重合的图形． 【详解】解：根据轴对称图形的定义，只有C选项符合． 故选：C． 2. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. 3，5，7 B. 1，2，3 C. 5，8，2 D. 4，3，7 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系定理；判断三条线段能否组成三角形，需满足三角形三边关系：任意两边之和大于第三边．逐一验证各选项即可． 【详解】解：对于选项A：∵，∴能组成三角形． 对于选项B：∵，∴不能组成三角形． 对于选项C：∵，∴不能组成三角形． 对于选项D：∵，∴不能组成三角形． 故选：A． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算； 根据同底数幂的除法，整式的加减，幂的乘方和单项式乘以多项式的运算法则逐项验证即可． 【详解】解：，A错误； ，B错误； ，C错误； ，D正确； 故选：D． 4. 如图，点B、F、C、E在一条直线上，，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，解题的关键是熟知判定全等三角形的依据．根据题意得，，当添加条件时，可利用判定；当添加 时，结合，，不能判定；当添加条件时，结合，，可利用判定；当添加条件时，可利用判定． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ∴ 当添加条件时， 在和中， ， ∴， 因此添加选项A中的条件时可以判定，选项A不符合题意； ∵，， 因此当添加 时，不能判定， 因此添加选项B中的条件时无法判定，选项B符合题意； 当添加条件时， 在和中， ， ∴， 因此添加选项C中的条件时可以判定，选项C不符合题意； 当添加条件时， 则 在和中， ， ∴， 因此添加选项D中的条件时可以判定，选项D不符合题意． 故选：B． 5. 若分式的值等于0，则的值为（ ） A. 0 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，正确解方程是解题的关键．直接利用分式的值为零则分子为零，分母不为零进而得出答案． 【详解】解：由题意知：， 解得：． 故选：B． 6. 下列说法错误的是（ ） A. 等腰三角形的两底角相等 B. 有两个角相等的三角形是等腰三角形 C. 等腰三角形的角平分线、中线、高互相重合 D. 等腰三角形是轴对称图形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质； 根据等腰三角形的判定和性质判断各选项的正确性即可． 【详解】解：等腰三角形的两底角相等，A正确； 有两个角相等的三角形，对边相等，是等腰三角形，B正确； 等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，C错误； 等腰三角形是轴对称图形，D正确； 故选：C． 7. 如图，在平面直角坐标系中，，，，…都是等边三角形，且点，，，，坐标分别是，，，，，依据图形所反映的规律，则的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了规律探索，找出坐标的变化规律是解答的关键．观察图形点所在的位置可以得到，，，每4个为一组，据此可以得到在轴正半轴上，纵坐标为0，根据，，坐标规律可得到． 【详解】解：观察图形中点所在的位置可以看出，，，每4个为一组， ， 在轴正半轴上，纵坐标为0， ∵，，， ∴，． 故选：． 8. 一台收割机的工作效率相当于一个农民工作效率的150倍，用这台机器收割10公顷小麦比100个农民人工收割这些小麦要少用1．求一个农民每小时收割多少公顷小麦？设一个农民每小时收割公顷小麦，根据题意列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用； 根据题意，机器收割10公顷所需时间比100个农民收割少1小时，因此100个农民时间减去机器时间等于1小时． 【详解】解：设一个农民每小时收割x公顷，则100个农民每小时收割公顷， ∴100个农民收割10公顷时间为； ∵机器工作效率为农民的150倍，即每小时收割公顷， ∴机器收割10公顷时间为； 又∵机器时间比100个农民时间少1小时， ∴ ， 即， 故选：D． 9. 如图，已知直角中，，，以为斜边作，将沿翻折得到，连接，已知，，则点到的距离为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键．过点C作于点F，根据折叠的性质，证明，三角形的面积，解答即可． 【详解】解：过点C作于点F，过点A作于点M， 根据折叠的性质，得，，， ∵， ∴， ∴， 又， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故点到的距离为， 故选：C． 10. 若数既使得关于的不等式组无解，又使得关于的分式方程的解为大于1的整数，则满足条件的所有整数的积为（ ） A. B. C. 0 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式组的解，分式方程的解，熟练掌握一元一次不等式组的解法，分式方程的解法，先解不等式组，根据题意得到，解得，再解分式方程得到，再由题意可得且，为奇数，最后求整数的积即可． 【详解】解：， 由①得， 由②得， 不等式组无解， ， 解得， ， ， ， 方程的解大于1， ， ， ， ， 方程的解大于1的整数， 为奇数， 满足条件的所有整数为3，1，， ， 满足条件的所有整数的积是， 故选：B． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 一张纸的规格为210毫米297毫米，其中210毫米可以表示为0.00021千米．将数字0.00021用科学记数法表示应为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的形式，为整数，把原数变为时，当时，为正整数，的值为小数点移动的位数；当时，为负整数，的值为小数点移动位数的相反数；由此即可求解，掌握科学记数法的表示形式，、的取值方式是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 如图，在中，，是的一个外角，平分，若，则的度数为_______． 【答案】##60度 【解析】 【分析】本题考查三角形外角的性质，角平分线的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．因为平分，，则，又因为，利用三角形外角性质即可求的度数． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 13. 若，则点关于轴对称的点的坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查非负数的性质以及轴对称与坐标，熟记“关于x轴对称的点的坐标，横坐标不变，纵坐标互为相反数”是解题的关键． 根据非负数性质求出a、b的值，再根据关于x轴对称的点的坐标特征即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴点A的坐标为， ∴点关于轴对称的点的坐标， 故答案为：． 14. 已知代数式是完全平方式，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用完全平方式的结构特征判断即可确定出m的值． 【详解】解：∵代数式是一个完全平方式， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 15. 如图，在中，，的平分线交于点，过点作交于点，交的延长线于点．则的度数为_______；若，且，则_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，直角三角形的两锐角互余，角平分线的定义，全等三角形的性质与判定等知识，综合性强，难度较大，证明三角形全等是解题关键．根据角平分线定义得到，，再求出，即可求出；延长交于点M，先求出，证明，得到，，求出．设点A到线段距离为h，根据得到，，进而得到，即可求出． 【详解】解：∵为的平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图，延长交于点M． ∵，， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴． 设点A到线段距离为h， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：， 16. 一个四位自然数的各个数位上的数字均不为零，若其满足千位数字比百位数字大3，个位数字为十位数字的2倍，则称这个自然数为“顺利数”．如数4136，且，是“顺利数”．如数5186，，不是“顺利数”．则最小的“顺利数”为：_______；若为“顺利数”，将的千位和十位上的数字交换位置，百位和个位上的数字也交换位置，得到一个新数，记，将数的千位数字和百位数字记为两位数，十位数字和个位数字记为两位数，若能被7整除，则满足条件的的最大值为_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查整式的加减，列代数式，根据顺利数的定义可得出各数位上最小的数，分别求出，，，根据能被7整除，即可得解． 【详解】解：设这个四位数为，则，当最小为1时，最小为4；最小为1时，最小为2， 所以，最小顺利数为； 根据题意得：，， ∴，，， ∴， ∵ ∴， ∵能被7整除， ∴能被7整除， 要使得最大，则最大，即最大， 当取最大数6时，能被7整除， 则可取最大数为2，则此时， ∴满足条件的N的最大值为． 故答案为：；． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算，解分式方程； （1）根据完全平方公式和多项式乘以多项式的运算法则展开，然后合并同类项即可； （2）方程两边同乘以将分式方程化为整式方程，求出整式方程的解，检验后可得答案． 【详解】解：（1）原式 ； （2）方程两边同乘以得：， 整理得：， 解得：， 检验：当时，， 所以是原分式方程的解． 18. 如图，是的角平分线，，交于点． （1）尺规作图：过点作线段的垂线交于点，连接；（基本作图，保留作图痕迹，不写作法，不下结论） （2）求证：垂直平分． 证明：是的角平分线，，， ． 点在线段的垂直平分线上． 在和中， ． ______③________ 点在线段的垂直平分线上． ． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求； （2），，，垂直平分 【解析】 【分析】（1）根据垂线的尺规作图方法作图即可； （2）先根据角平分线的性质得到，所以点在线段EF的垂直平分线上；再证明，得到，所以点在线段EF的垂直平分线上，则证明是线段的垂直平分线． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明：是的角平分线，，， ， 点在线段的垂直平分线上． 在和中， ， ， ， 点在线段的垂直平分线上． 是线段的垂直平分线， 故答案为：，，，垂直平分． 【点睛】本题主要考查了尺规作图—作垂线，角平分线的性质，线段垂直平分线的判定，全等三角形的性质与判定等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 先化简，再求值，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据分式四则混合运算的顺序和法则计算，再把字母的值代入计算即可． 【详解】解： 当时，原式． 【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 20. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）作出关于轴的对称图形，并写出各点的坐标； （2）连接和，求的面积． 【答案】（1） 如图所示： （2） 【解析】 【分析】本题考查了作轴对称图形，坐标与图形，割补法求面积； （1）根据轴对称的性质找出点关于轴的对称点的位置，顺次连接即可得到，然后根据所作图形写出各点的坐标； （2）利用割补法进行计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ． 21. 如图，一块长为，宽为的长方形纸板，在它的四个角各切去一个相同的正方形，然后将四周突出部分折起，制成一个高为的长方体状无盖纸盒． （1）求该长方体纸盒底面（阴影部分）的面积； （2）若该长方形纸板长为，宽为，求该长方体纸盒的体积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列代数式，整式的运算，代入求值，解二元一次方程组，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）由题意，先表示出阴影部分长方形的长与宽，然后列代数式计算面积即可； （2）长方形纸板长为，宽为，即，解方程求出的值， 利用长方体体积公式计算出体积，代入求值即可． 【小问1详解】 解：根据题意，阴影部分长方形长为，宽为， 则阴影部分长方形的面积； 【小问2详解】 解：由题意， 解得， 长方体体积； 当时， （） 答：长方体纸盒的体积为． 22. 如图，在中，，分别过点和点作于点，于点，相交于点，连接． （1）求证：； （2）求证：平分． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2） 证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴平分． 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的性质和判定，等腰三角形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）由等边对等角可知，由，可知，因为，可证，则可证得结论； （2）因为，，所以，因为，，可得，因为，则可证明，则可证得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 列方程解下列问题：用程序控制甲、乙两架无人机，进行竞速比赛赛前练习，当甲无人机到达终点时，乙无人机离终点还差．已知甲无人机的平均速度为． （1）求乙无人机的平均速度； （2）如果两架无人机重新开始比赛，甲从起点向后退，两架无人机同时出发，甲依然先到达终点，请调整甲的平均速度，使两架无人机能同时到达终点，求调整后甲的平均速度． 【答案】（1）乙无人机的平均速度为 （2）调整后甲的平均速度为 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用； （1）设乙无人机的平均速度为，以甲到达终点的时间为等量关系列方程求解即可； （2）设调整后甲的平均速度为，根据两无人机同时到达终点，建立方程求解． 【小问1详解】 解：设乙无人机的平均速度为， 由题意得：， 解得：， 经检验：是分式方程的解， 答：乙无人机的平均速度为； 【小问2详解】 解：设调整后甲的平均速度为， 由题意得：， 解得：， 经检验：是分式方程的解， 答：调整后甲的平均速度为． 24. 人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码．例如多项式，分解因式为，若取，，则因式码为12，17，13，排序后密码为121317．请根据上述方法解决以下问题： （1）填空：多项式，若取，，则对应的密码为 （直接填数字即可）； （2）探究：已知多项式，，均为正整数． ①若取，，请按照上述方法生成对应的密码，并写出完整过程； ②若用上述方法生成的密码中，前两个因式码为8和16（因式码按从小到大排列），请求出第三个因式码． 【答案】（1）51216 （2） ①， 若取，， 则因式码为：，，， 所以对应的密码为； ②第三个因式码为 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用； （1）先对多项式进行因式分解，然后求出因式码即可得到对应的密码； （2）①先对多项式进行因式分解，然后求出因式码即可得到对应的密码； ②根据前两个因式码为8和16得出方程组，求出，进而计算第三个因式码即可． 【小问1详解】 解：， 若取，，则因式码为5，16，12， 所以对应的密码为51216， 故答案为：51216； 【小问2详解】 ①略 ②∵，均为正整数， ∴， 又∵前两个因式码为8和16， ∴， 解得：， ∴第三个因式码为：． 25. 已知，点D是线段的中点． （1）如图1，点E在线段上，连接，交于点F，延长至点H，使，连接．若，；求的度数； （2）如图2，点G在射线上，连接，点E在上，连接交于点F，连接，，，F为的中点．用等式表示线段和之间的数量关系，并证明： （3）在（2）的条件下，若点H是线段的中点，，垂直平分线段，在上有一动点P，连接，，，当的周长取最小时，请直接写出的度数． 【答案】（1） （2） 解：，证明如下： 如图，延长使，连接， ∵点D为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵F为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）先证明，得，再由，得，利用等腰三角形的性质得出，利用三角形内角和定理即可求得结果； （2）延长使，连接，先证明，得，，再由已知条件利用等腰三角形的性质得出，证明，从而得出结论； （3）连接，与交点P，得出周长的最小值为，确定出点P的位置，再通过等腰三角形三线合一的性质求得相关角的度数，并最终得出结果． 【小问1详解】 解：∵点D是线段的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（2）知，， ∴， ∵点P为上的动点，F，H为定点， 如图，连接，与交点P， ∵垂直平分线段，点P在上， ∴， ∴， ∴周长的最小值为， ∵H为的中点，， ∴，，， ∵，， ∴，， ∵点P在上， ∴， ∴， ∵点P在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质及三角形内角和定理及外角性质等知识点，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年上期阶段性检测 八年级数学试题 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色签字笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列四个图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. 3，5，7 B. 1，2，3 C. 5，8，2 D. 4，3，7 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，点B、F、C、E在一条直线上，，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 5. 若分式的值等于0，则的值为（ ） A. 0 B. C. 3 D. 6. 下列说法错误的是（ ） A. 等腰三角形的两底角相等 B. 有两个角相等的三角形是等腰三角形 C. 等腰三角形的角平分线、中线、高互相重合 D. 等腰三角形是轴对称图形 7. 如图，在平面直角坐标系中，，，，…都是等边三角形，且点，，，，坐标分别是，，，，，依据图形所反映的规律，则的坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 一台收割机的工作效率相当于一个农民工作效率的150倍，用这台机器收割10公顷小麦比100个农民人工收割这些小麦要少用1．求一个农民每小时收割多少公顷小麦？设一个农民每小时收割公顷小麦，根据题意列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知直角中，，，以为斜边作，将沿翻折得到，连接，已知，，则点到的距离为（ ） A. B. C. D. 3 10. 若数既使得关于的不等式组无解，又使得关于的分式方程的解为大于1的整数，则满足条件的所有整数的积为（ ） A. B. C. 0 D. 3 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 一张纸的规格为210毫米297毫米，其中210毫米可以表示为0.00021千米．将数字0.00021用科学记数法表示应为__________． 12. 如图，在中，，是的一个外角，平分，若，则的度数为_______． 13. 若，则点关于轴对称的点的坐标为_______． 14. 已知代数式是完全平方式，则的值为________． 15. 如图，在中，，的平分线交于点，过点作交于点，交的延长线于点．则的度数为_______；若，且，则_______． 16. 一个四位自然数的各个数位上的数字均不为零，若其满足千位数字比百位数字大3，个位数字为十位数字的2倍，则称这个自然数为“顺利数”．如数4136，且，是“顺利数”．如数5186，，不是“顺利数”．则最小的“顺利数”为：_______；若为“顺利数”，将的千位和十位上的数字交换位置，百位和个位上的数字也交换位置，得到一个新数，记，将数的千位数字和百位数字记为两位数，十位数字和个位数字记为两位数，若能被7整除，则满足条件的的最大值为_______． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. （1）计算：； （2）解方程：． 18. 如图，是的角平分线，，交于点． （1）尺规作图：过点作线段的垂线交于点，连接；（基本作图，保留作图痕迹，不写作法，不下结论） （2）求证：垂直平分． 证明：是的角平分线，，， ． 点在线段的垂直平分线上． 在和中， ． ______③________ 点在线段的垂直平分线上． ． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 先化简，再求值，其中． 20. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）作出关于轴的对称图形，并写出各点的坐标； （2）连接和，求的面积． 21. 如图，一块长为，宽为的长方形纸板，在它的四个角各切去一个相同的正方形，然后将四周突出部分折起，制成一个高为的长方体状无盖纸盒． （1）求该长方体纸盒底面（阴影部分）的面积； （2）若该长方形纸板长为，宽为，求该长方体纸盒的体积． 22. 如图，在中，，分别过点和点作于点，于点，相交于点，连接． （1）求证：； （2）求证：平分． 23. 列方程解下列问题：用程序控制甲、乙两架无人机，进行竞速比赛赛前练习，当甲无人机到达终点时，乙无人机离终点还差．已知甲无人机的平均速度为． （1）求乙无人机的平均速度； （2）如果两架无人机重新开始比赛，甲从起点向后退，两架无人机同时出发，甲依然先到达终点，请调整甲的平均速度，使两架无人机能同时到达终点，求调整后甲的平均速度． 24. 人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码．例如多项式，分解因式为，若取，，则因式码为12，17，13，排序后密码为121317．请根据上述方法解决以下问题： （1）填空：多项式，若取，，则对应的密码为 （直接填数字即可）； （2）探究：已知多项式，，均为正整数． ①若取，，请按照上述方法生成对应的密码，并写出完整过程； ②若用上述方法生成的密码中，前两个因式码为8和16（因式码按从小到大排列），请求出第三个因式码． 25. 已知，点D是线段的中点． （1）如图1，点E在线段上，连接，交于点F，延长至点H，使，连接．若，；求的度数； （2）如图2，点G在射线上，连接，点E在上，连接交于点F，连接，，，F为的中点．用等式表示线段和之间的数量关系，并证明： （3）在（2）的条件下，若点H是线段的中点，，垂直平分线段，在上有一动点P，连接，，，当的周长取最小时，请直接写出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $