精品解析：重庆铜梁区2025-2026学年上学期期期末考试 八年级 数学试题

2025-2026学年上学期期期末考试八年级数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，在试题卷或草稿纸上直接作答无效； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案；其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列四个图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，已知，，那么的度数是（ ） A. B. C. D. 3. 若分式有意义，则x的取值为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，cm，cm，则的长为（ ） A. 4cm B. 3cm C. 2cm D. 不能确定 6. 若的计算结果中不含的一次项，则的值是（ ） A. B. C. 3 D. 7. 如图，，是的高，，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作圆弧交于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接交于点．若，，则的周长为（ ） A. 20 B. 18 C. 16 D. 15 9. 如图，在锐角中，，点是边上不与端点重合的定点，点E，F分别是边上的两个动点．当的周长最小时，的大小是（ ） A. B. C. D. 10. 已知整式：，其中均为正整数，且．下列说法： ①满足条件的所有整式中没有单项式； ②当时，存在一个整式可以因式分解为两个多项式的积； ③满足条件的整式共有19个． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应横线上． 11. 一种圆形零件的半径约为0.0045米，将数据0.0045用科学记数法表示为__________． 12. 如图是一件盘口壶及其示意图，为了测量其底部内径，考古学家将两根细木条的中点固定在一起，量出，则底部内径的长度为______． 13. 已知点与点关于轴对称，则__________． 14. 已知，则__________． 15. 如图，在中，，点是上一点，以为对称轴，作的轴对称图形，点的对应点为，过点作于点，连接．若平分，且、有如下结论：①；②；③；④，其中正确的个数有__________个． 16. 若一个四位正整数，各个数位上的数字均不为0，且满足，则称这个四位数是“二倍数”．例如四位数7341，因为，所以7341是“二倍数”．按照这个规定，最小的“二倍数”是__________；一个“二倍数”如果将千位与百位交换，十位与个位交换后得到一个新数，记，若与均为整数，则满足条件的的最大值与最小值之差为__________． 三、解答题（本大题9个小题，17题，18题各8分，其余每小题各10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程和推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算 （1）； （2）． 18. （1）因式分解：． （2）解分式方程：； 19. 小伟在学习了《第十五章轴对称》之后，在教材中遇到了如下一个问题： 如图，要把一块三角形的土地均匀分给甲，乙，丙三家农户．如果，要使这三家农户所得土地的大小，形状都相同，请你试着分一分，并在图上画出来． 下面是小伟的设计思路： 第一步：尺规作图 ①作的角平分线，交于点；②在上取一点F，使得，连接． 第二步：要使这三家农户所得土地的大小，形状都相同，就要证明． 根据小伟的设计思路，回答以下问题： （1）使用直尺和圆规，补全图形（不写作法，要保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明： 证明：作的角平分线，交于点，在上取一点，使得，连接． 是的角平分线 ① 在和中， 又 ② 又 在和中， 20. 先化简，再求值：，已知． 21. 在平面直角坐标系中的位置如图所示，、、三点都在格点上． （1）画出关于轴对称的（点，，的对称点分别是，，）． （2）点到轴的距离为 ；点的坐标为 ． （3）在（1）问的结果下，连接，，求四边形的面积 22. 列方程解下列问题： 穿越我区的一条高速铁路正在加紧施工．某工程队承包了一段全长2266米的隧道工程，甲、乙两个班组分别从南北两端同时掘进，已知甲组比乙组每天多掘进1米，经过6天施工，甲、乙两组共掘进66米． （1）求甲、乙两班组平均每天各掘进多少米？ （2）为加快工程进度，两组都改进了施工技术．改进后，甲组、乙组平均每天掘进的距离比原来都提升米，且甲掘进27米的时间与乙掘进23米的时间相同．在剩余的工程中，按此施工进度，能够比原来少用多少天完成任务？ 23. 如图，在中，，过点B，C分别作，连接分别交于点F，G，连接． （1）求证：； （2）试判断与的位置关系，并说明理由． 24. 阅读材料：若，求，的值： 解： ， ， ，， ，． 根据你的观察，探究下面的问题： （1）已知．则的值为__________； （2）已知的边长为，，． 若，，是三个正整数，，且满足，求的周长； 若，，满足，试判断的形状，并说明理由． 25. 如图，在中，，，点是外一点，． （1）如图1，若，求的大小； （2）如图2，连接，点是的中点，点是上一点，，连接，．用等式表示线段与的数量关系并证明． （3）如图3，点是线段上一动点，连接，若，请直接写出的最小值（用含的代数式表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期期期末考试八年级数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，在试题卷或草稿纸上直接作答无效； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案；其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列四个图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形．熟练掌握轴对称图形的定义，是解决问题的关键．如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的定义可知，A、C、D都不是轴对称图形，只有B是轴对称图形． 【详解】解： A、不是轴对称图形； B、是轴对称图形； C、不是轴对称图形； D、不是轴对称图形． 故选：B． 2. 如图，已知，，那么的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形的外角性质，直接根据三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：∵是的外角，且，， ∴， 故选：A． 3. 若分式有意义，则x的取值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式有意义的条件：分母不为零． 分式有意义的条件是分母不为零得到，即可求解． 【详解】解：由题意得， 解得， 故选：B． 4. 下列运算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项、幂的乘方、同底数幂相乘、同底数幂相除，掌握相关运算法则是解题的关键．根据各运算法则逐一判断各选项的正确性． 【详解】解：A、和 不是同类项，无法合并，故该选项错误，不符合题意； B、，故该选项错误，不符合题意； C、，故该选项正确，符合题意； D、，故该选项错误，不符合题意． 故选：C． 5. 如图，，cm，cm，则的长为（ ） A. 4cm B. 3cm C. 2cm D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质得出AD＝BC＝10cm，进而即可求得BD＝BC−CD＝4cm． 【详解】解答：解：∵△ADE≌△BCF， ∴AD＝BC＝10cm， ∵BD＝BC−CD，CD＝6cm， ∴BD＝10−6＝4（cm）． 故答案为：A． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟记性质是解题的关键． 6. 若的计算结果中不含的一次项，则的值是（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘多项式； 展开多项式后，令一次项系数为零，求解a． 【详解】解：， ∵计算结果不含x的一次项， ∴， 解得， 故选∶D． 7. 如图，，是的高，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的高； 利用等面积法列式求解即可． 【详解】解：∵，且， ∴，即， ∴， 故选：C． 8. 如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作圆弧交于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接交于点．若，，则的周长为（ ） A. 20 B. 18 C. 16 D. 15 【答案】D 【解析】 【分析】由作图可知垂直平分线段，，利用线段垂直平分线的性质求解即可． 本题考查作图-基本作图，线段垂直平分线的性质，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】解：由作图可知垂直平分线段，， ， 的周长. 故选：D . 9. 如图，在锐角中，，点是边上不与端点重合的定点，点E，F分别是边上的两个动点．当的周长最小时，的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作点D关于直线的对称点G，H，连接交于点E，F，设交于点I,交于点J，此时，的周长最小，根据,得，可得,得，即得 【详解】解：作点D关于直线的对称点G，H，连接交于点E，F， 则， ∴， ∴的周长， 此时，的周长最小， ∵在锐角中，， ∴， ∴， 设交于点I，交于点J， ∵垂直平分，垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形和轴对称．熟练掌握等腰三角形性质，三角形内角和定理，轴对称性质，作辅助线构造轴对称图形，是解题的关键． 10. 已知整式：，其中均为正整数，且．下列说法： ①满足条件的所有整式中没有单项式； ②当时，存在一个整式可以因式分解为两个多项式的积； ③满足条件的整式共有19个． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，规律探索，掌握相关知识是解决问题的关键．根据均为正整数得，即可判断①；当时，存在整式如可因式分解，说法②正确﹔按，2，3分类计算：满足条件的整式总数为20，即可判断③． 【详解】解：∵均为正整数， ∴， 当整式为单项式时，， 故矛盾， ∴满足条件的所有整式中没有单项式， 故①正确； 当时，整式为， ∵， ∴， 当，，时， ，可因式分解， 故②正确﹔ 按，2，3分类计算： 当时，，，数量为4； 当时，，，数量为； 当时，，，数量为6； 总计个，说法③错误． 综上，正确个数为2个． 故选：C． 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应横线上． 11. 一种圆形零件的半径约为0.0045米，将数据0.0045用科学记数法表示为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法； 科学记数法表示为的形式，其中，为整数．对于小于1的数，为负整数，其绝对值等于第一个非零数字前零的个数． 【详解】解：将的小数点向右移动三位得到，因此指数为， 故表示为． 故答案为：． 12. 如图是一件盘口壶及其示意图，为了测量其底部内径，考古学家将两根细木条的中点固定在一起，量出，则底部内径的长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，中点定义，对顶角相等，连接，设与交于点，由为，中点，则，，然后证明，所以，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，设与交于点， ∵为，中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴底部内径的长度为， 故答案为：． 13. 已知点与点关于轴对称，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质，根据关于y轴对称的点的坐标特征，横坐标互为相反数，纵坐标相等，列方程求解，即可作答． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 已知，则__________． 【答案】 8 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式变形求值．利用完全平方公式展开已知条件，通过加减方程组求解和的值，再代入所求表达式计算． 【详解】解：∵，， ∴两式相加得， ∴； 两式相减得， ∴． 则． 故答案为：8． 15. 如图，在中，，点是上一点，以为对称轴，作的轴对称图形，点的对应点为，过点作于点，连接．若平分，且、有如下结论：①；②；③；④，其中正确的个数有__________个． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】根据折叠性质和等腰三角形性质可判定是等边三角形，可判断①；求出，，可判断②；由等边三角形性质和折叠性质可得，得，根据，，可判断③；根据，可判断④． 【详解】解：连接，延长交于点G，过点E作于点H， ∵在中，，平分， ∴垂直平分， ∴， 由折叠知，， ∴是等边三角形， ∴， ∴①正确； ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴②正确； 由折叠知，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ∴③正确； ∵， ∴； ∴④正确． 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查了三角形综合．熟练掌握等腰三角形性质和判定，折叠性质，含30度的直角三角形性质，三角形内角和定理，三角形三边关系，是解题的关键． 16. 若一个四位正整数，各个数位上的数字均不为0，且满足，则称这个四位数是“二倍数”．例如四位数7341，因为，所以7341是“二倍数”．按照这个规定，最小的“二倍数”是__________；一个“二倍数”如果将千位与百位交换，十位与个位交换后得到一个新数，记，若与均为整数，则满足条件的的最大值与最小值之差为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了多位数的代数式表示、整除的性质、代数式化简与数字取值分析，熟练掌握用代数式表示多位数、利用整除条件推导数字关系是解题的关键． 要找最小的“二倍数”，千位数字要最小（为1），再让百位尽可能小，同时满足且所有数位数字不为0．把和用代数式表示，化简得到和的表达式；再根据“与均为整数”的条件，结合“二倍数”的定义，推导出的取值，进而确定的取值；最后在取值范围内找到满足条件的的最大值与最小值，计算差值即可． 【详解】解：∵是四位数且数字不为0，要最小则， ∵ ，，， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 取，则， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴最小的“二倍数” ； ∵ ，， ∴ ， ∴ ， ∵ ∴ ∵ 为整数， ∴ 是3的倍数 ∵ ， ∴ 是3的倍数， ∵ 为整数， ∴ 是7的倍数， ∵ ， ∴ 是7的倍数， ∵ 是“二倍数”， ∴ ， 设，则， 代入得， ∵ 是7的倍数，且5与7互质， ∴ 是7的倍数， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，， 将，代入， 得， ∵ 是3的倍数， ∴ 是3的倍数， ∵ ， ∴ 是3的倍数， ∴ 是3的倍数减1， ∵ 2与3互质， ∴ 除以3余1， ∵ ，要最小，需最小， ∴ ，， ∵ ，要最小，需最小， ∴ ， 验证：，，满足条件， ∴ 最小值， ∵ ，要最大，需最大， ∴ ，， ∵ ，要最大，需最大， ∴ ，， 验证：，，满足条件， ∴ 最大值， ∴ 最大值与最小值之差为， 故答案为： ； ． 三、解答题（本大题9个小题，17题，18题各8分，其余每小题各10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程和推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）先算积的乘方，然后通过单项式除以单项式法则即可求解； （）根据多项式乘多项式，单项式乘多项式法则将题目中的式子展开，然后合并同类项即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. （1）因式分解：． （2）解分式方程：； 【答案】（1）（2）无解 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，因式分解，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先提公因式，再运用完全平方公式进行因式分解，即可作答． （2）先把分式方程化为整式方程，再解得，最后验根，即可作答． 【详解】解：（1） ； （2）∵， ∴， ∴ 则， ∴ 解得， 经检验：当时，，即是原分式方程的增根． 故原分式方程无解． 19. 小伟在学习了《第十五章轴对称》之后，在教材中遇到了如下一个问题： 如图，要把一块三角形的土地均匀分给甲，乙，丙三家农户．如果，要使这三家农户所得土地的大小，形状都相同，请你试着分一分，并在图上画出来． 下面是小伟的设计思路： 第一步：尺规作图 ①作的角平分线，交于点；②在上取一点F，使得，连接． 第二步：要使这三家农户所得土地的大小，形状都相同，就要证明． 根据小伟的设计思路，回答以下问题： （1）使用直尺和圆规，补全图形（不写作法，要保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明： 证明：作的角平分线，交于点，在上取一点，使得，连接． 是的角平分线 ① 在和中， 又 ② 又 在和中， 【答案】（1） 如图，即为所求作． （2），， 【解析】 【分析】（1）作的平分线，在上取点F，使，连接．； （2）由作图可知，，，可得，根据，得，可证明，即得． 【小问1详解】 解：以点A这圆心，以适当长为半径画弧，交于点G，H， 分别以点G，H为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点I， 作射线交于点E； 再以点A为圆心，以长为半径画弧，交于点F， 连接． 【小问2详解】 证明：作的角平分线，交于点，在上取一点，使得，连接． 是的角平分线， ∴， 在和中， ， 又 又 在和中， ， ， 故答案为：，，． 【点睛】本题考查了尺规作图—作角平分线，熟练掌握角平分线有关计算，三角形全等的判定与性质，含30度的直角三角形的性质，是解此题的关键． 20. 先化简，再求值：，已知． 【答案】， 【解析】 【分析】先求出的值，再化简分式，然后代入求值即可． 【详解】解：， 原式 当时， 原式 ． 【点睛】本题考查了已知字母的值，求代数式的值，运用平方差公式进行运算，运用完全平方公式进行运算，分式加减乘除混合运算，分式化简求值，零指数幂，负整数指数幂等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 21. 在平面直角坐标系中的位置如图所示，、、三点都在格点上． （1）画出关于轴对称的（点，，的对称点分别是，，）． （2）点到轴的距离为 ；点的坐标为 ． （3）在（1）问的结果下，连接，，求四边形的面积 【答案】（1） 由题意作图可得： （2）； （3） 【解析】 【分析】本题考查了轴对称作图，平面直角坐标系点的特征，梯形的面积，熟练掌握面积公式是解题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）根据图象作答即可； （3）根据梯形面积公式运算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由图可得：到轴的距离为，点的坐标为， 故答案为：；； 【小问3详解】 解：根据题意连接可得： ∴． 22. 列方程解下列问题： 穿越我区的一条高速铁路正在加紧施工．某工程队承包了一段全长2266米的隧道工程，甲、乙两个班组分别从南北两端同时掘进，已知甲组比乙组每天多掘进1米，经过6天施工，甲、乙两组共掘进66米． （1）求甲、乙两班组平均每天各掘进多少米？ （2）为加快工程进度，两组都改进了施工技术．改进后，甲组、乙组平均每天掘进的距离比原来都提升米，且甲掘进27米的时间与乙掘进23米的时间相同．在剩余的工程中，按此施工进度，能够比原来少用多少天完成任务？ 【答案】（1）甲班组平均每天掘进6米，乙班组平均每天掘进5米 （2）能够比原来少用24天完成任务 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、分式方程的应用，理解题意，正确列出方程（组）是解此题的关键． （1）设甲班组每天掘进x米，乙班组每天掘进y米，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得解； （2）表示改进后速度,根据“甲掘进27米与乙掘进23米时间相同”列分式方程，解得a，然后分别计算剩余工程量原计划和改进后的时间最后求时间差即可. 【小问1详解】 解：设甲班组每天掘进x米，乙班组每天掘进y米，根据题意得： ， 解得：． 答：甲班组每天掘进6米，乙班组每天掘进5米； 【小问2详解】 解：改进后，甲每天掘进米，乙每天掘进 米． 经检验，是方程的解并符合题意； 原计划剩余工程需时间天， 改进后需要时间天， 所以求少用的天数天； 答：能够比原来少用24天完成任务． 23. 如图，在中，，过点B，C分别作，连接分别交于点F，G，连接． （1）求证：； （2）试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （2） ，理由： ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据垂直的定义得到，由，得，运用即可得到结论； （2）可得，由，得，根据，得，可得，得，即得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了全等三角形．熟练掌握等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定，是解题的关键． 24. 阅读材料：若，求，的值： 解： ， ， ，， ，． 根据你的观察，探究下面的问题： （1）已知．则的值为__________； （2）已知的边长为，，． 若，，是三个正整数，，且满足，求的周长； 若，，满足，试判断的形状，并说明理由． 【答案】（1） （2）； 是等边三角形，理由如下： ， ， ， ，，， ，，， ， 是等边三角形． 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，三角形的三边关系，非负数的性质，等边三角形的判定，解题的关键是灵活应用完全平方公式． （1）根据题干所给方式，利用完全平方公式进行变形，然后代数式求值即可； （2）根据题干所给方式，利用完全平方公式进行变形，计算出、的值，再根据三角形三边关系判断即可求得的值，最后计算三角形的周长即可；根据题干所给方式，利用完全平方公式进行变形，计算出、、的值，即可得解． 【小问1详解】 解：， ， ， ，， ，， ，， ； 故答案为：； 【小问2详解】 解：， ， ， ，， ，， 边长的取值范围为，即， ， ， ， 是正整数， ， 的周长为； 略 25. 如图，在中，，，点是外一点，． （1）如图1，若，求的大小； （2）如图2，连接，点是的中点，点是上一点，，连接，．用等式表示线段与的数量关系并证明． （3）如图3，点是线段上一动点，连接，若，请直接写出的最小值（用含的代数式表示）． 【答案】（1） （2） ，证明如下： 如图，延长到G，使，连接， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， 即； （3） 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，等角对等边，含30度角的直角三角形的性质． （1）根据得到，进而根据三角形内角和求出，即可求出的大小； （2）延长到G，使，连接，则，证明，得到，，即，根据三角形内角和得到，证明，即可得到； （3）作交于H，求出，得到，，即，可知当C、P、H在一条直线上且时，有最小值，作交于M，连接，求出，证明，得到，证明，得到，根据平行线的判定和性质得到，即，根据等角对等边证明，即可求出的最小值． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，作交于H， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 则当C、P、H在一条直线上且时，有最小值， 如图，作交于M，连接， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $