精品解析：四川省雅安神州天立高级中学有限公司2025-2026学年高二上学期第三次月考（期末模拟考试）数学试题

雅安天立高2024级2025－2026学年秋期 第三次月考数 学 本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷由第Ⅰ卷和第Ⅱ卷组成，共4页；答题卡共4页.满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在空间直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由空间直角坐标系对称点的特征即可求得结果. 【详解】根据空间直角坐标系中点坐标的特征可知， 关于原点对称的点的坐标需要把横坐标、纵坐标、竖坐标都变为原来的相反数， 所以点关于原点对称的点的坐标为. 故选：D 2. 公差不为零的等差数列的首项为，则的公差为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式计算. 【详解】因为等差数列的首项为， 所以的公差为， 故选：C. 3. 若直线的方向向量为，且过点，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件求出直线的斜率，由点斜式方程求解即得直线方程. 【详解】因直线的方向向量为，则直线的斜率 于是直线的方程为，即. 故选:A. 4. 不透明的口袋里有4个白球，2个红球，这6个球除了颜色外完全相同，从中不放回地抽取2个球，则抽出的2个球均为白球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用古典概型概率公式即可求出概率. 【详解】记4个白球为，2个红球为， 从4个白球，2个红球中不放回抽取2个球有: ，共种不同的取法， 其中抽出2球均为白球有共种不同的取法， 所以抽出的2个球均为白球的概率. 故选：C. 5. 向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出，，，再根据投影向量公式求解即可. 【详解】因为向量，， 则，， ， 所以向量在向量上的投影向量为 故选：A． 6. 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为，乙的中靶概率为，甲是否击中对乙没有影响，设“甲中靶”，“乙中靶”，则（ ） A. 与，与，与，与都相互独立 B. 与是对立事件 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据独立事件和对立事件定义可知AB正误；根据独立事件概率乘法公式可知C错误；根据对立事件概率公式可求得D错误. 【详解】对于A，两人射击结果没有相互影响，与，与，与，与都相互独立，A正确； 对于B，表示事件“甲中靶且乙未中靶”，其对立事件为“甲中靶且乙中靶或甲未中靶”，表示事件“乙中靶且甲未中靶”， 与不是对立事件，B错误； 对于C，与相互独立，，C错误； 对于D，，D错误. 故选：A. 7. 如图，在平行六面体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，利用空间向量的夹角公式可求异面直线与所成角的余弦值. 【详解】设， ， . ，. ， 异面直线与所成角的余弦值. 故选：D. 8. 若为双曲线的左焦点，过原点的直线与双曲线的左右两支分别交于，两点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线求出实半轴、虚半轴和和焦距,根据图像的对称性得出,又根据双曲线的定义得到,得到,将其设为关于的函数,利用导数求出函数的极值即可得出取值范围. 【详解】解：由得,,, 则左焦点,右焦点, 因为题中给出为双曲线的左焦点, 则,, 又因为双曲线与过原点的直线都关于原点对称, 所以, 又根据双曲线的定义, 所以, 设 所以, 设,, 令,解得或,（）, 所以在单调递减,在单调递增, , , 所以的取值范围为, 则的取值范围是, 故选：D 【点睛】本题考查双曲线的定义及其基本性质,利用导数求得双曲线与直线的交点间的取值范围,利用双曲线定义可使数据简化. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据空间向量线性运算、数量积、模的坐标表示计算，依次判断选项即可. 【详解】A：，故A正确； B：，故B错误； C：，故C正确； D：，故D正确. 故选：ACD 10. 若数列的前项和，则（ ） A. 数列是等差数列 B. C. D. 有最小值 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据可计算数列的通项公式，逐项判断可确定正确答案. 【详解】当时，， 当时，，满足上式， ∴. 当时，， ∴数列是以7为首项，为公差的等差数列，选项A正确. 由得，，选项B正确. 由得，，故，选项C正确. 由得，时，，时，， ∴有最大值，最大值为，选项D错误. 故选：ABC. 11. 过点（）的直线与抛物线：交于，两点（在第一象限），过作直线与抛物线的另一交点为，直线与轴交于点（，，均在第四象限），直线与直线的斜率分别为，，则（ ） A. 若，且时，则 B. 若时，点在以为直径的圆上 C. 与的面积之比为 D. 若点，且，直线过定点 【答案】BCD 【解析】 【分析】联立直线与抛物线方程，由根与系数的关系及弦长公式判断A，联立直线与抛物线方程，由根与系数的关系及可判断B，面积问题可转化为点纵坐标问题，联立直线与抛物线结合根与系数的关系可得解，利用点坐标及点差法得出直线斜率，再由斜率之和为4变形化简得出，结合直线的方程可知过定点判断D. 【详解】设, 对A，，且，所以，联立， 可得，则， 所以，故A错误； 对B，，设，联立，可得， 则， 所以， 所以，即，所以点在以为直径的圆上，故B正确； 对C，由题意，设，联立， 可得，所以，同理可得，， 所以，故C正确； 对D，由，两式相减可得， 即，又由斜率定义可得，所以， 同理可得，由可得， 即， 两式作差得：，由， 即， 当时，代入可得，即直线恒过定点，故D正确. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：在D选项中过定点问题，需要把直线的斜率利用两种形式表示出来，再分别交叉做和，化简，对计算能力要求非常高，难度较大. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 抛物线的准线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线方程求出准线方程． 【详解】由抛物线，可得， 抛物线的准线方程为， 故答案为：． 13. 圆心为点，且过点的圆的标准方程是________． 【答案】 【解析】 【分析】由两点之间的距离公式，求出圆的半径，根据圆心坐标和半径写出圆的标准方程. 【详解】因为，，所以圆半径， 所以圆的标准方程为. 故答案为：. 14. 已知分别为椭圆的左、右焦点，A为右顶点，B为上顶点，若在线段AB上有且仅有一个点P使，则椭圆离心率的取值范围为______（写成集合或区间形式）． 【答案】 【解析】 【分析】设P的坐标为，根据求出，故点P在以原点为圆心，为半径的圆M上，分圆M与直线AB相切和两种情况，求出离心率的取值范围. 【详解】直线AB方程为，设点P的坐标为， ，故， 所以点P在以原点为圆心，为半径的圆M上， ① 圆M与直线AB相切，则原点到直线的距离等于半径， ，即，， 方程两边同除以得，，解得， 故， ②若，，解得， 综上，的取值范围为． 故答案为：. 【点睛】椭圆离心率是最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于离心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得离心率(离心率的取值范围). 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列满足，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和为. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意求出首项与公差，再根据等差数列的通项公式即可得解； （2）根据等差数列的前项和公式计算即可. 【小问1详解】 设公差为， 由，， 得，解得， 所以； 【小问2详解】 . 16. 已知直线l：恒过点C，且以C为圆心的圆与直线相切． （1）求点C的坐标； （2）求圆C的标准方程； （3）设过点的直线与圆C交于A，B两点，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由直线的点斜式方程求定点； （2）根据圆心到直线的距离等于半径，求圆的方程； （3）根据圆的弦长公式求解. 【小问1详解】 直线l：，即， 所以直线l恒过点． 【小问2详解】 圆C的圆心为． 圆C的半径， 所以圆C的标准方程为． 【小问3详解】 由于点D在圆内部， 所以当直线AB与直线CD垂直时，取最小值．． ，，即的最小值为. 17. 为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，教育部启动了“强基计划”的招生改革工作.某校强基招生面试有两道题，两道题都答对者才能通过强基招生面试.假设两题作答相互独立，现有甲､乙､丙三名学生通过考核进入面试环节，他们答对第一题的概率分别是，答对第二题的概率分别是. （1）求甲考生通过某校强基招生面试的概率； （2）求甲､乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率； （3）求甲､乙､丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用独立事件概率乘法公式计算出答案； （2）求出乙考生通过某校强基招生面试的概率，从而分两种情况，求出甲､乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率； （3）求出丙考生通过某校强基招生面试的概率，先求出无人通过强基招生面试的概率，利用对立事件求概率公式得到答案. 【小问1详解】 甲通过考核进入面试环节，答对第一题的概率分别是，答对第二题的概率分别是， 甲考生通过某校强基招生面试的概率为. 【小问2详解】 乙考生通过某校强基招生面试的概率为， 甲､乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率为： . 【小问3详解】 丙考生通过某校强基招生面试的概率为， 甲､乙､丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率为： . 18. 在长方体中，点E，F分别在上，且. （1）求证：； （2）当时. （i）求到平面AEF的距离； （ii）求平面AEF与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）证明：因为， 所以， 因为， 所以， 又，平面，故平面， 又平面，所以； （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）利用数量积等于0，分别得出，，从而利用线面垂直的判定定理和性质定理证明即可； （2）（i）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用点面距离的向量公式求解即可； （ii）求出平面的法向量，结合平面的法向量，利用面面夹角的向量公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以点为原点，分别以直线、、为、、轴，建立空间直角坐标系， 由得， （i）由（1）知是平面的一个法向量，， 所以到平面AEF的距离为； （ii），， 设平面的法向量为，则， 令，则，所以， 又是平面的一个法向量， 所以， 设平面和平面的夹角为， 则. 即平面AEF与平面的夹角的余弦值为. 19. 动点与定点的距离和P到定直线的距离的比是常数. （1）求动点P的轨迹方程E； （2）过F作斜率不为0的直线与E交于A，B两点， ①过原点O作的平行线与E交于Q点，证明：为定值； ②设点，直线AG与E交于点C，BG与CF交于点D，求点D的纵坐标的最大值. 【答案】（1） （2） ①设，，，则， 联立，得， ，. ，， ， ， 联立，得. . . ②. 【解析】 【分析】（1）根据题意，由求解； （2）①设，，分别与椭圆方程联立，由，，求解；②解法一：设，，，根据B，D，G共线，C，D，F共线，得到求解.解法二：由（2）得到，，两式相除得到，然后由，结合B，D，G共线，C，D，F共线得到，再根据点在椭圆上求解. 【小问1详解】 解：， . 【小问2详解】 ①略 ②解法一：设，，， ，D，G共线，C，D，F共线， ，， . 由①得，. 同理，. . ，，. ，. 又，当时，点D的纵坐标取得最大值. 解法二：由（2）得，，两式相除可得， 又，整理可得，则. ，同理，. 由B，D，G共线得， 即①， 同理，由C，D，F共线得②， 联立①②可得. 点在椭圆上， 点D的纵坐标取得最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 雅安天立高2024级2025－2026学年秋期 第三次月考数 学 本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷由第Ⅰ卷和第Ⅱ卷组成，共4页；答题卡共4页.满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在空间直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 公差不为零的等差数列的首项为，则的公差为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 3. 若直线的方向向量为，且过点，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 不透明的口袋里有4个白球，2个红球，这6个球除了颜色外完全相同，从中不放回地抽取2个球，则抽出的2个球均为白球的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 6. 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为，乙的中靶概率为，甲是否击中对乙没有影响，设“甲中靶”，“乙中靶”，则（ ） A. 与，与，与，与都相互独立 B. 与是对立事件 C. D. 7. 如图，在平行六面体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 若为双曲线的左焦点，过原点的直线与双曲线的左右两支分别交于，两点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 若数列的前项和，则（ ） A. 数列是等差数列 B. C. D. 有最小值 11. 过点（）的直线与抛物线：交于，两点（在第一象限），过作直线与抛物线的另一交点为，直线与轴交于点（，，均在第四象限），直线与直线的斜率分别为，，则（ ） A. 若，且时，则 B. 若时，点在以为直径的圆上 C. 与的面积之比为 D. 若点，且，直线过定点 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 抛物线的准线方程为______． 13. 圆心为点，且过点的圆的标准方程是________． 14. 已知分别为椭圆的左、右焦点，A为右顶点，B为上顶点，若在线段AB上有且仅有一个点P使，则椭圆离心率的取值范围为______（写成集合或区间形式）． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列满足，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和为. 16. 已知直线l：恒过点C，且以C为圆心的圆与直线相切． （1）求点C的坐标； （2）求圆C的标准方程； （3）设过点的直线与圆C交于A，B两点，求的最小值． 17. 为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，教育部启动了“强基计划”的招生改革工作.某校强基招生面试有两道题，两道题都答对者才能通过强基招生面试.假设两题作答相互独立，现有甲､乙､丙三名学生通过考核进入面试环节，他们答对第一题的概率分别是，答对第二题的概率分别是. （1）求甲考生通过某校强基招生面试的概率； （2）求甲､乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率； （3）求甲､乙､丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率. 18. 在长方体中，点E，F分别在上，且. （1）求证：； （2）当时. （i）求到平面AEF的距离； （ii）求平面AEF与平面的夹角的余弦值. 19. 动点与定点的距离和P到定直线的距离的比是常数. （1）求动点P的轨迹方程E； （2）过F作斜率不为0的直线与E交于A，B两点， ①过原点O作的平行线与E交于Q点，证明：为定值； ②设点，直线AG与E交于点C，BG与CF交于点D，求点D的纵坐标的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $