精品解析：河南省南阳华龙高级中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试卷

2025-2026学年度高二上学期数学12月月考试卷 一、单项选择题（本题8小题，每题5分，共40分） 1. 已知椭圆的右焦点为，则的长轴长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知椭圆的焦点在轴上，且，由椭圆中的平方关系可求得的值，进而可求得长轴长. 【详解】因为椭圆的右焦点为，所以，且焦点在轴上， 所以，解得，所以椭圆的长轴长为． 故选：B. 2. 在四棱锥中，底面是平行四边形，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量线性运算计算即可. 【详解】 因为底面是平行四边形，，所以是、的中点. 由向量的平行四边形法则可得，，， 所以. 故选：D. 3. 若直线与直线平行，则与之间的距离是（ ） A. 3 B. 1 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】先利用平行直线的判定可求出，再利用平行直线间的距离公式可得答案. 【详解】对于 ：斜率 ， 对于 ：，斜率 ， 因为，所以， 即：， 因此， 的方程为：，即， 两条平行直线之间的距离为： . 故选：A 4. 已知复数z满足(是虚数单位)，则z的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由复数除法运算求得后可得其共轭复数． 【详解】由已知，所以． 故选：B． 5. 已知在中，，若点为双曲线的两个焦点，且点在上，则的离心率为（ ） A. 7 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用双曲线的定义，结合余弦定理建立关系式，进而求出离心率. 【详解】设，（），因为点为双曲线的两个焦点，所以. 在中，由余弦定理得，，即，解得，即. 因为点在双曲线上，所以，即，所以. 故双曲线的离心率为：. 故选：B. 6. 若空间向量满足，则在方向上投影的最大值是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设向量的夹角为，根据题意，求得，得到所以在方向上的投影为，结合基本不等式，即可求解. 【详解】因为，设向量的夹角为， 所以，可得， 解得， 所以在方向上的投影为 ，当且仅当时，即时，等号成立， 所以在方向上的投影的最大值为． 故选：C. 7. 已知数列满足，，，若中的第项为奇数，把该项替换成，若第项为偶数，把该项替换成，得到数列，则的前100项和为（ ） A. 1121 B. 1123 C. 3365 D. 3367 【答案】D 【解析】 【分析】分析数列的周期规律，再结合的定义及存在的周期性规律求值即可. 【详解】已知，，，所以，， ，，，， ， 可以发现，每3项为一组，依次是“奇、奇、偶”. 若为奇数，；若为偶数，，结合的周期，每3项的为： ，，，和为， ，，，和为， ，，，和为， 可见每组和为6，12，18，（等差数列，首项6，公差6，共33项） 所以前99项和为， 第100项为第34组的第1项，为奇数，故. 所以的前100项和为. 故选：D. 8. 已知P为曲线M：上的动点，，，，，则下列说法错误的是（ ） A. B. 面积的最大值为 C. 直线与的斜率之积为定值 D. 当，时， 【答案】D 【解析】 【分析】明确点轨迹，根据椭圆的性质，可判断各选项是否正确. 【详解】因为，. 所以点的轨迹为椭圆位于轴下方的部分，包含与x轴的交点，且，，. 所以，为椭圆的焦点，，为椭圆的左右顶点. 如图： 根据椭圆的定义，，故A正确； 当点位于椭圆下顶点时，的面积最大，为，故B正确； 设，则，， 则为定值，故C正确； 当，时，， 因为，故D错误. 故选：D 二、多项选择题（本题3小题，每题6分，共18分） 9. 已知m，且，则下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由排列与组合数的运算性质求解即可. 【详解】A错，，． B对，． C对，，，所以． D错，． 故选：BC. 10. 给出下列命题，其中正确的是（ ） A. 若空间向量，，且，则实数 B. 若，则存在唯一的实数，使得 C. 若空间向量，，则向量在向量上的投影向量是 D. 点关于平面对称的点的坐标是 【答案】AC 【解析】 【分析】利用空间向量的对称特征可判定D，利用空间向量平行的充要条件及坐标表示可判定A、B，利用投影向量的概念可判定C. 【详解】对于A，可知，即A正确； 对于B，显然时，恒成立，此时不唯一或者不存在，故B错误； 对于C，向量在向量上的投影向量，故C正确； 对于D，易知点关于平面对称的点的坐标是，故D错误. 故选：AC 11. 已知直三棱柱中，，，点为的中点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 平面 C. 若，则异面直线与所成的角的余弦值为 D. 若三棱柱存在内切球，则 【答案】AB 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，计算的坐标和的坐标即可判断A，计算平面的法向量，计算即可判断B，由分别计算即可判断C，对于D先根据等面积法计算出内切圆的半径，可判断D. 【详解】设， 如图，建立空间直角坐标系， 则. 对于A：， 所以，故A正确； 对于B：， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，所以， 所以，即，又平面，所以平面，故B正确； 对于C：若，，则， 所以， 即异面直线与所成的角的余弦值为，故C错误； 对于D：先设的内切圆半径为，则， 所以， 则若三棱柱存在内切球，则. 故选：AB 三、填空题（本题3小题，每题5分，共15分） 12. 已知函数的图象在点处的切线方程是，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由导数的几何意义可得的值，将点的坐标代入切线方程可得，即可得解. 【详解】由导数的几何意义可得，将点的坐标代入切线方程可得， 因此，. 故答案为：. 13. 在空间直角坐标系中，点到轴的距离为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据空间直角坐标系下点的坐标的特征计算可得. 【详解】点到轴的距离为. 故答案为： 14. 已知抛物线的焦点为，点，在抛物线上，过线段的中点作抛物线的准线的垂线，垂足为，若，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由抛物线的定义，用，表示出，再根据勾股定理和基本不等式求解即可. 【详解】 设，，过点，分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，，如图所示. 由抛物线的定义可得，.因为为线段的中点，所以. 又，所以，所以. 又，所以，当且仅当时取等号，所以，即，所以的最小值为. 故答案为：. 四、解答题（本题5小题，共77分） 15. 在等差数列中，，． （1）求通项公式及其前项和的最小值； （2）若数列为等比数列，且，，求的前项和． 【答案】（1），最小值为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出关于的方程，代入计算，再由等差数列的前项和公式，即可得到结果； （2）根据题意，由等比数列的前项和公式，代入计算，即可得到结果； 【小问1详解】 设等差数列的公差为. 因为，所以，解得， 所以. 所以. 因为，所以当或时取得最小值， 且最小值为. 【小问2详解】 由（1）可得：，， 所以等比数列的公比为， 所以，所以等比数列的前项和. 16. 斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于，两点. （1）求线段的长. （2）为原点，求的面积. 【答案】（1）8 （2） 【解析】 【分析】（1）求出直线方程，与抛物线方程联立，应用韦达定理，结合焦点弦长公式可得结果； （2）利用点到直线的距离公式求出点到直线的距离，然后由三角形的面积公式求解． 【小问1详解】 ∵抛物线的焦点坐标为，直线的斜率为1， ∴直线方程为， 由，得， 设，则， 则由抛物线焦点弦长公式得：． 【小问2详解】 点到直线的距离为， 则的面积． 17. 如图，在底面为正方形的四棱锥中，，面， ， 分别为和的中点， （1）求证： ，，，四点共面； （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明如下： 取的三等分点，，如图所示， 由题意知，，所以， 确定平面，且 ，   在平面中，分别延长和交于点， 所以，则，即， 又在面中，，且，连接并延长交于点， 则，那么有， 所以，为同一点，又点，点， 所以直线与相交，确定平面， ∴，，，四点共面； （2） 【解析】 【分析】（1）取的三等分点，，分别延长和交于点，证明，由此证明，重合，再证明直线与相交，即可证明结论； （2）建立空间直角坐标系，求平面，的法向量，结合向量夹角公式求结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设二面角为， （为锐角）， 设长为，则，，，，，， 因为，所以，则点， 又，， 设平面的法向量为，不妨令， 由，得， 取，可得，， 所以为平面平面的一个法向量， 又，， 设平面的法向量为， 由，得， 取，则，， 所以为平面的一个法向量， 所以， 所以二面角的余弦值为 18. 如图1，矩形中，分别是的中点，分别是线段上的点，且，如图2，将四边形沿翻折，使得平面平面. （1）求证：平面； （2）当直线与所成角的余弦值为时，求线段的长度； （3）当线段最短时，求二面角的正弦值. 【答案】（1） 在矩形中，分别是的中点， 所以和是全等的正方形， 所以. 又因为平面平面， 平面平面平面， 所以平面. 因为平面，所以. 又因为平面， 所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）通过证明即可证得线面垂直； （2）建立空间直角坐标系后写出，再设出点，则，写出，再运用向量夹角公式列出方程，即可求得，继而求得； （3）利用这个二次函数，求出取得最小值时的，则两点确定，再求出两个平面的法向量，利用向量夹角公式求出二面角的余弦值，再转换为正弦值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，. 设，则， 所以，而， 设直线与所成角为， 则， 解得或（舍去）.所以， 所以线段的长度为. 【小问3详解】 因为， 所以当时，线段最短， 此时. 设是平面的一个法向量， 则，即， 取平面的一个法向量为. 设是平面的一个法向量， 则即， 取平面的一个法向量为. 设二面角的平面角为， 则， 所以. 19. 已知是抛物线的焦点，是抛物线的准线与轴的交点，. （1）求抛物线的方程； （2）设为坐标原点，为圆的一条不垂直于轴的直径，分别延长，交抛物线于、两点. ①直线，，的斜率分别为，，，证明：为定值； ②求四边形面积的最小值. 【答案】（1） （2）①设直线的方程为，则直线的方程为， 联立，消得，解得或， 所以， 将用替换，可得， ， 则，， 所以， 所以为定值； ② 【解析】 【分析】（1）由题意求出即可得解； （2）①①设直线的方程为，联立直线与抛物线方程，求出点的坐标，将用替换，可得点的坐标，再根据斜率公式化简即可得证； ②联立直线与圆的方程，求出点的坐标，即可求出，将用替换，可得，再根据四边形的面积化简整理即可得解. 【小问1详解】 由题意可得， 所以抛物线的方程为； 【小问2详解】 ①略 ②联立，消得， 解得或， 所以， 所以， 将用替换，可得， 故四边形的面积 ， 令， 则， 所以， 设， 则， 所以函数在上单调递增， 所以当，即时，取得最小值，最小值为， 所以四边形面积的最小值为. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度高二上学期数学12月月考试卷 一、单项选择题（本题8小题，每题5分，共40分） 1. 已知椭圆的右焦点为，则的长轴长为（ ） A. B. C. D. 2. 在四棱锥中，底面是平行四边形，，则（ ） A. B. C. D. 3. 若直线与直线平行，则与之间的距离是（ ） A. 3 B. 1 C. D. 4 4. 已知复数z满足(是虚数单位)，则z的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 5. 已知在中，，若点为双曲线的两个焦点，且点在上，则的离心率为（ ） A. 7 B. C. D. 6. 若空间向量满足，则在方向上投影的最大值是（　　） A. B. C. D. 7. 已知数列满足，，，若中的第项为奇数，把该项替换成，若第项为偶数，把该项替换成，得到数列，则的前100项和为（ ） A. 1121 B. 1123 C. 3365 D. 3367 8. 已知P为曲线M：上的动点，，，，，则下列说法错误的是（ ） A. B. 面积的最大值为 C. 直线与的斜率之积为定值 D. 当，时， 二、多项选择题（本题3小题，每题6分，共18分） 9. 已知m，且，则下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 给出下列命题，其中正确的是（ ） A. 若空间向量，，且，则实数 B. 若，则存在唯一的实数，使得 C. 若空间向量，，则向量在向量上的投影向量是 D. 点关于平面对称的点的坐标是 11. 已知直三棱柱中，，，点为的中点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 平面 C. 若，则异面直线与所成的角的余弦值为 D. 若三棱柱存在内切球，则 三、填空题（本题3小题，每题5分，共15分） 12. 已知函数的图象在点处的切线方程是，则______. 13. 在空间直角坐标系中，点到轴的距离为__________. 14. 已知抛物线的焦点为，点，在抛物线上，过线段的中点作抛物线的准线的垂线，垂足为，若，则的最小值为______． 四、解答题（本题5小题，共77分） 15. 在等差数列中，，． （1）求通项公式及其前项和的最小值； （2）若数列为等比数列，且，，求的前项和． 16. 斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于，两点. （1）求线段的长. （2）为原点，求的面积. 17. 如图，在底面为正方形的四棱锥中，，面， ， 分别为和的中点， （1）求证： ，，，四点共面； （2）求二面角的余弦值. 18. 如图1，矩形中，分别是的中点，分别是线段上的点，且，如图2，将四边形沿翻折，使得平面平面. （1）求证：平面； （2）当直线与所成角的余弦值为时，求线段的长度； （3）当线段最短时，求二面角的正弦值. 19. 已知是抛物线的焦点，是抛物线的准线与轴的交点，. （1）求抛物线的方程； （2）设为坐标原点，为圆的一条不垂直于轴的直径，分别延长，交抛物线于、两点. ①直线，，的斜率分别为，，，证明：为定值； ②求四边形面积的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $