精品解析：甘肃武威第十七中学等校2025-2026学年第一学期八年级数学期末质量检测试卷

2025-2026学年第一学期八年级数学期末质量检测试卷 一、选择题（共30分，每小题3分，每小题四个选项中只有一个是正确的） 1. 已知，如图，以为边的三角形的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的认识，不重不漏的写出所有的三角形是解题的关键． 根据三角形的概念、结合图形写出以为边的三角形． 【详解】解：由图可得，以为边的三角形有，，，，一共有4个． 故选：D． 2. 如图，在中，AD，AE分别是边BC上的中线和高，点在点的左侧，已知，，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形面积及中线的性质，根据面积及高求出底边，再利用中线的性质解决问题是解题的关键．根据三角形的面积及高求得底边的值，再利用中线的性质即可求得结果． 【详解】解：由题意得， ， ， 又为的中线， ， ， ， 故选：B． 3. 如图，若，点E在AB上，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质，由三角形内角和定理求出，再根据全等三角形的性质得到，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 4. 如图，动点C与线段构成，其边长满足，，．点D在的平分线上，且，的面积的最大值为（　　） A. B. C. 9 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识，正确作出辅助线是解题关键． 延长交于点，首先利用“”证明，由全等三角形的性质可得，进而可求得，结合三角形中线的性质知，确定面积的最大值，即可获得答案． 【详解】解：如下图，延长交于点， ∵为的平分线， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 当时，的面积取最大值， 即， ， 故选：A． 5. 已知一个等腰三角形的两边长分别是和，且满足：，则该等腰三角形的周长是（ ） A. B. 或 C. D. 以上都不正确 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘多项式的运算、等腰三角形的定义与性质、三角形的三边关系，掌握二项式乘二项式的展开技巧及等腰三角形的定义与性质是解题关键．通过展开等式确定 和 的值，再根据等腰三角形的性质分类讨论可能的情况，并利用三角形三边关系验证即可得出答案． 【详解】∵ ， ∴ ， ∴ 等腰三角形的两边长为 和． 当腰长为 时，底边为 ，三边为，，， ∵， ， ， ∴ 满足三角形三边关系，周长为． 当腰长为 时，底边为 ，三边为 ，， ， ∵，，， ∴ 满足三角形三边关系，周长为 ． ∴ 该等腰三角形的周长为 或， 故选 B． 6. 下列各式中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方，单项式的除法． 逐一计算后判断即可． 【详解】解：A：不是同类项，不能合并，原计算错误； B：当时，，当时，原式无意义，原计算错误； C：，原计算错误； D：当且时，，原计算正确； 故选：D． 7. 将多项式分解因式为：，则（ ） A. 2025 B. 1225 C. 625 D. 225 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，多项式乘多项式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 通过比较因式分解后的系数，求出p和q的值，然后计算． 【详解】解：， ∴，， 解得，， ∴． 故选：A． 8. 若为正整数，则下列各数中，一定能整除的是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查因式分解及数的特征，熟练掌握因式分解的应用以及正整数的特征是解题的关键． 先因式分解可得，即三个连续正整数的乘积．三个连续正整数中必有一个是2的倍数，一个3的倍数，因此乘积必是6的倍数． 【详解】∵， ∴是三个连续正整数， ∴ 其中必有一个是2的倍数，一个是3的倍数， ∴必是6的倍数， ∴ 一定能整除的是6． 故选B． 9. 某社区组织居民去距离社区的环保主题公园参加环保宣传活动，一部分居民骑共享单车先出发，后其余居民骑共享电动车出发，结果同时到达．已知共享电动车的速度是共享单车速度的3倍，设共享单车的速度为，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，解题的关键是根据路程、速度、时间的关系，结合共享单车和共享电动车行驶时间的差异列出方程． 先分别表示出共享单车和共享电动车行驶所需的时间，再根据共享单车先出发（换算为小时）且同时到达，得出两者时间差的等式． 【详解】解：设共享单车的速度为，则共享电动车的速度为， 根据题意可得方程：，即． 故选：B． 10. 如图，在中，，是边上的高，是边的中线，是的角平分线，交于点，交于点．下面说法正确的是（ ） ①的面积是面积的一半；②；③；④． A. ①②③④ B. ①② C. ①③ D. ①④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形的中线性质，三角形的高，三角形内角和定理等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键． 根据三角形的中线性质判断①，根据三角形的内角和定理求出，可判断④；根据三角形的内角和定理求出，再根据等腰三角形的判定判断③；根据等腰三角形的判定判断②，进而可得答案． 【详解】解：是边的中线， 的面积是面积的一半，故①正确； 根据已知不能推出，即不能推出，故②错误； 是边上的高， ， ， ，， ， 是的角平分线， ，， ，故④错误； 在和中，，， ，， ， ，故③正确； 综上，说法正确的是①③， 故选：C． 二、填空题（共24分，每小题3分） 11. 若等腰三角形的周长为10，其中一边长为4，则腰长为__________． 【答案】3或4 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件，分两种情况讨论：当边长为4的边为腰时和当边长为4的边为底边时，根据等腰三角形的定义和三角形三边关系进行求解即可． 【详解】解：当腰长为4时，则底边长为，此时三边长分别为4，4，2， ∵， ∴此时能构成三角形，符合题意； 当底边长为4时，腰长为，此时三边长分别为3，3，4， ∵ ∴此时能构成三角形，符合题意； 综上所述，该等腰三角形的腰长为3或4， 故答案为：3或4． 12. 如图，，若，则__________． 【答案】##70度 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键．根据全等三角形的对应角相等，结合三角形的内角和定理，即可获得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 如图，中，D是中点，过D作于点E，的垂直平分线分别交，于F，G，且．若，，则长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，先倍长中线法证明得出，，进而得出，证明是等腰直角三角形，得出，，进而根据线段的和差关系即可求解． 【详解】解：如图，延长至，使得，连接，，， ∵是的中点， ∴， 又∵ ∴ ∴， ∴ ∵， ∴ ∵垂直平分， ∴， ∴，是等腰直角三角形， ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形， 又∵ ∴ ∴ ∴， ∵ ∴ 故答案为：． 14. 当时，则________． 【答案】81 【解析】 【分析】此题考查了幂的乘方和同底数幂的乘法，熟练掌握幂的乘方和同底数幂的乘法的运算法则是关键． 将27和9分别化为以3为底的幂，利用幂的乘方和同底数幂的乘法法则，结合已知条件求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵ ， ∴ ， ∴， 故答案为：81 15. 计算的结果是_______． 【答案】2026 【解析】 【分析】先提取公因数2026，再利用乘法分配律简化计算． 本题主要考查利用因式分解进行简便运算,熟练掌握提公因式法分解因式是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 故答案为：2026． 16. 因式分解___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的提公因式法与公式法，熟练掌握提公因式法和平方差公式是解题的关键．先提取多项式中的公因式，再对剩余部分使用平方差公式进行分解． 【详解】解： ， 故答案为：． 17. 若分式有意义，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，即分母不为零，由此列不等式求解即可． 【详解】解：根据题意得到，， 解得，， 故答案为：． 18. ，其中，且取整数，求所有符合条件的的分式值之和是_______ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式化简的步骤和分式的运算法则． 对分式进行化简，然后确定的取值，最后代入求值即可． 【详解】解： 的整数值可取， ∵， ∴， ∴或， 当时，； 当时，； ∴， 故答案为：． 三、解答题（共66分） 19. 如下图，在由边长为1的小正方形组成的网格中有一个．请仅用无刻度的直尺，完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）． （1）作关于直线对称的； （2）在直线上找一点P，使得最短． 【答案】（1）如图所示，即为所求． （2） 如图所示，点P即为所求． 【解析】 【分析】本题考查作轴对称图形以及轴对称的性质； （1）分别作出三个顶点关于直线的对称点，再首尾顺次连接即可； （2）连接，与直线的交点即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵和关于对称， ∴， ∴， 当三点在一条直线上时最短为． 20. 计算 （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查乘方，零的指数幂以及分式的运算，熟练掌握其运算法则，正确的计算，是解题的关键． （1）先计算乘方，零的指数幂，再算乘除，最后算加减即可； （2）先计算乘方，再算乘除即可． 【小问1详解】 解：原式． 【小问2详解】 解： ． 21. 如图，在中，是高，是角平分线，，相交于点，且，． （1）求的度数； （2）求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形角平分线的定义，直角三角形的两个锐角互余，理解三角形的高与底边垂直是解题关键． （1）利用高的定义得到直角，结合直角三角形两锐角互余求出； （2）根据，求出，再结合直角三角形两锐角互余求出，然后利用角平分线定义和三角形内角和定理，即可求出． 【小问1详解】 解：在中，是高， ， ， ． 答：． 【小问2详解】 解：由（1）知，， ， ， ， 平分， ， ． 答：． 22. 如图，在四边形中，，，连接，点在边上，连接并延长，交的延长线于点，交于点，连接，已知，． （1）求证：； （2）若，求证：． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， 又， ∴； （2） 证明：由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解答本题的关键． （1）首先推导出，然后根据证出； （2）求出，证，推出，即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 如图，点P为内一点，于点A，于点B，连接交于点E，． （1）求证：是的垂直平分线； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴点O、P均在的垂直平分线上， 即是的垂直平分线． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定与性质，垂直平分线的判定和性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． （1）先得出，再根据垂直平分线的判定即可得证； （2）先得出是等边三角形，再利用垂直平分线的性质，勾股定理和三角形的面积公式，进行计算即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴是等边三角形， ∴． ∵是的垂直平分线， ∴， 则， ∴． 答：的面积为． 24. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算，代数式求值，掌握相关运算法则是解题的关键． 先根据整式的混合运算法则，进行计算，化简后，再代值计算即可． 【详解】解：原式 将，代入上式， 得． 25. 已知． （1）求和的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查的是幂的乘方运算，同底数幂的除法运算，利用平方差公式分解因式，二元一次方程组的解法，求解代数式的值，熟记幂的乘方运算法则与平方差公式是解本题的关键． （1）由条件可得，，可得，； （2）把左边分解因式可得，再把代入可得，再建立方程组求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴，， ∴，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， 联立得， 解得， ∴． 26. 京藏高速某高速收费站，人工收费通道和通道同时开放．已知通道每小时通过的车辆数是人工收费通道的2.5倍，通过1200辆车时，通道比人工收费通道少用3小时，求人工收费通道和通道每小时分别通过多少辆车． 【答案】人工收费通道每小时通过240辆车，通道每小时通过600辆车 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是正确理解题意，设出未知数，找到等量关系． 设人工收费通道每小时通过辆车，则通道每小时通过辆车；根据通过1200辆车时通道比人工收费通道少用3小时，列出方程求解． 【详解】解：设人工收费通道每小时通过辆车，则通道每小时通过辆车 由题意， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则 答：人工收费通道每小时通过240辆车，通道每小时通过600辆车． 27. 如图1，是的角平分线，于点E，于点F，于点G． （1）求证； （2）如图2，连接交于点H，延长至点M，使得，连接．求证； （3）若，求的值． 【答案】（1） 证明：∵是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴ （2） 证明：∵平分，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴（等腰三角形三线合一）， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 又∵， ∴， 即， ∴， ∴ （3） 【解析】 【分析】（1）由题意得，，根据三角形内角和定理可得． （2）根据角平分线的性质可得，再根据可得，则可得，根据等腰三角形三线合一可得，又由，可得，则可得，进而可得，进而可得． （3）延长交于I点，连接，过A点作于N点，由可得．设，，则．证明，则可得，，从而可得，，，，则可得，，，从而可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：延长交于I点，连接，过A点作于N点， ∵，，， ∴， 设，，则， 在和中， ，， ∴， ∴，， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ， ∴， 即， ∴． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识，正确的作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期八年级数学期末质量检测试卷 一、选择题（共30分，每小题3分，每小题四个选项中只有一个是正确的） 1. 已知，如图，以为边的三角形的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 如图，在中，AD，AE分别是边BC上的中线和高，点在点的左侧，已知，，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 如图，若，点E在AB上，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，动点C与线段构成，其边长满足，，．点D在的平分线上，且，的面积的最大值为（　　） A. B. C. 9 D. 5. 已知一个等腰三角形的两边长分别是和，且满足：，则该等腰三角形的周长是（ ） A. B. 或 C. D. 以上都不正确 6. 下列各式中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 将多项式分解因式为：，则（ ） A. 2025 B. 1225 C. 625 D. 225 8. 若为正整数，则下列各数中，一定能整除的是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 9 9. 某社区组织居民去距离社区的环保主题公园参加环保宣传活动，一部分居民骑共享单车先出发，后其余居民骑共享电动车出发，结果同时到达．已知共享电动车的速度是共享单车速度的3倍，设共享单车的速度为，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，是边上的高，是边的中线，是的角平分线，交于点，交于点．下面说法正确的是（ ） ①的面积是面积的一半；②；③；④． A. ①②③④ B. ①② C. ①③ D. ①④ 二、填空题（共24分，每小题3分） 11. 若等腰三角形的周长为10，其中一边长为4，则腰长为__________． 12. 如图，，若，则__________． 13. 如图，中，D是中点，过D作于点E，的垂直平分线分别交，于F，G，且．若，，则长为_____． 14. 当时，则________． 15. 计算的结果是_______． 16. 因式分解___________ 17. 若分式有意义，则实数的取值范围是___________． 18. ，其中，且取整数，求所有符合条件的的分式值之和是_______ 三、解答题（共66分） 19. 如下图，在由边长为1的小正方形组成的网格中有一个．请仅用无刻度的直尺，完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）． （1）作关于直线对称的； （2）在直线上找一点P，使得最短． 20. 计算 （1） （2）． 21. 如图，在中，是高，是角平分线，，相交于点，且，． （1）求的度数； （2）求的度数． 22. 如图，在四边形中，，，连接，点在边上，连接并延长，交的延长线于点，交于点，连接，已知，． （1）求证：； （2）若，求证：． 23. 如图，点P为内一点，于点A，于点B，连接交于点E，． （1）求证：是的垂直平分线； （2）若，，求的面积． 24. 先化简，再求值：，其中，． 25. 已知． （1）求和的值； （2）已知，求的值． 26. 京藏高速某高速收费站，人工收费通道和通道同时开放．已知通道每小时通过的车辆数是人工收费通道的2.5倍，通过1200辆车时，通道比人工收费通道少用3小时，求人工收费通道和通道每小时分别通过多少辆车． 27. 如图1，是的角平分线，于点E，于点F，于点G． （1）求证； （2）如图2，连接交于点H，延长至点M，使得，连接．求证； （3）若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $