1.3.3 完全平方公式的认识同步练习2025-2026学年北师大版数学七年级下册

1.3 乘法公式 第3课时 完全平方公式的认识 一、选择题 1．下列计算正确的是( ) A．(－2a－1)2＝－4a2－4a＋1 B．(2a＋1)2＝4a2＋1 C．(－a－1)2＝－a2－2a＋1 D．(2a－1)2＝4a2－4a＋1 2．下列运算：①(3x＋y)2＝9x2＋y2；②(a－2b)2＝a2－4b2；③(－x－y)2＝x2＋2xy＋y2； ④＝x2－2x＋.其中，运算错误的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，小颖将阴影部分的面积用两种不同的方法表示，能验证的等式是( ) A.(a－b)2＝a2－2ab＋b2 B．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 C．(a＋b)(a－b)＝a2－b2 D．b(a－b)＝ab－b2 4．已知a＋＝3，则a2＋的值是(　　) A．4　　 B．9 　　C．7　　 D．6 5．小华在利用完全平方公式计算时，墨迹将结果“＝4x2＋25y2”中的一项染黑了，则墨迹覆盖的这一项及其符号可能是(　　) A．＋10xy　　B．＋10xy或－10xy C．＋20xy　　D．＋20xy或－20xy 6．对于任意有理数x，y，现用*定义一种运算：a*b＝a2－b2.根据这个定义，代数式(x＋y)*y可以化简为(　　) A．xy＋x2　　B．xy－y2 C．x2＋2xy　　D．x2 7．如图，长方形ABCD的周长是10，以AB，AD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和正方形ADGH的面积之和为17，那么长方形ABCD的面积是(　　)  A．3　　 B．4　　 C．5　　　 D．6 8．已知(x－2025)2＋(x－2027)2＝34，则(x－2026)2的值是(　　) A．4　 　B．8　 　C．12　　 D．16 9．若x满足(x－2026)(2027－x)＝0.25，则(x－2 026)2＋(2 027－x)2＝(　　) A．0.25　　 B．0.5 C．1　 D．－0.25 二、填空题 10．计算： (1)(a＋3)2＝__________________； (2)(5＋3p)2＝__________________； (3)(2x－7y)2＝_____________________． 11．若(x－y)2＝(x＋y)2＋a，则a＝____________． 12．若(2x－ky)2＝4x2＋12xy＋9y2，则k的值为________． 13．已知(3a－m)2＝9a2＋3a＋，则m＝__________． 14．若a，k为整数，且不论x取何值，关于x的整式(x＋a)2和x2＋(k＋2)x＋9的值都相等，则k的值为_______． 15．如图，C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝9，两正方形的面积和S1＋S2＝45，则图中阴影部分的面积为______． 16．我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下了《详解九章算法》，书中记载的图表给出了(a＋b)n展开式的系数规律． 则代数式x4－12x3＋54x2－108x＋81的值为1时，x的值为_________． 三、解答题 17．利用完全平方公式计算： (1)(m－2ab)2. (2)(－3x＋)2. (3)(a－b2)2； (4)(－x2－4y)2. 18．已知(a＋b)2＝17，(a－b)2＝13.求： (1)a2＋b2的值； (2)4a2－3ab＋4b2的值． 19．已知a＝x＋20，b＝x＋23，c＝x＋24，求代数式2(a2＋b2＋c2－ab－bc－ac)的值. 20．我们知道，(a－b)2≥0， 由乘法公式，得a2－2ab＋b2≥0， 移项，得a2＋b2≥2ab， 即：当a＝b时，a2＋b2＝2ab；当a≠b时，a2＋b2＞2ab. (1)由此可知，代数式x2＋≥_______；(填常数) (2)同一价格的一种商品在三个商场都进行了两次价格调整，甲商场：第一次提价的百分率为a，第二次提价的百分率为b；乙商场：两次提价的百分率都是；丙商场：第一次提价的百分率为b，第二次提价的百分率为a(其中a＞0，b＞0，a≠b)，则哪个商场提价最多？说明理由． 21．【阅读】求x2＋6x＋11的最小值． 解：x2＋6x＋11＝x2＋6x＋9＋2＝(x＋3)2＋2. 因为(x＋3)2的值为非负数，所以(x＋3)2＋2的最小值为2，即x2＋6x＋11的最小值为2. 【问题解决】 (1)对于多项式x2＋y2－2x＋2y＋5，当x，y取何值时有最小值？最小值为多少？ (2)若多项式m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0，求mn的值． (3)多项式－x2＋10x－36是否有最值？若有，则求出最值；若没有，请说明理由． 22．阅读下面的材料： 若a＋＝2，则＝a2＋2·a·＋＝4，所以a2＋＝4－2·a·＝4－2＝2，所以a4＋＝－2·a2·＝4－2＝2. 解决下列问题： (1)若a＋＝n，则a2＋＝________，a4＋＝__________.(用含n的式子表示) (2)若a＋＝2，下列等式： ①＋＋…＋＝2n； ②＋＋…＋＝2n. 有且仅有一个成立(n为自然数)，请判断，并说明理由． 参考答案 一、选择题 1．下列计算正确的是( ) A．(－2a－1)2＝－4a2－4a＋1 B．(2a＋1)2＝4a2＋1 C．(－a－1)2＝－a2－2a＋1 D．(2a－1)2＝4a2－4a＋1 【答案】D 2．下列运算：①(3x＋y)2＝9x2＋y2；②(a－2b)2＝a2－4b2；③(－x－y)2＝x2＋2xy＋y2； ④＝x2－2x＋.其中，运算错误的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 3．如图，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，小颖将阴影部分的面积用两种不同的方法表示，能验证的等式是( ) A.(a－b)2＝a2－2ab＋b2 B．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 C．(a＋b)(a－b)＝a2－b2 D．b(a－b)＝ab－b2 【答案】A 4．已知a＋＝3，则a2＋的值是(　　) A．4　　 B．9 　　C．7　　 D．6 【答案】C 5．小华在利用完全平方公式计算时，墨迹将结果“＝4x2＋25y2”中的一项染黑了，则墨迹覆盖的这一项及其符号可能是(　　) A．＋10xy　　B．＋10xy或－10xy C．＋20xy　　D．＋20xy或－20xy 【答案】D 6．对于任意有理数x，y，现用*定义一种运算：a*b＝a2－b2.根据这个定义，代数式(x＋y)*y可以化简为(　　) A．xy＋x2　　B．xy－y2 C．x2＋2xy　　D．x2 【答案】C 7．如图，长方形ABCD的周长是10，以AB，AD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和正方形ADGH的面积之和为17，那么长方形ABCD的面积是(　　)  A．3　　 B．4　　 C．5　　　 D．6 【答案】B 【解析】因为正方形ABEF和正方形ADGH的面积之和为17，所以AB2＋AD2＝17.因为长方形ABCD的周长是10，所以AB＋AD＝×10＝5，所以(AB＋AD)2＝25，所以AB2＋AD2＋2AB·AD＝25，所以17＋2AB·AD＝25，所以AB·AD＝4.所以长方形ABCD的面积是4. 8．已知(x－2025)2＋(x－2027)2＝34，则(x－2026)2的值是(　　) A．4　 　B．8　 　C．12　　 D．16 【答案】D 9．若x满足(x－2026)(2027－x)＝0.25，则(x－2 026)2＋(2 027－x)2＝(　　) A．0.25　　 B．0.5 C．1　 D．－0.25 【答案】B 【解析】(x－2 026)2＋(2 027－x)2＝(x－2 026＋2 027－x)2－2(x－2 026)(2 027－x)＝1－2×0.25＝0.5. 二、填空题 10．计算： (1)(a＋3)2＝__________________； (2)(5＋3p)2＝__________________； (3)(2x－7y)2＝_____________________． 【答案】a2＋6a＋9 25＋30p＋9p2 4x2－28xy＋49y2 11．若(x－y)2＝(x＋y)2＋a，则a＝____________． 【答案】－4xy 12．若(2x－ky)2＝4x2＋12xy＋9y2，则k的值为________． 【答案】－3 13．已知(3a－m)2＝9a2＋3a＋，则m＝__________． 【答案】－ 14．若a，k为整数，且不论x取何值，关于x的整式(x＋a)2和x2＋(k＋2)x＋9的值都相等，则k的值为_______． 【答案】－8或4 15．如图，C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝9，两正方形的面积和S1＋S2＝45，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】9 16．我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下了《详解九章算法》，书中记载的图表给出了(a＋b)n展开式的系数规律． 则代数式x4－12x3＋54x2－108x＋81的值为1时，x的值为_________． 【答案】4或2 三、解答题 17．利用完全平方公式计算： (1)(m－2ab)2. 解：原式＝m2－4abm＋4a2b2 (2)(－3x＋)2. 解：原式＝9x2－3x＋ (3)(a－b2)2； 解：原式＝a2－ab2＋b4 (4)(－x2－4y)2. 解：原式＝x4＋8x2y＋16y2 18．已知(a＋b)2＝17，(a－b)2＝13.求： (1)a2＋b2的值； (2)4a2－3ab＋4b2的值． 解：(1)因为(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2＝17，① (a－b)2＝a2－2ab＋b2＝13，② 所以①＋②，得2(a2＋b2)＝30. 所以a2＋b2＝15. (2)①－②，得4ab＝4， 即ab＝1. 所以4a2－3ab＋4b2＝4(a2＋b2)－3ab＝4×15－3×1＝57. 19．已知a＝x＋20，b＝x＋23，c＝x＋24，求代数式2(a2＋b2＋c2－ab－bc－ac)的值. 解：原式＝(a2－2ab＋b2)＋(a2－2ac＋c2)＋(b2－2bc＋c2)＝(a－b)2＋(a－c)2＋(b－c)2. 由题意可得a－b＝－3，a－c＝－4，b－c＝－1， 所以原式＝9＋16＋1＝26. 20．我们知道，(a－b)2≥0， 由乘法公式，得a2－2ab＋b2≥0， 移项，得a2＋b2≥2ab， 即：当a＝b时，a2＋b2＝2ab；当a≠b时，a2＋b2＞2ab. (1)由此可知，代数式x2＋≥_______；(填常数) 【答案】2 (2)同一价格的一种商品在三个商场都进行了两次价格调整，甲商场：第一次提价的百分率为a，第二次提价的百分率为b；乙商场：两次提价的百分率都是；丙商场：第一次提价的百分率为b，第二次提价的百分率为a(其中a＞0，b＞0，a≠b)，则哪个商场提价最多？说明理由． 解：(2)设原价为单位“1”，则两次调价后甲商场的价格为(1＋a)(1＋b)，乙商场的价格为，丙商场的价格为(1＋b)(1＋a)， (1＋a)(1＋b)＝1＋a＋b＋ab， 2＝1＋a＋b＋， 因为a≠b，所以a2＋b2＞2ab. 所以＞＝ab. 所以乙商场提价最多． 21．【阅读】求x2＋6x＋11的最小值． 解：x2＋6x＋11＝x2＋6x＋9＋2＝(x＋3)2＋2. 因为(x＋3)2的值为非负数，所以(x＋3)2＋2的最小值为2，即x2＋6x＋11的最小值为2. 【问题解决】 (1)对于多项式x2＋y2－2x＋2y＋5，当x，y取何值时有最小值？最小值为多少？ 解：x2＋y2－2x＋2y＋5＝x2－2x＋12＋y2＋2y＋12＋ 3＝(x－1)2＋(y＋1)2＋3.因为(x－1)2和(y＋1)2的结果都为非负数，所以当x＝1，y＝－1时，(x－1)2＋(y＋1)2＋3的最小值为3，即x2＋y2－2x＋2y＋5的最小值为3. (2)若多项式m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0，求mn的值． 解：因为m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0， 所以m2＋2mn＋n2＋n2－6n＋9＝0， 所以(m＋n)2＋(n－3)2＝0. 因为(m＋n)2与(n－3)2的值都是非负数， 所以m＋n＝0，n－3＝0. 所以m＝－3，n＝3.所以mn＝－9. (3)多项式－x2＋10x－36是否有最值？若有，则求出最值；若没有，请说明理由． 解：有最大值．－x2＋10x－36＝－(x2－10x＋36)＝－(x2－10x＋25＋11)＝－(x－5)2－11. 因为(x－5)2≥0，所以－(x－5)2≤0. 所以－(x－5)2－11≤－11. 所以多项式－x2＋10x－36有最大值，最大值是－11. 22．阅读下面的材料： 若a＋＝2，则＝a2＋2·a·＋＝4，所以a2＋＝4－2·a·＝4－2＝2，所以a4＋＝－2·a2·＝4－2＝2. 解决下列问题： (1)若a＋＝n，则a2＋＝________，a4＋＝__________.(用含n的式子表示) 【答案】n2－2 n4－4n2＋2 【解析】因为a＋＝n，所以＝n2，则a2＋＝－2·a·＝n2－2， 所以＝(n2－2)2＝n4－4n2＋4，所以a4＋＝－2·a2·＝n4－4n2＋2. (2)若a＋＝2，下列等式： ①＋＋…＋＝2n； ②＋＋…＋＝2n. 有且仅有一个成立(n为自然数)，请判断，并说明理由． 解：①成立．理由：由(1)得，若a＋＝2，则a2＋＝2，a4＋＝2，所以a2n＋＝2，故＋＋…＋＝2＋2＋…＋2＝2n. www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $