精品解析：天津市蓟州区上仓中学2025-2026学年高二上学期阶段性练习（二）数学试卷

上仓中学2025—2026学年度第一学期高二年级数学阶段性练习（二） 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 试卷满分120分.考试时间100分钟. 第Ⅰ卷 一、选择题（共12题，每题4分，共48分） 1. 圆与圆的位置关系是 A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 相离 【答案】B 【解析】 【分析】由题意结合圆的方程确定两圆的位置关系即可. 【详解】题中所给圆的方程的标准方程为：，， 圆心坐标为：，半径为， 圆心距：，由于，故两圆相交. 本题选择B选项. 【点睛】(1)判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法． (2)当两圆相交时求其公共弦所在的直线方程或是公共弦长，只要把两圆方程相减消掉二次项所得方程就是公共弦所在的直线方程，再根据其中一个圆和这条直线就可以求出公共弦长． 2. 已知双曲线的一条渐近线为，且一个焦点坐标是，则双曲线的标准方程是（ ） A. =1 B. =1 C. =1 D. =1 【答案】B 【解析】 【分析】根据焦点位置及渐近线方程直接写出双曲线方程即可. 【详解】由题设，双曲线实轴为x轴，且渐近线为， ∴双曲线的标准方程是. 故选：B 3. 已知等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 40 B. 70 C. 90 D. 100 【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列的前项和分别求出首项和公差，代入公式即可求解. 【详解】设等差数列的首项为，公差为， 因为，，所以，解得：， 所以， 故选：. 4. 已知过点的直线与圆相切，且与直线平行，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据垂直关系设切线方程，再根据圆心到切线距离等于半径列式解得结果. 【详解】因为切线与直线平行，所以切线方程可设为 因为切线过点P(2，2)，所以 因为与圆相切，所以 故选：C 5. 已知直线与圆交于，两点，则线段的长度为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出圆心到直线的距离，然后根据弦的一半，圆心到直线的距离，半径构成直角三角形，用勾股定理解决. 【详解】的圆心为，半径 圆心到直线的距离为，则 . 故选：C 6. 等比数列中，若，是方程的两根，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 首先得到根与系数的关系，再根据等比数列的性质求值. 【详解】由条件可知，， 由等比数列的性质可知，所以. 故选：B 7. 已知抛物线上一点的纵坐标为4，则点到抛物线焦点的距离为 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：抛物线焦点在轴上，开口向上，所以焦点坐标为，准线方程为，因为点A的纵坐标为4，所以点A到抛物线准线的距离为，因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，所以点A与抛物线焦点的距离为5. 考点：本小题主要考查应用抛物线定义和抛物线上点的性质抛物线上的点到焦点的距离，考查学生的运算求解能力. 点评：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，这条性质在解题时经常用到，可以简化运算. 8. 已知直线和直线互相平行，则a的值是（ ） A. 0 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由两直线平行直接列方程求解即可. 【详解】由题意可知， 因为直线和直线互相平行， 所以，解得， 故选：B 9. 已知数列是公差不为零的等差数列，若，且（），设，则数列的前n项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列的基本量运算得，进而得，利用裂项相消法求和即可. 【详解】数列是公差不为零的等差数列，设公差为， ，解得， 所以， 所以， 所以数列的前n项和. 故选：A. 10. 下列命题中正确的个数为（ ） ①直线的一个方向向量为②双曲线的渐近线方程为 ③椭圆的长轴长为 ④圆的半径为 . A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由直线的斜率，结合直线的方向向量的概念，可判定①正确的；由双曲线方程，求得的值，得出渐近线的方程，可判定②不正确；由椭圆方程，求得的值，可判定③不正确；化为圆的标准方程，可判定④正确. 【详解】对于①中，由直线的斜率为，所以直线的一个方向向量为，所以是正确的； 对于②中，由双曲线，可得，所以其渐近线方程为，所以不正确； 对于③中，由椭圆，可得，所以其长轴长为，所以不正确； 对于④中，由圆，可得，所以圆的半径为， 所以是正确. 故选：B. 11. 三个实数构成一个等比数列，则圆锥曲线的离心率为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】 根据三个实数构成一个等比数列，解得，然后分，讨论求解. 【详解】因为三个实数构成一个等比数列， 所以，解得， 当时，方程表示焦点在x轴上的椭圆， 所以， 所以， 当时，方程表示焦点在y轴上的双曲线， 所以， 所以， 故选：D 12. 在等差数列中，若，且前n项和有最大值，则使得的最大值n为（ ） A. 15 B. 16 C. 17． D. 18 【答案】A 【解析】 【分析】 由题可得，则，可判断，，即可得出结果. 【详解】前n项和有最大值，， ，，， ，， 使得的最大值n为15. 故选：A. 【点睛】本题考查等差数列前n项和的有关判断，解题的关键是得出. 二、填空题（每空4分，共20分） 13. 抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出抛物线的焦点坐标，再求出双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式即可求解. 【详解】抛物线的焦点为，双曲线的渐近线方程为， 利用点到直线的距离公式可得：， 故答案为：. 14. 已知椭圆的离心率为，直线l与椭圆C交于A，B两点且线段AB的中点为，则直线l的斜率为________. 【答案】 【解析】 【分析】由椭圆离心率和关系可得关系，再由点差法和中点坐标公式、两点的斜率公式可得所求值. 【详解】解：由题意可得，整理可得， 设，则， 两式相减可得， 的中点为，， 则直线斜率. 故答案为：. 15. 设等差数列，的前项和分别为，，都有，则的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用等差数列的性质与前项和公式即可得解. 【详解】因为，所以 . 故答案为：. 16. 已知是数列的前项和，，则________；若，则________. 【答案】 ①. ②. 218 【解析】 【分析】根据题意得到，两式作差得到再检验首项即可得到结果；当时，当时，，将代入第二个式子即可得到答案. 【详解】，则， 两式作差得到，当时成立，故得到； 当时， ， 当时， 故得到：，. 故答案为：；. 三、解答题（共4题，共52分） 17. 如图，在四棱锥，平面，底面是直角梯形，其中，，,，为棱上的点，且. （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成夹角的正弦值； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明：由平面，平面，则，又， 所以两两垂直，构建如下空间直角坐标系， 则， 故，，， 令是面的一个法向量，则，取，则， 显然，故平面； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据已知证明两两垂直，构建空间直角坐标系，应用向量法证明线面垂直； （2）（3）向量法求面面角正弦值、点面距离即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1），，， 若是面的一个法向量，则，取，则， 所以，则平面与平面所成夹角的正弦值为. 【小问3详解】 由（1），，则点到平面的距离. 18. 已知圆C经过和两点，圆心在直线上． （1）求圆C的方程． （2）过原点的直线l与圆C交于M，N两点，若，求直线l的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）求出AB中垂线方程，将直线方程与直线联立，求出交点得出圆心，再由两点间的距离公式求出半径，从而得出圆的方程. （2）讨论直线率不存在或直线l斜率存在，利用点到直线的距离求出参数即可求解. 【小问1详解】 因为，AB中点为， 所以AB中垂线方程为， 即，解方程组 得 所以圆心C为．根据两点间的距离公式，得半径， 因此，所求的圆C的方程为． 【小问2详解】 ①当直线率不存在时，方程，代入圆C方程得， 解得或，此时，符合． ②当直线l斜率存在时，设方程为，则圆心到直线l的距离， 又因为，所以， 即，解得，直线方程为， 综上，直线l方程为或． 19. 已知椭圆的离心率为，点在椭圆上． （1）求椭圆的方程； （2）已知直线与椭交于两点，点的坐标为，且，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由椭圆的离心率及椭圆经过点列出关于方程组，求解即得； （2）设，，联立直线与椭圆方程，将转化为形式，再利代入韦达定理求解即可. 【小问1详解】 ∵椭圆的离心率，且过点， ∴，解得， ∴椭圆的方程为. 【小问2详解】 设. 联立，得. ∴，即， ∴，， ∴ ∵， ∴，整理得， 解得，满足， 所以. 20. 已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，公比大于0，且，，. （1）求和的通项公式； （2）求数列的前n项和. 【答案】（1）， （2）前项和 【解析】 【分析】（1）根据等比数列的通项公式可计算得到公比的值，再根据等差数列的通项公式和求和公式可列出方程组，解出首项和公差的值，即可求得和的通项公式； （2）先根据第（1）题的结论得到数列的通项公式，然后运用错位相减法求出前项和． 【小问1详解】 由题意，设等差数列的公差为，等比数列的公比为，则． 故，解得，，则， ， 由题意，得，解得． ；． 【小问2详解】 由（1）知，．设其前项和为， ，① ，② ①②，得 ． ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上仓中学2025—2026学年度第一学期高二年级数学阶段性练习（二） 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 试卷满分120分.考试时间100分钟. 第Ⅰ卷 一、选择题（共12题，每题4分，共48分） 1. 圆与圆的位置关系是 A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 相离 2. 已知双曲线的一条渐近线为，且一个焦点坐标是，则双曲线的标准方程是（ ） A. =1 B. =1 C. =1 D. =1 3. 已知等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 40 B. 70 C. 90 D. 100 4. 已知过点的直线与圆相切，且与直线平行，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 5. 已知直线与圆交于，两点，则线段的长度为（ ） A. B. 2 C. D. 6. 等比数列中，若，是方程的两根，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 7. 已知抛物线上一点的纵坐标为4，则点到抛物线焦点的距离为 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 已知直线和直线互相平行，则a的值是（ ） A. 0 B. 2 C. D. 9. 已知数列是公差不为零的等差数列，若，且（），设，则数列的前n项和为（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题中正确的个数为（ ） ①直线的一个方向向量为②双曲线的渐近线方程为 ③椭圆的长轴长为 ④圆的半径为 . A. B. C. D. 11. 三个实数构成一个等比数列，则圆锥曲线的离心率为（ ） A. B. C. 或 D. 或 12. 在等差数列中，若，且前n项和有最大值，则使得的最大值n为（ ） A. 15 B. 16 C. 17． D. 18 二、填空题（每空4分，共20分） 13. 抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是__________. 14. 已知椭圆的离心率为，直线l与椭圆C交于A，B两点且线段AB的中点为，则直线l的斜率为________. 15. 设等差数列，的前项和分别为，，都有，则的值为__________. 16. 已知是数列的前项和，，则________；若，则________. 三、解答题（共4题，共52分） 17. 如图，在四棱锥，平面，底面是直角梯形，其中，，,，为棱上的点，且. （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成夹角的正弦值； （3）求点到平面的距离. 18. 已知圆C经过和两点，圆心在直线上． （1）求圆C的方程． （2）过原点的直线l与圆C交于M，N两点，若，求直线l的方程． 19. 已知椭圆的离心率为，点在椭圆上． （1）求椭圆的方程； （2）已知直线与椭交于两点，点的坐标为，且，求实数的值． 20. 已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，公比大于0，且，，. （1）求和的通项公式； （2）求数列的前n项和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $