江苏常州市2025-2026学年第一学期高三期末质量调研数学试卷

常州市2025一2026学年第一学期高三期末质量调研 数学参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1.C2.B3.B4.A5.D6.A7.B8.C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9.ABD 10.AD 11.BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.5 13.B,7刀14.82<a<4国 25 23 四、解答题：本题共5小题，共77分， 15.解：(1)取PA中点M,连结ME,MB,三角形PAD中，ME为中点， 所以ME∥D,ME=D,又因为BC∥AD,BC=4D, 所以ME∥BC,ME=BC,所以四边形MBCE为平行四边形， 所以EC∥MB,又因为MBC平面PAB,EC4平面PAB, 所以EC∥平面PAB. …6分 (2)取AD中点N,连结AC,NC,AN∥BC, AN=BC,∠BAD=90°，所以四边形ABCN为矩形， 所以CN=AB=2,∠CND=90°， 所以AC=CD=2√2，又因为AD=4,则AC2+CD2=AD2, 所以∠ACD=90°，即AC⊥CD. …9分 因为PA⊥平面ABCD,AC,CDC平面ABCD, 所以PA⊥AC,PC⊥CD, 所以∠PCA是二面角P-CD-A的大小的平面角，则∠PCA=45°. …12分 所以PA=AC=2N2。 …13分 16.解：(1)设数列{an}的公差为d,bn}的公比为q, 则4+d+%+3d=24g, 「d=1, a2(a2+2d)=b,92, 解得 9=2, 所以an=a2+(n-2)d=n,bn=b,g"-2=2-1. …6分 (2)因为a,bn=n×2>0,所以Sn=a,b+ab+…+anbn单调递增， 其中ab=8×28-1=1024,a,b=9×29-1=9×256=2304, 所以当n≥9时，Sn≥S,>1024+2304>2026, 又因为S。=1×2+2×22-1+3×231+4×24+5×25-1+6×2-1+7×27-1+8×28-1=1793, 所以，满足Sn<2026的最大正整数n为8. …15分 1.解：(1)X的可能取值为0,1,2,3，所以“1≤X≤3”与“X=0”互为对立事件， 所以P1≤X≤3)=1-PX=0)=1-C8=1-10x9x8-1- 217 …6分 20×19×181919 (2)“取出的10个产品中恰有2个不合格品”的概率Pn= CiCon …8分 CCio P=C9-CC$=+l2-0 PCCo-CC(-1)(20-) CH 令(n+1)12-n)-(n-1)(20-n)>0,得n<3.2, 所以当n=2或3时，Pn1>Pn；当4≤n≤12时，Pn+1<Pn. …12分 所以当m=4时，“取出的10个产品中恰有2个不合格品”的概率的最大值为R=CC-135 323 …15分 18.解：(1)设C的方程为y2=2p.x(p>0), 因为P2,-2)到G的准线1的距离为3，所以2+2=3，所以p=2, 2 所以C的标准方程为y2=4x. …4分 (2)由题得C2:(x-1)2+(y+1)2=2,C2(1,-),设点A到OP的距离为h4, 则Soe=OP1h,=2h,当且仅当01∥OP时，h,最大，即Saoe最大， 令Q的纵坐标为t,则Q(-1,),直线QA的方程为y-t=(x+I),即x+y+1-t=0, 所以=反，所以1=-1或3，即Q的纵坐标为-1或3. …9分 2 (3)设直线L的方程为x-2=t,y+2), x-2=t0y+2), y;+y8 =4t;, 1y2=4x, 得y2-4y-8,-8=0,所以 yya=-8t-8, 则海=-8+业-8，所以4+2=4 4 当+2， 4P=1y-L=1-2-y=-2-y=-2-y=0y+2 PB,Iy8-yp lya +21 y8 +2-4 4 …12分 y+2 42+4P24P4+29++220+29-=2+-2对+40+片-21， PBPB PB,4 4 4 4 其中y+为-2，=0，+-2=+片-+_0，>0， 2 2 所以背酸减0，被鸳城 L …17分 19.解：(1)当a=e时，f(x)=e-x(x>0),f(e)=0, f'(x)=e-er-l,f'(e)=e-e=0, 所以y-f(e)=f'(ex-e),即y=0. …4分 (2)函数f)=a-r=0(x>0,a>0)等价于a=x,则xna=alnx即hx=血a 令g()=n(x>0,则转化为g)=na的解的个数，g《=1一n a x2 当0<x<e时，g'(x)>0,g(x)单调递增；当x>e时，g'(x)<0,g(x)单调递减. 则g)在x=e处取得极大值，也是最大值g⊙)= 当0<x≤1时，g<g0=0:当x>1,0<gs 当a=e时，g=日解得=c,1个零点 当0<a<1时，血0<0，g)与y=血0有1个交点，此时1个零点： a a 当1<a<e时，0<na<,8树与y-n有2个交点，此时2个零点： a e a 当a>e时，0号日因与y品有2个交点，此时2个零点 综上，当a=e或0<a<1时，1个零点；当1<a<e或a>e时，2个零点. …9分 (3)f(a)>x-a"恒成立台a>x恒成立. 当0<a<1时，a<1,不符合题意： 当a>l时，a>x台a>log。x,因为曲线y=a与y=log x关于直线y=x对称， 所以a>log.x÷a>x. …12分 h(x)=a-x,h'(x)=a'Ina-1, 令()=0，飞=-nn0,又因为单调递增， Ina 所以当0<x<x时，h'(x)<0,h(x)单调递减： 当x>x时，h(x)>0,h(x)单调递增 所以x=x,时，h(x)取极小值点，也是最小值， 所以四的最小值为)=产-七。+h-+hn@,其中a>, Ina 由h()>0,得1+ln(lna>0,即ln(na)>-1,所以a>ee. 综上可得，所以a的取值范围是(e,+o). …17分常州市2025一2026学年第一学期高三期末质量调研 数学 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的 1.已知集合A={-1,5},B={-1,m+l,m2+1},若A三B,则实数m的取值集合为 A.{4 B.{-2,2 C.{2,4 D.{-2,2,4} 2.已知实数a,b,则“a>b”是“a2>b2”的 A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.现有9位同学参加劳动操作技能比赛，他们在预赛中所得的积分互不相同，只有积分在前5位的同学才能 进入决赛.若参加该比赛的某同学知道自己的积分后，要判断自己能否进入决赛，则他只需要知道这9位同 学的预赛积分的 A.众数 B.中位数 C.平均数 D.方差 4.已知两个非零向量a=（W3sina,-sina,b=(sina,cosa）).若a⊥b,则锐角a= B. c号 5.某产品的质量指标服从正态分布N(100,o2),o>0,质量指标介于96至104之间的产品为良品，为使这 种产品的良品率达到99.73%，则需要较高的生产工艺，使得。不超过（备注：若X~N(4,σ2），则 P(X-4<3o)≈0.9973) B. 2-3 C.1 6.已知椭圆C: .y2 4+厅=6>)的焦点在x轴上，B是C使得P>2h,则6的取值范围为 A.(0,2) B.(0,V2 c.（N2,2 D.「2,2 7.在半径为2的圆O中，弧AB所对的圆心角为？，P为弧AB上异于A,B的点，过P作OB的垂线P吧， 着足为Q.若△PO0的面积大于5，则PB的取值范调为 B.（6-2,2 c. (5 D.(N6-2,2W2 8.棱长为a的正方体盒子中装有半径分别为1和2的两个铁球，则a的取值范围为 高三数学第1页（共4页） A.a23 B.a≥3+√2 C.a≥3+V5 D.a26 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选 对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.在x- 1 (neN)的展开式中，下列说法正确的有 A.任意正整数，展开式的各项系数的和恒为0 B.存在正整数n,使得展开式中含有常数项 C.若n=6,则该展开式中二项式系数和为32 D.若n=5,则该展开式中x5的系数为10 10.已知函数f(x)=4si ios'-sin,则 2 A.f(x)的最小正周期为π B.f(x)在区间 π3π 44 上单调递增 C八)的图象关于点(0对称 D.(x)的图象关于直线x=-T对称 4 11.已知数列{a}的前n项和S满足S=a,+(n-11(1为常数)，且n2<S.<m+1(neN),若 a2-a=1-t,则 A.t=1 B.{an}是等差数列 C.Sn有最小值 D.a2的取值范围是(3,5] 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.已知双曲线C:xy =1(a>0,b>0)的渐近线为y=±2x,则C的离心率为 a b2 13.已知复数z=a+bi(a,b∈R)的模长z=2,则z+3+41的取值范围为 1 ax-4,x>0. 14.已知函数f(x)= 2 的图象上存在6个不同的点，使得每个点的横坐标x都满足 r+12ar+4,x≤0 f(x)+f(-x)=0,则实数a的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,BC∥AD,∠BAD=90°， AB=BC=2,AD=4,E是PD的中点. (1)求证：EC∥平面PAB: 高三数学第2页（共4页） (2)若二面角P-CD-A的大小为45°，求线段PA的长. 16.(15分)已知数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且a2=b2=2,a3+a5=2b,a2a4=b,: (1)求{an}和{bn}的通项公式： (2)记数列{a,bn}的前n项和为Sn，求满足Sn<2026的最大正整数n. 17.(15分)已知20个电子元件中含有n2≤n≤12，n∈N)个不合格品，从中一次任取10个. (1)当n=3时，设取出的10个产品中不合格品数为X,求P(1≤X≤3)： (2)求“取出的10个产品中恰有2个不合格品”的概率的最大值. 高三数学第3页（共4页） 18.(17分)开口向右的抛物线C以坐标原点O为顶点，以x轴为对称轴.已知P(2,-2)到C的准线1的距 离为3.C2是以OP为直径的圆，Q是1上一点. (1)求C的标准方程： (2)经过点Q的直线与C,相切于点A,当△OAP的面积取最大值时，求Q的纵坐标； (3)经过点P的三条直线l,(i=1,2,3)与抛物线分别交于两点A,B,（A,在下方)· 若4,4,4的纵坐标，，八成等差数列，比较5+与24的大小 PB PB PB2 19.(17分)已知函数f(x)=a-x(x>0),其中a>0,且a≠1. (1)当a=e时，求曲线y=f(x)在x=e处的切线方程； (2)讨论f(x)的零点个数： (3)若f(a)>x-a“恒成立，求a的取值范围. 高三数学第4页（共4页）