广东深圳市南山区2025-2026学年第一学期期末检测高二数学

2025一2026学年度第一学期期末检测 高二数学 2026.01 本试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项： 1答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的学校、班级、姓名，并把 条形码粘贴在指定位置。 2.请按照要求答题，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域 内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，再写上新答案：不准使用涂改液。不按以上要求作答， 视为无效。 3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将答题卡交回。 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的， 1.已知直线1经过点(2，V3)和点(3,0)，则1的倾斜角为 A君 B月 D. 5π 2.已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),若向量a+kb与b垂直，则k= A月 C.-2 D.2 3.记函数f=ar2-3的导函数为f,若f0=1,则a= 1 A.-1 B. 2 C.1 D.2 4.记Sn为等差数列{an}的前n项和，若S4=30,且a3+a5=24,则a6= A.12 B.15 C.18 D.21 5.已加双面裁C号多=1的高心率为，若C的一条新近发的斜率为，且2+-，侧C的 渐近线方程为 A.x±y=0 B.x±V2y=0 C.x±V3y=0 D.x±2y=0 6.在等比数列{an}中，己知a1=3,且4(a3-a2)=a4,若bn+1=an-bn,记数列{bn}的前n项和为Sn 则So= A.127 B.255 C.511 D.1023 7.在三棱台ABC-A'BC中，AB=BC=B8=2,A'B'=1,且∠ABC=,若BB⊥平面ABC, 则点B'到直线A'C的距离为 A.2V2 B.5 C.3 D.22 3 8.设F为曲线C:x2-4y=0的焦点，P为C上的动点，过点E(L,4)的直线与C相交于A,B两点， 记线段AB的中点为M,则PM+PF最小值为 77 B.39 C.5 D.7 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.在棱长为1的正方体ABCD-ABCD中，P,Q,R分别为棱AB,AC,AD的中点，设P=a, A0=b,AR=,则 A,BD⊥AC B.{a,ā+b,b-c}可以作为空间中的一组基底 C.若A忑=2ā-46+3元，则P,2,R,S四点共面 D.AC =2a+26+2c 10.在数列{an}中满足a1=1,a2<0,|an+1-an=2”(n∈N),若数列{a2mg}单调递增，且数列{a2m} 单调递减，则 A.43=3 B.andn+< C.a2n+2-42n=-22m- D.a2026=1 1-22026 3 11.已知圆C:x2-2x丰y2-42,+42=0,直线：c-y=0,动点P在1上，且动点A,B在圆C 上，则 A.圆心C在一条定直线上 B.若1CPI的最小值恰为2，则k= C.当k=1+2时，1被圆C截得的弦长可以为√k2+2 D.若LAPB=60,则k∈(-o,-U[0,+o) 高一勒学然n山一 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12,已知直线(y▣x-1,12:x+2y41=0,若（⊥2，则m= B.若段：x与捌圆C4去+片1O>6>0交于P,2两点，且P9F4,刚C的离心形 为 14,已知函数∫(x)▣co8x中 +2且/03+f323++82-0 ，则实数c的值 2025 为 若a+b=c,且a≥b≥0，则@0+ 的取值范圆为 (第一空2分， f(b)+a 第二空3分) 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分) 己知函数f(x)=e-x2, (1)求曲线y=∫(x)在点(1，e-1)处的切线方程； (2)若函数g(x)=e*-x-∫(x)，且经过点(1，-4)的直线l与曲线y=g(x)相切，求l的方程. 16.(15分) 已知过点D(1,0)的直线1与抛物线C:y2=2x(p>0)交于两点A,B，且OA,OB=-3. (1)求p的值： (2)点E的坐标为（←1，），且∠AEB=匹，求1的方程. 17.(15分) 如图，在四棱排P-ABCD中，PD⊥平面ABCD,AB∥IDC,BC=CD▣AD=2,ABa4. (I)证明：PA⊥BD: (2)若P,B,C,D均的在球O的球而上：，且球O的表积为25π， (i)求PD的长： (i)求平面PAB与平面ABC夹角的氽弦值 (第17题图) 18.(17分) 记数列{an}的前n项和为Sn,且a,+2a2+…+2an=3n(neN). (1)求{an}的通项公式： (2)证明： ≥1 S2 3x2m (3)若bn=3n-2(n∈N),现将{an}中的第b项，第b2项，第b项，…，第bn项移除，余下的 项按原顺序组成一个新的数列{Cn},记{cn}的前n项和为Tn.已知任意n∈N,Tm≥Tmtl,求实 数2的最小值： 19.(17分) 令知椭圆C:￡+1Q>b>0的焦距为4，且C的离心率为V旧 3 (1)求C的标准方程： (2)设C的右焦点为F,经过点P(3,O)且斜率非零的直线与C交于M,N两点，且M在线段PN上. (i)证明：直线FM,FW的斜率之和为0： (ii)若∠FMN=5∠FNM,求直线MN的斜率.高二数学参考答案 2026.01 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的， 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B C A D D B 8.设F为曲线C:x2-4y=0的焦点，P为C上的动点，过点E1,4)的直线与C相交于A, B两点，记线段AB的中点为M,则|PM+PF最小值为 77 39 A. B. c.5 D.7 16 8 解析：设过点E1,4)的直线方程为：y=k(x-1)+4,且A(x,),B(x2,y2), 联立方程x-》+4得x-4+4收-10=0： 1x2-4y=0, x+x2=4,M(2k,2k2-k+4), 易知C的焦点为F(0,1),准线方程为y=-1, 9 ∴lPM+PF到=PM+PN≥N-=x2-k+4)-(1)=2-2+ 不难知道当k=}时，|PM+P叫最小值为39，应选B. P 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 题号 9 10 11 答案 BC ABD ABD 11.已知圆C:x2-2x+y2-4y+42=0,直线1：x-y=0,动点P在1上，且动点A, B在圆C上，则 A.圆心C在一条定直线上 B.若CP的最小值恰为元，则k=3 C.当k=九+2时，1被圆C截得的弦长可以为Vk2+2 D.若∠APB=60°，则k∈(-∞，-U0,+) 参考答案及评分标准第1页（共10页） 解析：对于选项A,C的标准方程为：(x-2)2+(y-22)2=22, 易知圆心C(2,2)在定直线y=2x上，选项A正确： 对于选项B,若|CP|的最小值恰为入，则C到l的距离为1， k久-22三元，解得k二，选项旦正确 ·k2+1 对于选项C,当k=元+2时，易知C以，2列到直线1：-”=0的距离为1 |k1-2222 Vk2+1 此时，若1被圆C截得的弦长为√k2+2, 2 =2, Vk2+1 4k2+1 2+24 2+2 4++224x+ -X1 >12, :2+1 =1不可能成立，选项C错误： 2k2+1 对于选项D,当1和圆C有公共点时，即 k2-2≤2，解得k≥3 Vk2+1 此时显然存在动点P,A,B,使得∠APB=60°： 当1和圆C没有公共点时，易知k<名· 欲使∠APB最大，则需PA与圆C相切于A,且PB与圆C相切于B,如图所示， 显然sin∠CPA= 12 CP ∠APB=2∠CPA,当CP⊥I时，|CP|最短，即sin∠CPA最大， ∠CPA也最大，即∠APB最大， 12 若∠APB=60°，则 C ≥血30-号解得时CPs21 参考答案及评分标准第2页（共10页） d水以2，解附k手成0≤6 V2+1 综上所述，kE(m手UD,+回，选项D正确，应选ABD。 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.2: 3.6 3 141: 14.己知函数f(x)=c0sr+ 4中2且03*+302- 1 506 ,则实数 2025 c c的值为 若a+b=c,且a≥b≥0，则f@+b 的取值范围为 f(b)+a (第一空2分，第二空3分) 解析：由题可知， 1 1 1 4* 1,4145241 4+24-x+24+24(4-x+2)4+24+2.44+22(4+2)2(4+2)2 ∴.f()+f0-x)=cosc+ 1 11 +COs(π-)+ 4+2 4l-x+22 5-+八品+ 2025 又水器+八品如 25=02U应+r303=2021102. S=506=506,c=1: ”a+b=c=l,·f@+f0=f@)+f0-m=} Γ2 且f(a)+b 01-a 3 3 f(b)+a fO+a2f+a1=2f6+1-1' .f(b)+1-b=cosb+ 1，-b+1,且由a≥b2≥0，及a+b=1,可知0≤b≤) 4+2 令函数g(b=c0s动+，1，b+1,0≤b≤ 4+2 2 则g0了时子且易知g为单调远减同数。 “g8sg0.回g≤行 参考答案及评分标准第3页（共10页） 子8名1，小8利限监包： 易知-14f⑥)+a 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分) 已知函数f(r)=e-x2, (I)求曲线y=f(x)在点(1，e-1)处的切线方程； (2)若函数g(x)=e-x-f(x),且经过点(L,-4)的直线l与曲线y=g(x)相切，求l的 方程 解：(1)易知f'(x)=ex-2x,f')=e-2, …2分 .函数f(x)=e-x2在点1，e-1)处的切线方程为y=(e-2)(x-1)+e-1, 即(e-2)x-y+1=0. …4分 (2)由题g(x)=e-x-(e-x2)=x2-X,…5分 .g'(w)=2x-1,设切点为(x,x2-), .切线方程为y-(化2-)=(2灯-1)(x-),8分 又切线过点(1，-4)，∴.-4-(x2-x)=(2x-1)0-x), 解得6=3，或6=-1， …10分 当x=3时，切线方程为y-(9-3)=(6-1)x-3),即5x-y-9=0: 当x=-1时，切线方程为y-(1+1)=(-2-1)(x+1),即3x+y+1=0, .1的方程为5x-y-9=0,或3x+y+1=0. …13分 16.(15分) 己知过点D(1,0)的直线1与抛物线C:y2=2r(p>0)交于两点A,B,且OA.OB=-3. (1)求p的值： ☒点因的坐标为←1，且∠AB-子求的方程. 解：(1)显然直线l的斜率非零，不妨设l的方程为x=y+1,…1分 x=y+1, 联立 y2 =2px, 整理得y2-2py-2p=0, …2分 易知△=4p2n2+8p>0,设A(x,y),B(x2,y2), 参考答案及评分标准第4页（共10页） .y+y2=2pn,y2=-2p, …3分 :.OA.OB=xx2+yy2= 4p2 +y2=1-2p=-3, …5分 p=2 …6分 (2)由(1)得+y2=4n,y2=-4,…7分 则5+5=+⅓)+2=n2+2,55=-1, ……9分 16 ∴.EA.EB=(x1+10x2+1)+0y1-10y2-1) =x2+(+x2)+1+y2-(y+y2)+1=1+4n2+2+1-4-4n+1 =4n2-4n+1=(2n-1)2=0, …12分 1 ∴.n= 2 …13分 此时l的方程为x 2y+1,即2x-y-2=0. ……15分 17.(15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD,AB I/DC,BC=CD=AD=2, AB=4· (I)证明：PA⊥BD: (2)若P,B,C,D均在球O的球面上，且球O的表面积为25π. (①)求PD的长； (i)求平面PAB与平面ABC夹角的余弦值， (第17题图) 解：(1)如图所示，取AB的中点O,连接CO, :'DC=AO=2,AB∥DC, D .四边形DCOA为平行四边形， 0 参考答案及评分标准第5页（共10页） .'.CO=AD=2, 又，BC=OB=2, ∴.△BCO为正三角形，即有∠ABC=60°， 在等腰梯形中，∠BCD=120°，AD=CD=BC=2,AB=4,则BD=25, .AD2+BD2=AB2, AD⊥BD,…2分 ,PD⊥平面ABCD,BD∈平面ABCD, ∴PD⊥BD, …3分 :AD∩PD=D,AD,PDC平面PAD, BDL平面PAD,… …4分 ,PAC平面PAD, BD⊥PA. …5分 (2)①)，AD=AO=2,∠DAB=60°， ,△AOD为等边三角形， ∴.OD=OA=O,B=OC=2, E 即O,为四边形ABCD外接圆的圆心， .O1为△BCD的外接圆圆心，半径r=OA=2, 且OO⊥平面ABCD,… …7分 ,PD⊥平面ABCD, ·PD1/OO,且OP=OD=OA=OB=OC, 球O的半径R=OD= …8分 :S=4πR2=25π， :R=2 5 ，…9分 (2=- 4 参考答案及评分标准第6页（共10页） PD=3.………10分 (i)（方法一)过D作DE⊥AB于E, ,AB⊥PD,DE,PDC平面PDE,DE∩PD=D,AB⊥平面PDE, 又PEC平面PDE,AB⊥PE, ∴.∠PED为二面角C-AB-P的平面角， …13分 ·tan∠PBD=PD-3 =V3, …14分 DE3 ·.二面角C-AB-P的平面角的余弦值为 2 :平面PAB与平面ABC夹角的余弦值为2 …15分 (方法二)如图所示，建立以D为坐标原点，DA,DC,DP方向为七，少二轴正方向的 空间直角坐标系， D B ∴.P(0,0,3),A(2,0,0),B(0,2√5,0)，PA=(2,0,-3),AB=(-2,2V3,0), 易知平面ABC的一个法向量为n=(0,0,1), …11分 设平面PAB的法向量为，则PAm=AB.m=0, .=(3,√3,2)，…13分 cos<m,m nl 21 …14分 1m‖n1×42 :平面PAB与平面ABC夹角的余弦值为 …15分 18.记数列{a}的前n项和为Sn,且a+2a2++2an=3n(neN). (1)求{an}的通项公式： (2)证明： S4H223×29 (3)若bn=3n-2(n∈N),现将{an}中的第b项，第b,项，第b,项，，第bn项移 参考答案及评分标准第7页（共10页） 除，余下的项按原顺序组成一个新的数列{cn},记{cn}的前n项和为T,.已知任意n∈N, Tn≥T1,求实数1的最小值. 解析：(1)当n=1时，a=3, …1分 当n≥2时，a1+21a2++2+2a1=30n-1),① 又a+2la2+-+2tan=3n,② …2分 由②-①可得21a.=3,即a.=3×2-1,n22,③ …3分 当n=1时，a=3亦满足③式，.a=3×2(meN) …4分 (2)由a,=3×210meN),不难得到3=3x0-29)-3x2-), …5分 1-2 :-3x2-)-2-12 Sn+13x(2a1-1）21-1 …7分 2+1-1 22(2*-1) ,当neN时，2”-2≥0， …8分 .2.(2m1-1)=4.2”-2=3×2”+2”-2≥3×2”， 1 s、1 ……9分 2.(21-1)3×2" …l0分 Sn+123×2" (3)由题意可得数列{cn}为3×2,3×2,3×24,3×25,3×27,3×28，…， 数列{c}的奇数项构成以6为首项，公比为8的等比数列；偶数项构成以12为首项，公 比为8的等比数列，易知c21=6×8,且c2m=12×81, ……11分 X.=G+G3++ca)+e,+c4++6)=6-0-8)412-0-8）-18188, 1-8 1-8 7 7 ……3分 小T☑21=72a+C2a1= 18,18 x8”+6×8=-1860 x8", 77 77 …4分 参考答案及评分标准第8页（共10页） 1860x8 :Ih-77 7 1 -=1+ 6×8 1818x8 =1+× 31+1 …15分 Tm18,18 x8 77 77 8 、1 7 五1s +1≥83 …16分 :若在意eN,迎≥即，元≥，即的设小值为 T …17分 19.(17分) 已知椭圆C兰+兰-1a>b>0)的焦距为4，且C的离心率为6 (1)求C的标准方程： (2)设C的右焦点为F,经过点P(3,0)且斜率非零的直线与C交于M,N两点，且M 在线段PN上. ()证明：直线FM,FN的斜率之和为0： (i)若∠FMN=5∠FNM,求直线MN的斜率. 解：()由已知得a2-6=2,V公-BV6 …2分 a 3 a=6,b=V2,C的方程为+少2 =1. …4分 62 (2)()由(1)可知F(2,0),设M(5,y),N(x2,y2),N:x=y+3, + 由62 =1,得0m2+3y2+6m0+3=0, …6分 x=y+3, “A-36m2-12or+3)=24r2-36>0,÷m>6或m<-6 2 …7分 ·直线FM,FN的斜率之和为+=片 +五=2m4出+片+ -2x2-20%+10%2+1(y+1)y2+1) ,2yy2+y1+y2= 6L-6、=0,÷直线PM,PN的斜率之和为0.…10分 m2+3m2+3 (设O为坐标原点，则由（①）知，∠OFN=∠PFM,…11分 而∠OFN=∠FNM+∠FPN,∠FMN=∠PFM+∠FPM, 参考答案及评分标准第9页（共10页） .∠FPN=2∠FNP. …12分 设∠FNP=a,则在△FNP中，由正弦定理， 1 FNIPN Sin a sin 2a sin 3a 1N|=V2-2)2+= 4+4+2-至V6 33-5)=6 PN|cos 2a, 3 Q.2 cos&6sin3acos2a,即V63n3a=tan2a,…15分 3 sin a (方法一)令cos2a=m,则0<m<1,由sin3au=sin2 a cosa+sin acos2a, 两边平方可得Q-)++m0-m)+m21-"-30-m) 2 22m2 ,m2(4m2+4m+1)=31+m),.m2(4m2+4m+4)=3(m2+m+1）, .(4m2-3)(m2+m+1)=0,显然m2+m+1≠0，∴.4m2-3=0, 又0<m<1,∴.m= 5,即cos2a= 3 2 2 易知∠FPN-石，即直线0N的斜率为±5 …17分 6 (方法二)V6 sin3a= sin 2a cos2a ÷等式两边平方，可得号n3a=s如2，即1-c0s60 1 -1, cos2 2a 3 cos2 2a 1-(4c0s22a-3c0s2=3 -3, cos22a 4-4cos32a=3(1 -c0s2a）, cos22a 40-c0s2=3,-0-c0s2a0, cos2 2a (3 --4)1-c0s32)=0, c0s22 3 =4，或c0s22a=1(舍去)， cos2 2a .cos2a= 2 易知∠FPN=,即直线MN的斜率为士 3 …17分 6 参考答案及评分标准第10页（共10页）