第1章 三角形的证明及其应用（提高篇）2025-2026学年北师大版八年级数学下册

北师版八年级下册第1章 三角形的证明及其应用（提高篇） 一．选择题（共6小题） 1．如图，在数轴上点A，B所表示的数分别为﹣1，1，CB⊥AB，BC＝1，以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交数轴于点D（点D在点B的右侧），则点D所表示的数是（　　） A． B． C． D． 2．如图，在Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为S1，S2，S3．若S3+S2﹣S1＝18．则图中阴影部分的面积为（　　） A．6 B． C．5 D． 3．如图，在△ABC中，PM、QN分别是线段AB、AC的垂直平分线，若∠BAC＝110°，则∠PAQ的度数是（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° 4．如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A6B6A7的边长为（　　） A．16 B．32 C．64 D．128 5．等腰三角形的一个角为50°，则这个等腰三角形的底角为（　　） A．65° B．65°或80° C．50°或65° D．40° 6．如图，在△ABC，BD、BE分别是高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE交BD于G，交BC于H，下列结论：①∠DBE＝∠F；②2∠BEF＝∠BAF+∠C；③∠F（∠BAC﹣∠C）；④∠BGH＝∠ABE+∠C，正确的是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二．填空题（共6小题） 7．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠P＝　 　 °． 8．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝6，D是线段AB上一个动点，以BD为边在△ABC外作等边△BDE．若F是DE的中点，当CF取最小值时，△BDE的周长为 　 　 ． 9．在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，∠ACB的外角平分线所在直线与∠ABC的平分线相交于点D，与∠ABC的外角平分线相交于点E，则下列结论一定正确的是 　 　 ．（填写所有正确结论的序号） ①；②；③∠E＝∠A；④∠E+∠DCF＝90°+∠ABD． 10．如图，在正方形ABCD的对角线AC上取一点E，使得∠CDE＝15°，连接BE并延长BE到F，使CF＝CB，BF与CD相交于点H，若AB，有下列四个结论：①∠CBE＝15°；②AE1；③S△DEC；④CE+DE＝EF．则其中正确的结论有 　 　 ．（填序号） 11．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝6，∠ABC＝60°，∠ADC＝90°，对角线AC与BD相交于点E，若BE＝3DE，则BD＝　 　 ． 12．如图，已知∠AOB＝α（0°＜α＜60°），射线OA上一点M，以OM为边在OA下方作等边△OMN，点P为射线OB上一点，若∠MNP＝α，则∠OMP＝ 　 　 ． 三．解答题（共15小题） 13．如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE． （1）若∠BAE＝40°，求∠C的度数； （2）若△ABC周长13cm，AC＝6cm，求DC长． 14．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，BE＝AC． （1）求证：AD⊥BC． （2）若∠BAC＝75°，求∠B的度数． 15．如图所示，△ABC中，AB＝BC，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点D，交AC于F． （1）若∠AFD＝155°，求∠EDF的度数； （2）若点F是AC的中点，求证：∠CFD∠B． 16．如图，已知∠AOB＝90°，∠EOF＝60°，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，求∠AOC和∠COB的度数． 17．在△ABC和△DCE中，CA＝CB，CD＝CE，∠CAB＝∠CED＝α． （1）如图1，将AD、EB延长，延长线相交于点O： ①求证：BE＝AD； ②用含α的式子表示∠AOB的度数（直接写出结果）； （2）如图2，当α＝45°时，连接BD、AE，作CM⊥AE于M点，延长MC与BD交于点N，求证：N是BD的中点． 18．如图所示，在△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC＝50°，∠C＝70°，求∠DAC、∠BOA的度数． 19．如图，△ABC≌△DBE，点D在边AC上，BC与DE交于点P，已知∠ABE＝162°，∠DBC＝30°，AD＝DC＝2.5，BC＝4． （1）求∠CBE的度数． （2）求△CDP与△BEP的周长和． 20．新定义问题 如图①，已知∠AOB，在∠AOB内部画射线OC，得到三个角，分别为∠AOC、∠BOC、∠AOB．若这三个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线OC为∠AOB的“幸运线”．（本题中所研究的角都是大于0°而小于180°的角．） 【阅读理解】 （1）角的平分线 　 　 这个角的“幸运线”；（填“是”或“不是”） 【初步应用】 （2）如图①，∠AOB＝45°，射线OC为∠AOB的“幸运线”，则∠AOC的度数为 　 　 ； 【解决问题】 （3）如图②，已知∠AOB＝60°，射线OM从OA出发，以每秒20°的速度绕O点逆时针旋转，同时，射线ON从OB出发，以每秒15°的速度绕O点逆时针旋转，设运动的时间为t秒（0＜t＜9）．若OM、ON、OA三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“幸运线”，求出所有可能的t值． 21．如图1和2，在四边形ABCD中，∠BAD＝α，∠BCD＝180°﹣α，BD平分∠ABC． （1）如图1，若α＝90°，根据教材中一个重要性质直接可得DA＝CD，这个性质是 　 　 （2）问题解决：如图2，求证AD＝CD； （3）问题拓展：如图3，在等腰△ABC中，∠BAC＝100°，BD平分∠ABC，求证：BD+AD＝BC． 22．如图，已知四边形ABCD中，AB∥CD，BC＝AD＝4，AB＝CD＝10，∠DCB＝90°，E为CD边上的一点，DE＝7，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿着边AB向终点B运动，连接PE，设点P运动的时间为t秒． （1）求BE的长； （2）若△BPE为直角三角形，求t的值． 23．我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的4倍的三角形叫做常态三角形．例如：某三角形三边长分别是5，6和8，因为62+82＝4×52＝100，所以这个三角形是常态三角形． （1）若△ABC三边长分别是2，和4，则此三角形 　 　 常态三角形（填“是”或“不是”）； （2）若Rt△ABC是常态三角形，则此三角形的三边长之比为 　 　 （请按从小到大排列）； （3）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，点D为AB的中点，连接CD，若△BCD是常态三角形，求△ABC的面积． 24．如图，在△ABC中，BC边的垂直平分线交AC边于点D，连接BD． （1）如图CE＝4，△BDC的周长为18，求BD的长． （2）若∠ADM＝60°，∠ABD＝20°，求∠A的度数． 25．如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE． （1）若∠BAE＝40°，求∠C的度数； （2）若△ABC周长为14cm，AC＝6cm，求DC长． 26．如图，AM是△ABC的中线，∠C＝90°，MN⊥AB于N，求证：AN2﹣BN2＝AC2 27．在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系． （1）如图1，当点M、N在边AB、AC上，且DM＝DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是 　 　 ；此时　 　 ； （2）如图2，点M、N在边AB、AC上，且当DM≠DN时，猜想（I）问的两个结论还成立吗？若成立请直接写出你的结论；若不成立请说明理由． （3）如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，探索BM、NC、MN之间的数量关系如何？并给出证明． 参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 D B A C C D 一．选择题（共6小题） 1．【分析】先根据勾股定理求得AC，再由AD＝AC即可确定点D所表示的数． 【解答】解：在直角三角形ABC中，BC＝1，AB＝1+1＝2， 由勾股定理得：， ∴， ∴点D所表示的数是， 故选：D． 2．【分析】由勾股定理得S1+S2＝S3，再由S3+S2﹣S1＝18求出S2＝9，即可解决问题． 【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+AB2＝BC2， 即S1+S2＝S3， ∵S3+S2﹣S1＝18， ∴S2＝9， 由图形可知，阴影部分的面积S2， ∴阴影部分的面积， 故选：B． 3．【分析】根据三角形内角和定理求出∠B+∠C，根据线段垂直平分线的性质得出AP＝BP，CQ＝AQ，求出∠B＝∠BAP，∠C＝∠CAQ，再求出∠BAP+∠CAQ＝70°，再求出答案即可． 【解答】解：∵∠BAC＝110°， ∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝70°， ∵PM、QN分别是线段AB、AC的垂直平分线， ∴AP＝BP，CQ＝AQ， ∴∠BAP＝∠B，∠CAQ＝∠C， ∴∠BAP+∠CAQ＝∠B+∠C＝70°， ∵∠BAC＝110°， ∴∠PAQ＝∠BAC﹣（∠BAP+∠CAQ）＝110°﹣70°＝40°， 故选：A． 4．【分析】由等边三角形的性质得到∠B1A1A2＝60°，A1B1＝A1A2，再由三角形外角的性质求出∠A1B1O＝30°，则A1B1＝A1A2＝OA1，同理得A2B2＝A2A3＝OA2＝2OA1，A3B3＝A3A4＝22•OA1，A4B4＝A4A5＝23•OA1，由此得出规律AnBn＝AnAn+1＝2n﹣1•OA1＝2n，即可求解． 【解答】解：∵△A1B1A2为等边三角形， ∴∠B1A1A2＝60°，A1B1＝A1A2， ∴∠A1B1O＝∠B1A1A2﹣∠MON＝60°﹣30°＝30°， ∴∠A1B1O＝∠MON， ∴A1B1＝OA1， ∴A1B1＝A1A2＝OA1， 同理可得A2B2＝A2A3＝OA2＝2OA1， ∴A3B3＝A3A4＝OA3＝2OA2＝22•OA1， A4B4＝A4A5＝OA4＝2OA3＝23•OA1， … ∴AnBn＝AnAn+1＝2n﹣1•OA1＝2n， ∴△A6B6A7的边长：A6B6＝26＝64， 故选：C． 5．【分析】已知给出了一个内角是50°，没有明确是顶角还是底角，所以要进行分类讨论，分类后还要用内角和定理去验证每种情况是不是都成立． 【解答】解：当50°是等腰三角形的顶角时，则底角为（180°﹣50°）65°； 当50°是底角时亦可． 故选：C． 6．【分析】①根据BD⊥FD，FH⊥BE和∠FJD＝∠BJH，证明结论正确； ②根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确； ③证明∠DBE＝∠BAC﹣∠C，根据①的结论，证明结论正确； ④根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确． 【解答】解：①∵BD⊥FD， ∴∠FGD+∠F＝90° ∵FH⊥BE， ∴∠BGH+∠DBE＝90°， ∵∠FGD＝∠BGH， ∴∠DBE＝∠F， ①正确； ②∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE， ∠BEF＝∠CBE+∠C， ∴2∠BEF＝∠ABC+2∠C， ∠BAF＝∠ABC+∠C， ∴2∠BEF＝∠BAF+∠C， ②正确； ③∠ABD＝90°﹣∠BAC， ∠DBE＝∠ABE﹣∠ABD＝∠ABE﹣90°+∠BAC＝∠CBD﹣∠DBE﹣90°+∠BAC， ∵∠CBD＝90°﹣∠C， ∴∠DBE＝∠BAC﹣∠C﹣∠DBE， 由①得，∠DBE＝∠F， ∴∠F＝∠BAC﹣∠C﹣∠DBE， ∴∠F（∠BAC﹣∠C）； ③正确； ④∵∠AEB＝∠EBC+∠C， ∵∠ABE＝∠CBE， ∴∠AEB＝∠ABE+∠C， ∵BD⊥FC，FH⊥BE， ∴∠FGD＝∠FEB， ∴∠BGH＝∠ABE+∠C， ④正确， 故选：D． 二．填空题（共6小题） 7．【分析】根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出∠P的度数． 【解答】解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线， ∴∠ABP＝∠CBP＝20°，∠ACP＝∠MCP＝50°， ∵∠PCM是△BCP的外角， ∴∠P＝∠PCM﹣∠CBP＝50°﹣20°＝30°， 故答案为：30°． 8．【分析】连接BF，过点C作CH⊥BF．交BF的延长线于H，由等边三角形的性质可知∠ABF＝30°，则点F在射线BF上运动，当点F与点H重合时，CF最小，从而解决问题． 【解答】解：连接BF，过点C作CH⊥BF．交BF的延长线于H， ∵△BDE是等边三角形，点F是DE的中点， ∴∠ABF＝30°， ∴点F在射线BF上运动， 当点F与点H重合时，CF最小， ∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°， ∴∠A＝60°，AB＝2AC＝12， ∵∠ABF＝30°， ∴∠BD'H＝∠AD'C＝60°， ∴△ACD'是等边三角形， ∴AD'＝AC＝6， ∴BD'＝AB﹣AD'＝12﹣6＝6， ∴△BDE的周长为：18， 故答案为：18． 9．【分析】由角平分线的定义可得∠OBC+∠OCB（∠ABC+∠ACB），再由三角形的内角和定理可求解∠BOC＝90°∠A，即可判定①；由角平分线的定义可得∠DCF∠ACF，结合三角形外角的额性质可判定②；由三角形外角的性质可得∠MBC+∠BCN＝180°+∠A，再利用角平分线的定义及三角形的内角和定理可判定③；利用三角形外角的性质可得∠E+∠DCF＝90°+∠DBC，结合∠ABD＝∠DBC可判定④． 【解答】解：∵∠ABC，∠ACB的平分线交于点O， ∴∠ABD＝∠OBC∠ABC，∠OCB＝∠ACO∠ACB， ∴∠OBC+∠OCB（∠ABC+∠ACB）， ∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A， ∵∠BOC+∠OBC+∠OCB＝180°， ∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°（180°﹣∠A）＝90°∠A，故①正确， ∵CD平分∠ACF， ∴∠DCF∠ACF， ∵∠ACF＝∠ABC+∠A，∠DCF＝∠OBC+∠D， ∴∠D∠A，故②正确； ∵∠MBC＝∠A+∠ACB，∠BCN＝∠A+∠ABC，∠ACB+∠A+∠ABC＝180°， ∴∠MBC+∠BCN＝∠A+∠ACB+∠A+∠ABC＝180°+∠A， ∵BE平分∠MBC，CE平分∠BCN， ∴∠MBC＝2∠EBC，∠BCN＝2∠BCE， ∴∠EBC+∠BCE＝90°∠A， ∵∠E+∠EBC++BCE＝180°， ∴∠E＝180°﹣（∠EBC+∠BCE）＝180°﹣（90°∠A）＝90°∠A，故③错误； ∵∠DCF＝∠DBC+∠D， ∴∠E+∠DCF＝90°∠A+∠DBC∠A＝90°+∠DBC， ∵∠ABD＝∠DBC， ∴∠E+∠DCF＝90°+∠ABD．故④正确， 综上正确的有：①②④． 10．【分析】①根据正方形的性质得到BC＝CD，∠BCE＝∠DCE＝45°．根据全等三角形的性质得到∠CBE＝∠CDE＝15°，故①正确； ②过D作DM⊥AC于M，根据三角形的内角和得到∠AED＝60°，解直角三角形即可得到AE1，故②正确； ③根据勾股定理求出AC＝2，根据三角形的内角公式得到S△DEC（1），故③错误； ④在EF上取一点G，使EG＝EC，连接CG，推出△CEG是等边三角形．根据全等三角形的性质得到DE＝GF．于是得到EF＝CE+ED，故④正确． 【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝CD，∠BCE＝∠DCE＝45°． 在△BCE和△DCE中，， ∴△BCE≌△DCE（SAS）， ∴∠CBE＝∠CDE＝15°，故①正确； ②过D作DM⊥AC于M， ∵∠CDE＝15°，∠ADC＝90°， ∴∠ADE＝75°， ∵∠DAE＝45°， ∴∠AED＝60°， ∵AD＝AB， ∴AM＝DM， ∴MEDM1， ∴AE1，故②正确； ③根据勾股定理求出AC＝2， ∵DM，EM＝1， ∵∠DCA＝45°，∠AED＝60°， ∴CM， ∴CE＝CM﹣EM1， ∴S△DEC（1），故③错误； ④在EF上取一点G，使EG＝EC，连接CG， ∵BC＝CF， ∴∠CBE＝∠F， ∴∠CBE＝∠CDE＝∠F＝15°． ∴∠CEG＝60°． ∵CE＝GE， ∴△CEG是等边三角形． ∴∠CGE＝60°，CE＝GC， ∴∠GCF＝45°， ∴∠ECD＝GCF． 在△DEC和△FGC中，， ∴△DEC≌△FGC（SAS）， ∴DE＝GF． ∵EF＝EG+GF， ∴EF＝CE+ED，故④正确； 故答案为：①②④． 11．【分析】AB＝BC＝6，∠ABC＝60°，可得△ABC为等边三角形．作BM⊥AC于点M，可得M为AC的中点，可求得BM的长，连接DM，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DM为AC的一半．作DN⊥BM于点N，则BD 为直角三角形的斜边，利用平行线分线段成比例定理可得MN的长，利用勾股定理可得DN的长，进而根据勾股定理可得BD的长． 【解答】解：过点B作BM⊥AC于点M，过点D作DN⊥BM于点N，连接DM． ∴∠BMC＝∠BND＝90°， ∴CM∥DN． ∵BE＝3DE， ∴BM＝3MN． ∵AB＝BC＝6，∠ABC＝60°， ∴△ABC为等边三角形， ∴AC＝6． ∵BM⊥AC， ∴CMAC＝3． ∴BM3． ∴MN． ∴BN＝4． ∵∠ADC＝90°， ∴DMAC＝3． ∴DN． ∴BD3． 故答案为：3． 12．【分析】分两种情况讨论P点的位置．点P位于MN左侧．点P位于MN右侧，分别画出相应的图形，根据全等三角形和等腰三角形的性质可求出∠OMP的度数， 【解答】解：（1）当P位于MN左侧时，如图1， ∵△OMN是等边三角形， ∴MN＝MO＝ON，∠MON＝∠MNO＝60°， ∵∠MNP＝∠AOB＝α， ∴∠PON＝∠PNO， ∴PO＝PN， △MPO≌△MPN，（SAS） ∴∠OMP＝∠NMP∠OMN60°＝30° （2）当P位于MN右侧时，如图2，将△MNP绕着点M顺时针旋转60°得到△MOQ， 此时△MPQ是等边三角形， ∴∠MPQ＝60°， ∴∠OMP＝180°﹣∠MPQ﹣∠MOP＝180°﹣60°﹣α＝120°﹣α， 故答案为：30°或120°﹣α． 三．解答题（共15小题） 13．【分析】（1）根据线段垂直平分线和等腰三角形性质得出AB＝AE＝CE，求出∠AEB和∠C＝∠EAC，即可得出答案； （2）根据已知能推出2DE+2EC＝7cm，即可得出答案． 【解答】解：（1）∵AD垂直平分BE，EF垂直平分AC， ∴AB＝AE＝EC， ∴∠C＝∠CAE， ∵∠BAE＝40°， ∴∠AED＝70°， ∴∠C∠AED＝35°； （2）∵△ABC周长13cm，AC＝6cm， ∴AB+BE+EC＝7cm， 即2DE+2EC＝7cm， ∴DE+EC＝DC＝3.5cm． 14．【分析】（1）连接AE，根据垂直平分线的性质，可知BE＝AE＝AC，根据等腰三角形三线合一即可知AD⊥BC （2）设∠B＝x°，由（1）可知∠BAE＝∠B＝x°，然后根据三角形ABC的内角和为180°列出方程即可求出x的值． 【解答】解：（1）连接AE， ∵EF垂直平分AB ∴AE＝BE ∵BE＝AC ∴AE＝AC ∵D是EC的中点 ∴AD⊥BC （2）设∠B＝x° ∵AE＝BE ∴∠BAE＝∠B＝x° ∴由三角形的外角的性质，∠AEC＝2x° ∵AE＝AC ∴∠C＝∠AEC＝2x° 在三角形ABC中，3x°+75°＝180° x°＝35° ∴∠B＝35° 15．【分析】（1）求得∠A的度数后利用四边形的内角和定理求得结论即可； （2）连接FB，根据AB＝BC，且点F是AC的中点，得到BF⊥AC，∠ABF＝∠CBF∠ABC，证得∠CFD＝∠CBF后即可证得∠CFD∠ABC． 【解答】解：（1）∵∠AFD＝155°， ∴∠DFC＝25°， ∵DF⊥BC，DE⊥AB， ∴∠FDC＝∠AED＝90°， 在Rt△FDC中， ∴∠C＝90°﹣25°＝65°， ∵AB＝BC， ∴∠C＝∠A＝65°， ∴∠EDF＝360°﹣65°﹣155°﹣90°＝50°． （2）连接BF ∵AB＝BC，且点F是AC的中点， ∴BF⊥AC，∠ABF＝∠CBF∠ABC， ∴∠CFD+∠BFD＝90°， ∠CBF+∠BFD＝90°， ∴∠CFD＝∠CBF， ∴∠CFD∠ABC． 16．【分析】根据角平分线的定义得到∠BOE∠AOB＝45°，∠COF＝∠BOF∠BOC，再计算出∠BOF＝∠EOF﹣∠BOE＝15°，然后根据∠BOC＝2∠BOF，∠AOC＝∠BOC+∠AOB进行计算． 【解答】解：∵OE平分∠AOB，OF平分∠BOC， ∴∠BOE∠AOB90°＝45°，∠COF＝∠BOF∠BOC， ∵∠BOF＝∠EOF﹣∠BOE＝60°﹣45°＝15°， ∴∠BOC＝2∠BOF＝30°； ∠AOC＝∠BOC+∠AOB＝30°+90°＝120°． 17．【分析】（1）①根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到∠ACB＝∠DCE，根据全等三角形的性质即可得到结论； ②根据全等三角形的性质得到∠CAD＝∠CBE＝α+∠BAO，根据三角形的内角和即可得到结论； （2）如图2，作BP⊥MN交MN的延长线于P，作DQ⊥MN于Q，根据全等三角形的性质得到MC＝BP，同理，CM＝DQ，等量代换得到DQ＝BP，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：（1）①∵CA＝CB，CD＝CE，∠CAB＝∠CED＝α， ∴∠ACB＝180°﹣2α，∠DCE＝180°﹣2α， ∴∠ACB＝∠DCE， ∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB， ∴∠ACD＝∠BCE， 在△ACD和△BCE中，， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴BE＝AD； ②∵△ACD≌△BCE， ∴∠CAD＝∠CBE＝α+∠BAO， ∵∠ABE＝∠BOA+∠BAO， ∴∠CBE+α＝∠BOA+∠BAO， ∴∠BAO+α+α＝∠BOA+∠BAO， ∴∠BOA＝2α； （2）如图2，作BP⊥MN交MN的延长线于P，作DQ⊥MN于Q， ∵∠BCP+∠BCA＝∠CAM+∠AMC， ∵∠BCA＝∠AMC， ∴∠BCP＝∠CAM， 在△CBP与△ACM中，， ∴△CBP≌△ACM（AAS）， ∴MC＝BP， 同理，CM＝DQ， ∴DQ＝BP， 在△BPN与△DQN中，， ∴△BPN≌△DQN（AAS）， ∴BN＝ND， ∴N是BD的中点． 18．【分析】因为AD是高，所以∠ADC＝90°，又因为∠C＝70°，所以∠DAC度数可求；因为∠BAC＝50°，∠C＝70°，所以∠BAO＝25°，∠ABC＝60°，BF是∠ABC的角平分线，则∠ABO＝30°，故∠BOA的度数可求． 【解答】解：∵AD⊥BC ∴∠ADC＝90° ∵∠C＝70° ∴∠DAC＝180°﹣90°﹣70°＝20°； ∵∠BAC＝50°，∠C＝70° ∴∠BAO＝25°，∠ABC＝60° ∵BF是∠ABC的角平分线 ∴∠ABO＝30° ∴∠BOA＝180°﹣∠BAO﹣∠ABO＝180°﹣25°﹣30°＝125°． 19．【分析】（1）根据全等三角形的性质得到∠ABC＝∠DBE，计算即可； （2）根据全等三角形的性质求出BE、DE，根据三角形的周长公式计算即可． 【解答】解：（1）∵∠ABE＝162°，∠DBC＝30°， ∴∠ABD+∠CBE＝132°， ∵△ABC≌△DBE， ∴∠ABC＝∠DBE， ∴∠ABD＝∠CBE＝132°÷2＝66°， 即∠CBE的度数为66°； （2）∵△ABC≌△DBE， ∴DE＝AC＝AD+DC＝5，BE＝BC＝4， ∴△CDP与△BEP的周长和＝DC+DP+PC+BP+PE+BE＝DC+DE+BC+BE＝2.5+5+4+4＝15.5． 20．【分析】（1）根据幸运线定义即可求解； （2）分3种情况，根据幸运线定义得到方程求解即可； （3）分3种情况，根据幸运线定义得到方程求解即可． 【解答】解：（1）一个角的平分线是这个角的“幸运线”； 故答案为：是； （2）①设∠AOC＝x，则∠BOC＝2x， 由题意得，x+2x＝45°，解得x＝15°， ②设∠AOC＝x，则∠BOC＝x， 由题意得，x+x＝45°，解得x＝22.5°， ③设∠AOC＝x，则∠BOCx， 由题意得，xx＝45°，解得x＝30°， 故答案为：15°或22.5°或30°； （3）当0＜t≤4时，∠MON＝60+5t，∠AON＝60﹣15t， 若射线OA是∠MON的幸运线， 则∠AON，即60﹣15t（60+5t），解得t； ∠AON∠MON，即60﹣15t（60+5t），解得t； ∠AON∠MON，即60﹣15t（60+5t），解得t； 当4＜t＜9时，∠MOA＝20t，∠AON＝15t﹣60， 若射线ON是∠AOM的幸运线， 则∠AON∠MOA即15t﹣6020t，解得t＝12（舍）； ∠AON∠MOA，即15t﹣6020t，解得t； ∠AON∠MOA，即15t﹣6020t，解得t＝36（舍）； 故t的值是或或或． 21．【分析】（1）根据角平分线的性质定理解答； （2）作DE⊥BA交BA延长线于E，DF⊥BC于F，证明△DEA≌△DFC，根据全等三角形的性质证明； （3）在BC时截取BK＝BD，连接DK，根据（2）的结论得到AD＝DK，根据等腰三角形的判定定理得到KD＝KC，结合图形证明． 【解答】解：（1）∵BD平分∠ABC，∠BAD＝90°，∠BCD＝90°， ∴DA＝DC（角平分线上的点到角的两边距离相等）， 故答案为：角平分线上的点到角的两边距离相等； （2）如图2，作DE⊥BA交BA延长线于E，DF⊥BC于F， ∵BD平分∠EBF，DE⊥BE，DF⊥BF， ∴DE＝DF， ∵∠BAD+∠C＝180°，∠BAD+∠EAD＝180°， ∴∠EAD＝∠C， 在△DEA和△DFC中， ∴△DEA≌△DFC（AAS）， ∴DA＝DC； （3）如图，在BC上截取BK＝BD，连接DK， ∵AB＝AC，∠A＝100°， ∴∠ABC＝∠C＝40°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠DBK∠ABC＝20°， ∵BD＝BK， ∴∠BKD＝∠BDK＝80°，即∠A+∠BKD＝180°， 由（2）的结论得AD＝DK， ∵∠BKD＝∠C+∠KDC， ∴∠KDC＝∠C＝40°， ∴DK＝CK， ∴AD＝DK＝CK， ∴BD+AD＝BK+CK＝BC． 22．【分析】（1）根据勾股定理计算即可； （2）分∠BPE＝90°、∠BEP＝90°两种情况，根据勾股定理计算． 【解答】解：（1）∵CD＝10，DE＝7， ∴CE＝10﹣7＝3， 在Rt△CBE中，BE5； （2）当∠BPE＝90°时，AP＝10﹣3＝7， 则t＝7÷1＝7（秒）， 当∠BEP＝90°时，BE2+PE2＝BP2，即52+42+（7﹣t）2＝（10﹣t）2， 解得，t， ∴当t＝7或时，△BPE为直角三角形． 23．【分析】（1）直接利用常态三角形的定义判断即可； （2）利用勾股定理以及结合常态三角形的定义得出两直角边的关系，进而得出答案； （3）直接利用直角三角形的性质结合常态三角形的定义得出BD的长，进而求出答案． 【解答】解：（1）∵22+42＝4×（）2＝20， ∴△ABC三边长分别是2，和4，则此三角形是常态三角形． 故答案为：是； （2）∵Rt△ABC是常态三角形， ∴设两直角边长为：a，b，斜边长为：c， 则a2+b2＝c2，a2+c2＝4b2， 则2a2＝3b2， 故a：b：， ∴设ax，bx， 则cx， ∴此三角形的三边长之比为：：：． 故答案为：：：； （3）∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，点D为AB的中点，△BCD是常态三角形， ∴当AD＝BD＝DC，CD2+BD2＝4×62时， 解得：BD＝DC＝6， 则AB＝12， 故AC6， 则△ABC的面积为：6×6． 当AD＝BD＝DC，CD2+BC2＝4×BD2时， 解得：BD＝DC＝2， 则AB＝4， 故AC＝2， 则△ABC的面积为：6×26． 故△ABC的面积为或6． 24．【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到DC＝BD，根据三角形的周长公式计算； （2）根据三角形内角和定理计算即可． 【解答】解：（1）∵MN垂直平分BC， ∴DC＝BD， CE＝EB， 又∵EC＝4， ∴BE＝4， 又∵△BDC的周长＝18， ∴BD+DC＝10， ∴BD＝5； （2）∵∠ADM＝60°， ∴∠CDN＝60°， 又∵MN垂直平分BC， ∴∠DNC＝90°， ∴∠C＝30°， 又∵∠C＝∠DBC＝30°， ∠ABD＝20°， ∴∠ABC＝50°， ∴∠A＝180°﹣∠C﹣∠ABC＝100°． 25．【分析】（1）根据线段垂直平分线和等腰三角形性质得出AB＝AE＝CE，求出∠AEB和∠C＝∠EAC，即可得出答案； （2）根据已知能推出2DE+2EC＝8cm，即可得出答案． 【解答】解：（1）∵AD垂直平分BE，EF垂直平分AC， ∴AB＝AE＝EC， ∴∠C＝∠CAE， ∵∠BAE＝40°， ∴∠AED＝70°， ∴∠C∠AED＝35°； （2）∵△ABC周长14cm，AC＝6cm， ∴AB+BE+EC＝8cm， 即2DE+2EC＝8cm， ∴DE+EC＝DC＝4cm． 26．【分析】直接利用勾股定理得出AN2﹣BN2＝AM2﹣BM2，进而得出答案． 【解答】证明：∵MN⊥AB， ∴在Rt△AMN和Rt△BMN中， AN2＝AM2﹣MN2，NB2＝BM2﹣MN2， ∴AN2﹣BN2＝AM2﹣BM2， 在Rt△ACM中，AM2﹣CM2＝AC2， ∵AM是△ABC的中线， ∴CM＝BM， ∴AN2﹣BN2＝AM2﹣BM2＝AM2﹣CM2＝AC2． 27．【分析】（1）由DM＝DN，∠MDN＝60°，可证得△MDN是等边三角形，又由△ABC是等边三角形，CD＝BD，易证得Rt△BDM≌Rt△CDN，然后由直角三角形的性质，即可求得BM、NC、MN之间的数量关系 BM+NC＝MN，此时 ； （2）在CN的延长线上截取CM1＝BM，连接DM1．可证△DBM≌△DCM1，即可得DM＝DM1，易证得∠CDN＝∠MDN＝60°，则可证得△MDN≌△M1DN，然后由全等三角形的性质，即可得结论仍然成立； （3）首先在CN上截取CM1＝BM，连接DM1，可证△DBM≌△DCM1，即可得DM＝DM1，然后证得∠CDN＝∠MDN＝60°，易证得△MDN≌△M1DN，则可得NC﹣BM＝MN． 【解答】解：（1）如图1，BM、NC、MN之间的数量关系 BM+NC＝MN， 此时 ， 理由：∵DM＝DN，∠MDN＝60°， ∴△MDN是等边三角形， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝60°， ∵BD＝CD，∠BDC＝120°， ∴∠DBC＝∠DCB＝30°， ∴∠MBD＝∠NCD＝90°， ∵DM＝DN，BD＝CD， ∴Rt△BDM≌Rt△CDN， ∴∠BDM＝∠CDN＝30°，BM＝CN， ∴DM＝2BM，DN＝2CN， ∴MN＝2BM＝2CN＝BM+CN； ∴AM＝AN， ∴△AMN是等边三角形， ∵AB＝AM+BM， ∴AM：AB＝2：3， ∴； （2）猜想：结论仍然成立， 证明：在NC的延长线上截取CM1＝BM，连接DM1， ∵∠MBD＝∠MCD＝90°，BD＝CD， ∴△DBM≌△DCM1， ∴DM＝DM1，∠MBD＝∠M1CD，M1C＝BM， ∵∠MDN＝60°，∠BDC＝120°， ∴∠M1DN＝∠MDN＝60°， ∴△MDN≌△M1DN， ∴MN＝M1N＝M1C+NC＝BM+NC， ∴△AMN的周长为：AM+MN+AN＝AM+BM+CN+AN＝AB+AC， ∴； （3）证明：在CN上截取CM1＝BM，连接DM1， 可证△DBM≌△DCM1， ∴DM＝DM1， 可证∠M1DN＝∠MDN＝60°， ∴△MDN≌△M1DN， ∴MN＝M1N， ∴NC﹣BM＝MN． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $