2.2.1双曲线及其标准方程课件-2025-2026学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦双曲线及其标准方程，通过复习椭圆定义引入，提出“距离和改差”的问题，结合拉链实验探究轨迹，搭建从椭圆到双曲线的知识支架，帮助学生建立新旧知识联系。 其亮点在于以实验探究和问题链驱动，通过拉链操作培养数学眼光（抽象能力），概念辨析（如绝对值作用、2a与2c关系）发展数学思维（推理意识），表格对比椭圆与双曲线强化数学语言表达。例题变式与步骤总结助力学生掌握方法，教师可提升教学效率。

2.2.1 双曲线及其标准方程 椭圆的第一定义: 平面内与两个定点|F1F2|的距离的和等于常数(大于|F1F2| )的点的轨迹叫做椭圆. 椭圆的标准方程: 思考 如果把椭圆定义中“距离的和”改为“距离的差”那么动点的轨迹会发生怎样的变化？ 复习引入 [1]取一条拉链，拉开，在两支上各选一不对称两点； [2]如图把它固定在 板上的两点F1，F2； [3] 笔尖套住拉链头拉动； 思考：笔尖运动的 轨迹是什么？ 新知探究 观察AB两图探究双曲线的定义 ①如图(A)， |MF1|-|MF2|=|F2F|=2a ②如图(B)， |MF2|-|MF1|=|F1F|=2a 由①②可得： | |MF1|-|MF2| | = 2a （差的绝对值） 上面 两条合起来叫做双曲线 右支 左支 新知探究 双曲线的定义自然语言 符号表示 1. 双曲线的定义 问题1 定义中为什么强调距离差的绝对值为常数？ 如果不加绝对值，那得到的轨迹只是双曲线的一支. 2 F F 1 M 一般用2a表示 一般用2c表示 F1 F2 M F1 F2 M 如果不加绝对值，那得到的轨迹只是双曲线的一支. 概念辨析 符号表述： ① 若2a=2c, 即||MF1|-|MF2||= |F1F2|，则轨迹是什么？ ② 若2a>2c, 即||MF1|-|MF2|| > |F1F2|，则轨迹是什么？ ③ 若2a=0, 即|MF1|=|MF2|，则轨迹是什么？ 此时轨迹为以F1或F2为端点的两条射线 此时轨迹不存在 此时轨迹为线段F1F2的垂直平分线 问题2 定义中为什么强调距离之差要小于|F1F2|且不等于0(即0<2a<2c)？如果不对常数加以限制 ，动点的轨迹会是什么？ F1 F2 M F1 F2 M 2 F F 1 M 概念辨析 已知两定点F1(－5,0)，F2(5,0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，则当a＝3和5时，P点的轨迹为(　　) A．双曲线和一直线 B．双曲线和一条射线 C．双曲线的一支和一条射线 D．双曲线的一支和一条直线 设M(x,y)为双曲线上任一点, ① 建系: 如图所示，建立平面直角坐标系. ② 设点： ③ 列式： ④ 化简整理得： 我们把上述方程叫做双曲线的标准方程，它表示焦点在x轴上，焦点坐标分别是F1(-c, 0), F2(c, 0)的双曲线，这里c2=a2+b2. 2. 双曲线标准方程 建系 设点 列式代入 化简 检验 x y O F1 F2 M 双曲线的焦距为2c(c>0), 那则有 F1(-c,0), F2(c,0), 由双曲线定义||MF1|-|MF2||=2a(0<a<c), 则有 O • • • M 问题4根据上述讨论，如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？ F ( ±c, 0) F(0, ± c) 其中c2=a2+b2 记忆口诀： 化成标准式， 焦点跟着正项走 问题3 类比椭圆，请思考焦点在y轴上的双曲线的标准方程是什么？ ① 方程用“－”号连接; 方程等号左边是平方差的形式，右边是1. ② 分母是a2, b2, 且a>0, b>0， ③ c2=a2+b2 ；C最大 ④ 如果x2的系数是正的，则焦点在x轴上； 如果y2的系数是正的，则焦点在y轴上. O M F2 F1 x y F2 F1 M x O y 3. 双曲线两种标准方程的特点 谁正谁对应a 问题5 方程有什么的特征？ *化成标准式，焦点在正项所在轴！ 但a, b大小不定；   × × × 应用探究 2、 下列哪些方程是双曲线的方程？ 3.（1）已知双曲线的方程为： 则 a=___，b=___，c=____，焦点坐标______________，焦距等于____. (2)已知椭圆的方程为： 则 a=___，b=___，c=____，焦点坐标______________，焦距等于____. 3 4 5 10 (-5,0)、(5,0) 4 3 5 (0，-5,)、(0，5) 10 例1 已知双曲线的焦点 F1(-5, 0), F2(5, 0)，双曲线上一点P到焦点的距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程. ∴双曲线的标准方程为 变式1：若|PF1|=10，求|PF2|？ 变式2：若|PF1|-|PF2|=6，则点P的轨迹是什么？ 4或16 双曲线的右支 变式3：若P到F1、F2距离的差的绝对值等于10呢？ 变式4：若P到F1、F2距离的差的绝对值等于0呢？ 两条射线 F1F2的垂直平分线 F1 F2 例1 已知双曲线的焦点 F1(-5, 0), F2(5, 0)，双曲线上一点P到焦点的距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程. F2 F1 M x O y 表示焦点在轴双曲线呢？ 求适合下列条件的双曲线的标准方程. (1) 焦点在轴x上，a=4，b=3 ； (2) 焦点在轴x上，经过点 (3) 焦点为(0, -6), (0, 6), 且经过点(2, -5). (2) ∵焦点在x轴上，故可设双曲线的标准方程为 求适合下列条件的双曲线的标准方程. (1) 焦点在轴x上，a=4，b=3 ； (2) 焦点在轴x上，经过点 (3) 焦点为(0, -6), (0, 6), 且经过点(2, -5). (2)解2 : 设双曲线的方程为 求适合下列条件的双曲线的标准方程. (1) 焦点在轴x上，a=4，b=3 ； (2) 焦点在轴x上，经过点 (3) 焦点为(0, -6), (0, 6), 且经过点(2, -5). (3) 解1: ∵焦点在y轴上，故可设双曲线的标准方程为 求适合下列条件的双曲线的标准方程. (1) 焦点在轴x上，a=4，b=3 ； (2) 焦点在轴x上，经过点 (3) 焦点为(0, -6), (0, 6), 且经过点(2, -5). (3) 解2: (定义法) (1)求双曲线标准方程的步骤： ①定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点 位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式. ②定量：是指确定 的数值，常由条件列方程组求解. (2)求双曲线标准方程的两种方法： ①定义法：根据双曲线的定义得到相应的 ，再写出双曲线的标准方程. ②待定系数法： 先设出双曲线的标准方程 或者 然后根据条件求出待定的系数代入方程即可. 双曲线 定 义 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图像 方 程 焦 点坐标 焦点位置判断 a, b, c的关系 a>0, b>0, c2=a2+b2 a, b, c中c最大 ||MF1|－|MF2||=2a (2a<2c) F1(－c, 0), F2(c, 0) F1(0, －c), F2(0, c) 化为标准方程，焦点跟着正项走 椭圆 双曲线 定 义 方 程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 焦 点 a, b, c 的关系 F1(－c, 0), F2(c, 0) a>0, b>0, c2=a2+b2 a, b, c中c最大 a>b>0, a2=b2+c2 a, b, c中a最大 双曲线与椭圆之间的区别与联系有哪些？ ||MF1|－|MF2||=2a (2a<2c) |MF1|+|MF2|=2a (2a>2c) F1(0, －c), F2(0, c) F1(－c, 0), F2(c, 0) F1(0, －c), F2(0, c) Lavf58.29.100 Packed by Bilibili XCoder v2.0.2 变式．方程表示椭圆，求的取值范围． 方程表示双曲线的条件 (1)若方程＋ ＝1表示双曲线，则有mn < 0； 若方程＋ ＝1表示焦点在x轴上的双曲线，则有m > 0，n < 0； 若方程＋ ＝1表示焦点在y轴上的双曲线，则有n > 0，m < 0． (2)若方程－ ＝1表示双曲线，则有mn > 0； 若方程－ ＝1表示焦点在x轴上的双曲线，则有m > 0，n > 0； 若方程－ ＝1表示焦点在y轴上的双曲线，则有n < 0，m < 0． $