四川遂宁市2025-2026学年高二上学期期末教学质量监测数学试题

高2027届高二上期期末教学质量监测 数学试题 本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。总分150分。考试时间120分钟。 第 卷(选择题,满分58分) 注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。并检查条形码粘贴是否正确。 2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上,非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。 3.考试结束后,将答题卡收回。 一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.) 1.根据数列,,,,…的前4项,求出数列的一个通项公式 A. B. C. D. 2.已知是空间直角坐标系中的一点,与点关于平面对称的点是 A. B. C. D. 3.袋中有8个大小质地完全相同的球,其中3个红球、5个黄球.从中任取3个球,那么“至少有1个红球”的对立事件是 A.至少有2个红球 B.至少有2个黄球 C.都是黄球 D.至多1个红球 4.求经过点,且与直线平行的直线方程为 A. B. C. D. 5.已知直线恒过定点,点为抛物线的焦点,则= A.-2 B. C.1 D.2 6.与圆及圆都外切的圆的圆心轨迹为 A.圆 B.椭圆 C.双曲线的一支 D.抛物线 7.已知双曲线:与直线有唯一的公共点,过点 且与垂直的直线分别交轴、轴于,两点.当点运动时,可得点 的轨迹为双曲线(去掉两个顶点),则的离心率为 A. B. C.3 D. 8.已知数列、满足:,,这两个数列的项组成一个集合.集合 中的数按从小到大的顺序排列组成新数列,的前项和为,则 A.5014 B.5040 C.5041 D.5051 二、选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.) 9.已知事件,满足,,则下列说法正确的是. A.若,则 B.若与相互独立,则 C.若,则与相互独立 D.若与互斥,则 10.若直线与抛物线相交于两点,则下列说法正确的是 A.若直线过抛物线焦点,则 B.若直线过抛物线的焦点,过两点分别向准线作垂线,垂足分别为, 则 C.若直线过点,则 ; D.若三角形为直角三角形,过作,垂足为,则点的轨迹 方程为:; 11. 在正方体中,点满足:,其中, ,则下列说法正确的是 A.当时, B.当时,点在棱上 C.当时,三棱锥的体积为定值 D.时,存在两个点,使得 第 卷(非选择题,共92分) 注意事项: 1.请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第 卷答题卡上作答,不能答在此试卷上。 2.试卷中横线及框内注有“ ”的地方,是需要你在第 卷答题卡上作答。 三、填空题:(本题共3小题,每小题5分,共15分.) 12.城市足球联赛“川超”火爆出圈,甲乙两支队进行一场比赛,若甲获胜的概率为0.4,甲、乙踢成平局的概率为0.3,则甲不输的概率为 . 13.已知直线:圆.若圆上有四个点与直线距离为1.则的取值范围为 . 14.在平行六面体中,,,,则 . 四、解答题(本题共5小题,共77分,解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.) 15.骰子是一种古老而又受欢迎的游戏工具.抛掷一红一绿两颗质地均匀的六面体骰子,记下骰子朝上面的点数,用表示红色骰子的点数,表示绿色骰子的点数,()表示一次试验的结果,设“两个点数之和等于7”,“至少有一颗骰子的点数为4” (1)求事件的概率; (2)求事件的概率. 16.设数列满足:,. (1)证明:数列为等比数列 (2)若,求数列的前项和. 17.已知圆过点,圆心在直线上. (1)求的标准方程; (2)直线与交于两点,点为上任意一点,求面积的 最大值. 18. 如图,平面,, . (1)证明:∥平面; (2)若. (i)求平面与平面所成角的余弦值; (ii)判断在线段上是否存在一点,使得三棱锥的体积为?若存在,求出点的位置;若不存在,说明理由。 19.已知椭圆的离心率为是的等比中项. (1)求的方程. (2)过内点的直线与交于两点,设直线的斜率分别为 (i)若,点,求的值. (ii)若点是直线上的一个动点, 证明:成等差数列. 高二数学试题第4页(共6页) 学科网(北京)股份有限公司 $ 高2027届高二上期期末教学质量监测 数学试题参考答案 一、单选题（每个5分，共40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D C B D C B A 二、多选题（每个6分，共18分。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 题号 9 10 11 答案 ACD ABD AC 三､填空题（每小题5分，共20分．） 12．0.7 13． 14．3 四、解答题（本题共5小题，共77分，其中第15题13分，第16、17题15分， 第18、19题17分) 15．解：该试验的样本空间可表示为，共有36个样本点 （1）， 有6个样本点，所以；.............3分 ， 有11个样本点，所以.............6分 （2），有2个样本点，所以；.............9分 所以..............13分 16．解：（1）由，即，.............2分 又，.............3分, 所以， 即数列是以2为首项，2为公比的等比数列.............5分 （2） 由（1）知，，............7分 所以............8分， ∴，① ，②...........11分 ①②得 ，13分 所以．............15分 17．解：（1）由题意设圆心为，半径为， 则圆的标准方程为． 由题意得，解得，………………………5分 所以圆的标准方程为． ……………………7分 由（1）知圆的圆心为，半径为，则圆心到直线的距离为：则，…………………………11分 要使面积的最大，只需圆上点到直线的距离最大，即最大值为， ...............................................................................................13分 故面积的最大值为……………………15分 18．（1）法一：证明：平面ADE,AE平面ADE,则CF//平面ADE 同理：BC//平面ADE…………………2分 BCCF=C,BC平面BCF,CF平面BCF 则平面BCF//平面ADE…………………3分 又BF平面BCF BF//平面ADE…………………4分 法二：证明：依题意，建立以A为原点，分别以为x轴，y轴，z轴的空间直角坐标系(如图)， 可得. 设，则.……………………1分 （1）依题意，是平面ADE的一个法向量；2分 又因为，可得，……………3分 又因为直线平面，所以平面.…………4分 （2）(i)有（1）可得： ……5分 设分别为平面和平面的法向量。 ，令， 所以，是平面的一个法向量……………………6分 ，令， 所以，是平面的一个法向量…………………… —7分 设平面和平面的夹角为，二面角的平面角为 …………………… 9分 由图知，二面角为锐角， ，即二面角的余弦值为……………………10分 （ii）存在，点为线段上靠近的三等分点。…………11分 假设存在这样的点，且满足： ,…………………12分 又因为是平面的一个法向量。 所以点到平面的距离为，………………14分 所以，……………………………15分 因为， 符合题意……………………16分 所以，，即点为线段上靠近的三等分点,……………………17分 19．解：（1）由椭圆的离心率为，是的等比中项 则，结合，得， 故椭圆的方程：…………………………3分 （2）（i）当直线 的斜率为 0 时,, , 则 …………………………………………5分 当直线的斜率不为 0 时, 设 , 由 , 得 , 故………7分 则 ，结合 得 ………………………………………9分 把代入得 …………10分 （ii）直线 的斜率为 0 时, , 则 ； 即，于是成等差数列.……………………………………12分 当直线的斜率不为 0 时, 设 , 由 , 得 , 故……14分 则 ，结合 得 把代入得 …………16分 而即故：成等差 .………………17分 高二数学试题参考答案第1页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $