河南省实验中学2025-2026学年上学期期末试卷高二数学

河南省实验中学2025一2026学年上期期末试卷 年级高二科目数学命题人罗洁审题人李士彬 (时间：120分钟，满分：150分) 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1.若直线xm+1=0的倾斜角的大小为空则实数m=( A.V3 B号 c.-9 D.-V5 2.设等比数列{an},a3,an是方程x2+5x+4=0的两根，则a5的值是（) A.士2或± B.2或对 C.-2 D.2 B.若椭圆。±2三1的弦B被点P①，)平分，则B所在直线的方程为( A.4r+9y-13=0 B.9x14y-13=0 C.x+2y-3=0 D.x+3y-4=0 4.已知四面体OABC中，OA=1,OB=2,OC=2,∠A0B=LA0C=∠B0C=安，空间一点M满足AM=- 20A+号B+m0C,若4，B,C,M四点共面，则1oM=（) A号 B哈 2 C.2 D.3 2025a晚 5.在数列a}中，a1=2,a2=2025,a+1=z025-2a（n≥2)，则{a,)中的最大项是（） A.a1012 B.a1013 C.a2024 D.a2025 6.已知F为抛物线E:x2=2py(p>0)的焦点，△ABC的三个顶点都在E上，且F为△ABC的重心.若 FA+FB的最大值为10，则p=() A.1 B.2 C.3 D.4 7.直线l:a2x+y-3a2-5=0与l:x-ay+3a2-5=0相交于点P,点2在圆x2+y2=2上，则( A.Pg有最大值65 Pg有最大值5√2 C.Pg有最小值32 D.PO有最小值22 8,双曲线C:若-=1〔a>0)的左、右焦点分别为F,P2,以F为直径作圆0，交C的左支于点P 连接FP,过F2作F22∥FP,交C的右支于点g(P,Q在x轴同侧)，直线：y=k(x-3)与C的 右支有两个不同的交点，若△PQF2是等腰三角形，则实数k的取值范围为() 高二数学第1页（共4页） A.(，+四) B.(-,-u(9,+回) c(-,) D.(-,-u(,+) 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给州的选项中，有多项符合题目要求， 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.·以下四个命题表述正确的是() 、.过点(3,2)且在x轴、y轴上截距相等的直线方程为x+y-5=0 B.圆x2+y=4上有且仅有3个点到直线l:x-y+√2=0的距离都等于1 C.圆C1:x2+y2+2x=0与圆C2:x2+y2-4x-8y+m=0恰有三条公切线，则n=4 D.已知△ABC的三边所在的方程分别是lAB:4x-3yr10=0,lBC:y=2,lMc:3x-4y=5,则∠BAC 的平分线所在的直线方程为7x-7+5=0 10.已知数列{an}前n项和为Sa,Sn=2n2-n,则下列结论成立的有() A.数列(an}为等差数列 B.数列（亮）的前100项和为10000 C.若a2a3=a1ak,则k=4 D.若1+1 …t_1>8 1 ajaz aza3 a3a4 a-1an>3则n的最小值为8 11.已知抛物线C:2=4y的焦点为F,过F的直线I交抛物线C于A、B两点(A位于第一象限)，过A、 B作直线y=-1的垂线，垂足分别为AI,B1,则下列结论正确的是（) A.AB的最小值为4 B.若直线I交x轴于点M,FA=AM,则MM=3 C.抛物线C在点B处的切线与y=~1交于点N,则NA⊥NB D.记△FAA1,△FA1B1,△FBB1的面积分别为S1,S2,S,则S子=4S1S3 三.填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 2.设等比数列a)的前n现和为，省若号=6，受- 13.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，点P在线段AC1上（不含端点）.若∠BPD是锐角，则线段C1P 长度的取值范围为 高二数学第2页 (共4页) x2 y2 4。已知双曲线C:京-京=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为R1,F,过F,作渐近线的垂线交双曲线 的左支与点P,已如盼=克则双曲线的离心率为， 四.解答题（本大题共5小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分)已知线段AB的端点B的坐标是(2,1)，端点A在圆C1:(x-4)2+0y-3)2=4上运动， (1)求线段AB的中点P的轨迹C2的方程； (2)设圆C与曲线C2的交点为M、N,求线段MN的长. 16.(15分)已知抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F,过F作倾斜角为的动直线1交E于A,B两点.当 0=60°时，A8=5 (1)求抛物线E的方程； (2)点M(3,0),直线AM与E交于另一点C,直线BM与E交于另一点D,证明：△ABM与△CDM 的面积之比为定值. 17.(15分)如图，在三棱柱ABC-A1B1C中，△MBC是边长为2的等边三角形，CC1=2,∠C1CA=60°， D,E分别是线段AC,CC的中点，且平面AACC⊥平面ABC (1)求证：A1C⊥平面BDE; (2)若点F为线段B1C1上的动点（不包括端点），求平面FBD与 平面BDE夹角的余弦值的取值范闱. 高二数学第3页 (共4页) 18.(17分){an}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Sn(n∈N),{bn}是等差数列.己知a1=l,a =a2t2,a4=b3+bs,a5=b4+2b6. （1)求{an}和{bn}的通项公式： an (2)设ca=an十an+1十数列ca的前n项和为T,求m的值 (3)设dn= bn,n≠2k b.(ogzb+1),n=2'其中eN,求1d(nEN. 19.(17分)已知0为坐标原点，椭圆2： 登+发=1a>b>0)左、右焦点分别为F,户，长半轴长为2， 过F的直线m与椭圆2交于C,D两点，△FF2C的周长为2+2V2 (1)求n的方程： (2)若直线1与交于A,B两点，且0A·OB=0,求AB的取值范曲： (3)己知点P是椭圆n上的动点，是否存在定圆O:2+y=2(r>0),使得当过点P能作圆0的两条 切线PM,PN时（其中M,N分别是两切线与n的另一个交点），总满足PM=PM?若存在，求出圆O 的半径r:若不存在，请说明理由。 高二数学第4页 (共4页)河南省实验中学2025—2026学年上期期末试卷（答案） 一。 选择题（共8小题） 题号 1 2 5 6 7 8 答案 D B D D 。 多选题（共3小题） 题号 9 10 11 答案 BCD AB ACD 三.填空题（共3小题） 12.31 13.(0,9) 14.5 四。解答题（共5小题） 15.解：(1)设点P的坐标为(x,y),点A的坐标为(x0,y0), 2,y=0t1 由于点B的坐标为(2,1)，且点P是线段AB的中点，所以x=o2, 22分 则积2列-@. 因为点A在圆C上运动，所以(x-4)2+0y0-3)2=4②，… 4分 把①代入②，得(2x-2-4)2+(2y-1-3)2=4,整理得(x-3)2+(y-2)2=1, 所以点P的轨迹C2的方程为(x-3)2+（y-2)2=1.6分 (2)将圆C1:(x-4)2+0y-3)2=4与圆C2:(x-3)2+y-2)2=1的方程相减得：2x+2y-9=0,.9分 圆C2的圆心为(3,2)，半径为1， 则(3,2)到直线2x+2y-9=0的距离d=16+49=2 √22+22 4 11分 则MM=21日- 13分 16.(1)解：根据题意直线1的斜率不为0， 可设直线：=+号联立y+发得2的p-0, ly2=2px 设A(x1,y1),B(x2,y2),所以△=4p2(t2+1)>0,y1+y2=2pt,y1y2=-p2,.3分 ABI=v1+t2ly-y2l=v1+t2(y1 +y2)2-4yy1=2p(t2+1). 当0=60°时，t=,即A1=婴=号即p=2, 则抛物线E的方程为y2=4x.。 .7分 (2)证明：设C(x3,y3),D(x4,y4), 直线AC的方程：x=my叶3，直线BD的方程：x=y+3, 女3.斜-妈-12=0 10分 所以13=-12，同理，y2y4=-12, 所以yy3y4=（y13)（y2y4)=144,y1y2=-p2=-4,则y3y4=-36,… 13分 即S△ABy MAIIMBIsinLAMB 2= 41 S△CDM MCIMDISin-CMD MCIMDI y3y4 36-9 15分 17.(1)证明：连接AC1, △ABC是边长为2的等边三角形，D是线段AC的中点，，BD⊥AC, 平面AA1C1C⊥平面ABC,交线为AC,BDC平面ABC,.BD⊥平面AA1C1C,2分 又A1CC平面AA1C1C,∴.BDLA1C, ,四边形AA1CC为平行四边形，AC=CC=2,∴.四边形AA1CC为菱形，故A1CLAC, D,E分别是线段AC,CC1的中点，.DE∥AC,.DE⊥A1C,4分 BD∩DE=D,BD,DEC平面BDE,.A1C⊥平面BDE;6分 (2)解：连接C1D,,AC=CC1=2,∠C1CA=60°， C .△ACC为等边三角形，D是线段AC的中点，故C1D⊥AC, ,平面AA1C1C⊥平面ABC,交线为AC,C1DC平面AA1CC,∴，C1D⊥平面ABC, 以D为坐标原点，DB,DA,DC所在直线分别为x,y,二轴， 建立空间直角坐标系， 则A(0,1,0),C1(0,0,3),C0,-1,0),B(3,0,0),B1(W3,1,V3),A1(0,2,V3),8分 设C1F=1C1B1=1(W3,1,0)=(3,2,0),0<入<1， 设F(a,b,c),则(a,b,c-V3)=(32,,0): 故a=V3λ，b=,c=V3,故F(3λ，，5， BF=(W3λ-V5,,V3),DB=(3,0,0), 由(1)知，A1CL平面BDE,故平面BDE的一个法向量为A1C=(0,一3，-V3),10分 设平面FBD的法向量为n=(x1·y1·Z1): 则F=-同1++a,=0 (n·DB=V3x1=0 解得1=0，令n=1,则21=一号。则元=0.1，-号.…12分 3 设平面FBD与平面BDE夹角的大小为6， 2 则c0s0=1cos<Aic,元=4c过=10.-3，-同01，刘_上-3+4-3-1 2√2+322+3 13分 I4C V9+3×1+2 令3-入=t,.0<<1,.3-入=te(2,3), t 1 则c0s6 1 23-043226*219+g212g3+ ea3.e(写3.212g-r+7e(9..故0- 房分鸟. 1 故平面FBD与平面BDE夹角的余弦值取值范围为（吃）。l5分 18.解：(1)设等比数列{an}的公比为q,q>0, 由a1=1,a3=a2十2，可得q=q叶2，解得q=2(-1舍去)，则an=21;2分 设等差数列{bn}的公差为d,由a4=b3+b5,a5=b4+2b6, 可得2b1+6d=8,即b1+3d=4,3b1+13d=16,解得b1=d=1,故bm=1+n-1=n:4分 an 2n-1 1 (2）ca=ata+1tDFa中12+西2i+12年T' 所以=2-专+号君+日+写立+…十2一=是47分 1 111 (3)由dn= e得a代。.。50心 ∫bn,n≠2k n,n≠2k 1d=21i-12+1(i+1）2,10分 11=2029=20421,2122029=201-2.12分 2 1-2 设M=22+322+423+…+n…2n1+(n+1)…2”,2M=222+323+424+…+n2+(n+1)·2+1, 两式相减可得-M,=4+2242+…+2-(n+1)2+1=2+21-2四-(+1）·2+1，化为M,=2+1, 1-2 所以∑%1(i+1)…2=n2+1, 15分 则21d=224(4n-3)241+2. 17分 19.解：(1)因为椭圆：兰+发=1(a>b>0)的长半轴长为2，即a=V2. F,分别为左、右焦点，且△F1F2C的周长为2+2V2, t? 所以2a+2c=2+2W2.解得a=V2.c=1.b=1,所以n的方程为片+y2=1.3分 (2)①若直线AB斜率不存在，则设A(x0,y0),则B(x0,-y0), 因为0A0B=0.所以d=o所以号+y2-1.所以d=号所以48=2-25,4分 ②若直线AB斜率存在，设AB方程为y=+m,A(x1,1),B(x2:y2), (y=kx+m 联立 径+严=1消去y并整理可得（1+20)4物x+2m-2=0. 1+2k2≠0 4km x1+x2=-1+2k2 故 x1x2=1+22 2m2-2 ，5分 4=16k2m2-8(m2-1)(1+2k2)=8(1-m2+2k2)>0 所以0A:0B=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m) =0t的x+kmG1+十m2=1+的22-km0+m2=0.化简得2+2=3m 所以AB1=V1+k区√x1+x2)2-4x1x2=V1+2 8(1-m2+2k5_26 (1+4k2)(1+k2) (1+2k2)2 3V(1+2k2)2 7分 当=0时，此时1A8=2, 当k≠0时，此时lAB|= 2w6 4k4+5k2+1 26 1+ 1 3 V4k4+4k2+1 3 4k2+2+4 因为42+京+4≥24k2京+4=8.所以0< 2+4 1 所以IAB引= 26 1 1+ 3 4k2+2+4 (色5，V同.综上h的取值范图为A到5，V同.9分 (3)由(2)知22+2=3m2,故原点O到直线AB的距离为d= √2+1-31 即直线48恒与+一细切.故猜想存在这样的圆2+)少-号半径为 2 3 10分 当直线P4y=+n与x2+y2-相切时，圆心O到直线的距离d=侧 6 V1+t2 3 可得3n2=2+22. 12分 设P(x3,y3),M(x4,y4), (x2 联立方程z +y2=1,可得(22+1)x2+4x+2n2-2=0, (y=tx+n 所以x3+X4= 202474-222 4m 2t2+114分 OP.OM=x3x4+y3y4=x3x4+(tx3+n)(tx4+n)=(1+t2)x3x4+tn(x3+x4)+n2 =3m2-22-2=0,即0P1OM. 2t2+1 由椭圆的对称性，延长MO交椭圆于另一点M,则MO=M'O,且OP⊥OM, 根据对称性可得M=M八，且直线PM与x2+y2=弛相切，即M即为N.符合题意；16分 当PM斜率不存在时，此时两条切线分别为x=气，」 3,y= 6 3 ,显然满足题意 故存在这样的园2+yP-号半径为号 17分