6.6.1 柱、锥、台的侧面展开与面积课件-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

§6 简单几何体的再认识 6.1 柱、锥、台的侧面展开与面积 1 1.掌握圆柱、圆锥、圆台和球的侧面积和表面积公式.（重点） 2.掌握球截面的性质,以及内切球和外切球.（难点） 直角三角形 直角梯形 圆柱 圆锥 圆台 矩形 母线 旋转轴 半圆 球O 轴 观察圆柱、圆锥、圆台，若用剪刀沿着各自的母线将其裁剪，其侧面展开图是什么? 并推导出表面积. 圆柱的侧面展开图是矩形 O 圆柱 侧面积：S侧＝2πrl 表面积：S＝2πr2＋2πrl 圆锥的侧面展开图是扇形 O 圆锥 侧面积：S侧＝πrl 表面积：S＝πr2＋πrl O O′ 圆台的侧面展开图是扇环 圆台 侧面积：S侧＝π(r＋r′)l 表面积：S＝πr2＋πr′2＋π(r＋r′)l 小扇形的半径： . 球的表面积 柱、锥的表面都可展开放在平面内，这样我们就可以根据平面图形的性质，求它们的表面积.但球面不能展平成平面，我们要用其他方法求它的表面积： 分 割 近似求和 化为准确和 一、圆柱、圆锥、圆台和球的侧面积与表面积 C B 练习: 圆台的上下底面半径分别是10和20,它的侧面积展开图的扇环的圆心角是180,那么圆台的侧面积是多少? 二、表面最短距离问题 3、如图,一竖立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为4 m,一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发,绕圆锥表面爬行一周后回到点P处,若该小虫爬行的最短路程为4 m,求此圆锥底面圆的半径. 思考3：如图，用一个平面α去截半径为R的球O，截得的圆面的圆心为O′，OO′与平面α有什么位置关系？若OO′＝d，O′P的长等于多少？ 2.球的截面性质： 用任意平面截球所得的截面是一个圆面，球心和截面圆圆心的连线与这个截面垂直. 若R：球的半径, r：截面圆的半径，d：球心到截面的距离，则 （球的半径、截面圆的半径和球心到截面的距离组成一个直角三角形） R2=r2+d2 三、球的外接、内切问题 5、 已知一个长方体的8个顶点都在一个球面上，且长方体的棱长为3，4，5，求球的表面积. 所以所求的球的表面积为： 分析：确定满足到长方体的8个顶点都相等的点即为球心. 由题设可知，长方体的体对角线的中点的就是球心， 又因为 已知一个正方体的棱长为2.正方体的八个顶点均在同一球面上，求此球的表面积． 所以正方体的外接球直径等于正方体的对角线长，即 ∴球的表面积 解：正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，如图， 跟踪训练 （1）正方体的外接球： 正方体的内切球: （2）长方体的外接球： 长方体、正方体与球切、接的常用结论： ①长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则 ②正方体的棱长为a，则正方体的外接球的半径 ，正方体的内切球的半径为 ，球与正方体的各棱相切，则球的半径为 $