精品解析：广东省揭阳市揭西县棉湖中学2025-2026学年高二级第一学期期末教学质量自查数学试题

2025-2026学年第一学期高二级期末教学质量自查 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知点和点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用两点的斜率公式以及倾斜角与斜率的关系即可求得结果. 【详解】因为，且，所以的倾斜角 故选：B 2. 是直线的方向向量，是平面的法向量，若，则（ ） A. B. C. D. 15 【答案】A 【解析】 【分析】由，得到，求解即可； 【详解】由，得，即，解得. 故选：A 3. 若椭圆的离心率为，则（ ） A. B. 4 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用离心率的意义求出值. 【详解】依题意，，所以. 故选：D 4. 如图，在平行六面体中，M为和的交点，若，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，利用空间向量的线性运算法则，准确运算，即可求解. 【详解】根据空间向量的线性运算法则，可得：. 故选：C. 5. 如图，过抛物线的焦点的直线（斜率为正）交抛物线于点两点（其中点在第一象限），交其准线于点，若，则到抛物线的准线的距离为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】结合图形特征得出，，得出，再计算得出解得即得. 【详解】如图，分别过点作准线的垂线，垂足分别为点， 设，所以，由抛物线的定义得，所以， 在中，，又因为， 解得，又记准线与对称轴交于点，因为，解得，即到抛物线的准线的距离为4. 故选：B. 6. 记数列的前项和为，若数列是公差为的等差数列，则的值为（ ） A. 18 B. 12 C. 6 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】由等差数列通项公式求得，再由与的关系即可求解； 【详解】∵，∴， 又∵是公差为的等差数列， ∴，∴， ∴当时，， ∴，整理得：，即， ∵，∴……2，∴ 故选：B 7. 正方体的棱长为为的中点，则点到直线的距离为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，根据向量法即可求解. 【详解】建立空间直角坐标系，如图， 则，，， 所以，， 所以在方向上的投影向量的模为， 所以点到直线的距离. 故选：B. 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为6，离心率．过点且倾斜角为的直线与双曲线交于A，B两点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据已知条件求出双曲线方程，然后求出直线的方程，联立直线方程与双曲线方程，求得，，再根据弦长公式计算即可求解. 【详解】由题意得，， 所以，，所以，，， 所以双曲线的方程为， 因为，直线过点且倾斜角为，则直线的斜率， 所以直线l的方程为， 与双曲线的方程联立，消去，整理得， 解得，， 所以． 故选：D． 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知点和圆，下列说法正确的是（ ） A. 圆心，半径为 B. 点在圆外 C. 过点且与圆相切的直线有且只有一条 D. 设点是圆上住意一点，则的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，结合圆的标准方程即可判断，对于B和C选项，求出并和半径比较即可求解，对于D选项，根据的最小值为即可求解. 【详解】圆Q：的圆心，半径为，选项A正确； 因为， 所以点P在圆Q外，所以过点P且与圆Q相切的直线有2条，选项B正确，选项C错误； 设点M是圆Q上任意一点， 由题意可知的最小值为，选项D正确. 故选：ABD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 已知向量，，则在方向上的投影向量为 B. 直线恒过定点 C. 直线的方向向量可以是 D. ，其中P为平面上的一点，是平面外一点，则有 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A根据公式计算；对B根据计算；对C根据方向向量的定义判断；对D由空间向量基本定理的结论可判断. 【详解】由题意可知，在方向上的投影向量为，故A正确； 可化为， 令，则，则直线恒过定点，故B错误； 由方向向量的定义可知，直线的方向向量可以是，C正确； 由空间向量基本定理的结论可知，，故，则D正确. 故选：ACD 11. 已知数列的前项和为，若，则下列选项正确的是（ ） A. 数列的首项不可能为0 B. 当时，偶数项的符号相同 C. 当时，一定是等比数列 D. 当时，有可能是等比数列 【答案】BC 【解析】 【分析】已知，可求出数列的通项，进而逐项分析判断即可. 【详解】由，故A错误； 当时，，所以B正确； 当时，，满足上述，即， 所以当且仅当时，是等比数列，所以C正确；选项D错误． 故选：BC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 等比数列的公比为3，记其前项和为，则__________. 【答案】82 【解析】 【分析】利用等比数列的前项和公式即可求解. 【详解】因为等比数列的首项， 所以. 故答案为：82. 13. 设点是曲线上一点，则点到直线最小的距离为_________________. 【答案】## 【解析】 【分析】设，利用点到直线距离公式表示出点P到直线距离，根据函数最值即可求解. 【详解】点P在曲线上，设， 则点P到直线l的距离为， 当时，. 故答案为：. 14. 椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上任一点，且最小值为，则椭圆的离心率是__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用基本不等式及椭圆的定义，进行代换，得到答案. 【详解】由基本不等式及椭圆的定义可知， 所以当且仅当 由题意知，解得 所以，所以, 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知圆心为C的圆经过，两点，且圆心C在直线l：上． （1）分别求出直线AB的方程和线段AB的垂直平分线的方程； （2）求圆C的标准方程． 【答案】（1），． （2）． 【解析】 【分析】（1）由题可得AB中点的坐标及斜率，然后利用点斜式即可得出答案. （2）联立，求出圆心坐标，再由两点间的距离公式求出圆的半径，即可得出圆C的标准方程. 【小问1详解】 由题意得直线AB的斜率为， 直线AB的方程为，即， 又因为A，B两点的坐标为，，所以AB中点的坐标为， 因此，线段AB的垂直平分线的方程是，即． 【小问2详解】 由垂径定理可知，圆心C在AB的垂直平分线上也在直线l上， 联立，解得，所以圆心C的坐标为， 圆的半径为， 所以，圆C的标准方程为． 16. 在等差数列中，已知，． （1）求数列的通项公式； （2）若数列是首项为1，公比为3的等比数列，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，由可得，从而求出与的值即可求出的通项公式； （2）由（1）可知，则，从而利用分组求和即可求出． 【小问1详解】 解：设等差数列的公差为， 由，得，解得， 所以； 【小问2详解】 解：由（1）可知，则， 所以． 17. 设数列的前n项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）记，数列的前n项和为.求证：. 【答案】（1） （2）证明见详解 【解析】 【分析】（1）分和两种情况，利用与的关系求解即可； （2）整理可得，利用裂项求和得到，进而分析证明. 【小问1详解】 因为， 当时，； 当时，则，也符合上式； 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）可得：， 则， 因为，则， 可得，所以. 18. 如图，在四棱锥中，底面，且，，点在上，且. （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）. 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直判定定理先得平面,进而得到结论. (2) 因为底面，,所以以A为坐标原点建立空间直角坐标系，利用线面所成角的向量求法即可解得结果. 【小问1详解】 证明：，，所以， 因为底面，所以， 因为平面，且， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面， 【小问2详解】 解：因为底面，，所以，分别以所在直线为轴，轴､轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 由， 可得：，，，， 所以，， 因为点E在CD上，且， 所以，所以， 设为平面的一个法向量， 则，，即，， ， 令，则，，， 设直线BE与平面所成的角为， ， 直线BE与平面所成角的正弦值为. 19. 椭圆的一个焦点为，且椭圆经过点. （1）求椭圆的方程； （2）设椭圆的右顶点为，点是椭圆上异于点的不同两点. （i）若点不共线，求三角形的面积的最大值； （ii）若直线与的斜率分别记为，且，判断直线是否过定点，若是，求出定点坐标，若不是，说明理由. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）直线过定点. 【解析】 【分析】（1）利用椭圆的定义：到两个焦点的距离之和为定长，列出等式，即可求得结果. （2）（i）写出三角形的面积表达式，进而求出面积最大值. （ii）分情况讨论直线斜率不存在时，斜率存在时设直线的方程为，与椭圆方程联立，得到韦达定理，，并表示,得到的关系式，即可判断是否过定点. 【小问1详解】 椭圆：（）的一个焦点为， 则另一个焦点坐标为，且椭圆经过点. 所以，所以， 所以， 故椭圆的方程为. 【小问2详解】 椭圆的右顶点，设，. （i）三角形的面积为， 因为， 所以 三角形的面积的最大值为. （ii）当直线的斜率不存在时，，不符合题意； 故可设直线的方程为， 联立，得， 且满足. ∴，， ∵， ∴， ∴， 化简得， ∴， 化简得， 解得或. 易知，当时，，此时直线过右顶点，不符合题意. ①当时，直线的方程为，过定点，与右顶点重合，不符合题意. ②当时，代入，解得（）. 此时，直线方程为，过定点. 综上所述：直线过定点. 【点睛】关键点点睛: 对于恒过定点问题：当斜率存在时设直线的方程为，与椭圆方程联立，得到韦达定理，，并表示,得到的关系式，即可判断是否过定点，再考虑斜率不存在时的情况. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期高二级期末教学质量自查 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知点和点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 是直线的方向向量，是平面的法向量，若，则（ ） A. B. C. D. 15 3. 若椭圆的离心率为，则（ ） A. B. 4 C. D. 2 4. 如图，在平行六面体中，M为和的交点，若，，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 如图，过抛物线的焦点的直线（斜率为正）交抛物线于点两点（其中点在第一象限），交其准线于点，若，则到抛物线的准线的距离为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 6. 记数列的前项和为，若数列是公差为的等差数列，则的值为（ ） A. 18 B. 12 C. 6 D. 3 7. 正方体的棱长为为的中点，则点到直线的距离为（ ） A. B. 1 C. D. 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为6，离心率．过点且倾斜角为的直线与双曲线交于A，B两点，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知点和圆，下列说法正确的是（ ） A. 圆心，半径为 B. 点在圆外 C. 过点且与圆相切的直线有且只有一条 D. 设点是圆上住意一点，则的最小值为 10. 下列说法正确的是（ ） A. 已知向量，，则在方向上的投影向量为 B. 直线恒过定点 C. 直线的方向向量可以是 D. ，其中P为平面上的一点，是平面外一点，则有 11. 已知数列的前项和为，若，则下列选项正确的是（ ） A. 数列的首项不可能为0 B. 当时，偶数项的符号相同 C. 当时，一定是等比数列 D. 当时，有可能是等比数列 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 等比数列的公比为3，记其前项和为，则__________. 13. 设点是曲线上一点，则点到直线最小的距离为_________________. 14. 椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上任一点，且最小值为，则椭圆的离心率是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知圆心为C的圆经过，两点，且圆心C在直线l：上． （1）分别求出直线AB的方程和线段AB的垂直平分线的方程； （2）求圆C的标准方程． 16. 在等差数列中，已知，． （1）求数列的通项公式； （2）若数列是首项为1，公比为3的等比数列，求数列的前项和． 17. 设数列的前n项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）记，数列的前n项和为.求证：. 18. 如图，在四棱锥中，底面，且，，点在上，且. （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 19. 椭圆的一个焦点为，且椭圆经过点. （1）求椭圆的方程； （2）设椭圆的右顶点为，点是椭圆上异于点的不同两点. （i）若点不共线，求三角形的面积的最大值； （ii）若直线与的斜率分别记为，且，判断直线是否过定点，若是，求出定点坐标，若不是，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $