精品解析：湖南省株洲市第二中学初中部2025-2026学年上学期期末学科素养检测试卷八年级数学学科

株洲市二中初中部2025年下学期期末学科素养检测试卷 初二年级数学学科 时量：120分钟 分值：120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下面四个近年来热门的AI相关的图标，其中是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的概念，解题的关键在于明确中心对称图形的概念． 在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据中心对称的概念，对选项的图片进行分析即可． 【详解】解：选项A：将选项A的图标绕着某一个点旋转后，旋转后的图形能够与原来的图形重合，是中心对称图形． 选项B，选项C，选项D：将选项中的图标绕着某一个点旋转后，旋转后的图形不能与原来的图形重合，都不是中心对称图形． 故选：A． 2. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围（　　） A. x≥2 B. x≤2 C. x＞2 D. x＜2 【答案】A 【解析】 【分析】二次根式有意义，被开方数为非负数，即x-2≥0，解不等式求x的取值范围． 【详解】∵在实数范围内有意义， ∴x−2≥0，解得x≥2． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练的掌握二次根式有意义的条件． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了积的乘方运算，完全平方公式，整式加法运算，二次根式的加法运算等知识，掌握相关运算法则和运算公式是解题关键． 根据积的乘方运算，完全平方公式，整式加法运算，二次根式的加法运算法逐项分析判断即可． 【详解】解：A：，故运算错误，不符合题意； B：，故运算错误，不符合题意； C：与不是同类项，不能合并，不符合题意； D：，运算正确，符合题意． 故选：D． 4. 下列函数中，是的一次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】此题考查了一次函数．形如（、为常数，且）的函数为一次函数．根据一次函数的定义判断即可． 【分析】解：A. ，分母含，不符合一次函数形式； B. ，符合（，），是一次函数； C. ，不符合一次函数形式； D. ，含的二次项，不符合一次函数形式． 故选：B． 5. 如图，在中，，是高，，，则的长为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了含30度角直角三角形的性质，直角三角形两锐角互余．首先求出，然后求出，然后根据含30度角直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是高， ∴， ∴， ∴在中，． 故选：B． 6. 下列命题中是假命题的是（ ） A. 1的平方根是 B. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 C. 位于第三象限内的点，横纵坐标都是负数 D. 若三角形的三边长满足，则这个三角形是直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了真假命题的判断，平方根、平行四边形的判定、勾股定理的逆定理及各象限内点的坐标特征等；根据相关知识逐一判断各命题的真假． 【详解】解：A、1的平方根是，说法正确，该选项不符合题意； B、一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，也可能是等腰梯形，原说法错误，该选项符合题意； C、位于第三象限内的点，横纵坐标都是负数，说法正确，该选项不符合题意； D、若三角形的三边长满足，则这个三角形是直角三角形，说法正确，该选项不符合题意； 故选：B． 7. 如图，在中，，点在边的垂直平分线上，的周长为15，则的长为（ ）． A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形周长计算，根据相等垂直平分线上的点到线段两端的距离相等得到，再根据三角形周长公式推出，由此可得答案． 【详解】解：∵点在边的垂直平分线上， ∴， ∵的周长为15， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选C． 8. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，与边分别交于点，再分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点．作射线与边交于点．若，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，角平分线的尺规作图，三角形内角和定理，先由三角形内角和定理得到，再由作图方法可知平分，则，即可利用三角形内角和定理得到． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 由作图方法可知平分， ∴， ∴， 故选：A． 9. 如图，四边形是菱形，，，于点E，则的长是（　　） A. B. 6 C. D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理，掌握菱形的性质、勾股定理是解本题的关键． 根据面积等式求线段长度等知识，先求出菱形的面积，再利用勾股定理求出的长，利用菱形面积为面积的两倍求出即可． 【详解】解：四边形是菱形，，， ，，， ， ， 于点E， ， ， ， ． 故选：A． 10. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，，．以和为邻边作第一个平行四边形，对角线与相交于点；再以和为邻边作第二个平行四边形，对角线与相交于点；再以和为邻边作第三个平行四边形以此类推．记第一个平行四边形的面积为，第二个平行四边形的面积为，第三个平行四边形的面积为则是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、勾股定理，菱形的判定与性质、三角形中位线定理以及平行四边形面积的计算；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键． 根据矩形的性质以及勾股定理可得，再得到四边形是菱形，根据菱形的性质可得到第一个平行四边形四边形的面积，再证得四边形是矩形，可得到第2个平行四边形的面积，同理得到第3个平行四边形的面积，由此发现规律，即可求解． 【详解】解：∵四边形矩形， ∴， ∴， ∴矩形的面积； ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴第一个平行四边形的面积； 根据题意得：四边形是矩形， ∴第2个平行四边形的面积； 同理：第3个平行四边形的面积； ．．．， ∴第n个平行四边形的面积是， 则是， 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 在全球范围内，我国北斗卫星导航系统的授时精度优于，用科学记数法表示0.00000002为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较小的数，掌握形式为，其中是关键． 用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 因式分解：______________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 13. 一个多边形的每一个外角都等于，则这个多边形的边数为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形外角和定理，根据多边形的外角和定理，即可求解． 【详解】解：∵多边形的外角和等于，每个外角为， ∴边数． 故答案为：6． 14. 点M(a，5)与点N(-3，b)关于Y轴对称，则a + b =______． 【答案】8 【解析】 【分析】根据关于y轴对称的点的坐标特点得a =3，b=5，即可求解． 【详解】解：∵点M（a，5）和点N（-3，b）关于y轴对称， ∴a =3，b=5， ∴a + b =8． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标特点：点P（a，b）关于x轴的对称的点的坐标为P1（a，-b）；点P（a，b）关于y轴的对称的点的坐标为P2（-a，b）． 15. 如图，在四边形中，是对角线的中点，、分别是、的中点，且，，，则的度数是______． 【答案】##度 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理得到，，，根据平行线的性质和三角形外角定理得到，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：是的中点，点、分别是、的中点， 、分别是，的中位线， ，，，， ，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，平行线的性质，三角形外角定理，等腰三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 16. 如图中，与的平分线相交于H，过点H作交于E，交于F，于D，以下四个结论①；②；③点H到各边的距离相等；④若B，H，D三点共线时，一定为等腰三角形．其中正确结论的序号为 _____． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】①利用三角形的内角和定理和角平分线平分角，进行求解；②证明为等腰三角形，即可得证；③利用角平分线的性质，即可得证；④证明，即可得证． 【详解】解，①∵与的平分线相交于H， ∴， ∴ ，故①错误； ②∵与的平分线相交于H， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故②正确； ③过作， ∵与的平分线相交于H，， ∴， ∴点H到△ABC各边的距离相等，故③正确； ④若B，H，D三点共线时，则，且平分， ∴， 又∵， ∴（）， ∴， ∴一定为等腰三角形，故④正确． 故答案为：②③④； 【点睛】本题考查角平分线的性质，等腰三角形的判断和性质，全等三角形的判定和性质．熟练掌握角平分线平分角，角平分线上的点到角两边的距离相等，是解题的关键． 三、解答题（共8大题，共72分） 17. 计算：． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，零指数幂，负整数指数幂，熟练掌握以上知识点是关键．先计算乘方，绝对值，算术平方根，零指数幂，负整数指数幂，，再计算乘法，最后计算加减即可． 【详解】解：， ， ， ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，二次根式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把代入进行计算即可． 【详解】解：， ， ， ， 当时，原式． 19. 为推动综合社会实践活动课程落地，我校拟组织初二年级学生开展研学旅行活动，计划组织八年级名学生进行研学活动．为使研学路线更贴合学生成长需求，充分发挥研学育人实效，现通过投票方式提前了解学生最想去的地点，随机抽取部分学生进行调查，其中，可选地点共有四个：地：茶陵花湖谷，地：方特，地：韶山，地：炎陵（每位同学只选一个地点），根据调查结果制作了如下统计图． 由图中给出的信息解答下列问题： （1）所抽取的样本容量为___________，并补全条形统计图； （2）扇形统计图中，最想去地的所对应的扇形圆心角的度数为___________； （3）请根据抽样调查的结果，估计该校八年级最想去韶山的学生有多少人？ 【答案】（1）， 补全条形统计图如下： （2）； （3）人． 【解析】 【分析】本题考查条形统计图，扇形统计图，总体、个体、样本、样本容量，用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）用地的人数除以地所占百分比可得答案；用样本容量分别减去其他三地的人数可得地的人数，进而补全条形统计图； （2）用乘地人数所占比例可得答案； （3）用该校八年级最想去韶山的学生所占比例可得答案． 【小问1详解】 解：所抽取的样本容量为：； 地的人数为：（人）． 【小问2详解】 扇形统计图中，最想去地的所对应的扇形圆心角的度数为； 【小问3详解】 （人）． 答：该校八年级最想去韶山的学生有人． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点均在格点上． （1）在网格中作出关于轴对称的图形，并写出、、的坐标； （2）若网格的单位长度为1，求的面积． 【答案】（1） 如图所示，即为所求， 、、 （2） 【解析】 【分析】本题考查作图﹣轴对称变换，坐标与图形．解题的关键是掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型． （1）利用轴对称变换的性质求出、、的坐标并确定位置，再连线即可； （2）利用割补法求的面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： 21. 如图，在平行四边形中，E，F是对角线上的两点，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当时，，，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接，交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，即， ∴互相平分， ∴四边形是平行四边形． （2）3 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关键． （1）连接，交于点，先根据平行四边形的性质可得，从而可得，再根据平行四边形的判定即可得证； （2）先利用勾股定理可得，则可得，再根据求解即可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 22. 湖南省足球联赛（简称“湘超”）正在火热进行中，株洲主场的球赛更是一票难求，体育中心附近商店销售的文创产品也深受广大市民的喜爱．某商店也准备销售文创产品，已知“超超”的购进单价是“湘湘”购进单价的倍，且用元购进吉祥物“超超”的数量比用元购进吉祥物“湘湘”的数量少个． （1）该商店“湘湘”和“超超”的购进单价各为多少元？ （2）现该商店准备再购进“湘湘”和“超超”共件，如果要使得总费用不高于元，那么“湘湘”至少要购买多少件？ 【答案】（1）“湘湘”的购进单价为元，“超超”的购进单价为元； （2）“湘湘”至少要购买件． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准数量关系，正确列出一元一次不等式． （1）设该商店“湘湘”的购进单价为元，则“超超”购进单价为元，根据“超超”的购进数量比“湘湘”的购进数量少个，列出分式方程，解方程即可； （2）设“湘湘”至少要购买件，则“超超”购买件，根据总费用不高于元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 解：设该商店“湘湘”的购进单价为元，则“超超”购进单价为元， 据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：“湘湘”的购进单价为元，“超超”的购进单价为元； 【小问2详解】 设“湘湘”购买件，则“超超”购买件， 据题意得：， 解得：， 答：“湘湘”至少要购买件． 23. 若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“湘一区间”为；同理规定无理数的“湘一区间”为．例如：因为，所以，所以的“湘一区间”为，的“湘一区间”为．请解答下列问题： （1）的“湘一区间”是___________；的“湘一区间”是___________； （2）若无理数（为正整数）的“湘一区间”为，且的“湘一区间”为，求的值； （3）实数满足关系式：，求的“湘一区间”． 【答案】（1）， （2）或3 （3） 【解析】 【分析】本题考查无理数的估值，二次根式的双重非负性，理解题干中的湘一区间的概念是解题关键． （1）根据湘一区间的概念求解即可； （2）根据湘一区间的概念列出关于a的不等式，求出a的范围，根据a为正整数确定a的值，进而求解即可； （3）观察出和中，根号下的式子为相反数，从而利用根号下的式子大于等于0，确定的值和已知等式右边式子的值为0，再利用二次根式的双重非负性得到关于m和x，y的关系，进而求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴的“湘一区间”是； ∵， ∴， ∴根据题意，无理数的“湘一区间”是； 【小问2详解】 解：由题意，得，， ∴ ∴， ∵a为正整数， ∴或， 当时，； 当时，； 【小问3详解】 解：由题意，可知和有意义， ∴，， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴的“湘一区间”是． 24. 综合与实践课上，同学们以“折纸中的角”为主题开展数学活动． 【操作判断】 （1）如图①，将边长为的正方形对折，使点与点重合，得到折痕．打开后，再将正方形折叠，使点落在边上的点处，得到折痕，折痕与折痕交于点．打开铺平，连接，，．若点的位置恰好使得． （1）___________； 【探究提炼】 （2）如图②，若（1）中的是上任意一点，求的度数； 【理解应用】 （3）如图③，某广场上有一块边长为的菱形草坪，其中．现打算在草坪中修建步道和，使得点在上，点在上，且．请问：步道所围成的（步道宽度忽略不计）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）（3）． 【解析】 【分析】（1）由可得，由折叠可知：，可得，由三角形外角性质即可求出； （2）过点作，垂足为，过点作，垂足为，证明即可得，从而证明，由等腰直角三角形性质即可得出； （3）过点作，垂足为，过点作，垂足为，结合菱形性质证明即可得，从而证明，由等腰三角形性质即可得出；过点作于点，设，即可得出三角形面积，发现当最小时三角形面积最小，则当时，三角形面积最小，再利用含直角三角形性质解三角形即可得出结论． 【详解】解：（1）正方形中， ∴，， ∵， ∴， 由折叠可知：， ∴， ∵， ∴； （2）如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为， ∴， ∵是的角平分线，， ∴，， ∵折叠， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴； （3）如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为， ∵， ∴， ∵在菱形中，是的角平分线， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 过点作于点，设， 则，， ∵，即， ∴， ∴， ∴当最小时，即最小时，面积最小， ∴当时，即最小，面积最小， 如图， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴ ∴的面积存在最小值是． 【点睛】本题主要考查了正方形、菱形的性质、折叠的性质、等腰三角形性质和判定、所对的直角边等于斜边的一半等，利用角平分线构造全等三角形是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 株洲市二中初中部2025年下学期期末学科素养检测试卷 初二年级数学学科 时量：120分钟 分值：120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下面四个近年来热门的AI相关的图标，其中是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围（　　） A. x≥2 B. x≤2 C. x＞2 D. x＜2 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列函数中，是的一次函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，是高，，，则的长为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 下列命题中是假命题的是（ ） A. 1的平方根是 B. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 C. 位于第三象限内的点，横纵坐标都是负数 D. 若三角形的三边长满足，则这个三角形是直角三角形 7. 如图，在中，，点在边的垂直平分线上，的周长为15，则的长为（ ）． A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 8. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，与边分别交于点，再分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点．作射线与边交于点．若，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 9. 如图，四边形是菱形，，，于点E，则的长是（　　） A. B. 6 C. D. 12 10. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，，．以和为邻边作第一个平行四边形，对角线与相交于点；再以和为邻边作第二个平行四边形，对角线与相交于点；再以和为邻边作第三个平行四边形以此类推．记第一个平行四边形的面积为，第二个平行四边形的面积为，第三个平行四边形的面积为则是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 在全球范围内，我国北斗卫星导航系统的授时精度优于，用科学记数法表示0.00000002为___________． 12. 因式分解：______________． 13. 一个多边形的每一个外角都等于，则这个多边形的边数为______． 14. 点M(a，5)与点N(-3，b)关于Y轴对称，则a + b =______． 15. 如图，在四边形中，是对角线的中点，、分别是、的中点，且，，，则的度数是______． 16. 如图中，与的平分线相交于H，过点H作交于E，交于F，于D，以下四个结论①；②；③点H到各边的距离相等；④若B，H，D三点共线时，一定为等腰三角形．其中正确结论的序号为 _____． 三、解答题（共8大题，共72分） 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 为推动综合社会实践活动课程落地，我校拟组织初二年级学生开展研学旅行活动，计划组织八年级名学生进行研学活动．为使研学路线更贴合学生成长需求，充分发挥研学育人实效，现通过投票方式提前了解学生最想去的地点，随机抽取部分学生进行调查，其中，可选地点共有四个：地：茶陵花湖谷，地：方特，地：韶山，地：炎陵（每位同学只选一个地点），根据调查结果制作了如下统计图． 由图中给出的信息解答下列问题： （1）所抽取的样本容量为___________，并补全条形统计图； （2）扇形统计图中，最想去地的所对应的扇形圆心角的度数为___________； （3）请根据抽样调查的结果，估计该校八年级最想去韶山的学生有多少人？ 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点均在格点上． （1）在网格中作出关于轴对称的图形，并写出、、的坐标； （2）若网格的单位长度为1，求的面积． 21. 如图，在平行四边形中，E，F是对角线上的两点，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当时，，，，求的长． 22. 湖南省足球联赛（简称“湘超”）正在火热进行中，株洲主场的球赛更是一票难求，体育中心附近商店销售的文创产品也深受广大市民的喜爱．某商店也准备销售文创产品，已知“超超”的购进单价是“湘湘”购进单价的倍，且用元购进吉祥物“超超”的数量比用元购进吉祥物“湘湘”的数量少个． （1）该商店“湘湘”和“超超”的购进单价各为多少元？ （2）现该商店准备再购进“湘湘”和“超超”共件，如果要使得总费用不高于元，那么“湘湘”至少要购买多少件？ 23. 若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“湘一区间”为；同理规定无理数的“湘一区间”为．例如：因为，所以，所以的“湘一区间”为，的“湘一区间”为．请解答下列问题： （1）的“湘一区间”是___________；的“湘一区间”是___________； （2）若无理数（为正整数）的“湘一区间”为，且的“湘一区间”为，求的值； （3）实数满足关系式：，求的“湘一区间”． 24. 综合与实践课上，同学们以“折纸中的角”为主题开展数学活动． 【操作判断】 （1）如图①，将边长为的正方形对折，使点与点重合，得到折痕．打开后，再将正方形折叠，使点落在边上的点处，得到折痕，折痕与折痕交于点．打开铺平，连接，，．若点的位置恰好使得． （1）___________； 【探究提炼】 （2）如图②，若（1）中的是上任意一点，求的度数； 【理解应用】 （3）如图③，某广场上有一块边长为的菱形草坪，其中．现打算在草坪中修建步道和，使得点在上，点在上，且．请问：步道所围成的（步道宽度忽略不计）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $