精品解析：山东省泰安市长城中学2025-2026学年高一上学期1月诊断测试数学试题

山东省泰安市长城中学2026年1月份高一上学期诊断测试 一、单选题（共40分） 1. 在空间直角坐标系中，向量，则下列选项中正确的是（ ） A. 若，则 B. 向量是的一个单位向量 C. 若为钝角，则m的取值范围为 D. 若在上的投影向量为，则 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量的模的坐标运算来判断A，空间单位向量的坐标运算来判断B，利用空间向量夹角为钝角的充要条件来判断C，利用投影向量计算来判断D. 【详解】由，，可得，故A错误； 由的单位向量是，故B错误； 由为钝角，则， 又当， 所以为钝角，则且，故C错误； 由在上的投影向量为，故D正确； 故选：D. 2. 在平行六面体中，点E，F分别为棱，的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由空间向量的加减和数乘运算直接求解即可. 【详解】因为点，分别为棱，的中点， 所以. 故选：A. 3. 若直线的倾斜角是直线的倾斜角的两倍，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出直线的斜率，设对应的倾斜角为，则，又的倾斜角为，则，使用二倍角的正切公式求解即可. 【详解】因为直线的斜率，设对应的倾斜角为，则， 由题意可得，直线的倾斜角为， 故其斜率，解得. 故选：C 4. 若圆：上有且仅有个点到直线：的距离为，则实数的值是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，将问题转化为圆心到直线的距离为求解即可. 【详解】圆：的圆心，半径， 由圆上有且仅有个点到直线的距离为，得圆心到直线的距离为， 则，解得或. 故选：D. 5. 在棱长为1的正四面体中，点为的中点，点在上，且，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，将题设中的和分别用线性表示，再根据向量数量积的运算律计算即得. 【详解】 如图，设，依题意， 连接，因 ， 又， 则 . 故选：A. 6. 已知圆，直线，则（ ） A. 直线恒过定点 B. C. 当时，圆上恰有四个点到直线的距离等于 D. 若直线与直线平行，过该直线上一动点作圆的一条切线，切点为，则 【答案】C 【解析】 【分析】将直线的方程可化为，令可判断A；由坐标原点到直线的最大距离为可判断B；先由两平行线间距离公式解出，再比较圆心到直线的距离和半径的关系可得C；先由两平行线间关系解出，再当直线与直线垂直时，取最小值，结合点到直线的距离和勾股定理可判断D. 【详解】对于A选项，直线的方程可化为， 由可得，所以，直线恒过定点，A错； 对于B选项，直线过定点，设为， 所以坐标原点到直线的最大距离为，故B错误； 对于C选项，当时，直线的方程为， 设与直线平行且与直线的距离为的直线的方程为， 由平行线间的距离公式可得，解得， 圆心为，圆的半径为， 圆心到直线的距离为， 圆心到直线的距离为， 所以，直线、都与圆相交， 所以，当时，圆上恰有四个点到直线的距离等于，C对； 对于D选项，因为直线与直线平行，则，解得， 即点在直线上，连接，则， 由勾股定理可得， 当直线与直线垂直时，取最小值， 且，则，D错. 故选：C. 7. 已知平面均以为法向量，平面经过坐标原点，平面经过点，则平面α与β的距离为（　　） A. 2 B. 2 C. 3 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用平面法向量相同得出，再根据平面内点到平面的距离即为平面的距离，利用点到平面距离公式计算求解． 【详解】平面均以为法向量， ，又平面经过点， 平面α与β的距离等于点到平面α的距离， 平面α经过坐标原点O，， 点P到平面α的距离， 平面α与β的距离为2，故A正确． 故选：A． 8. 已知点在离心率为的双曲线的左支上，，是双曲线的右焦点，若周长的最小值是，则此时的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据双曲线的定义将三角形的周长转化为，再进一步放缩得到最小值，进而可得双曲线的基本量及方程.再由此时三点共线可得直线的方程，与双曲线方程联立可得点的坐标，进而可计算三角形的面积. 【详解】设双曲线的左焦点为，,如图： 由双曲线， 所以周长为， 当且仅当三点共线时取等号. 如图： 所以,得，即——①. 又因为离心率为，所以——②，将②代入①得，， 解得或（舍去）所以，所以双曲线方程为. 此时，直线的方程为，联立方程，消去y， 得，解得，再代入直线方程得，所以的坐标为. 所以. 故选：B. 二、多选题（共15分） 9. 如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，平面，为的中点，则（ ） A. B. 异面直线与所成角的余弦值为 C. D. 点到平面的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据向量线性运算可知A正确；以为坐标原点建立空间直角坐标系，根据异面直线所成角的向量求法、向量模长的求解与点到平面距离的向量求法依次验证BCD选项即可. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，以为坐标原点，正方向为轴正方向可建立如图空间直角坐标系， 则，，，， ，，， 即异面直线与所成角的余弦值为，B正确； 对于C，由B知：，， 即，C错误； 对于D，由B知：，，， 设平面的法向量， 则，令，解得：，，， 设点到平面的距离为，则，D正确. 故选：ABD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 直线必过定点 B. 直线在轴上的截距为3 C. 若直线与平行，则与之间的距离为 D. 过点，且在轴截距相等的直线方程为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据直线方程确定所过定点和截距判断A、B，应用直线平行的判定列方程求参数，再应用平行线的距离公式求距离判断C，截距为0满足题设，写出此时对应直线方程判断D. 【详解】A：由，其过定点，对， B：对于，令，则，故在轴上的截距为，错， C：由平行，则，可得，故，所以之间的距离为，对， D：若在轴截距为0，且过，此时对应方程为，错. 故选：AC 11. 已知椭圆的左，右焦点分别为，，点在上，且的最大值为3，最小值为1，则（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 的周长为4 C. 椭圆上不存在点，使得 D. 若，则的面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】先根据题干求出椭圆的标准方程，再利用椭圆的几何性质逐个分析选项即可. 【详解】由题意得，的最大值为3，最小值为1，，解得， 椭圆的离心率为，正确. 点在上，根据椭圆的定义可得的周长为，错误. 设，椭圆的左，右焦点分别为，，， 若，则，即， 点在上，，联立得，即，无实数解，因此椭圆上不存在这样的点，正确. 若，根据焦点三角形的面积公式，可得的面积为，正确. 故选：. 三、填空题（共18分） 12. 已知四棱锥，底面是边长为的菱形，不是钝角，，，为中点，在上的投影向量的模为，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】可将、、当作空间中一组基底，从而可表示出向量、，再利用投影向量定义计算得到，最后利用模长与数量积的关系计算即可得解. 【详解】由为中点，则， 设，由在上的投影向量的模为， 则 ， 化简得，即， 整理得，即或， 又不是钝角，，故， 则 . 故答案为：. 13. 已知圆与圆外切，并且与直线相切于点，则圆的标准方程为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，故直线的方程为，设，可得，求解即可得圆的方程. 【详解】圆的标准方程为，圆心，半径． 因为圆与直线相切于点，所以，且圆的半径． 因为直线与轴垂直，所以直线的方程为． 因为圆与圆外切，所以，设， 则，依题意， 所以，解得， 所以， 所以圆的标准方程为． 14. 已知O为坐标原点，过抛物线焦点的直线与该抛物线交于A，B两点，若，若面积为，则_____． 【答案】4 【解析】 【分析】求出抛物线的焦点坐标，设出直线方程并与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合抛物线的定义及三角形面积公式列式求出P． 【详解】抛物线的焦点，设直线：，点，， 由，消去得，则，， ，即， ， ，则，因此， 所以， 故答案为：4． 四、解答题（共77分） 15. 如图①，在菱形中，且为的中点，将沿折起使，得到如图②所示的四棱锥，在四棱锥中，求解下列问题： （1）求证：； （2）在线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 在图（1）中，连接，如图所示： 因为四边形为菱形，，所以是等边三角形. 因为为的中点，所以. 又，所以. 在图（2）中，，所以，即. 因为，所以. 又平面.所以平面. 因为平面，所以. （2）存在， 【解析】 【分析】（1）连接，结合等边三角形性质和勾股定理，利用线面垂直的判定定理证得平面，再利用线面垂直的性质定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，设，求出平面与平面的法向量，利用空间向量平面夹角公式列方程求得，即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，. 因为，平面.所以平面. 故以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系： 则， 所以， ， 所以. 设平面的一个法向量为， 由，得， 令得. 平面的一个法向量可取. 令，解得， 所以存在点，使得平面与平面夹角为，此时. 16. 已知圆，直线过点． （1）若直线在两坐标轴上的截距之和为0，求直线的方程； （2）若直线与圆相切，求直线的方程． 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）设直线的方程为，可知直线在两坐标轴上的截距，列式求解即可； （2）分类讨论直线的斜率是否存在，结合点到直线的距离公式运算求解. 【小问1详解】 由题意可知：满足条件的直线的斜率存在，且不为0，设直线的斜率为， 则直线的方程为， 令，解得；令，解得； 可知直线在坐标轴上的截距分别为， 则，解得或， 所以直线的方程为或. 【小问2详解】 圆即为，可知圆心为，半径， 若直线的斜率存在，设直线的斜率为， 则直线的方程为，即， 可得圆心到直线的距离，解得， 所以直线的方程为； 若直线的斜率不存在，直线的方程为， 可得圆心到直线的距离，符合题意； 综上所述：直线的方程为或. 17. 已知左焦点为的椭圆过点，过右焦点分别作椭圆的动弦，．设点，分别为线段，的中点． （1）求椭圆的标准方程； （2）求三角形面积的最大值； （3）设直线，的斜率为，，若，求证：直线经过定点，并求出定点的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 证明：下面先说明：椭圆的弦的斜率（存在的情况下）为，为弦中点的坐标， 设弦的端点为，，则， 由，两式相减得， 则， 所以弦的斜率（存在的情况下）为. 设，，，， 根据，有，则， 两式相减得， 对比直线方程，即， 知直线过． 【解析】 【分析】（1）由题意得，再根据椭圆的定义求出，进而根据求出即可求解； （2）设，，设方程为，联立直线与椭圆方程，令，，结合韦达定理表示出，进而结合对勾函数的性质求解即可； （3）先说明：椭圆的弦的斜率（存在的情况下）为，为弦中点的坐标，进而设，，可得，，进而得到，再对比直线方程即可求证. 【小问1详解】 由题意得，，， 则，即， 所以，即所求椭圆方程为. 【小问2详解】 设，，设方程为， 由，得， 则，， 所以 ， 令，，则， 因为函数在上单调递增，且时，， 则，即的最大值为. 【小问3详解】 略 18. 如图，在直三棱柱中，，是线段上的动点. （1）当平面时，说明点的位置并证明； （2）在（1）的条件下，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）点是线段的中点，证明： 连接，且，再连接， 平面，平面，且平面平面， ，又由为线段的中点，得是的中位线， 为线段的中点；   （2） 【解析】 【分析】（1）连接，且，再连接，利用直线与平面平行的性质即可判断证明； （2）以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和，利用向量法即可求出直线与平面所成角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意，可设，并以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 则， 设是平面的一个法向量，则， 取为平面的一个法向量，且， 设直线与平面所成角为，与所成角为， 则. 19. 已知双曲线的左顶点为，过点的直线与圆交于两点，且的最小值为，当直线平行于双曲线的渐近线时，点到直线的距离为． （1）求双曲线的方程． （2）若直线，与双曲线分别交于，两点（均不与重合），试判断直线是否过定点．若过定点，请求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】（1） （2）直线过定点，定点为 【解析】 【分析】（1）分析可知当且仅当直线，取得最小值，结合垂径定理可得，再根据点到直线的距离公式可得，即可得双曲线方程； （2）设直线，与圆的方程联立结合韦达定理可得，讨论直线的斜率是否存在，与双曲线的方程联立结合韦达定理求定点. 【小问1详解】 圆的圆心为，半径， 因为直线过点，可知当且仅当直线，取得最小值， 此时，即，解得， 则，双曲线的渐近线方程为，即， 直线平行于双曲线的渐近线时，直线的方程为， 且点到直线的距离为，解得， 所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 由题意可知：直线的斜率可能不存在，但不为0，直线与圆必相交， 设直线，，，， 联立方程，消去x可得， 则，， 设直线，的斜率分别为，， 则， 即， 若直线的斜率存在，可设直线，， 联立方程，消去y可得， 则， 可得，， 因为， 整理可得， 则， 整理可得，解得或， 若，直线过定点，不符合题意； 若，直线过定点； 若直线的斜率不存在，可知直线的斜率不存在，即直线， 代入圆的方程可得，解得， 不妨设，， 则直线， 联立方程，解得或，即， 同理可得，所以直线过定点； 综上所述：直线过定点，定点为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省泰安市长城中学2026年1月份高一上学期诊断测试 一、单选题（共40分） 1. 在空间直角坐标系中，向量，则下列选项中正确的是（ ） A. 若，则 B. 向量是的一个单位向量 C. 若为钝角，则m的取值范围为 D. 若在上的投影向量为，则 2. 在平行六面体中，点E，F分别为棱，的中点，则（ ） A. B. C. D. 3. 若直线的倾斜角是直线的倾斜角的两倍，则实数（ ） A. B. C. D. 4. 若圆：上有且仅有个点到直线：的距离为，则实数的值是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 5. 在棱长为1的正四面体中，点为的中点，点在上，且，则为（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆，直线，则（ ） A. 直线恒过定点 B. C. 当时，圆上恰有四个点到直线的距离等于 D. 若直线与直线平行，过该直线上一动点作圆的一条切线，切点为，则 7. 已知平面均以为法向量，平面经过坐标原点，平面经过点，则平面α与β的距离为（　　） A. 2 B. 2 C. 3 D. 2 8. 已知点在离心率为的双曲线的左支上，，是双曲线的右焦点，若周长的最小值是，则此时的面积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共15分） 9. 如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，平面，为的中点，则（ ） A. B. 异面直线与所成角的余弦值为 C. D. 点到平面的距离为 10. 下列说法正确的是（ ） A. 直线必过定点 B. 直线在轴上的截距为3 C. 若直线与平行，则与之间的距离为 D. 过点，且在轴截距相等的直线方程为 11. 已知椭圆的左，右焦点分别为，，点在上，且的最大值为3，最小值为1，则（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 的周长为4 C. 椭圆上不存在点，使得 D. 若，则的面积为 三、填空题（共18分） 12. 已知四棱锥，底面是边长为的菱形，不是钝角，，，为中点，在上的投影向量的模为，则_____. 13. 已知圆与圆外切，并且与直线相切于点，则圆的标准方程为___________． 14. 已知O为坐标原点，过抛物线焦点的直线与该抛物线交于A，B两点，若，若面积为，则_____． 四、解答题（共77分） 15. 如图①，在菱形中，且为的中点，将沿折起使，得到如图②所示的四棱锥，在四棱锥中，求解下列问题： （1）求证：； （2）在线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 16. 已知圆，直线过点． （1）若直线在两坐标轴上的截距之和为0，求直线的方程； （2）若直线与圆相切，求直线的方程． 17. 已知左焦点为的椭圆过点，过右焦点分别作椭圆的动弦，．设点，分别为线段，的中点． （1）求椭圆的标准方程； （2）求三角形面积的最大值； （3）设直线，的斜率为，，若，求证：直线经过定点，并求出定点的坐标． 18. 如图，在直三棱柱中，，是线段上的动点. （1）当平面时，说明点的位置并证明； （2）在（1）的条件下，求直线与平面所成角的正弦值. 19. 已知双曲线的左顶点为，过点的直线与圆交于两点，且的最小值为，当直线平行于双曲线的渐近线时，点到直线的距离为． （1）求双曲线的方程． （2）若直线，与双曲线分别交于，两点（均不与重合），试判断直线是否过定点．若过定点，请求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $