精品解析：山东省枣庄市市中区辅仁高级中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试卷

2025-2026学年高二上学期12月月考数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 4.考试范围：人教A版选择性必修二（第四章数列） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 观察数列的特点，则该数列的一个通项公式为（ ） A. B. C. D. 2. 在等差数列中， ，则的公差为（   ） A. -3 B. C. 3 D. 3. 已知数列为等比数列，其中，为方程的两根，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知为递增等比数列，其前项和为，若，，则（ ） A. B. 27 C. 81 D. 或81 5. 已知等差数列的前项和为，且，则（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 6. 已知等比数列的前项和为，若，则（ ） A. 4 B. 2 C. D. 7. 已知正项等差数列中，，，若，则（ ） A. 10 B. 13 C. 15 D. 17 8. 已知数列满足，其前n项和为，且，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在毎小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 记等差数列的公差为，已知，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知正项等比数列的前项和为，且，，则（ ） A. 数列是单调递减数列 B. C. D. 11. 下列说法正确的有（ ） A. 在等差数列中，，，则前9项和 B. 在等差数列中，，，则 C. 数列为等比数列，，，则 D. 数列的前n项和为 三、填空题（本大题共3小题，每小题 5 分，共15分．） 12. 已知数列是等差数列，且，，则数列的通项公式 _________. 13. 已知数列的前项和为，且，则________ 14. 已知，点在函数的图象上，其中，则数列的通项公式为__________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 设是等比数列， （1）求的通项公式； （2）求． 16. 已知数列满足，，，若. （1）求证：是等差数列； （2）求的前项和的最小值； 17. 已知数列的前项和为，且满足，． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 18. 记正项数列的前项和为，已知， （1）求数列的通项公式； （2）若数列的前项的和，求及表达式 19. 已知数列满足，且. （1）求证：数列是等差数列； （2）求数列的通项公式； （3）求数列的前n项和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二上学期12月月考数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 4.考试范围：人教A版选择性必修二（第四章数列） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 观察数列的特点，则该数列的一个通项公式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据数列所给项，找到数列中项与项数的规律即可得解. 【详解】因为数列，可以写成， 所以可得到该数列的一个通项公式. 故选：A 2. 在等差数列中， ，则的公差为（   ） A. -3 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等差数列通项公式列式运算得解. 【详解】设等差数列的公差为，由，得， 所以. 故选：B 3. 已知数列为等比数列，其中，为方程的两根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由根与系数的关系及等比中项的性质求. 【详解】数列为等比数列，其中，为方程的两根， 由题，根据韦达定理可得，，则， 由等比数列的中项性质得，则， 因为等比数列的偶数项的符号相同，，都是负数，所以. 故选：B 4. 已知为递增等比数列，其前项和为，若，，则（ ） A. B. 27 C. 81 D. 或81 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意结合等比数列的通项公式运算求解即可. 【详解】设等比数列的公比为， 由题意可得，解得或， 又数列为递增等比数列，所以，所以. 故选：C. 5. 已知等差数列的前项和为，且，则（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，利用等差数列的前项和公式求出，再计算即可. 【详解】设等差数列的公差为，则， 则，得， 则. 故选：C 6. 已知等比数列的前项和为，若，则（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等比数列前项和公式和通项公式分析计算即可. 【详解】设等比数列的首项为，公比为. 当时， ，不满足，舍去； 当时，， 所以， 所以，解得. 所以. 故选：C. 7. 已知正项等差数列中，，，若，则（ ） A. 10 B. 13 C. 15 D. 17 【答案】C 【解析】 【分析】先根据条件求出和，再写出前项和为， 则解得. 【详解】设等差数列的首项为，公差为，则由，得， 解得，或（舍），，设数列的前项和为，则，故，解得. 故选：C． 8. 已知数列满足，其前n项和为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析数列的性质，利用等比数列的求和公式进行计算即可. 【详解】令，则. 由，所以， 两式相除可得：. 所以数列的奇数项和偶数项都是以2为公比的等比数列. 所以 . 故选：B 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在毎小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 记等差数列的公差为，已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等差数列定义及性质逐项分析判断. 【详解】等差数列的公差为，， 对于A，，A正确； 对于B，的符号无法确定，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，，，则，D正确. 故选：AD 10. 已知正项等比数列的前项和为，且，，则（ ） A. 数列是单调递减数列 B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据给定条件，求出公比及首项，进而求出通项，再逐项判断得解. 【详解】设等比数列的公比为，由 得，解得，由，解得， 对于A，，数列是单调递增数列，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，D错误. 故选：BC 11. 下列说法正确的有（ ） A. 在等差数列中，，，则前9项和 B. 在等差数列中，，，则 C. 数列为等比数列，，，则 D. 数列的前n项和为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用等差数列的性质结合求和公式，可判断A的真假；利用等差数列的前项和的性质判断B的真假；根据等比数列的通项公式可判断C的真假；利用裂项求和法求和，可判断D的真假. 【详解】对A：因为，故A正确； 对B：因为为等差数列，所以为等差数列， 所以.故B错误； 对C：因为数列为等比数列，所以， 所以.故C正确； 对D：因为，所以， 所以数列的前n项和为： .故D正确. 故选：ACD 三、填空题（本大题共3小题，每小题 5 分，共15分．） 12. 已知数列是等差数列，且，，则数列的通项公式 _________. 【答案】 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，利用等差数列的性质先求出及，再根据即可求出 【详解】设等差数列的公差为， 由等差数列的性质可知， 由可得，所以公差， 所以数列的通项公式. 故答案为： 13. 已知数列的前项和为，且，则________ 【答案】57 【解析】 【分析】根据给定条件，利用构造法求出数列的通项，进而求出. 【详解】在数列中，由，得，而， 因此数列是首项为2，公比为2的等比数列，，， 所以. 故答案为：57 14. 已知，点在函数的图象上，其中，则数列的通项公式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据点在函数图象上得递推关系式，再取对数化简，最后根据等比数列定义进行求解 【详解】由已知得， 所以， 因为， 所以，两边同时取对数得 ，即， 所以是以为首项，公比为2的等比数列， 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 设是等比数列， （1）求的通项公式； （2）求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题设条件算出公比，进而得到通项公式； （2）利用等比数列的求和公式计算. 【小问1详解】 设等比数列的公比为， 由题知，解得， 则等比数列的通项公式； 【小问2详解】 结合（1）可知，是首项为，公比为的等比数列， 共项， 由等比数列的求和公式， 16. 已知数列满足，，，若. （1）求证：是等差数列； （2）求的前项和的最小值； 【答案】（1） 证明：由得， 所以，又. 所以是首项为，公差为的等差数列； （2）. 【解析】 【分析】（1）由得到即可由等差数列定义求证； （2）由（1）结合等差数列的前项和公式求出，再由二次函数性质即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得， 因为，所以当时前项和取得最小值为. 17. 已知数列的前项和为，且满足，． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由数列的通项与前n项和关系，分和两种情况分析，得数列从第二项开始为常数列，进而得到数列的通项公式； （2）由（1）得到，从而得到数列的通项公式，然后分奇偶项讨论，求得求数列的前项和． 【小问1详解】 ①， ∴当时，令得②， 由①-②可得，，即， ∴数列从第二项开始为常数列，，可得； 当时，，计算可得，经检验不符合上式， ； 【小问2详解】 ∵由（1）知， ， 当为偶数时，， 当为奇数时，． ∴综上，． 18. 记正项数列的前项和为，已知， （1）求数列的通项公式； （2）若数列的前项的和，求及表达式 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）利用求出即可； （2）利用裂项相消法求出. 【小问1详解】 因为，所以当时， 两式作差得， 又，符合上式，故； 【小问2详解】 由（1）得，， 故， 故. 19. 已知数列满足，且. （1）求证：数列是等差数列； （2）求数列的通项公式； （3）求数列的前n项和. 【答案】（1） 由，两边同时除以： 得，所以 又，故数列是以1为首项，2为公差的等差数列. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用递推关系证明等差数列即可； （2）利用等差数列通项公式求解即可； （3）利用错位相减法来求和即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知：，故； 【小问3详解】 ， ， 两式相减，得 ， ， 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $