广东省揭阳真理中学2025-2026学年第一学期九年级数学寒假培优卷2

揭阳真理中学2025-2026第一学期九年级数学寒假培优卷2 一．选择题（共10小题） 1．某几何体的三种视图如图所示，则该几何体是（　　） A． B． C． D． 2．数学课上李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有10个白球、6个红球和4个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（　　） A．白球 B．红球 C．黄球 D．黑球 题2题4题5题7 3．在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx﹣k（k≠0）与y＝的大致图象为（　　） A．B． C． D． 4．如图，在边长为1个单位长度的正方形网格中，若连接格点AB、CD，AB与CD交于点O，则tan∠AOD的值为（　　） A．1 B． C． D．2 5．如图，正方形ABCD的边长是3，点E是CD边上一点，CE＝1，F是BC边是一点，BF＝CE，连接BE，DF，点G是DF的中点，连接BG，GH⊥BE于点H，则GH的长为（　　） A．2 B． C． D． 6．《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何．”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？设甲、乙从出发到相遇时，乙走了3x步，则可列方程为（　　） A．102+（3x）2＝（7x﹣10）2 B．102+（7x）2＝（3x﹣10）2 C．102+（3x）2＝（7x）2 D．102+（7x）2＝（3x）2 7．古书《墨子•天文志》中记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，以面积为1的正方形ABCD的对角线的交点为位似中心，作它的位似图A′B′C′D′，若AB：A′B′＝1：2，则四边形A′B′C′D′的面积为（　　） A．5 B．4 C．3 D．1 8．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的边OC与x轴重合，边OB与y轴重合，点A的坐标为（8，4），将矩形ABOC折叠，使点A恰好落在原点O处，点C点落在点D处，折痕为EF，则图象过点D的反比例函数关系式为（　　） A． B． C． D． 9．对于关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的情况，有以下四种表述：①当a＜0，b+c＞0，a+c＜0时，方程一定没有实数根；②当a＜0，b+c＞0，b﹣c＜0时，方程一定有实数根；③当a＞0，a+b+c＜0时，方程一定没有实数根；④当a＞0，b+4a＝0，4a+2b+c＝0时，方程一定有两个不相等的实数根． 其中表述正确的序号是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 10．在如图所示8×8的网格中，小正方形的边长为1，点A、B、C、D都在格点上，AB与CD相交于点E，则∠AED的正切值是（　　） A．2 B． C． D． 题8题10题11题12 二．填空题（共5小题） 11．如图所示的小正方形网格中，A，B，C，D均为小正方形的顶点，线段AB和CD相交于点O，则tan∠AOC＝　 　 ． 12．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，点E在AD边上，连接并延长EO交BC于点F．若AB＝2，∠BAD＝60°，则△DOE与△COF的面积之和为 　 　 ． 13．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，对角线AC，BD交于点O，点E是CD的中点，连接BE交AC于点F，则OF的长为　 　 ；连接DF，则DF的长为　 　 ． 题13 题14 题15 14．如图所示是两木杆在同一时刻的影子，它们是 　 　 （填“太阳光下”或“灯光下”）的投影． 15．如图，双曲线与直线y＝2x相交于点A，B，在直线y＝2x上取点A1（2，a1），B1（﹣2，b1），A2（3，a2），B2（﹣3，b2），A3（4，a3），B3（﹣4，b3），⋯，依次以A1B1，A2B2，A3B3，⋯为对角线分别向外作左、右一组对边垂直于x轴的矩形M1，M2，M3，⋯．矩形M1的四条边与该双曲线的交点由第一象限逆时针依次记为：C1，C2，C3，C4；矩形M2的四条边与该双曲线的交点由第一象限逆时针依次记为：C5，C6，C7，C8；矩形M3的四条边与该双曲线的交点由第一象限逆时针依次记为：C9，C10，C11，C12；⋯．按此规律，则点C2025的坐标为　 　 ． 三．解答题（共8小题） 16．已知α是锐角，且．求的值． 17．【阅读理解】有这样一个化学知识：紫色石蕊溶液遇酸性溶液变成红色，遇碱性溶液变成蓝色，遇中性溶液不变色． 请根据该知识完成下列各题． 【问题解决】现有四个完全相同的不透明瓶子，里面分别装有：A．紫色石蕊溶液；B．食醋（酸性溶液）；C．石灰水（碱性溶液）；D．生理盐水（中性溶液）． （1）从四个瓶子中随机选取一瓶，选中紫色石蕊溶液的概率是　 　 ； （2）从四个瓶子中随机选取两瓶，并分别从选取的两瓶中取适量的溶液进行混合，请利用画树状图或列表的方法，求混合后溶液变成红色的概率． 18．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy，△ABC的顶点和A1均为格点（网格线的交点）．已知点A和A1的坐标分别为（﹣1，﹣3）和（2，6）． （1）在所给的网格图中描出边AB的中点D，并写出点D的坐标； （2）以点O为位似中心，将△ABC放大得到△A1B1C1，使得点A的对应点为A1，请在所给的网格图中画出△A1B1C1． 19．如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）． （1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640m2的羊圈？ （2）羊圈的面积能达到650m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 20．如图，在▱ABCD中，E为对角线AC上的中点，连接BE，且BE⊥AC，垂足为E．延长BC至F，使CF＝CE，连接EF，FD，且EF交CD于点G． （1）求证：▱ABCD是菱形； （2）若BE＝EF，EC＝4，求△DCF的面积． 21．综合与实践 研究主题 探究两点之间线段的长度 素材一 全等三角形是几何中“形状与大小完全相同”的数学表达，是证明“线段相等”“角相等”的最核心最基础的方法． 素材二 学校门口有一片竹林，某数学兴趣小组决定测量一下竹林两端P、Q两点之间的直线距离． 小组现有的工具：皮尺：可以测量长度，但是P、Q之间的直线距离无法直接用皮尺测量； 测角仪：可以测量角的大小； 激光水平仪：可以判断三个点是否在一条直线上．于是，小组开展了如下探究活动 素材三 可以利用三角形全等的判定方法SAS设计方案．先在平地上取一个可直接到达P、Q的点A，再连接PA、QA，并分别延长PA、QA… 任务一 全等三角形的判定中（SAS，ASA，AAS，SSS，HL），其中　 　 是基本事实． 任务二 把素材三的设计方案补充完整，并画出简易图，说明方案可行性的理由． 任务三 如果你是数学兴趣小组的一员，请你利用小组现有的工具，另外设计一个可行的方案，能够求出线段PQ的长度． 22．图1是凸透镜成像示意图，蜡烛AC发出的光线CE平行于直线AB，经凸透镜MV折射后，过焦点F，并与过凸透镜中心O的光线CO交于点D，从而得到像BD．其中，物距AO＝u，像距BO＝v，焦距OF＝f，四边形AOEC是矩形，DB⊥AB，MN⊥AB． （1）如图2，当蜡烛AC在离凸透镜中心一倍焦距处时，即u＝f，请用所学的数学知识说明此时“不成像”； （2）如图3，若物距u＝8cm，焦距f＝15cm时，成放大、正立的虚像，虚像与物在凸透镜MN同侧，此时虚像BD长度为15cm，蜡烛AC的长为10cm，求此时像距v的长； （3）若蜡烛AC的长为5cm，物距u＝15cm，焦距f＝10cm，求像距v和像BD的长． 23．在平面直角坐标系中，若某函数的图象经过矩形ABCD对角线的两个端点，则定义该函数为矩形ABCD 的“友好函数”．例如：如图1，矩形ABCD，经过点A（﹣1，1）和点C（3，3）的一次函数y＝是矩形ABCD的“友好函数”． （1）如图2，矩形ABCD的顶点坐标分别为A（2，1），B（6，1），C（6，3），D（2，3），反比例函数y＝（x＞0）经过点B，求反比例函数y＝（x＞0）的函数表达式，并判断该函数是否为矩形ABCD的“友好函数”； （2）矩形ABCD在第一象限，AB∥x轴，AD∥y轴，且点A的坐标为（1，2），正比例函数y1＝ax经过点A，且是矩形ABCD的“友好函数”，反比例函数y2＝（x＞0）经过点B，且是矩形ABCD的“友好函数”． ①如图3，当OC＞OA时，将矩形ABCD沿AC折叠，点B的对应点为E，若点E落在y轴上，求k的值； ②设矩形ABCD的周长为y，求y关于k的函数表达式； ③在②的条件下，当矩形ABCD的周长y＝4时，设矩形ABCD的面积为S1；当矩形ABCD的周长y＝8时，设矩形ABCD的面积为S2，请直接写出S2﹣S1的值． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C C D B A B A B B 1．【解答】解：选项A的几何体的主视图和俯视图均不符合题意；选项B的几何体的左视图和俯视图均不符合题意；选项C的几何体的主视图和俯视图均不符合题意；选项D的几何体的三视图均符合题意；故选：D． 2．【解答】解：由题意得，该球的频率稳定在0.20左右，即抽到该球的概率为0.20， ∵抽到白球的概率为，抽到黄球的概率为，抽到红球的概率为， ∴该球的颜色最有可能是黄球，故选：C． 3．【解答】解：将x＝1代入y＝kx﹣k得， y＝k﹣k＝0， 所以函数y＝kx﹣k过定点（1，0）． 故B选项不符合题意． 当k＞0时， 函数y＝kx﹣k中y随x的增大而增大． 因为当k＞0时，y＝＞0， 所以此函数的图象都在x轴的上方， 所以AD不符合题意，C符合题意．故选：C． 4．【解答】解：如图，连接BC， 由正方形的性质可得：∠OCB＝90°，，， ∴，故选：D． 5．【解答】解：连接EG，CG， ∵正方形ABCD的边长是3， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝3，∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°（正方形的性质）， ∵BF＝CE＝1， ∴CF＝DE＝BC﹣BF＝3﹣1＝2， ∴CF＝2BF，DE＝2CE， 根据三角形的面积公式得，， ∵点G是DF的中点， ∴， ∴，， ∵BC＝3，CE＝1， ∴，， ∴， ∵GH⊥BE， ∴， ∴， 则GH的长为，故选：B． 6．【解答】解：由题意可得， 甲向北偏东方向走的路程为：7x﹣10，乙走的路程为3x， 则102+（3x）2＝（7x﹣10）2，故选：A． 7．【解答】解：∵AB：A′B′＝1：2，正方形ABCD的面积为1，正方形ABCD与正方形A′B′C′D′是位似图形， ∴正方形ABCD的面积：正方形A′B′C′D′的面积＝； ∴若AB：A′B′＝1：2，则四边形A′B′C′D′的面积为4．故选：B． 8．【解答】解：作DM⊥x轴于点M， ∵矩形ABOC的顶点A的坐标为（8，4）， ∴AB＝OC＝8，AC＝OB＝4， ∵将矩形ABOC折叠，使点A恰好落在原点O处， ∴OE＝AE，OD＝AC＝4， 设BE＝m，则OE＝AE＝8﹣m， 在Rt△BOE中，OE2＝BE2+OB2， ∴（8﹣m）2＝m2+42，解得m＝3， ∴BE＝3，OE＝8﹣3＝5， ∵∠EOD＝∠A＝90°， ∴∠EOM+∠DOM＝90°， ∵∠BOE+∠EOM＝90°， ∴∠DOM＝∠BOE， ∵∠OBE＝∠DMO＝90°， ∴△DOM∽△EOB， ∴， ∴， ∴OM＝，DN＝， ∴D（，﹣） ∵点D落在反比例函数y＝的图象上， ∴k＝×（﹣）＝﹣， ∴反比例函数关系式为y＝﹣，故选：A． 9．【解答】解：①当a＝﹣1，b＝3，c＝﹣2时，满足a＜0，b+c＞0，a+c＜0，此时Δ＝32﹣4×（﹣1）×（﹣2）＝1＞0，即方程有两个不相等的实数根，故①错误； ②∵b+c＞0，b﹣c＜0， ∴c＞0， ∵a＜0， ∴﹣4ac＞0， ∴Δ＝b2﹣4ac＞0，即方程有两个不相等的实数根，故②正确； ③当a＝1，b＝﹣1，c＝﹣1时，满足a＞0，a+b+c＜0， 此时Δ＝b2﹣4ac＝1﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，即方程有两个不相等的实数根，故③错误； ④∵a＞0，b+4a＝0，4a+2b+c＝0， ∴b＝﹣4a，c＝4a， ∴Δ＝（﹣4a）2﹣4×a×4a＝0，即方程有两个相等的实数根，故④错误；综上，正确的是②故选：B． 10．【解答】解：如图，取格点K，连接AK，BK． 观察图形可知AK⊥BK，BK＝2AK，BK∥CD， ∴∠AED＝∠ABK， ∴tan∠AED＝tan∠ABK＝＝，故选：B． 11．【解答】解：小正方形网格中，A，B，C，D均为小正方形的顶点，线段AB和CD相交于点O， 如图标记格点E，连接AD，BD， 设小正方形的边长均为1， ，， ∵∠ADB＝180°﹣45°﹣45°＝90°， ∴Rt△ADB中，， ∵Rt△CDE中，， ∴∠DAB＝∠CDE， ∴∠DAB+∠ADC＝∠CDE+∠ADC， ∵∠AOC＝∠DAB+∠ADC，∠ADE＝∠CDE+∠ADC＝45°， ∴∠AOC＝∠ADE＝45°， ∴tan∠AOC＝1． 故答案为：1． 12．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴OD＝OB，OA＝OC，AD∥CB，AC⊥BD，∠BAO＝1/2∠BAD， ∴△AOB和△AOD都是直角三角形， ∵∠BAD＝60°， ∴∠BAO＝∠BAD＝30°， 在Rt△AOB中，AB＝2，∠BAO＝30°， ∴OB＝AB＝1， 由勾股定理得：OA＝＝＝， ∴OD＝OB＝1， ∴S△AOD＝OA•OD＝＝， ∵AD∥CB， ∴∠OAE＝∠OCF，∠OEA＝∠OFC， 在△OAE和△OCF中，， ∴△OAE≌△OCF（AAS）， ∴S△OAE＝S△OCF， ∴S△DOE+S△COF＝S△DOE+S△OAE＝S△AOD＝． 即△DOE与△COF的面积之和为． 故答案为：． 13．【解答】解：在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8， ∴AB＝CD＝6，BC＝AD＝8，∠ABC＝90°， 在直角三角形ABC中，由勾股定理得：，，AB∥CD， ∵点E是CD的中点， ∴， ∵AB∥CD， ∴△ABF∽△CEF， ∴， ∴， ∴， ∵AC＝CF+AF＝10， ∴， ∴； 如图，过F作FM⊥CD于M， ∴△ACD∽△FCM， ∴， ∴，， ∴DM＝CD﹣CM＝6﹣2＝4， 在直角三角形DFM中，由勾股定理得：， 故答案为：，． 14．【解答】解：如图所示是两木杆在同一时刻的影子，它们是 灯光下的投影． 故答案为：灯光下． 15．【解答】解：由题意得，C1，C2，C3，C4在矩形M1上，C5，C6，C7，C8在矩形M2上，C9，C10，C11，C12在矩形M3上， ∴每个矩形上都有4个点． ∵2025÷4＝506…1， ∴点C2025在矩形M507上，且在第一象限内，横坐标为507+1＝508． ∵把x＝508代入得：， ∴． 故答案为：． 16．【解答】解：∵且α是锐角， ∴α＝45°， ∴ ＝ ＝ ＝ ＝． 17．【解答】解：（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中选中紫色石蕊溶液的结果有1种， ∴从四个瓶子中随机选取一瓶，选中紫色石蕊溶液的概率是． 故答案为：． （2）列表如下： A B C D A （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） 共有12种等可能的结果，其中混合后溶液变成红色的结果有：（A，B），（B，A），共2种， ∴混合后溶液变成红色的概率为． 18．【解答】解：（1）如图，点D即为所求． 由图可得，点D的坐标为（﹣2，﹣1）． （2）如图，△A1B1C1即为所求． 19．【解答】解：（1）设矩形ABCD的边AB＝xm，则边BC＝70﹣2x+2＝（72﹣2x）m． 根据题意，得x（72﹣2x）＝640， 化简，得 x2﹣36x+320＝0， 解得 x1＝16，x2＝20， 当x＝16时，72﹣2x＝72﹣32＝40（m）， 当x＝20时，72﹣2x＝72﹣40＝32（m）． 答：当羊圈的长为40m，宽为16m或长为32m，宽为20m时，能围成一个面积为640m2 的羊圈； （2）答：不能， 理由：由题意，得x（72﹣2x）＝650， 化简，得 x2﹣36x+325＝0， Δ＝（﹣36）2﹣4×325＝﹣4＜0， ∴一元二次方程没有实数根． ∴羊圈的面积不能达到 650m2． 20．【解答】（1）证明：∵E为对角线AC上的中点，BE⊥AC， ∴BE垂直平分AC， ∴AB＝BC， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴▱ABCD是菱形； （2）解：∵BE＝EF， ∴∠EBF＝∠EFB， ∵CF＝CE， ∴∠CEF＝∠CFE， ∴∠BCE＝∠CEF+∠CFE＝2∠CFE＝2∠EBF， ∵∠BEC＝90°， ∴∠CBE＝30°，∠BCA＝60°， ∴∠ACB＝∠ACD＝60°， ∴∠DCF＝180°﹣60°﹣60°＝60°， ∴∠BCE＝∠DCF， ∵BC＝CD，CE＝CF， ∴△BCE≌△DCF（SAS）， ∴∠DFC＝∠BEC＝90°， ∵CF＝CE＝4， ∴DF＝CF＝4， ∴△DCF的面积＝DF•CE＝×4×4＝8． 21．【解答】解：任务一．在全等三角形的判定中（SAS，ASA，AAS，SSS，HL），SAS，ASA，SSS是无需证明的基本事实，AAS是ASA公理的推论，HL是直角三角形的特有的定理． 故答案为：SAS，ASA，SSS； 任务二．利用三角形全等的判定方法SAS设计方案：先在平地上取一个可直接到达P、Q的点A，利用激光水平仪判断A，P，Q三点不在一条直线上，连接PA、QA，延长PA至点M，延长QA至点N，连接MN，则MN＝PQ，即测量MN的值即为PQ的长度．画出图形如下： 由设计方案可知：PA＝MA，QA＝NA， ∵∠PAQ，∠MAN为对顶角， ∴∠PAQ＝∠MAN， ∴由SAS公理可得：△PAQ≌△MAN， ∴PQ＝MN． ∴通过上述方案可得PQ＝MN，测量MN的长度即为PQ的长度． 任务三．设计方案如下： 先在平地上取一个可直接到达P、Q的点A，通过调整点A点的位置，利用测角仪测得∠PAQ＝90°，测量PA，QA的长度，再利用PQ＝，即可对称PQ的长度． 22．【解答】解：（1）∵四边形AOEC是矩形， ∴AC＝EO，∠CAO＝∠AOE＝90°， ∴∠EOF＝180°﹣∠AOE＝90°， ∴∠CAO＝∠EOF＝90°， ∵AO＝OF， ∴△CAO≌△EOF（SAS）， ∴∠COA＝∠EFO， ∴CO∥EF， ∴CO与EF没有交点，此时“不成像”； （2）∵CA⊥BA，DB⊥AB，MN⊥AB，OA＝u＝8cm， ∴∠CAO＝∠DBO＝∠EOF＝90°， ∵∠COA＝∠DOB， ∴△CAO∽△DBO， ∴， ∴， ∴BO＝12cm， ∴像距v＝12cm； （3）∵CA⊥BA，DB⊥AB， ∴∠CAO＝∠DBO＝90°， ∵∠COA＝∠DOB， ∴△CAO∽△DBO， ∴， ∴， ∴BO＝3BD， ∵DB⊥AB，MN⊥AB， ∴∠DBO＝∠EOF＝90°， ∵∠EFO＝∠DFB， ∴△EFO∽△DFB， ∴， ∴， ∴， ∴BD＝10cm， ∴BO＝3BD＝30cm， ∴像距v＝30cm，像BD＝10cm． 23．【解答】解：（1）将点B的坐标代入反比例函数表达式得：k＝1×6＝6， 则反比例函数的表达式为：y＝， 当x＝2时，y＝3，即点D在反比例函数表达式上， 故该函数是矩形ABCD的“友好函数”； （2）将点A的坐标代入正比例函数表达式得：2＝k， 则正比例函数表达式为：y＝2x， ∵正比例函数是矩形ABCD的“友好函数”， 即点C在直线y＝2x上，故设点C（m，2m）， ①当OC＞OA时， 当点B、D的坐标分别为：（m，2）、（1，2m）， 则AB＝m﹣1，BC＝2m﹣2； ∵将矩形ABCD沿AC折叠，点B的对应点为E，若点E落在y轴上， 则∠EAC＝∠BAC＝∠CAE， 即OE＝EC， 故OE＝EC＝BC，设点E（0，y）， 则y＝＝2m﹣2， 解得：m＝，y＝， 即点E（0，）， 则k＝2m＝； ②当OC＞OA时， 将点B（m，2）的坐标代入反比例函数表达式得：k＝2m， ∵AB＝m﹣1，BC＝2m﹣2； 则y＝2（AB+BC）＝6m﹣6＝3k﹣6； 当OC＜OA时， 此时，点A、B、C、D的坐标分别为：（1，2）、（1，2m）、（m，2m）、（m，2）， 将点B（1，2m）的坐标代入反比例函数表达式得：k＝2m， ∵AB＝2﹣2m，BC＝1﹣m； 则y＝2（AB+BC）＝6﹣6m＝6﹣3k， 综上，y＝|6﹣3k|； ③当OC＞OA时， 当y＝4时，即3k﹣6＝4， 则k＝，则m＝， 则S1＝AB×BC＝（m﹣1）（2m﹣2）＝2（m﹣1）2＝； 当y＝8时，即3k﹣6＝8， 则k＝，则m＝， 则S2＝AB×BC＝（m﹣1）（2m﹣2）＝2（m﹣1）2＝； 则S2﹣S1＝； 当OC＜OA时， 当y＝4时，即6﹣3k＝4， 则k＝，则m＝， 则S1＝AB×BC＝（2﹣2m）（1﹣m）＝2（m﹣1）2＝； 当y＝8时，即6﹣3k＝8， 则k＝﹣，不合题意，舍去； 综上，S2﹣S1＝． 学科网（北京）股份有限公司 $