精品解析：江苏省宿迁市沭阳如东实验学校2025-2026学年上学期八年级数学期末试卷

八年级（上）期末数学试卷 一、选择题（共8小题） 1. 下列说法中错误的是（ ） A. 9的算术平方根是3 B. 4的平方根是 C. 27的立方根为 D. 立方根等于1的数是1 2. 在平面直角坐标系中，将点A先向左平移6个单位长度，再向下平移8个单位长度，得到的点正好与点A关于原点对称，则点A的坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，点D在边上，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 将下列长度的三条线段首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 5. 一次函数的图象上三个点的坐标分别为，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，直线交轴，轴于点，点在第一象限内，且纵坐标为4．若点关于直线的对称点恰好落在轴的正半轴上，则点的横坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知，，点、、…在射线上，点、、在射线上，、、、均为等边三角形，若，则的边长为（ ） A. 16 B. 32 C. 64 D. 128 8. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点A的坐标为，点E在边上．将沿折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为，则点E的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共12小题） 9. 我国作为亚太经济合作组织（）的重要成员，始终以实际行动为亚太伙伴创造更多发展机遇．数据显示，2024年前10个月，我国与其他经济体的进出口总额为元人民币，创历史同期新高．数据用科学记数法表示为___________． 10. 已知点P（a，b）在一次函数y=2x+1的图像上，则2a-b+1=______ 11. 若点，在一次函数（a为常数）的图象上，且，则_______（填“”“”或“”） 12. 比较大小：___________3（填“”或“”）． 13. 如图，中，，点E为边上一点，，点D为边的中点，连接，点F为线段上的动点，连接，则的最小值为__________． 14. 在平面直角坐标系中，已知点，若点在第一象限，且的面积为10，则的值为___________． 15. 如图，已知直线（是常数）与直线（常数）交于点，则关于的二元一次方程组的解是______． 16. 如图，，C是延长线上一点，，动点P从点C出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点P、Q同时出发，用表示移动的时间，当_______________s时，是等腰三角形． 17. 如图，已知一次函数与相交于点C，现有一次函数，若，，不能围成三角形，则的值为__． 18. 如图所示的是函数与的图象，则方程组的解是____________． 19. 如图，在中，，，，P为内一点，连接，，，则的最小值是___________． 20. “龟兔首次赛跑”之后，输了比赛的兔子没有气馁，总结反思后，和乌龟约定再赛一场．图中的函数图象刻画了“龟兔再次赛跑”的故事（x表示乌龟从起点出发所行的时间，y1表示乌龟所行的路程，y2表示兔子所行的路程）．有下列说法：①“龟兔再次赛跑”的路程为1000米；②兔子先到达终点；③乌龟比兔子晚出发40分钟；④兔子在760米处追上乌龟．其中正确的说法是________．（把你认为正确说法的序号都填上） 三、解答题（共8小题） 21. 计算与解方程： （1）． （2） 22. 如图，已知四边形的四个顶点分别为． （1）作出四边形关于y轴对称的四边形；写出点：______；：_____． （2）在x轴上找一点P，使得周长最小．（保留作图痕迹） （3）求四边形的面积． 23. 如图，在锐角中，，且点，在线段上，且． （1）求证； （2）若，求． 24. 已知：如图，平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与轴，轴交于点A，B，点的坐标是． （1）求直线的函数表达式． （2）若直线上有一点，且，求点的坐标． 25. 随着全民健身意识的增强和体育产业的高质量发展，运动鞋市场的需求日益增长．某运动品牌专卖店为了抓住这一市场机遇，准备购进甲、乙两种运动鞋．其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如表．已知购进60双甲种运动鞋与50双乙种运动鞋共需10000元． 甲 乙 进价/（元/双） m 售价/（元/双） 240 160 （1）求m的值； （2）要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润不少于21700元，且不超过22300元，问该专卖店有几种进货方案？ （3）在（2）的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋每双优惠a（）元出售，乙种运动鞋价格不变，该专卖店要想获得最大利润应当如何进货？ 26. 近日，如通苏湖城际铁路湖州段顺利掘进开工．现有一条长为720米的隧道，需甲、乙两个工程队合作完成．首先由甲工程队单独挖掘隧道米，再由甲乙两队共同施工，剩余任务由乙工程队单独完成．已挖掘的隧道长度米与施工天数天的关系如图所示． （1）甲、乙合作时，共施工__________天，每天挖掘隧道__________米； （2）当时，求第20天时整个工程已完成多少米； （3）已知乙工程队的施工效率不超过甲工程队，求完成这次任务的工期（天）范围． 27. 如图，一条河流的段长为，在点的正北方处有一村庄，在点的正南方处有一村庄，计划在上建一座桥，使得桥到村和村的距离和最小．请根据以上信息，回答下列问题： （1）将桥建在何处时，可以使得桥到村和村的距离和最小？请在图中画出此时点的位置； （2）小明发现：设，则，则，根据（1）中的结论可以求出当______时，的值最小，且最小值为______； （3）结合（1）（2）问，请直接写出下列代数式的最小值： ①的最小值______； ②的最小值为______． 28. 如图，平面直角坐标系中，已知点，点，过点作轴的平行线，点是在直线上位于第一象限内的一个动点，连接，． （1）若将沿翻折后，点的对应点恰好落在轴上，则的面积______； （2）若平分，求点的坐标； （3）已知点是直线上一点，若是以为直角边的等腰直角三角形，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级（上）期末数学试卷 一、选择题（共8小题） 1. 下列说法中错误的是（ ） A. 9的算术平方根是3 B. 4的平方根是 C. 27的立方根为 D. 立方根等于1的数是1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了对算术平方根，平方根，立方根的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力． 根据算术平方根，平方根，立方根的定义求出每个的值，再判断即可． 【详解】解：A．9的算术平方根是3，正确； B．4的平方根是，正确； C．27的立方根是3，不是，错误； D．立方根等于1的数是1，即若，则，正确． 故选C． 2. 在平面直角坐标系中，将点A先向左平移6个单位长度，再向下平移8个单位长度，得到的点正好与点A关于原点对称，则点A的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了图形平移变换中点的坐标变换及关于原点成中心对称的坐标规律，直接利用平移中点的变化和中心对称的坐标规律求解即可，关于原点对称两个点，其横纵坐标对应相加等于是解题关键． 【详解】设A点坐标为， ∴， ∵A与成中心对称， ∴，， ∴ ∴， 故选：A． 3. 如图，在中，点D在边上，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，等边对等角，三角形外角的性质，根据，得到，由，有，再根据三角形内角和，即可求出． 【详解】解：∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 故选D． 4. 将下列长度的三条线段首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握：若三角形三边、、满足（其中为最长边），则该三角形为直角三角形．据此逐项验证即可． 【详解】解：A．∵， ∴以这三条线段的长为边不能组成直角三角形； B．∵， ∴以这三条线段的长为边不能组成直角三角形； C．∵， ∴以这三条线段的长为边不能组成直角三角形； D．∵， ∴以这三条线段的长为边能组成直角三角形． 故选：D． 5. 一次函数的图象上三个点的坐标分别为，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象与性质，一次函数，当时，y随着x的增大而增大；当时，y随着x的增大而减小；由于一次函数的，因此函数值随的增大而减小，比较三个点的横坐标大小，即可确定纵坐标的大小关系. 【详解】解：∵的， ∴随的增大而减小， 三个点的横坐标分别为，，， ∵， ∴，即. 故选：D. 6. 如图，直线交轴，轴于点，点在第一象限内，且纵坐标为4．若点关于直线的对称点恰好落在轴的正半轴上，则点的横坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由直线，可得，易知；连接，交直线与点，连接，由轴对称的性质可得垂直平分，根据垂直平分线的性质可得，再证明，由全等三角形的性质可得；设，则，，由勾股定理可得，解得，即可确定点的横坐标． 【详解】解：对于直线， 当时，，当时，， ∴， ∴， 连接，交直线与点，连接，如下图， ∵点与点关于直线对称， ∴，且， ∴， ∵点在第一象限内，且纵坐标为4， ∴轴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴在中，， 即，解得， ∴， ∴点的横坐标为． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形、一次函数与坐标轴交点、轴对称的性质、垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． 7. 如图，已知，，点、、…在射线上，点、、在射线上，、、、均为等边三角形，若，则的边长为（ ） A. 16 B. 32 C. 64 D. 128 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查等边三角形的性质，根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出，以及，得出，，…进而得出答案． 【详解】解：是等边三角形， ，， ， ， ， 又， ， ， ， ， 、是等边三角形， ，， ， ， ，， ， ，，， 以此类推：的边长为， 的边长为：． 故选：D． 8. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点A的坐标为，点E在边上．将沿折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为，则点E的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设正方形的边长为a，与y轴相交于G，先判断四边形是矩形，得出，，，根据折叠的性质得出，，在中，利用勾股定理构建关于a的方程，求出a的值，在中，利用勾股定理构建关于的方程，求出的值，即可求解． 【详解】解：设正方形的边长为a，与y轴相交于G， ∵正方形的边在x轴上， ∴ ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵折叠， ∴，， ∵点A的坐标为，点F的坐标为， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴，， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴点E的坐标为， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，坐标与图形，矩形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理等知识，利用勾股定理求出正方形的边长是解题的关键． 二、填空题（共12小题） 9. 我国作为亚太经济合作组织（）的重要成员，始终以实际行动为亚太伙伴创造更多发展机遇．数据显示，2024年前10个月，我国与其他经济体的进出口总额为元人民币，创历史同期新高．数据用科学记数法表示为___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 根据科学记数法的定义作答即可． 【详解】解：． 故答案为：． 10. 已知点P（a，b）在一次函数y=2x+1的图像上，则2a-b+1=______ 【答案】0 【解析】 【分析】把点P代入一次函数y=2x+1中即可求解． 【详解】点P（a，b）在一次函数y=2x+1的图像上， b=2a+1 即2a-b+1=0 故答案为：0． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标，得出b=2a+1是解题关键． 11. 若点，在一次函数（a为常数）的图象上，且，则_______（填“”“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的增减性，解题的关键是根据一次函数的解析式确定其增减趋势．先确定一次函数中比例系数的值，由的符号判断随的变化规律，再结合比较与的大小． 【详解】解：在一次函数中，， ∴随的增大而增大． ∵， ∴． 故答案为：． 12. 比较大小：___________3（填“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查有理数的大小比较，根据正数大于负数即可解答． 【详解】解：∵是负数，是正数， ∴． 故答案为：． 13. 如图，中，，点E为边上一点，，点D为边的中点，连接，点F为线段上的动点，连接，则的最小值为__________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了最短路径、勾股定理、垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识，利用轴对称的性质确定取最小值时的位置是解题关键． 连接，交于点，连接，首先证明为线段的垂直平分线，点B、C关于对称，，此时，的值最小，再利用勾股定理解得，由，即可确定的最小值． 【详解】解：如图，连接，交于点，连接， ∵，点D为边的中点， ∴，即为线段的垂直平分线， ∴点B、C关于对称，， 此时，的值最小， ∵， ∴在中，， ∴， 即的最小值为5． 故答案为：5． 14. 在平面直角坐标系中，已知点，若点在第一象限，且的面积为10，则的值为___________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查三角形的面积、坐标与图形性质，过点C作x轴的垂线，垂足为点D，根据求解即可． 【详解】解：如图，过点C作x轴的垂线，垂足为点D， ∵ ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：6． 15. 如图，已知直线（是常数）与直线（常数）交于点，则关于的二元一次方程组的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据直线（是常数）与直线（常数）交于点求出的值，从而得到，联立求解即可得到答案． 【详解】解：直线（是常数）与直线（常数）交于点， ，， 解得：，， 直线，直线， ， ， 解得：， 关于的二元一次方程组的解是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 16. 如图，，C是延长线上一点，，动点P从点C出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点P、Q同时出发，用表示移动的时间，当_______________s时，是等腰三角形． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质，把几何问题转化为方程求解，运用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 根据等腰三角形的性质，分两种情况：当点在线段上，当点在的延长线上，分别列式计算即可求解． 【详解】解：①当点在线段上，是等腰三角形时， ， 即， 解得； ②当点在的延长线上，是等腰三角形时， ， 是等边三角形， ， 即， 解得， 故答案为：或． 17. 如图，已知一次函数与相交于点C，现有一次函数，若，，不能围成三角形，则的值为__． 【答案】1或2或 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的综合运用，先求出点C的坐标，再分三种情况讨论：①当经过点C时，②当时，③当时，分别求k的值即可求解． 【详解】解：联立方程组， 解得，， ∴点的坐标为； ①当经过点时，， 解得，， ②当时，， ③当时，， 所以，，，不能围成三角形，则k的值为1或2或， 故答案为：1或2或． 18. 如图所示的是函数与的图象，则方程组的解是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组，解题的关键是方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行判断． 【详解】解：一次函数与的图象交于点， 则二元一次方程组的解是， 故答案为：． 19. 如图，在中，，，，P为内一点，连接，，，则的最小值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】将绕点B逆时针旋转得到，连接，，利用旋转的性质证明是等边三角形，推出，可得，当点P，F在直线上时，等号成立，由此可解． 【详解】解：在中，，，， ， ． 如图，将绕点B逆时针旋转得到，连接，， 由旋转的性质得，，，， 是等边三角形， ， ， 当点P，F在直线上时，等号成立，取最小值． ， ． 的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质等，解题的关键是通过旋转构造全等三角形． 20. “龟兔首次赛跑”之后，输了比赛的兔子没有气馁，总结反思后，和乌龟约定再赛一场．图中的函数图象刻画了“龟兔再次赛跑”的故事（x表示乌龟从起点出发所行的时间，y1表示乌龟所行的路程，y2表示兔子所行的路程）．有下列说法：①“龟兔再次赛跑”的路程为1000米；②兔子先到达终点；③乌龟比兔子晚出发40分钟；④兔子在760米处追上乌龟．其中正确的说法是________．（把你认为正确说法的序号都填上） 【答案】①②##②① 【解析】 【分析】通过认真分析函数图象就可以就可以得出龟兔赛跑的路程，各自出发的时间等，由图象的数据分析就可以得出结论． 【详解】由图像可得，“龟兔再次赛跑”的路程为1000米， 故①正确； 由图像可得，乌龟在60分的时候到达终点，兔子在50分的时候到达终点， ∴兔子先到达终点， 故②正确； 由图像可得，乌龟0分的时候出发，兔子40分的时候出发， ∴兔子比乌龟晚出发40分钟， ∴③错误； 设y1=k1x+b（k1≠0）（40≤x≤60）． 根据图示知，该直线经过点（40，600），（60，1000）， 则， 解得， 所以该函数解析式为y1=20x-200（40≤x≤60）， 同理，y2=100x-4000（40≤x≤50）， 当y1=y2时，兔子追上乌龟， 此时20x-200=100x-4000， 解得：x=47.5， ∴y1=y2=750米，即兔子在途中750米处追上乌龟． 故④错误． ∴正确的说法是①②． 故答案为：①②． 【点睛】本题考查了一次函数的图象的性质的运用，由一次函数的图象的数据分析就可以就可以得出相应的结论．理解清楚函数的图象的含义是关键． 三、解答题（共8小题） 21. 计算与解方程： （1）． （2） 【答案】（1）4 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算． （1）先求立方根，平方根，乘方运算，然后再进行加减法即可． （2）利用平方根解方程即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ∴或 ∴ 22. 如图，已知四边形的四个顶点分别为． （1）作出四边形关于y轴对称的四边形；写出点：______；：_____． （2）在x轴上找一点P，使得周长最小．（保留作图痕迹） （3）求四边形的面积． 【答案】（1） 如下图四边形即为所求； ； （2） 如下图，点P即为所求． （3）6 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的绘制，利用轴对称求最短路径以及不规则四边形的面积的计算，理解轴对称的性质是解题的关键． （1）根据关于轴对称的点的坐标特征来确定对称点坐标并画出图形； （2）利用轴对称的性质找到使三角形周长最小的点； （3）通过将四边形补成一个大矩形，再减去多余三角形的面积来计算四边形的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：． 23. 如图，在锐角中，，且点，在线段上，且． （1）求证； （2）若，求． 【答案】（1） 证明：，，， ， ， ， ， 在和中， ， ； （2）21 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识，证明是解题关键． （1）根据各角之间的关系得出，再利用“”证明，即可证明； （2）由全等三角形的性质可得，进而可得的值，然后根据求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得， ， ， ， ． 24. 已知：如图，平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与轴，轴交于点A，B，点的坐标是． （1）求直线的函数表达式． （2）若直线上有一点，且，求点的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查待定系数法求解析式、一次函数与几何综合． （1）先求出点B的坐标，然后用待定系数法即可求出直线的函数表达式． （2）先求出点坐标，再结合，利用几何关系分别求得点P的纵坐标，即可求得点P． 【小问1详解】 解：一次函数的图像与y轴交于点B， ∴当时，， ∴， 又 设直线的函数表达式为：， 把代入，则 解得：， ∴直线的函数表达式为：； 【小问2详解】 解：一次函数的图像与x轴交于点A， ∴当时， ∴， ∴， 设上有一点，使得， 如图， ∴①，得， ∴ 解得，则点； ②，得， 解得，则点； 综上所述，点或． 25. 随着全民健身意识的增强和体育产业的高质量发展，运动鞋市场的需求日益增长．某运动品牌专卖店为了抓住这一市场机遇，准备购进甲、乙两种运动鞋．其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如表．已知购进60双甲种运动鞋与50双乙种运动鞋共需10000元． 甲 乙 进价/（元/双） m 售价/（元/双） 240 160 （1）求m的值； （2）要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润不少于21700元，且不超过22300元，问该专卖店有几种进货方案？ （3）在（2）的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋每双优惠a（）元出售，乙种运动鞋价格不变，该专卖店要想获得最大利润应当如何进货？ 【答案】（1）； （2）共有11种进货方案； （3） 应购进甲种运动鞋95双，购进乙种运动鞋105双． 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用．根据题意列出方程和不等式组是解题的关键． （1）根据“购进60双甲种运动鞋与50双乙种运动鞋共需10000元”列出方程并解答； （2）设购进甲种运动鞋双，表示出乙种运动鞋双，然后根据总利润列出一元一次不等式，求出不等式组的解集后，再根据鞋的双数是正整数解答； （3）设总利润为，根据总利润等于两种鞋的利润之和列式整理，然后根据一次函数的增减性分情况讨论求解即可． 【小问1详解】 解：依题意得：， 解得； 【小问2详解】 解：设购进甲种运动鞋x双，则乙种运动鞋双， 根据题意得： 解不等式①得， 解不等式②得， 所以，不等式组的解集是: ∵x是正整数，， ∴共有11种进货方案； 【小问3详解】 解：设总利润为W，则 ， ①当时，，W随x的增大而增大， 所以，当时，W有最大值， 即此时应购进甲种运动鞋105双，购进乙种运动鞋95双； ②当时，，，（2）中所有方案获利都一样； ③当时，，W随x的增大而减小， 所以，当时，W有最大值， 即此时应购进甲种运动鞋95双，购进乙种运动鞋105双． 26. 近日，如通苏湖城际铁路湖州段顺利掘进开工．现有一条长为720米的隧道，需甲、乙两个工程队合作完成．首先由甲工程队单独挖掘隧道米，再由甲乙两队共同施工，剩余任务由乙工程队单独完成．已挖掘的隧道长度米与施工天数天的关系如图所示． （1）甲、乙合作时，共施工__________天，每天挖掘隧道__________米； （2）当时，求第20天时整个工程已完成多少米； （3）已知乙工程队的施工效率不超过甲工程队，求完成这次任务的工期（天）范围． 【答案】（1）9；40 （2）第20天时整个工程已完成580米 （3）完成这次任务的工期范围是27天至35天 【解析】 【分析】（1）根据图象信息得出甲、乙合作时，共施工的天数，再运用工作量除以时间，即可作答． （2）先求出直线的解析式，再令，则即可作答． （3）根据图象信息得甲施工队施工的效率为（米/天），乙队施工的效率为（米/天），因为乙工程队的施工效率不超过甲工程队，得出解得，然后分类讨论，即当时或当时，再求出直线的解析式，当时，则，解得，即，进行作答即可． 本题考查了一次函数的行程问题，求一次函数的解析式，一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意，根据图象可得，甲、乙合作时，共施工的天数为：（天） 每天挖隧道：（米）， 故答案为:9，40． 【小问2详解】 解：由题意，当时 ∴点的坐标A的坐标为，B的坐标为 ∴（米/天），（米/天）， 又设直线的解析式为 把点B坐标代入解析式得 解得 ∴直线的解析式为 令，则 ∴第20天时整个工程已完成580米； 【小问3详解】 解：由题意得，甲施工队施工的效率为（米/天），乙队施工的效率为（米/天）， ∵乙工程队的施工效率不超过甲工程队， ∴， 解得， ∵， ∴， 当时， 由（2）得直线的解析式为 ∴当时，则， 解得； 当时， 依题意，则， ∴（米/天），（米/天）， 设直线的解析式为 把代入得 解得， ∴直线的解析式为 ∴当时， 由（2）得直线的解析式为 ∴当时，则， 解得， 即 ∴完成这次任务的工期范围是27天至35天． 27. 如图，一条河流的段长为，在点的正北方处有一村庄，在点的正南方处有一村庄，计划在上建一座桥，使得桥到村和村的距离和最小．请根据以上信息，回答下列问题： （1）将桥建在何处时，可以使得桥到村和村的距离和最小？请在图中画出此时点的位置； （2）小明发现：设，则，则，根据（1）中的结论可以求出当______时，的值最小，且最小值为______； （3）结合（1）（2）问，请直接写出下列代数式的最小值： ①的最小值______； ②的最小值为______． 【答案】（1） 如图，点即为所作： ； （2）； （3）①；② 【解析】 【分析】（1）直接根据两点之间线段最短，连接，交于点即可； （2）根据平行线分线段成比例定理得出的长度，根据勾股定理求出即为最小值； （3）①根据题意可知的最小值，计算即可； ②将转换为，然后根据上述规律求最小值即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过点作，交与点, 则，， ， 设为，则， 则， 即， 解得， ，当时，最小值为， 故答案为：；； 【小问3详解】 ①的最小值， 故答案为：； ② 的最小值， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，考查了数形结合的思想，读懂题意，将已知式子转换为相应的图形进行解答是本题的关键． 28. 如图，平面直角坐标系中，已知点，点，过点作轴的平行线，点是在直线上位于第一象限内的一个动点，连接，． （1）若将沿翻折后，点的对应点恰好落在轴上，则的面积______； （2）若平分，求点的坐标； （3）已知点是直线上一点，若是以为直角边的等腰直角三角形，求点的坐标． 【答案】（1） （2）或 （3）点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）根据翻折性质得在轴上，得出，得是等腰直角三角形，即可求解面积； （2）由平行线性质和角平分线性质得出，从而得出，过点作轴于点，则有，然后分点在左侧和点在右侧，根据勾股定理求得，即可解答； （3）设，，要使是以为直角边的等腰直角三角形，有两种情况：①当且时，②当且时，分别求解即可． 【小问1详解】 解：∵沿翻折后点的对应点落在轴上， ∴，平分， ∴． ∵直线过点且平行于轴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴； 故答案为：． 【小问2详解】 解：∵平分， ∴． ∵直线轴， ∴， ∴， ∴， 如图，过点作轴于点， ∵直线轴，点是在直线上位于第一象限内的一个动点， ∴， ①当点在左侧时， ∴， ∴， ∴点的坐标为； ②如图，当点在右侧时， 同理， ∴， ∴点的坐标为. 综上，点的坐标为或； 【小问3详解】 解：∵点是直线上一点，点是在直线上位于第一象限内的一个动点， ∴设，， 要使是以为直角边的等腰直角三角形，有两种情况： ①当且时， 如图，过点作直线轴于点，过点作直线于点， 则，，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ，即， 联立， 解得或(不合题意，舍去)， ∴； ②当且时， 如图，过点作于，过点作直线轴于点， 则，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ，即， 联立， 解得或(不合题意，舍去)， ∴； 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数和几何综合，翻折的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等，熟练掌握以上知识点，正确画出辅助线，采用分类讨论的思想方法是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $