精品解析：湖北黄石市下陆区2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题

2025-2026学年八年级期末质量检测数学卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图，四个图标中是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 生物学家发现了一种病毒，其长度约为0.00000032mm，数据0.00000032用科学记数法表示正确的是（　　） A. 3.2×107 B. 3.2×108 C. 3.2×10-7 D. 3.2×10-8 3. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若分式的值为0，则x的值为（　　）． A. 0 B. 1 C. ﹣1 D. ±1 5. 如图，等腰△中，点D，E分别在腰AB，AC上，添加下列条件，不能判定≌的是（ ） A. B. C. D. 6. 若能用完全平方公式因式分解，则的值为（ ） A. ±6 B. ±12 C. -13或11 D. 13或-11 7. 如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB=AC，∠CAD=20°，则∠ACE的度数是（　　） A. 20° B. 35° C. 40° D. 70° 8. 某校组织名学生去外地参观，现有两种不同型号的客车可供选择．在每辆车刚好满座的前提下，每辆型客车比每辆型客车多坐人，单独选择型客车比单独选择型客车少租辆．设型客车每辆坐人，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，边的垂直平分线分别交、于点D、E，，的周长为，则的周长是（　 　）． A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 10. 已知如图等腰，，，于点D，点P是延长线上一点，点O是线段上一点，，下面的结论：①；②；③是等边三角形；④．其中正确的是（ ） A. ①③④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①②④ 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 分解因式：______． 12. 代数式有意义时，x应满足的条件是______. 13. 如图，把纸片沿折叠，当点落在四边形内部时，则、、之间的数量关系是__________． 14. 已知．则_______． 15. 如图，边长为9的等边三角形中，M是高所在直线上的一个动点，连接，将线段绕点B逆时针旋转得到，连接．则在点M运动过程中，线段长度的最小值是______． 三、解答题：本题共9小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. （1）分解因式：． （2）解方程：． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 如图，在下列带有坐标系的网格中，的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，，，． （1）画出关于轴的对称的（点与点对应，点与点对应，点与点对应），点的坐标为______. （2）求的面积. （3）在轴上找一点，使最小（保留作图痕迹，不写作法）． 19. 如图，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C，AF与DE交于点G，求证：GE=GF． 20. 若a，b，c表示的三边，且，试判断的形状，并说明理由． 21. 某中学为了创设“书香校园”，准备购买两种书架，用于放置图书．在购买时发现，种书架的单价比种书架的单价多20元，用600元购买种书架的个数与用480元购买种书架的个数相同． （1）求两种书架的单价各是多少元？ （2）学校准备购买两种书架共15个，且购买的总费用不超过1400元，求最多可以购买多少个种书架？ 22. 【阅读理解】 若x满足，求的值． 解：设，， 则，， ． 【解决问题】 （1）若x满足，则______； （2）若x满足，求的值； （3）如图，已知正方形被分割成4个部分，其中四边形与为正方形．若，，四边形的面积为5，求正方形的面积． 23. 八年级（2）班同学在数学活动课上，张老师提出了如下问题： （1）如图1，是的中线，，，写出一个符合条件的的整数值． 【探究方法】 第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到E，使得； ②连接．通过三角形全等把转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为．从而得到的取值范围是______，所以的可能取值为______； 【方法总结】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形． 【问题解决】 （2）如图2，，，，连接，E是的中点，连接，若，求的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，若，延长交于点F，，，求的面积． 24. （1）课本习题回放： “如图①，，，，，垂足分别为D，E，，．求的长”．请直接写出此题答案：的长为_______cm． （2）探索证明： 如图②，点B，C在的边、上，，点E，F在内部的射线上，且．求证：． （3）拓展应用： 如图③，在中，，．点D在边上，点E在线段上，．若，则_______．（图中画出分析思路；直接填写结果） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级期末质量检测数学卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图，四个图标中是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，解题的关键是掌握轴对称图形的定义． 根据轴对称图形的定义逐项进行判断即可，即平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形称为轴对称图形． 【详解】解：A.该选项图标不是轴对称图形，不符合题意； B. 该选项图标不是轴对称图形，不符合题意； C. 该选项图标是轴对称图形，符合题意； D. 该选项图标不是轴对称图形，不符合题意； 故选：C． 2. 生物学家发现了一种病毒，其长度约为0.00000032mm，数据0.00000032用科学记数法表示正确的是（　　） A. 3.2×107 B. 3.2×108 C. 3.2×10-7 D. 3.2×10-8 【答案】C 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：0.00000032=3.2×10-7； 故选：C． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 3. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．根据因式分解的方法逐项分析即可． 【详解】解：A．，故原分解不正确； B．，正确； C．不能分解，故原分解不正确； D．，故原分解不正确； 故选B． 4. 若分式的值为0，则x的值为（　　）． A. 0 B. 1 C. ﹣1 D. ±1 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式值为0的条件，分子为0分母不为0,列式进行计算即可得. 【详解】解：∵分式的值为零， ∴， 解得：x=1， 故选B． 【点睛】本题考查了分式值为0的条件，熟知分式值为0的条件是分子为0分母不为0是解题的关键. 5. 如图，等腰△中，点D，E分别在腰AB，AC上，添加下列条件，不能判定≌的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定方法逐项判断即得答案． 【详解】解： A、若添加，由于AB=AC，∠A是公共角，则可根据SAS判定≌，故本选项不符合题意； B、若添加，不能判定≌，故本选项符合题意； C、若添加，由于AB=AC，∠A是公共角，则可根据AAS判定≌，故本选项不符合题意； D、若添加，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ABE=∠ACD，由于∠A是公共角，则可根据ASA判定≌，故本选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和等腰三角形的性质，属于基本题型，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 6. 若能用完全平方公式因式分解，则的值为（ ） A. ±6 B. ±12 C. -13或11 D. 13或-11 【答案】C 【解析】 【分析】先找到平方项是与9，由此得到另一项的值，由此计算得到k的值即可. 【详解】∵能用完全平方公式因式分解， ∴平方项是与9， ∴=， ∴, ∴k= -13或11, 故选：C. 【点睛】此题考查完全平方公式的变形计算，熟练掌握公式的计算方法及特点是解题的关键. 7. 如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB=AC，∠CAD=20°，则∠ACE的度数是（　　） A. 20° B. 35° C. 40° D. 70° 【答案】B 【解析】 【分析】先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出∠CAB=2∠CAD=40°，∠B=∠ACB=（180°－∠CAB）=70°．再利用角平分线定义即可得出∠ACE=∠ACB=35°． 【详解】∵AD是△ABC的中线，AB=AC，∠CAD=20°， ∴∠CAB=2∠CAD=40°，∠B=∠ACB=（180°－∠CAB）=70°． ∵CE是△ABC的角平分线， ∴∠ACE=∠ACB=35°． 故选B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的两个底角相等的性质，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合的性质，三角形内角和定理以及角平分线定义，求出∠ACB=70°是解题的关键． 8. 某校组织名学生去外地参观，现有两种不同型号的客车可供选择．在每辆车刚好满座的前提下，每辆型客车比每辆型客车多坐人，单独选择型客车比单独选择型客车少租辆．设型客车每辆坐人，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设型客车每辆坐人，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设型客车每辆坐人， 由题意得，， 故选：． 9. 如图，在中，边的垂直平分线分别交、于点D、E，，的周长为，则的周长是（　 　）． A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键；由题意易得，，即，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：∵的垂直平分线分别交、于点D、E， ∴，，即， ∵的周长为，即， ∴， ∴的周长为； 故选C． 10. 已知如图等腰，，，于点D，点P是延长线上一点，点O是线段上一点，，下面的结论：①；②；③是等边三角形；④．其中正确的是（ ） A. ①③④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①②④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解决问题的关键． ①连接，利用等边对等角，即可证得：，，则，据此即可求解； ②因为点O是线段上一点，所以不一定是的角平分线，可作判断； ③证明且，即可证得是等边三角形； ④首先证明，则，． 【详解】解：①如图1，连接， ∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴；故①正确； ②由①知：，， ∵点O是线段上一点， ∴与不一定相等，则与不一定相等，故②不正确； ③∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形；故③正确； ④如图2，在上截取，连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴；故④正确； 本题正确的结论有：①③④， 故选A． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分解因式，先提取公因式，再利用完全平方公式进行分解因式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 12. 代数式有意义时，x应满足的条件是______. 【答案】. 【解析】 【分析】直接利用二次根式的定义和分数有意义求出x的取值范围． 【详解】解：代数式有意义，可得：，所以， 故答案为. 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握是解题的关键. 13. 如图，把纸片沿折叠，当点落在四边形内部时，则、、之间的数量关系是__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查的是三角形的外角性质和图形的翻折变换，理清图中角与角的关系是解决问题的关键．可连接，分别在、中，利用三角形的外角性质表示出、；两者相加联立折叠的性质即可得到所求的结论． 【详解】解：连接， 则即为折叠前的三角形， 由折叠的性质知：． 由三角形的外角性质知： ，； 则， 即． 故答案为:． 【点睛】本题考查了折叠的性质和三角形外角性质的应用，主要考查学生的推理能力． 14. 已知．则_______． 【答案】####4.25 【解析】 【分析】根据．可得 ，且 ，从而得到，再利用完全平方公式，即可求解． 【详解】解：∵． ∴ ，且 ， ∴ ， ∴， ∴， 即 ， ∴ ． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，完全平方公式，根据题意得到是解题的关键． 15. 如图，边长为9的等边三角形中，M是高所在直线上的一个动点，连接，将线段绕点B逆时针旋转得到，连接．则在点M运动过程中，线段长度的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】取的中点，连接，根据等边三角形的性质和旋转可以证明，可得，根据垂线段最短，当时，最短，即最短，由直角三角形的性质可求得线段长度的最小值． 【详解】解：如图，取的中点G，连接， ∵线段绕点逆时针旋转得到， ∴， 又∵是等边三角形， ∴， 即， ∴， ∵是等边三角形的高， ∴， ∴， 又∵旋转到， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， 根据垂线段最短，当时，最短，即最短， 此时， ∴， ∴， ∴． ∴线段长度的最小值是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点． 三、解答题：本题共9小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. （1）分解因式：． （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解、解分式方程，熟练掌握因式分解和解方程的方法是解题关键． （1）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可得； （2）方程两边同乘以化成一元一次方程，解方程可得的值，再代入分式方程进行检验即可得． 【详解】解：（1）原式 ． （2）， 方程两边同乘以，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 经检验，是分式方程的解， 所以方程的解为． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，1 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，零指数幂，负整数指数幂，先计算括号里面的分式，再把除法转化成乘法约分计算，根据零指数幂，负整数指数幂的运算法则求出a的值，最后代入计算即可得出答案． 【详解】解： 故原式． 18. 如图，在下列带有坐标系的网格中，的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，，，． （1）画出关于轴的对称的（点与点对应，点与点对应，点与点对应），点的坐标为______. （2）求的面积. （3）在轴上找一点，使最小（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】（1）如图，即为所求，； ， （2）； （3）如图，点P即为所求 ． 【解析】 【分析】本题考查了作图—轴对称变换、轴对称的性质、利用网格求三角形的面积，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用轴对称的性质画出，再由图形即可得出点的坐标； （2）利用割补法求三角形的面积即可； （3）作点关于轴的对称点，和点连接，交轴于点，点即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由图可得：； 【小问3详解】 略 19. 如图，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C，AF与DE交于点G，求证：GE=GF． 【答案】证明：∵BE=CF， ∴BE+EF=CF+EF， ∴BF=CE， 在△ABF和△DCE中 ， ∴△ABF≌△DCE（SAS）， ∴∠GEF=∠GFE， ∴EG=FG． 【解析】 【分析】求出BF=CE，根据SAS推出△ABF≌△DCE，得对应角相等，由等腰三角形的判定可得结论． 【详解】略 20. 若a，b，c表示的三边，且，试判断的形状，并说明理由． 【答案】 为等边三角形．理由如下： ∵， ∴，即， ∴， ∴，，， 解得：，，， ∴． ∴为等边三角形． 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，非负数的性质，等边三角形的判定，先将变为，得出，，，即可得出，说明为等边三角形． 【详解】略 21. 某中学为了创设“书香校园”，准备购买两种书架，用于放置图书．在购买时发现，种书架的单价比种书架的单价多20元，用600元购买种书架的个数与用480元购买种书架的个数相同． （1）求两种书架的单价各是多少元？ （2）学校准备购买两种书架共15个，且购买的总费用不超过1400元，求最多可以购买多少个种书架？ 【答案】（1）购买种书架需要100元，种书架需要80元；（2）最多可购买10个种书架． 【解析】 【分析】（1）根据题意以书架个数为等量关系列出分式方程求解即可； （2）根据题意用代数式表示总费用，小于等于1400，列出不等式求解即可． 【详解】解：（1）设种书架的单价为元，根据题意，得 解得 经检验：是原分式方程的解 答：购买种书架需要100元，种书架需要80元． （2）设准备购买个种书架，根据题意，得 解得 答：最多可购买10个种书架． 【点睛】本题主要考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解题关键在于根据题意列出方程和不等式． 22. 【阅读理解】 若x满足，求的值． 解：设，， 则，， ． 【解决问题】 （1）若x满足，则______； （2）若x满足，求的值； （3）如图，已知正方形被分割成4个部分，其中四边形与为正方形．若，，四边形的面积为5，求正方形的面积． 【答案】（1）10 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）本题考查有关完全平方公式的运算，根据求解即可得到答案； （2）本题考查有关完全平方公式的运算，根据求解即可得到答案； （3）本题考查有关完全平方公式的运算，根据求解即可得到答案； 【小问1详解】 解：设，， ∵， ∴，， ； 【小问2详解】 解：设，， ∴，， ∵， ∴，， ； 【小问3详解】 解：由题得 设，， ∴， ，， ∴． 23. 八年级（2）班同学在数学活动课上，张老师提出了如下问题： （1）如图1，是的中线，，，写出一个符合条件的的整数值． 【探究方法】 第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到E，使得； ②连接．通过三角形全等把转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为．从而得到的取值范围是______，所以的可能取值为______； 【方法总结】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形． 【问题解决】 （2）如图2，，，，连接，E是的中点，连接，若，求的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，若，延长交于点F，，，求的面积． 【答案】（1），2（或3或4）；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形三边关系的应用，掌握倍长中线法构造全等三角形是解题的关键． （1）先证，推出，再利用三角形三边关系得出，即可求解； （2）延长到F使，连接，先证，推出，，进而可得，，再证，即可得出． （3）延长到G使，连接，则，由（2）得，推出，，再证，最后根据即可求解． 【详解】解：（1）∵是的中线，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 可得， 即， ∴，的可能取值为2，3，4， 故答案为：，2（或3或4）； （2）延长到F使，连接， ，， ， ，， ， ， ， ， ，， ， 又， ， ． （3）延长到G使，连接，则， 由（2）得， ，， ，， ， ， ， ， ． 24. （1）课本习题回放： “如图①，，，，，垂足分别为D，E，，．求的长”．请直接写出此题答案：的长为_______cm． （2）探索证明： 如图②，点B，C在的边、上，，点E，F在内部的射线上，且．求证：． （3）拓展应用： 如图③，在中，，．点D在边上，点E在线段上，．若，则_______．（图中画出分析思路；直接填写结果） 【答案】（1）； （2）证明：如图， ，，，， ，， 在和中， ， ； （3）如图所示；， 【解析】 【分析】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． （1）利用同角的余角相等证明，再利用证明，根据全等三角形的性质、结合图形解答； （2）利用三角形的外角性质证明，，再利用即可证明； （3）在线段上截取，连接，由证明，由全等三角形的性质结合三角形面积公式可得出答案． 【详解】（1）解：，， ， ． ， ． 在和中， ， ， ，． ，， ， ； 故答案为：； （2）略 （3）解：在线段上截取，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴设，则，，， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $