精品解析：云南民族大学附属高级中学2025-2026学年秋季学期期末诊断测试高一年级数学试卷

2025—2026学年秋季学期期末诊断测试 高一年级数学试卷 （考试时间120分钟，满分150分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、班级、考场/座位号在答题卡上填写清楚．并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求． 1. 函数的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】函数的最小正周期，直接利用公式即可 【详解】因为函数，即， 所以其最小正周期为． 故选：A 2. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，求得，，再求即可． 【详解】， ， ． 故选：B． 3. 已知函数，则“”是“是奇函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】是奇函数等价于，且时可以成立，再由充分不必要条件的定义即可求解. 【详解】是奇函数等价于， 当时，得，所以“”是“是奇函数”的充分不必要条件． 故选：A． 4. 已知函数，则函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用换元法求解即可，注意定义域的限制. 【详解】设，则，因为，可得， 所以函数． 故选：C． 5. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先判断的单调性，再根据零点存在性定理判断. 【详解】由，与在上单调递增， 所以函数在上单调递增，且，， ，，，则， 零点在区间上. 故选：B. 6. 已知一个扇形的周长为8，则当该扇形的面积取得最大值时，圆心角大小为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据扇形面积公式及其基本不等式求出扇形面积取得最大值时的扇形半径和弧长，利用弧度数公式即可求出圆心角. 【详解】设扇形的半径为，弧长为，由已知得， 扇形面积为， 当且仅当，即时等号成立，此时，则圆心角， 故选：D. 7. 已知，，则（ ） A. B. 7 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意结合两角和与差的余弦公式求出、，再切化弦即可求解. 【详解】由题可得， 解得，， 所以. 故选：C 8. 已知是定义在R上的奇函数，且，若对任意的，且，均有成立，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，根据题意分析的奇偶性和单调性，不等式即，结合函数性质解不等式即可. 【详解】令， 因为是定义在R上的奇函数， 则， 所以是定义在R上的奇函数， 又因为对任意的，，均有成立， 不妨设，则， 可得，即， 可知在上单调递增，则在上单调递增， 且，则，可得， 不等式化为，即， 可得或，解得或， 所以不等式的解集为. 故选：D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. （多选）已知，且，则函数在同一坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由函数解析式可得奇偶性，根据参数的取值与对数函数和指数函数的关系，可得答案. 【详解】因为为偶函数， 当时，在上单调递减，在上单调递减，C正确； 当时，在上单调递增，在上单调递增，A正确． 故选：AC. 10. 下列命题正确的有（ ） A. 若是第三象限角，则为第二象限或第四象限角 B. 函数（且）过定点 C. 函数的定义域为，则的定义域为 D. 函数的最大值为 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A：根据象限角的定义分析判断即可；对于B：根据指数函数定点分析判断；对于C：根据抽象函数定义域运算求解；对于D：换元令，可得，，结合二次函数性质求最值. 【详解】对于选项A：若是第三象限角， 则，，可得，， 若为偶数，则为第二象限角；若为奇数，则为第四象限角； 所以为第二象限角或第四象限角，故A正确； 对于选项B：因为，所以过定点，故B错误； 对于选项C：因为，则，可知的定义域为， 对于，令，解得， 所以的定义域为，故C错误； 对于选项D：令， 则，可得，， 因为的图象开口向上，对称轴为， 当时，，故D正确； 故选：AD. 11. 已知函数，则下列结论一定正确的是（    ） A. 的图象关于轴对称 B. 的值域是 C. 的最小正周期为 D. 不是中心对称函数 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用奇函数、周期函数的定义判断AC；利用周期性、单调性分析判断BD. 【详解】对于A，函数的定义域为R， ，A正确； 对于C，，是函数的周期，C错误； 对于B，由选项C知，当时，，，值域为，B正确； 对于D，由选项B知，函数在上单调递增，在上单调递减， 在上的图象关于直线对称，无对称中心，又的周期是， 因此函数的图象无对称中心，D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知幂函数满足以下两个条件：①是奇函数，②在上单调递减．请写出符合要求的的一个解析式______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据幂函数的奇偶性、第一象限的单调性写出一个满足要求的幂函数. 【详解】对于幂函数在上单调递减，则， 函数为奇函数，取，即满足要求. 故答案为：（答案不唯一） 13. 若函数有两个零点，一个大于0，一个小于0，则m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由一元二次函数有两个零点且开口向上，则求解即可. 【详解】若函数有两个零点，一个大于0，一个小于0， 因为该二次函数开口向上，则，即. 故答案为：. 14. 如图，某学校有一块扇形空地，半径为10m，圆心角为，现学校欲在其中修建一个矩形劳动基地，矩形的一边AB在扇形的一条半径上，另一边的两个端点C，D分别在弧和另一条半径上，若设，则劳动基地的最大面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】由，可求，，，，即可求解矩形面积，再通过的取值求解即可. 【详解】由已知：，，则，，， 则， 所以矩形ABCD的面积为： ， 当，即，矩形面积取得最大值为． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，满足，且向量与的夹角为． （1）若向量与向量共线，求k的值； （2）求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用共线向量的性质，若两个向量共线，则存在实数，使得一个向量等于乘以另一个向量，联立方程组求解即可； （2）利用向量的数量积公式，及向量模长的平方等于向量自身的平方，计算求解即可. 【小问1详解】 因为向量与向量共线，则存在实数， 使得， 所以，解得． 【小问2详解】 因为，，且向量与的夹角为， 所以， 则. 16. （1）求值：； （2）角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，为角终边上一点．求的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据题意结合指数幂和对数的运算性质求解即可； （2）根据任意角三角函数值的定义可得，利用诱导公式运算求解. 【详解】（1）原式 ； （2）因为为角终边上一点， 则，可得， 原式. 17. 春运是中国在农历春节前后发生的一种大规模全国性交通运输高峰期、高交通运输压力现象．已知某火车站候车厅，候车人数与时间相关，时间（单位：小时）满足，．经测算，当时，候车厅处于满厅状态，满厅人数5320人，当时，候车人数相对于满厅状态时会减少，减少人数与成正比，且时间为6点时，候车人数为4120人，记候车厅候车人数为． （1）求的表达式，并求当天中午12点时，候车厅候车人数； （2）若为了解决旅客的安全饮水问题，需要提供的免费矿泉水瓶数，则一天中哪个时间需要提供的矿泉水瓶数最少？ 【答案】（1）；4360人 （2）时，需要提供的矿泉水瓶数最少 【解析】 【分析】（1）根据题意求得的值，将的表达式写成分段函数的形式，然后即可得到的值. （2）由题意得到的表达式，然后结合基本不等式即可求得最值. 【小问1详解】 当时，设，，解得． 所以． ， 故当天中午12点时，候车厅候车人数为4360人． 【小问2详解】 ， ①当时，，当且仅当时等号成立； ②当时，； 又，所以时，需要提供的矿泉水瓶数最少． 18. 已知函数，，且函数图象的相邻对称轴之间的距离为． （1）求的解析式和单调递增区间； （2）把图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，再把图象上的所有点向左平移个单位，得到的图象．若关于x的方程在上有两个解，求实数m的取值范围． 【答案】（1），单调递增区间为， （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，确定函数的最小正周期，求出函数解析式，再利用正弦函数的性质求出递增区间. （2）利用函数图象变换求出，再利用换元法并作出函数在指定区间上的图象，数形结合求出范围. 【小问1详解】 由图象的相邻对称轴之间的距离为，得的最小正周期为， 则，解得，于是， 由，，得，， 所以的单调递增区间为，. 【小问2详解】 由（1）知，将图象上所有点的横坐标缩短为原来的， 得到函数的图象，再向左平移个单位得的图象， 令，，则，， 于是在上的图象与直线有两个交点， 作出函数在上的图象，如图， 当且仅当时，方程在上有两个解， 所以实数m的取值范围． 19. 定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的一个上界，已知函数， （1）若函数为奇函数，求实数的值； （2）在（1）的条件下，求函数在区间上的所有上界构成的集合； （3）若函数在上是以2为上界的有界函数，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由奇函数的定义结合对数函数的运算求解即可； （2）根据复合函数单调性的性质，结合题中所给的定义进行求解即可； （3）根据题中的定义，根据绝对值的性质，结合换元法、构造函数法，利用函数的单调性进行求解即可. 【小问1详解】 函数为奇函数，所以， 即，所以，解得 而当时，不合题意，故． 【小问2详解】 由（1）知：， 令，因为在上单调递减， 而在定义域上单调递减，由复合函数的单调性可知在上单增， 所以函数在区间上单增， ，， 所以在区间上值域为 所以，故函数在区间上的所有上界构成的集合为． 【小问3详解】 由题意可知：在上恒成立，所以 即，所以在上恒成立， 所以 令 易知在上递减，所以， 在上递增，所以， 所以，即实数的取值范围为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年秋季学期期末诊断测试 高一年级数学试卷 （考试时间120分钟，满分150分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、班级、考场/座位号在答题卡上填写清楚．并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求． 1. 函数的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，则“”是“是奇函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知函数，则函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 6. 已知一个扇形的周长为8，则当该扇形的面积取得最大值时，圆心角大小为（ ） A. B. C. D. 2 7. 已知，，则（ ） A. B. 7 C. D. 8. 已知是定义在R上的奇函数，且，若对任意的，且，均有成立，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. （多选）已知，且，则函数在同一坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题正确的有（ ） A. 若是第三象限角，则为第二象限或第四象限角 B. 函数（且）过定点 C. 函数的定义域为，则的定义域为 D. 函数的最大值为 11. 已知函数，则下列结论一定正确的是（    ） A. 的图象关于轴对称 B. 的值域是 C. 的最小正周期为 D. 不是中心对称函数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知幂函数满足以下两个条件：①是奇函数，②在上单调递减．请写出符合要求的的一个解析式______． 13. 若函数有两个零点，一个大于0，一个小于0，则m的取值范围是______． 14. 如图，某学校有一块扇形空地，半径为10m，圆心角为，现学校欲在其中修建一个矩形劳动基地，矩形的一边AB在扇形的一条半径上，另一边的两个端点C，D分别在弧和另一条半径上，若设，则劳动基地的最大面积是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，满足，且向量与的夹角为． （1）若向量与向量共线，求k的值； （2）求． 16. （1）求值：； （2）角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，为角终边上一点．求的值． 17. 春运是中国在农历春节前后发生的一种大规模全国性交通运输高峰期、高交通运输压力现象．已知某火车站候车厅，候车人数与时间相关，时间（单位：小时）满足，．经测算，当时，候车厅处于满厅状态，满厅人数5320人，当时，候车人数相对于满厅状态时会减少，减少人数与成正比，且时间为6点时，候车人数为4120人，记候车厅候车人数为． （1）求的表达式，并求当天中午12点时，候车厅候车人数； （2）若为了解决旅客的安全饮水问题，需要提供的免费矿泉水瓶数，则一天中哪个时间需要提供的矿泉水瓶数最少？ 18. 已知函数，，且函数图象的相邻对称轴之间的距离为． （1）求的解析式和单调递增区间； （2）把图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，再把图象上的所有点向左平移个单位，得到的图象．若关于x的方程在上有两个解，求实数m的取值范围． 19. 定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的一个上界，已知函数， （1）若函数为奇函数，求实数的值； （2）在（1）的条件下，求函数在区间上的所有上界构成的集合； （3）若函数在上是以2为上界的有界函数，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $