广东广州市天河区2025学年第一学期学业水平调研高二数学试题

2025学年第一学期学业水平调研 高二数学 本试卷19小题，满分为150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、班级、姓名、座位号和 考号填写在答题卡相应的位置上，再用2B铅笔把考号的对应数字涂黑， 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域 内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔或涂改 液。不按以上要求作答的答案无效。 4.考生必须保证答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1.已知点A(1,3),B(2,3),则直线AB的倾斜角Q= A.0° B.45° C.90° D.135° 2.已知数列{a,}是等比数列，若8+a=2,则公比9= a2+a4 1 A.-2 C.-1 D.I 3.己知直线1平分圆(x-2)2+0y-1)2=16,且与直线3x-2y+1=0垂直，则直线1的方程为 A.3x-2y-4=0 B.2x-3y-1=0 C.2x+3y+7=0 D.2.x+3y-7=0 高二数学学业水平调研第1页（共6页） 4.如图，在三棱锥A-BCD中，E是CD的中点，点F在AE上，且EF=2FA.设AB=a, AC=b,AD=c,则直线BF的-个方向向脉为 1，1 A.a+-b+-c 33 B.a-3b-3c 3 3 1 C.a+ -b+-c 6 6 E D.a-16-1c 1 66 5.己知数列{an}的首项a=1,且点(n,an)(n∈N*)都在一条斜率为2的直线上，则数列 1 的前50项和为 a ant 49 B. 98 c. 50 A. 99 99 D.100 101 6.如图，正方形ABCD和正方形ABEF的边长都是2，且二面角D-AB-F的大小是60°，则 DE= A.2W2 B.√10 B C.4 D.4 7直线子与双曲线上 京~石=1(a>0)相交于A,B两点，且A,B两点的横坐标之积 为-9，则双曲线的离心率为 8 A. 20 2w6 5 B. 3 C. D. 3 8.已知实数x,y满足(x+3)2+y2=4,则13x+4y-2|的最大值为 A.1 B.11 C.21 D.31 高二数学学业水平调研第2页（共6页) 二、选择题：本题共3小题，每小概6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部迩对的得6分，有选钳的得0分，部分选对的得部分分， 9.己知圆G:x2+y2=1,圆C:x2+y2-2x+2V5y+m=0,则 Λ.m<4 B.直线4x-3y-6=0与圆C相切 C.当m=3时，圆C与圆C2外切 D,当m=I时，圆C与圆C有公共弦，且弦长为V万 10.设0为坐标原点，直线y=V5(x-I)过抛物线C:y2=2x(P>0)的焦点F,且与C交 于A,B两点（其中A在第一象限），则 A.p=2 B.网-9 C.AF列=3BF D.△OAB为直角三角形 11.在空间直角坐标系O-3z中，已知点2(2,1,3)，向量u=(1,2,-2),直线1过点2且以w 为方向向量，平面α过点Q且以4为法向量，则 A.当动点M(x,y,2)在直线1上时，有x-2=-=-3 2-2 B.当动点M(x,y,z)在平面a上时，有x+2y-2z+2=0 C.当动点M(xy,2)在直线1上时，1OM的最小值为2☑ 3 D.当动点Mx,y,在平面a上时，OM的最小值为号 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知椭圆￡+二=1的两个焦点为R,B,点P是椭圆上一点，且Pr-PF=2,则 1612 ∠PFF= 13.过点(-1,0)作直线1，若1与圆(x-)+y2=3总有公共点，则直线1的斜率k的取值范围 是 高二数学学业水平调研第3页（共6页） 14.某生产企业今年年初有资金600万元，由于引进了先进生产设备，资金年平均增长率可达 到50%，每年年底扣除下一年的消费基金250万元后，剩余资金投入再生产作为第二年的 年初资金.设该生产企业从今年起每年年初的资金数依次为a, ，…（单位：万 元)，则数列{an}的通项公式为a,= 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.（本小题满分13分) 如图，在长方体ABCD-ABCD中，AB=AD=4,AA=2,点E,F,G分别在棱AA, AB,AD上，点P,2,R分别在棱CC,CD,CB上，AE=AF=AG=CP=CQ=CR=1. (1)求BD和EF所成角的余弦值： (2)求证：平面EFG∥平面PQR. C A E 16.(本小题满分15分) 己知数列{an}的前n项和为Sn,且首项a1=2，an+=2Sn+2(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式： (2)若b,=2’令c.=a,b,求数列{c}的前n项和T, 高二数学学业水平调研第4页（共6页） 17.(本小题满分15分) ,y2 包知椭圆C+反=@>b>0)的右焦点为F2,0,斜率为-1的直线1与C交于 两点，且线段AB的中点为M(2,1). (1)求椭圆C的方程： (2)若点P满足F严+F+F=0,求证：F+F园=2F丽 18.(本小题满分17分) 如图，在四楼锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC, E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F. (1)求证：PB⊥平面EFD; (2)求平面PBC与平面PBD的夹角的大小： (3)若点M为三棱锥B-EFD的外接球的球心，求直线PC与平面MEF所成角的正弦值. B 高二数学学业水平调研 第5页（共6页） 19、(本小题满分17分) 在平面直角坐标系Oy中，点E到点(0，)的距离等于点E到直线y=-I的距离，记动点E 的轨迹为C (1)求C的方程： (2)若点P是x轴下方（不含x轴）一点，C上存在不同的两点A,B满足PA,PB的 中点均在C上 (i)设AB中点为M,求证：PM⊥x轴： (i)若P是半圆x2+y2=1(y<O)上的动点，求△PAB面积的取值范围 高二数学学业水平调研第6页（共6页）高二数学参考答案 一、单选题：1-4：ABDD5-8:CACC 二、多选题：9.ACD10.ABC11.BCD 11.解析： 对于A，由题可知：QM=(x-2,y-1,z-3),且QM∥u,由向量共线定理可知 x-2=y1=-3,故A错误 2-2 对于B,由于M∈a,故QM⊥u,所以(x-2)+2(y-1)-2(z-3)=0,整理可得： x+2y-2z+2=0,故B正确： 对于C,当|OM|最小时，OM⊥1，由于O9=(21,3),u=(1,2,-2),所以由点到直线距 g1ow网- 22, 故C正确； Γ3 (另解：由A,可设x-2=y1_-3=k,则x=k+2,y=2k+1,2=3-2k, 2-2 所以oM+y+-+2y+2++6-29-9k-号+， 当k=2时，1OM1的最小值为122，故C正确) 0 3 对于D,当|OM|最小时，OM⊥a,由于O9=(2,1,3),u=(1,2,-2),所以由点到平面距 离公式可知：1OMLm=O0W-2+2-6-名，故D正确 u √9 故选BCD. 三、填空题： 12.90°（或） 13.「-5，v5 1450+10号”成50+10x15或5042915到y 14.解析： 由题藏。得a=60.并且a-30-250meN。 电Q4+品，-250+k三g,+2k-250 3 3 令k=2k-250)】 3 →k=-500, 3 所以a1-500=。(an-500), 2 数数列a,是以a-500=100为首项，g=号为公比的等比数列 所以a,-500=100×(月→4，=500+10x 答案为：500+100x( 四、解答题： 15.（1)分别以DA,DC,DD所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系D-xz. 1分 则B(4,4,0),D,(4,4,0),E(4,0,1),F(4,12) 所以BD=(-4,-4,2),EF=(01,1)3分 (注：每个向量1分) D 设直线BD和EF所成的角为O, G BD·EF 则cos0=cos<BD,EF>= BD EF .4分 -4×0-4×1+2×1 2 =2 V-4)2+(-4)2+22×V02+12+126×V2 61 5分 故直线BD,和EF所成的角的余弦值为V 6 6分 (注：设或答写一个就不扣分，两个都没写扣1分) 2 (2)由(1)知：G(3,0,2),P(0,4,1),2(0,3,0),R(1,4,0) 所以EF=(0,11),QP=(0,1,1),GF=(11,0),QR=1,1,0)9分 (注：除EF外，每个向量1分) 由EF=QP可知EF∥2P, .10分 又EF￠平面PQR,QPc平面PQR, 所以EF∥平面PQR.. 11分 由GF=QR可知GF∥QR, 又GF￠平面PQR,ORc平面PQR, 所以GF∥平面PQR. .12分 (注：写“同理GF∥平面PQR.”不扣分) 而EF∩GF=F, 所以平面EFG∥平面PQR13分 16.(1)由an+1=2Sn+2(n∈N) 得an=2Sn1+2（n≥2)，1分 所以an+1-an=2(Sn-Sn-i), .2分 即an+1-an=2an 3分 故0n1=30n,4分 又a2=2S1+2=2a+2且a1=2, 解得@2=6，。 所以a2=3a1, 故an+1=3an(n≥1)， .6分 3 所以{an}是以2为首项，3为公比的等比数列… ..7分 所以an=23”-1 .8分 (2)cn=2.31.2=-30- ..9分 Tn=1×3°+2×3+3×32+…+n×3- ① .10分 3Tn=1×3+2×32+3×33+…+n×3”②.11分 ①-②得：-2Tn=3°+3+32+…+3”-1-n-3”.…12分 =1-30 -n3.… ..13分 1-3 所以7，=2n-1-3”+1 ,,15分 4 17.(1)方法一：由条件，1方程为y-1=-1(x-2),即：y=-x+3,.1分 设A（x,1),B（x2,y2), y=-x+3 由 罗3：2+-6ax+9aa02歌 所以x1+x2= 6a2 a2+b2 3分 因为M(2,1)为AB的中点， 所以x1十X2=4,…。 ,,,。。。,4分 所以、6a2 b24,即2b2=2, 又c=2,a2=b2+c2, 解得：a=2√2，b=2, 6分 4 所以椭圆的方程为 +y =17分 84 方法二：设A(x,)，B（x2,y2), 因为M(2,1)为AB的中点， 所以x1+x2=4,y,+y2=2, .2分 因为点A、B在椭圆上， 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。, 两式相减得气-+，-+小=0，…4分 a b2 所以乃-业=-6名+名 x-x2 a2y+y2 又直线1的斜率为-1， 所以-624 =-1，即a2=2b2,5分 a22 又C=2,a2=b2+C2,6分 解得：a=2√2，b=2, 以椭圆的程为8+…场 7分 (2)设P(xo,yo)，,因为FP+FA+FB=0, 所以(x0-2,y)+(x-2,)+(x2-2,y2)=0, … .8分 则xo+x1+x2-6=0,yo+y1+y2=0, X0=2,y%=-2,所以P（2,-2),9分 同--2+听--2+40高-2w5- 2为，11分 (注：后面两个等号各1分) 5 同理|F=2V2-2 X2 ...12分 同网-456+)-45-4-2w5B分 Fm=2-2y+(2-0=2, 14分 所以Fd+F=2F ..15分 18.(I)方法一：因为底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD, 所以BC⊥CD,PD⊥BC 又PDOCD=D 所以BC⊥平面PCD .1分 因为DEC平面PCD 所以BC⊥DE2分 因为E是PC的中点，PD=DC, 所以DE⊥PC B 因为PC∩BC=C, 所以DE⊥平面PCB… .3分 因为PBC平面PCB,所以DE⊥PB.......... ..4分 又因为EF⊥PB,DEOEF=E, 所以PB⊥平面DEF.5分 方法二：以点D为原点，DA、DC、DP所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐 标系，设PD=DC=2, 1分 所以D(0,0,0),C(0,2,0),P(0,0,2),B(2,2,0),A(2,0,0) 因为E是PC的中点， 所以E(0,1,1). 故DE=(0,1,1),PB=(2,2,-2)… 3分 (注：每个向量各1分) 因为PB.DE=2×0+2×1+1×(-2)=0, 所以PB⊥DE4分 6 因为PB⊥EF,DE∩EF=E, 所以PB⊥平面DEF5分 (2)方法一：由(1)可知：PB=(2,2,-2),PC=(0,2,-2), BD=(-2,-2,0),DP=(0,0,2), 设平面PBC的法向量n=(x,1,), 元PC=0 则 ， 解得：=(0,11)… h·PB=0 …7分 设平面PBD的法向量n2=(x2,y2,22), n2·BD=0 则 ，解得：n2=(-l1,0)… .9分 n,·PB=0 (注：每个平面的法向量各两分，通过其他方法得到法向量赋分不变) 所以平面PBC与平面PBD的夹角余弦值为cos<R,21丛=} In22 …10分 故平面CPB与平面PBD的夹角为60°11分 方法二：由(1)可知：PB⊥平面DEF, 所以PB⊥DF,PB⊥EF 所以∠DFE是平面PBC与平面PBD的夹角...................6分 在RtAPDB中，PD=2,DB=VDC2+BC2=2W2,PB=VDB2+PD2=2V5, 因为PB⊥DF, 所以DF=PD·DB2V6 PB 3 7分 在RPDC中，PC=NDC2+PD2=22,DE=PC=V2,8分 又由(1)方法一，DE⊥平面PCB, 所以DE⊥EF. 9分 在RIAPDC中，sin∠DFE=DE=巨V5 DF 26 2,10分 故平面CPB与平面PBD的夹角为60°..... .....11分 (3)设BD的中点为G, 由(1)，PB⊥平面DEF, 所以△BFD为直角三角形， 由(1)解法一可知DE⊥平面PCB, 所以△BED为直角三角形， (若(1)采用解法二，则可证DE●BE=0) 从而GB=GF=GD=GE, 所以BD的中点G就是球心M... .13分 (注：球心M找对得2分) 因为P、F、B三点共线， 故设DF=DB+I-)DP,其中0<2<1， 所以DF=(2元，21,0)+(0,0,2-22)=(2元，22,2-22) 因为PB⊥DF, 所以PBDF=0, 可得4元+4元-2(2-22)=0， 解得入= 0………………,…….…………..…,..15分 3 (注：点F位置或坐标正确得2分) 所uDF=后台. 所u证=D+DF-(0+号净=（写净.派-←0 设平面MEF的法向量n2=(x2,y2,22), n2·MF=0 所以 解得：n2=(1,3,1) .16分 n2·ME=0 (注：法向量正确得1分) 所以直线PC与平面PBD的所成角正弦值 8 sin-cos<mPCnPCL22 In2PCI 11 .17分 19.(1)方法一：由题意得，动点E的轨迹为抛物线， 1分 焦点为(0，)，准线为y=-1.. ...3分 所以动点E的轨迹方程为x2=4y ...4分 (注：没有用定义扣1分；用定义判定轨迹后直接写对方程不扣分；方程写错按步骤给分) 方法二：设动点E(x,y), 由题意得√x2+(y-1)2=y+1,2分 化简得动点E的轨迹方程为x2=4y,4分 2股kwX<0}}g ）5分 (注：能体现点A或B满足抛物线方程可得1分) 1x2 x+yo 则PA,PB的中点分别为 x2+0,4 2 one 因为PA,PB的中点均在抛物线C上， 12 441 2 2 所以有 6.6分 1 x2+yo 44 x2+0的两个不等实根， 7分 2 方程可化为：x2-2xx-x2+8y。=0, 9 x+x2=2x0 由韦达定理知： 8分 xx2=8y0-x0 又M为AB中点，西，=十龙=，与P点横坐标相同， 2 所以直线PM垂直于x轴… 9分 ()方法一：由（①），直线PM垂直于x轴， 所以Sws=支PMk- .10分 广-圳 12分 k-x=Vx+x-4xx=V2xo-4(8%。-x2)=22(x2-4y)13分 所以sw-子2-4w月 ..14分 因为点P在半圆x2+y2=1(y<0)上， 则x02+y2=1,%∈[1,0)， 所以x02-4y0=1-%2-46=-(6%+2}+5, .15分 因为f0y%)=-y。+2}+5在[1,0)上单调递减， 所以f(yo)的值域为(1,4… ...16分 从而Sww-子(c2-4,)销值装为[子6 所以，△PAB面积的取值范围为 2.62- 17分 方法二：由于直线AB与C交于两点，所以直线AB斜率存在， 设直线AB方程为y=c+b, 10