精品解析：湖南省湘潭市2026届高三二模数学试题

数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黒.如需改动、用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设不等式的解集为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合一元二次不等式的解法、元素与集合的关系求解即可. 【详解】由， 得，，，． 故选：A. 2. 若直线与直线垂直，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据直线与直线的垂直列等式即可． 【详解】因为直线与直线垂直， 所以，解得． 故选：C． 3. 现有一组数据2，4，5，2，3，6，8，4，5，则这组数据的第百分位数与中位数分别是（ ） A. 4，6 B. 5，4 C. 6，4 D. 6，5 【答案】C 【解析】 【分析】先对数据进行升序排列，再分别求出中位数和第百分位数，进而判断选项． 【详解】这组数据按照从小到大的顺序排列为2，2，3，4，4，5，5，6，8， 这组数据个数，中位数位置为，取第5个数，即为4， ， 这组数据的第百分位数取第8个数,即为6， 这组数据的第百分位数与中位数分别是6和4，故C正确． 故选：C． 4. 若，则（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合两角和差公式和二倍角公式计算即可. 【详解】因为， 所以． 故选D. 5. 在平行四边形中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用平面向量加减运算法则和数量积即可求解. 【详解】在平行四边形中，因为， 所以， 所以 故选： 6. 在中，角，，的对边分别为，，．已知，且，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由余弦定理和均值不等式运算，再通过三角形面积公式计算即可. 【详解】因为，所以， 所以．因为，所以， 当且仅当时，等号成立， 则的面积， 则面积的最大值为． 故选：A. 7. 已知函数的值域是，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用数形结合，把分式看成动点到定点的斜率，然后通过代数法来求切线斜率，即可得到函数值域. 【详解】因为，且，所以函数的定义域为． 设，，则是直线的斜率． 点是半圆上的动点．如图， 设点，则． 设切线的方程为，即． 由圆心到切线的距离，解得（舍去）或． 由图可知，即的值域为， 则． 故选：A. 8. 在正四棱台中，，且，记能将正四棱台罩住的半球的最小半径为，正四棱台外接球的半径为，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取，的中点分别为，，通过计算分别求得，通过比较可知，设外接球的球心到平面的距离为，通过勾股定理计算求得、，即可得出结果. 【详解】如图，连接，，它们的中点分别记为，，连接，，易知为此正四棱台的高， ，则，所以，， 过点作的垂线，垂足为， 则， ，则，， 故能将正四棱台罩住的半球的最小半径． 设该正四棱台外接球的球心到平面的距离为，则，解得，，故． 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的部分图象如图所示，将图象上所有点的横坐标缩短到原来的后，再将所得图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则（ ） A. B. C. 图象的对称轴方程为 D. 的单调递增区间为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据图像求出，结合余弦函数的图像与性质依次判断选项即可. 【详解】由图可得，由，得． 由，得， 因为，所以，A正确． 由A的分析可得， 令，得， 所以图象的对称轴方程为，C错误． ，B正确． 令，得， 所以的单调递增区间为，D正确． 故选：ABD 10. （多选题）定义：当且时，恒成立，则称是同号增函数．下列函数是同号增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据同号增函数的定义逐一分析每个选项中的函数是否满足当且时，恒成立. 【详解】A选项，由得，由得， 又在，上单调递增，故A正确； B选项，，得， 取，则， 满足，但， 不满足的条件，故B错误； C选项，得，得， 因为在上单调递增，且， 所以在上单调递增， 则在上单调递增，故C正确； D选项，得；得， 因为在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增， 故在上单调递增，故D正确. 故选：ACD 11. 已知，是双曲线上两个不同的点，是的左顶点，则（ ） A. 的焦距为 B. 当轴时，与可能垂直 C. 当时，，的横坐标之和的取值集合为 D. 当，的纵坐标异号时，对任意的点，都存在点，使得 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，根据双曲线方程进行判断；对于B，利用向量法进行判断；对于C，得到Q，R的轨迹方程，联立双曲线方程，求解；对于D，根据倾斜角和渐近线进行判断. 【详解】的焦距为，A正确． 当轴时，． （方法一），则，因为的两条渐近线互相垂直，所以，B错误． （方法二）设，，则，， 则， 若，则，解得， 此时，，三点重合，这与题意不符合，所以与不可能垂直，B错误． 当时，，在以为圆心，3为半径的圆上， 该圆的方程为， 由得， 整理得，解得，， 所以，的横坐标之和可能为，，， 故，的横坐标之和的取值集合为，C正确． 如图，设在第一象限，当直线的倾斜角为时，设直线与轴交于点， 若，则，则直线与的一条渐近线平行，从而点不存在，D错误． 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. __________. 【答案】 【解析】 【详解】. 13. 若直线是曲线的一条切线，则________． 【答案】e 【解析】 【分析】设切点为，求出切线斜率，利用切点在切线上，代入方程，即可得出结论. 【详解】设直线与曲线相切于点． 因为， 所以且， 解得，． 故答案为. 14. 将数字1，2，3，4，5，6，7，8，9填入一个的方格中，每个格子填1个数字，且不重复，要求第一行数字满足，第三行数字满足，第三列数字满足，则符合要求的填数方法共有________种．（用数字作答） 【答案】1080 【解析】 【分析】由计数原理分析求解即可. 【详解】从9个数中任取2个数填入和的位置，有种方法． 因为，， 所以在剩下的7个数中，最大的数只能填入的位置， 再从剩下的6个数字中选择4个数字填入，，，的位置，且这4个数字只能按照从小到大的顺序分别填入，，，的位置， 最后剩下的2个数字只能按照从小到大的顺序分别填入，的位置， 故填好，，，，，，共有种方法． 因此，按照要求填好该方格共有种方法． 故答案为：1080. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设等比数列的公比，，且 （1）求的值； （2）若，，成等差数列，求的值； （3）设数列的前项和为，证明：． 【答案】（1） （2） （3） 因为，所以，， 则数列是首项为，公比为的等比数列， 所以． 【解析】 【分析】(1)由 计算公比； (2)根据等差中项性质计算； (3)由是以为首项，为公比的等比数列计算，再计算出的表达式，通过比较证明不等式成立. 【小问1详解】 因为，所以． 又，所以． 【小问2详解】 因为，，成等差数列，所以， 所以． 因为，，所以，解得． 【小问3详解】 略 16. 如图，在四棱锥中，平面，，是以为斜边的等腰直角三角形． （1）证明：平面平面． （2）若，，且直线与平面所成的角为，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的性质判定，面面垂直的判定推理得证. （2）以点为原点建立空间直角坐标系，由已知线面角求出线段长，进而求出平面的法向量，再利用线面角的向量法求解. 【小问1详解】 由是以为斜边的等腰直角三角形，得，由平面， 平面，得，而平面， 则平面，又平面， 所以平面平面. 【小问2详解】 由（1）得，而平面，则直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 由平面，得直线与平面所成的角为，且，则， 而，则，， ，， 设平面的法向量为，则，令，得， 设直线与平面所成的角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 17. 某工厂生产的零件分为合格品与不合格品两类．现采用一台检测仪器对零件进行检测，该仪器存在检测误差，具体检测特性如下：当零件为合格品时，单次检测判定为“合格”的概率为0.8，判定为“不合格”的概率为0.2；当零件为不合格品时，单次检测判定为“合格”的概率为0.1，判定为“不合格”的概率为0.9.对同一个零件连续检测3次，若检测结果中“合格”的次数多于“不合格”的次数，则最终判定该零件为合格品；否则判定为不合格品．假设各次检测结果相互独立．已知该批零件中合格品占80%，不合格品占20%． （1）若某零件为不合格品，求该零件最终被误判为合格品的概率． （2）若随机抽取1个零件进行检测，求该零件最终被判定为合格品的概率． （3）已知生产一个零件的成本为50元，每个零件被连续检测3次的总费用为10元．若某零件最终被判定为合格品，则以每件120元的价格出厂销售；否则作销毁处理．若出厂的零件实际为不合格品，则需向客户全额退款，并赔偿客户40元．设一个零件的利润为元，若的均值小于25，则该工厂将停止生产该零件；否则继续生产，试问该工厂是否会停止生产该零件？请说明理由． 【答案】（1）0.028. （2）0.7224. （3）该工厂不会停止生产该零件，理由见解析 【解析】 【分析】（1）连续检测3次该零件的结果中，“合格”的次数不低于2才能被误判为合格品，再结合二项分布的概率公式，即可求解； （2）通过由全概率公式得出即可； （3）的所有可能取值为，60，，求出对应概率，即可求出分布列，再根据期望公式计算即可. 【小问1详解】 设该零件被误判为合格品是事件．连续检测3次该零件的结果中， “合格”的次数不低于2才能被误判为合格品， 所以， 所以该零件最终被误判为合格品的概率为0.028. 【小问2详解】 设被检测的零件为合格品是事件，被检测的零件为不合格品是事件， 被检测的零件最终被判定为合格品是事件， 则． 由（1）知，又因为，， 所以由全概率公式得 ， 故该零件最终被判定为合格品的概率为0.7224. 【小问3详解】 的所有可能取值为，60，． ， ， ， 则． 因为，所以该工厂不会停止生产该零件． 18. 设抛物线（为常数，且）的焦点为，准线为，点在上且位于第一象限，过点作的垂线，垂足为． （1）若点的坐标为，求． （2）设过，，三点可作椭圆，且的两个焦点均在轴上，记轴正半轴上的焦点为，且在的左侧． （ⅰ）证明：的周长为定值． （ⅱ）证明：的离心率大于． 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先求出抛物线方程，结合已知几何性质求出点，再利用两点间距离公式计算求解； （2）利用抛物线的焦点弦公式结合椭圆的定义求出三角形的周长，进而证明的周长为定值；利用椭圆的离心率公式结合点在上且位于第一象限构造不等式，进而证明结论． 【小问1详解】 将点的坐标代入，得，解得， 抛物线的方程为，故，准线的方程为，则， ． 【小问2详解】 证明：（i）设，，，则， 由题意知，，， 经过，两点，且这两个点的纵坐标相同， 由椭圆的对称性可得，的短轴必在线段的垂直平分线上，且的中心的横坐标． 又的焦点均在轴上，在轴上，即． 设的长半轴长为，则． 设的左焦点为，则， 则的周长． ，且， ，故的周长为定值． （ⅱ）设的焦距为，离心率为，则． 由（ⅰ）知，为的右顶点，为右焦点， 则． 由在轴正半轴上可知，则， ． 设的短半轴长为，则，将点的坐标代入的方程， 并结合，得， 整理得，代入与，化简得，解得． 点在第一象限且为的右顶点，，即． 由知，，则． 要证，只需证，即证，即证， 的离心率大于，得证． 19. 已知函数，． （1）证明：当时， （2）若是的极大值点，求的取值范围． （3）若，且，其中，证明：． 【答案】（1） 因，则， 当时，，所以在上单调递减， 所以，故当时，． （2） （3） 由（1）知，当时，． 令，则，再令， 则． 令，，则． 所以． 由，得． 要证，只需证． 因为在上单调递减，所以只需证． 令，则，令，则， 易知在上单调递减．又，， 所以存在，使得，则在上单调递增，在上单调递减． 又，且在上单调递增，故在上大于0. 而在 上单调递减，且，故存在唯一的，使得. 则在上单调递增，在上单调递减． 又，，所以恒成立， 所以，则，所以． 【解析】 【分析】（1）利用求导判断函数的单调性，利用单调性即可得证； （2）将函数求导得，记，再求导得，根据，分成，和三类情况讨论函数的单调性，即可逐一判断求得参数范围； （3）由（1）知，当时，，先后令，令，将其化成，再令，，可得，利用结合条件可得，从而要证，即证，再由余弦函数的单调性，需证，设，利用求导判断单调性证明即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 的定义域为，则， 记，则，则． ①若，即，则 令，则，所以在上单调递增， 当时，此时，则，故在上单调递增，不合题意； ②若，即，则必存在，使得当时，，则在上单调递增． 又，所以当时，，即在上单调递增，不合题意； ③若，即，同理可得，存在，使得当时，， 则在上单调递减．又，则当时，，单调递减， 当时，，单调递增，所以是的极大值点． 综上所述，的取值范围是． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黒.如需改动、用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设不等式的解集为，则（ ） A. B. C. D. 2. 若直线与直线垂直，则（ ） A. B. C. 2 D. 3. 现有一组数据2，4，5，2，3，6，8，4，5，则这组数据的第百分位数与中位数分别是（ ） A. 4，6 B. 5，4 C. 6，4 D. 6，5 4. 若，则（ ） A. 3 B. C. D. 5. 在平行四边形中，，则（ ） A. B. C. D. 6. 在中，角，，的对边分别为，，．已知，且，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的值域是，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 8. 在正四棱台中，，且，记能将正四棱台罩住的半球的最小半径为，正四棱台外接球的半径为，则（ ） A. B. 1 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的部分图象如图所示，将图象上所有点的横坐标缩短到原来的后，再将所得图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则（ ） A. B. C. 图象的对称轴方程为 D. 的单调递增区间为 10. （多选题）定义：当且时，恒成立，则称是同号增函数．下列函数是同号增函数的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知，是双曲线上两个不同的点，是的左顶点，则（ ） A. 的焦距为 B. 当轴时，与可能垂直 C. 当时，，的横坐标之和的取值集合为 D. 当，的纵坐标异号时，对任意的点，都存在点，使得 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. __________. 13. 若直线是曲线的一条切线，则________． 14. 将数字1，2，3，4，5，6，7，8，9填入一个的方格中，每个格子填1个数字，且不重复，要求第一行数字满足，第三行数字满足，第三列数字满足，则符合要求的填数方法共有________种．（用数字作答） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设等比数列的公比，，且 （1）求的值； （2）若，，成等差数列，求的值； （3）设数列的前项和为，证明：． 16. 如图，在四棱锥中，平面，，是以为斜边的等腰直角三角形． （1）证明：平面平面． （2）若，，且直线与平面所成的角为，求直线与平面所成角的正弦值． 17. 某工厂生产的零件分为合格品与不合格品两类．现采用一台检测仪器对零件进行检测，该仪器存在检测误差，具体检测特性如下：当零件为合格品时，单次检测判定为“合格”的概率为0.8，判定为“不合格”的概率为0.2；当零件为不合格品时，单次检测判定为“合格”的概率为0.1，判定为“不合格”的概率为0.9.对同一个零件连续检测3次，若检测结果中“合格”的次数多于“不合格”的次数，则最终判定该零件为合格品；否则判定为不合格品．假设各次检测结果相互独立．已知该批零件中合格品占80%，不合格品占20%． （1）若某零件为不合格品，求该零件最终被误判为合格品的概率． （2）若随机抽取1个零件进行检测，求该零件最终被判定为合格品的概率． （3）已知生产一个零件的成本为50元，每个零件被连续检测3次的总费用为10元．若某零件最终被判定为合格品，则以每件120元的价格出厂销售；否则作销毁处理．若出厂的零件实际为不合格品，则需向客户全额退款，并赔偿客户40元．设一个零件的利润为元，若的均值小于25，则该工厂将停止生产该零件；否则继续生产，试问该工厂是否会停止生产该零件？请说明理由． 18. 设抛物线（为常数，且）的焦点为，准线为，点在上且位于第一象限，过点作的垂线，垂足为． （1）若点的坐标为，求． （2）设过，，三点可作椭圆，且的两个焦点均在轴上，记轴正半轴上的焦点为，且在的左侧． （ⅰ）证明：的周长为定值． （ⅱ）证明：的离心率大于． 19. 已知函数，． （1）证明：当时， （2）若是的极大值点，求的取值范围． （3）若，且，其中，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $