1.3.2 平方差公式的验证和应用 同步练习 2025-2026学年北师大版数学七年级下册

1.3 乘法公式 第2课时 平方差公式的验证和应用 一、选择题 1．观察下列图形，从图①到图②可用式子表示为( ) A．(a＋b)(a－b)＝a2－b2 B．a2－b2＝(a＋b)(a－b) C．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 D．a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2 2．如图，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形(a>b)，然后将阴影部分拼成一个长方形，分别计算这两个阴影部分的面积，验证的公式是( ) A.(a＋b)(a－b)＝a2－b2 B．(a－b)2＝a2－2ab＋b2 C．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 D．a2＋ab＝a(a＋b) 3．为了美化校园，学校把一个边长为a m(a＞4)的正方形跳远沙池的一组对边各增加1 m，另一组对边各减少1 m，改造成长方形的跳远沙池．如果这样，你觉得沙池的面积会(　　) A．变小　　B．变大 C．没有变化　　D．无法确定 4．用简便方法计算40×39，变形正确的是( ) A．(40＋)(39＋) B．(40＋)(40－) C．(40＋)(40－) D．(40－)(40－) 5．已知(x＋2)(x－2)－2x＝1，则2x2－4x＋3的值为( ) A．13 B．8 C．－3 D．5 6．如图，小正方形ABCD和大正方形CEFG相邻，B，C，G三点在同一条直线上，C，D，E三点在同一条直线上．若阴影部分的面积为9，则大正方形的面积与小正方形的面积之差为(　　) A.　 　B．9　 　C．12　 　D．18 7．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“完美数”，如12＝42－22，52＝142－122，因此12，52这两个数都是“完美数”，则下列说法中错误的是(　　) A．20是“完美数” B．最小的“完美数”是4 C．“完美数”一定是4的奇数倍 D．小于30的所有“完美数”之和是60 8．发现：41＝4，42＝16，43＝64，44＝256，45＝1 024，46＝4 096，47＝16 384，48＝65 536，依据上述规律，通过计算判断3×(4＋1)(42＋1)(44＋1)…(432＋1)＋1的结果的个位数字是(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 二、填空题 9．计算x2－(x＋4)(x－4)的结果是________． 10．三个连续偶数，若中间一个是n，则它们的积是____________． 11．计算：20232－2021×2025＝________． 12．若a＝1954×1 946，b＝1957×1 943，c＝1949×1951，则a，b，c的大小关系为________ (用“＜”连接)． 13．图1为某校七年级两个班级的劳动实践基地，图2是从实践基地抽象出来的几何模型.已知两块边长分别为m，n的正方形，其中重叠部分B为池塘，阴影部分S1，S2分别表示两个班级的基地面积.若m＋n＝8，m－n＝2，则S1－S2＝________. 14．定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且m－n>1，则称这个正整数为“马年大吉数”．例如，16＝52－32，16就是一个马年大吉数．若将马年大吉数从小到大排列，则第3个马年大吉数是________；第23个马年大吉数是________． 三、解答题 15．利用平方差公式计算： (1)119×121； (2)59.8×60.2. 16．计算： (1)4y(x－y)＋(x－2y)(x＋2y)； (2)(－1＋x)(－x－1)－x(2－x). 17．解方程：(3－x)(3＋x)－x(5－x)＝4. 18．若(n＋205)2＝123 456 789，求(n＋215)(n＋195)的值． 19．先化简，再求值：2m－m(m－2)＋(m＋3)(m－3)，其中m＝. 20．试说明：(m3＋2n)(m3－2n)＋(2n－4)(2n＋4)的值与n的取值无关． 21．如图所示，图1由两个长方形组成，通过移动图1中的阴影长方形得到图2. (1)根据两个图形面积间的关系，可以验证的乘法公式是_____________________；(用含a，b的代数式表示)  (2)应用所得的公式计算：（1－）（1－）·（1－）…（1－）（1－）. 22．(1)观察下列各式的规律： (a－b)(a＋b)＝a2－b2； (a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3； (a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝a4－b4； …… 可得到(a－b)(a2025＋a2024b＋…＋ab2024＋b2025)＝______________． (2)猜想：(a－b)(an－1＋an－2b＋…＋abn－2＋bn－1)＝____________(其中n为正整数，且n≥2). (3)利用(2)猜想的结论计算：29－28＋27－…＋23－22＋2. 参考答案 一、选择题 1．观察下列图形，从图①到图②可用式子表示为( ) A．(a＋b)(a－b)＝a2－b2 B．a2－b2＝(a＋b)(a－b) C．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 D．a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2 【答案】A 2．如图，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形(a>b)，然后将阴影部分拼成一个长方形，分别计算这两个阴影部分的面积，验证的公式是( ) A.(a＋b)(a－b)＝a2－b2 B．(a－b)2＝a2－2ab＋b2 C．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 D．a2＋ab＝a(a＋b) 【答案】A 3．为了美化校园，学校把一个边长为a m(a＞4)的正方形跳远沙池的一组对边各增加1 m，另一组对边各减少1 m，改造成长方形的跳远沙池．如果这样，你觉得沙池的面积会(　　) A．变小　　B．变大 C．没有变化　　D．无法确定 【答案】A 4．用简便方法计算40×39，变形正确的是( ) A．(40＋)(39＋) B．(40＋)(40－) C．(40＋)(40－) D．(40－)(40－) 【答案】B 5．已知(x＋2)(x－2)－2x＝1，则2x2－4x＋3的值为( ) A．13 B．8 C．－3 D．5 【答案】A 6．如图，小正方形ABCD和大正方形CEFG相邻，B，C，G三点在同一条直线上，C，D，E三点在同一条直线上．若阴影部分的面积为9，则大正方形的面积与小正方形的面积之差为(　　) A.　 　B．9　 　C．12　 　D．18 【答案】D 【解析】设大正方形的边长为x，小正方形的边长为y，则DE＝x－y，由题意阴影部分的面积是AD·DE＋DE·CG＝(x－y)·y＋(x－y)·x＝(x－y)(x＋y)＝(x2－y2)＝9.所以大正方形的面积与小正方形的面积之差x2－y2=18. 7．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“完美数”，如12＝42－22，52＝142－122，因此12，52这两个数都是“完美数”，则下列说法中错误的是(　　) A．20是“完美数” B．最小的“完美数”是4 C．“完美数”一定是4的奇数倍 D．小于30的所有“完美数”之和是60 【答案】D 【解析】由于20＝62－42，因此20是“完美数”，所以选项A不符合题意；两个连续偶数的平方差最小为4，因此“完美数”最小为4，所以选项B不符合题意；两个连续偶数的和是2的奇数倍，两个连续偶数的差是2，所以两个连续偶数的平方差是4的奇数倍，即“完美数”一定是4的奇数倍，所以选项C不符合题意；小于30的所有“完美数”的和为4＋12＋20＋28＝64，因此选项D符合题意．故选D. 8．发现：41＝4，42＝16，43＝64，44＝256，45＝1 024，46＝4 096，47＝16 384，48＝65 536，依据上述规律，通过计算判断3×(4＋1)(42＋1)(44＋1)…(432＋1)＋1的结果的个位数字是(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【解析】41＝4，42＝16，43＝64，44＝256，45＝1 024，46＝4 096，47＝16 384，48＝65 536，观察上面运算结果发现：当4的指数是奇数时，运算结果的个位数字是4；当4的指数是偶数时，运算结果的个位数字是6. 3×(4＋1)(42＋1)(44＋1)…(432＋1)＋1 ＝(4－1)(4＋1)(42＋1)(44＋1)…(432＋1)＋1 ＝(42－1)(42＋1)(44＋1)…(432＋1)＋1 ＝(44－1)(44＋1)…(432＋1)＋1＝464－1＋1＝464. 由规律可得464的个位数字是6，所以3×(4＋1)(42＋1)(44＋1)…(432＋1)＋1的结果的个位数字是6. 二、填空题 9．计算x2－(x＋4)(x－4)的结果是________． 【答案】16 10．三个连续偶数，若中间一个是n，则它们的积是____________． 【答案】n3－4n 11．计算：20232－2021×2025＝________． 【答案】4 12．若a＝1954×1 946，b＝1957×1 943，c＝1949×1951，则a，b，c的大小关系为________ (用“＜”连接)． 【答案】b＜a＜c 13．图1为某校七年级两个班级的劳动实践基地，图2是从实践基地抽象出来的几何模型.已知两块边长分别为m，n的正方形，其中重叠部分B为池塘，阴影部分S1，S2分别表示两个班级的基地面积.若m＋n＝8，m－n＝2，则S1－S2＝________. 【答案】16 14．定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且m－n>1，则称这个正整数为“马年大吉数”．例如，16＝52－32，16就是一个马年大吉数．若将马年大吉数从小到大排列，则第3个马年大吉数是________；第23个马年大吉数是________． 【答案】15 57 【解析】依题意，当m＝3，n＝1时，第1个马年大吉数为32－12＝8，当m＝4，n＝2时，第2个马年大吉数为42－22＝12，当m＝4，n＝1时，第3个马年大吉数为42－12＝15，当m＝5，n＝3时，第4个马年大吉数为52－32＝16，当m＝6，n＝4时，第5个马年大吉数为62－42＝20，当m＝5，n＝2时，第6个马年大吉数为52－22＝21，当m＝5，n＝1时，第7个马年大吉数为52－12＝24……当m＝6时有4个马年大吉数，同理m＝7时有5个，m＝8时有6个，列表如下： 　n m　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 … 1                   … 2                   … 3 8                 … 4 15 12               … 5 24 21 16             … 6 35 32 27 20           … 7 48 45 40 33 24         … 8 63 60 55 48 39 28       … 9 80 77 72 65 56 45 32     … 10 99 96 91 84 75 64 51 36   … 11 120 117 112 105 96 85 72 57 40 … … … … … … … … … … … … 当m＝12，n＝10时，马年大吉数为44，m＝13，n＝11时，马年大吉数为48，m＝14，n＝12时，马年大吉数为52，m＝15，n＝13时，马年大吉数为56，第1至第10个马年大吉数分别为8，12，15，16，20，21，24，27，28，32，第11至第20个马年大吉数分别为33，35，36，39，40，44，45，48，51，52，第21个马年大吉数为55，第22个马年大吉数为56，第23个马年大吉数为57. 三、解答题 15．利用平方差公式计算： (1)119×121； 解：原式＝(120－1)(120＋1)＝1202－12＝14 399 (2)59.8×60.2. 解：原式＝(60－0.2)(60＋0.2)＝602－0.22＝3 600－0.04＝3 599.96 16．计算： (1)4y(x－y)＋(x－2y)(x＋2y)； 解：原式＝4xy－4y2＋x2－4y2＝4xy－8y2＋x2 (2)(－1＋x)(－x－1)－x(2－x). 解：原式＝(－1＋x)(－1－x)－(2x－x2)＝1－x2－2x＋x2＝－2x＋1 17．解方程：(3－x)(3＋x)－x(5－x)＝4. 解：32－x2－5x＋x2＝4，9－5x＝4，－5x＝－5，x＝1 18．若(n＋205)2＝123 456 789，求(n＋215)(n＋195)的值． 解：因为(n＋215)(n＋195)＝[(n＋205)＋10][(n＋205)－10]＝(n＋205)2－102，(n＋205)2＝123 456 789，所以原式＝123 456 789－100＝123 456 689. 19．先化简，再求值：2m－m(m－2)＋(m＋3)(m－3)，其中m＝. 解：原式＝2m－m2＋2m＋m2－9＝4m－9，当m＝时，原式＝4×－9＝10－9＝1 20．试说明：(m3＋2n)(m3－2n)＋(2n－4)(2n＋4)的值与n的取值无关． 解：原式＝(m3)2－(2n)2＋(2n)2－42＝m6－4n2＋4n2－16＝m6－16，所以原式的值与n的取值无关 21．如图所示，图1由两个长方形组成，通过移动图1中的阴影长方形得到图2. (1)根据两个图形面积间的关系，可以验证的乘法公式是_____________________；(用含a，b的代数式表示)  (2)应用所得的公式计算：（1－）（1－）·（1－）…（1－）（1－）. 解：(1)(a＋b)(a－b)＝a2－b2 (2)原式＝…（1－）（1＋） ＝×…× ＝ ＝. 22．(1)观察下列各式的规律： (a－b)(a＋b)＝a2－b2； (a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3； (a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝a4－b4； …… 可得到(a－b)(a2025＋a2024b＋…＋ab2024＋b2025)＝______________． 【答案】a2026－b2026 (2)猜想：(a－b)(an－1＋an－2b＋…＋abn－2＋bn－1)＝____________(其中n为正整数，且n≥2). 【答案】an－bn (3)利用(2)猜想的结论计算：29－28＋27－…＋23－22＋2. 解：原式＝[2－(－1)][29＋28×(－1)＋27×(－1)2＋…＋23×(－1)6＋22×(－1)7＋2×(－1)8＋(－1)9]＋1＝[210－(－1)10]＋1＝(1 024－1)＋1＝342 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $