四川绵阳市2025-2026学年高二上学期期末教学质量测试数学试题

绵阳高中2024级第三学期末质量测试 数 学 本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷共4页；答题卡共6页。满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的班级、姓名用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，同时用2B铅笔将考号准确填涂在“准考证号”栏目内。 2. 选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦干净后再选涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 3. 考试结束后将答题卡收回。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 在空间直角坐标系 中，，，则点 的坐标为 A. 　 B. 　 C. 　 D. 2. 打靶3次，事件 表示“共击中 次”，其中 ，则 表示 A. “全部击中”　 B. “至少击中1次” C. “至多脱靶2次”　 D. “至少击中2次” 3. 若直线 与直线 垂直，则 A. 　 B. 　 C. 　 D. 4. 在正三棱柱 中， 为 的中点，设 ，，，则 A. 　 B. C. 　 D. 5. 已知圆 与圆 有且只有2条公切线，则实数 的取值范围为 A. 　 B. 　 C. 　 D. 6. 某中学高二年级开设了5门不同的通用技术课程，甲，乙两人各自从这五门课程中选择一门参加学习，每人选择每一门课程的机会均等，则两人选择的课程不相同的概率为 A. 　 B. 　 C. 　 D. 7. 已知圆 和圆 ，若动圆 与圆 外切，同时与圆 内切，则该动圆圆心 的轨迹方程为 A. 　 B. 　 C. 　 D. 8. 在空间直角坐标系中，过点 ，且以 为方向向量的直线可以用方程 来表示。已知 ，点 ，点 ，则 的最小值为 A. 　 B. 　 C. 　 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9. 以下能确定空间中四点 共面的条件是 A. 　 B. C. 　 D. 10. 某商务局统计了一展销活动连续10天的日销售额（单位：万元），依次为：2.5，2.0，2.3，2.1，2.9，2.5，2.1，2.3，2.8，2.5，则 A. 该组数据的极差为0.8 B. 该组数据的30%分位数为2.2 C. 若该组数据去掉最大值和最小值，则这组数据的平均数变小 D. 若该组数据去掉最大值和最小值，则这组数据的方差变大 11. 已知双曲线 的左，右焦点分别为 ， 为双曲线 右支上且不同于坐标原点 的一点，则 A. 若 到渐近线的距离为 ，则 B. 过 作 的平分线的垂线，垂足为 ，则 C. 若 的面积为 ，且 ，则双曲线的离心率为 D. 过点 作两渐近线的垂线，垂足分别为 ，若 ，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 已知直线 与圆 相切，则实数 . 13. 若事件 与事件 相互独立，，，则 . 14. 抛物线 的焦点为 ，过点 的直线 交抛物线 于 （ 在 之间）两点，若 的角平分线为 ，则 的值是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分） 某次测试后，从全校成绩中抽取100名学生的成绩作为样本，成绩都在内，将所有成绩分成六组，得到如图所示的频率分布直方图。 （1）求图中 的值； （2）若落在[80,90)中的样本数据的平均数为84，方差为3；落在[90,100)中的样本数据的平均数为92，方差为5，求这两组数据的总平均数 和总方差 。 16.（15分） 已知 ，，且 为圆 的直径。 （1）求圆 的方程； （2）若直线 过点 ，且斜率为2，求直线 被圆 截得的弦长。 17.（15分） 在高中生物实验技能竞赛中，有“植物标本识别”的轮次考核，每轮活动由选手甲、选手乙各识别一份未知的植物标本（识别正确记为成功，识别错误记为失败）。已知甲每轮正确识别植物标本的概率为 ，乙每轮正确识别植物标本的概率为 ，甲、乙的识别结果相互独立，各轮考核的结果也互不影响。 （1）求在一轮考核中，甲，乙两人中恰好有一人成功的概率； （2）求在两轮考核中，“竞赛队”（由甲，乙组成）成功识别标本的总次数为3次的概率。 18.（17分） 如图，在四棱锥 中，已知 ，平面 。 （1）证明：； （2）若 ，，，且 ； （i）当直线 与平面 所成的角最小时，求 的长； （ii）设直线 与平面 所成的角为 ，平面 与平面 的夹角为 ，是否存在点 ，使得 ，若存在，求出三棱锥 的体积；若不存在，请说明理由。 19.（17分） 椭圆 的离心率为 ，焦距为2。过点 且斜率存在的直线 交椭圆于 两点， 是直线 上一定点，记直线 的斜率分别为 ，且 为定值。 （1）求椭圆 的方程； （2）求定点 的坐标； （3）如图，抛物线 与椭圆 在第二象限交于点 ，过点 的直线（不过坐标原点 ）交抛物线于点 ，交椭圆于另一点 ，若 恰好为 的中点，求实数 的最大值。 ( 高二数学试题 第 1 页 （ 共 3 页 ） ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中2024级第三学期末教学质量测试 数学参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．C 2．D 3．B 4．A 5．C 6．D 7．A 8．D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．ABD 10．BC 11．BCD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12．； 13．0.4； 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．解：（1）∵ ∴； （2）由题意可得，落在[80，90)的样本个数为：0.03×10×100=30，样本平均成绩 为，样本方差为； 落在[90，100]的样本个数为：0.01×10×100=10，样本平均成绩为，样本方差为， ∴两组样本成绩合并后的平均数为， 方差为． 16．解：（1）因为AB为圆C的直径，所以圆心坐标为，半径 ∴圆C的方程为； （2）直线l的方程为，即， ∴圆心C到直线l的距离； ∴直线l被圆C截得的弦长为． 17．解：（1）设“甲每轮识别成功”为事件A，“乙每轮识别成功”为事件B， 由题意：； ， 由甲，乙的识别结果相互独立，，都相互独立； 甲，乙两人中恰好有一人成功=“”，且互斥， ∴； （2）设A1，A2分别表示甲两轮考核中识别成功1个，2个植物标本，B1，B2分别表示乙两轮识别成功1个，2个植物标本， ， ， 设“在两轮考核中，“竞赛队”（由甲，乙组成）成功识别标本的总次数为3次”， ∴，且与互斥，与与分别相互独立， ∴ ， 因此，在两轮考核中，“竞赛队”成功识别标本的总次数为3次概率为． 18．解：（1）∵平面ABCD，平面ABCD ∴， 又AB⊥PD，，平面PAD，且平面PAD， ∴AB⊥平面PAD，又平面PAD， ∴AB⊥AD； （2）（i）以B为坐标原点，BC为x轴，BD为y轴，建立如图所示空间直角坐标系：C(1，0，0)，M(0，1，0)，D(0，3，0)，设P(m，n，3)， ∴，，， 设平面PBD的法向量为， ∴，则，不妨取， 记CM与平面PBD所成线面角为， ∴， 又，则A在以BD为直径的圆上， ∴，又如图A、C在BD的异侧，且A不能与B，D重合， ∴， ∴当时，取最小值，此时，∴， ∴； （ii）由（1）知：，，则平面PAB， ∴平面PAB的法向量可取， ∴， 又∵，则，因此， 由（i）知：， ∴， ∴， 又，则， ∴， 又A不能与B、D重合，故，故， ∴此时，则， ∴． 19．解：（1）由题意得：，且， 解得：， ∴椭圆方程为：； （2）设，直线l：，， 则……(*) 联立方程：，整理可得：， 由韦达定理可得：， 代入(*)可得：， 要使得为定值，则n=0，故Q(0，1)； （3）设直线DEF：，， 联立方程：，整理可得：， 由韦达定理可得：， 联立方程：，整理可得:， 由韦达定理可得：，即， 解得：， 又在抛物线上，故， 故D()， 又在椭圆上，故， 解得：， 又，， ∴，当且仅当时等号成立， 故实数m的最大值是． 高二数学试题卷 第4页（共4页） 高二数学参考答案 第2页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $