江苏省苏州中学2025-2026学年度第一学期质量评估（1月月考）高二数学试题

江苏省苏州中学2025-2026学年度第一学期质量评估 高二数学 本试卷满分150分，考试时间120分钟。请将答案填写在答题纸相应位置。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项符合题目要求。 1.已知随机事件4B满足P()=子P(B)=子，P(4U)-名，则PAn)=(A△) A.分 B C. D 2.经过：x+3y-2=0与2：x-y+2=0的交点且垂直于4的直线方程是（▲） A.3x+y-4=0B.3x-y+4=0 C.x-3y+6=0 D.3x-y-6=0 3.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,点M在C上.若M到直线x=-3的距离为5，则 IF卡（▲） A.7 B.6 c.5 D.4 4. 已知等比数列{a,}的公比不为1，且a。a,a成等差数列，则数列{a}的公比为（▲） A.-2 B.-1 C. D.2 5.与圆C:x+y2-2x+2y=0关于直线：x-y+1=0对称的圆C的方程为（▲） A.(x-2)2+0y-2)2=2 B.(x+2)2+y-2)2=2 C.x+2)2+0y+2)2=2 D.(x-2)2+0y+2)2=2 6,椭圆C手+片-10<b<2)的左右项点分别为4,4，左右焦点分别为风，风，以K3 为直径的圆与椭圆C在第二象限交于M且瓜，瓜=-2，则椭圆C的离心率为（△） A. C. D. 7.已知一个无穷等差数列中有三项：13,31,58，则下列各数中一定是该数列中的一个 项的是(A) A.2020 B.2022 C.2023 D.2025 试卷第1页，共4页 8.考武中有一道4个选项的双选题，甲、乙两名同学都完全不会这道题目，只能在4个 选项中随机选取两个进项.设$件M=“甲、乙两人所选选项恰有一个相同"，事件N=“甲、 乙两人所选选项完全不同"，事件X=“甲、乙两人所选选项完全相同”，事件Y=“甲、乙 两人均未选择B选项'、则（▲） A.事件M与事件N相互独立 B.事件X与事件Y相互独立 C.事件M与事件Y相互独立 D.事件N与串件Y相互独立 二、多项选择题：本愿共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多 项符合恶目要求。全部选对的得全分，有选错的不得分，部分选对的得部分分。 9.某同学参加射击比赛，打了8发子弹，报靶数据如下：9,8,6,10,9,7,6,9（单 位：环)，则下列说法正确的是（▲） A.这组数据的众数为9 B.这组数据的40%分位数是7.5 C.这组数据的极差是4 D.这组数据的标准差是√2 10.己知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S6<S24<S25,则（▲） A.数列{a}是递减数列 B.当n=25时，Sn最大 C.使得Sn<0成立的最小自然数n=52D.数列 中的最小项为 426 11.函数y=上的图象是以两坐标轴为渐近线的双曲线，将该函数图象绕坐标原点顺时针旋 转45°，即可将其化为双曲线的标准方程.已知A,B,C是双曲线H:y=1上三个不同的 点，则（▲） A.双曲线H的离心率为2 R.直线I与坐标轴交于M,N,与H交于P,Q,则MP=Ng C.△ABC的垂心（三高线的交点）在H上 D.若△BC是等边三角形，则其中心P关于坐标原点的对称点Q在△ABC的外接圆 上 试卷第2页，共4页 三、填空厘：本愿共3小题，每小愿5分，共15分。 12.已知数据1,2,3的方差与数据1,2,3，x的方差相同，则x=▲ 13.数列{an}中，a1=1,a1=(-1)°(a.+1),记sn为{an}的前n项和，则Ss-▲ 14.已知过原点O的直线与圆C:x2+y2-8x+8=0交于M,N两点，弦W的中点为P, 则点P的轨迹长度为▲， 四、解答题：本题共5小题，共刀分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市知识竞赛，从所有答卷 中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数） 分成六段：[40,50)，[S0,60),,[90,100]得到如图所示的频率分布直方图. 小频弗组距 0.025 0.020 0.010 0.005 0405060708090100分数 (I)求频率分布直方图中a的值； (2)求样本成绩的众数和平均数； (3)若要从成绩在[60,70]，[70,80]，[80,0]的三组数据中，用分层抽样的方法抽取15份成 绩，则成绩在80,90)分的应抽取多少份？ 16.一个袋子中有大小和质地均相同的四个球，其中有两个红球（标号为1和2），一个 黑球（标号为3），一个白球（标号为4），从袋中不放回地依次随机摸出两个球设事件A三 “第一次摸到红球”，B=“第二次摸到黑球”，C=“摸到的两个球恰为一个红球和一个白 球. (1)用数组(：，2)表示可能的结果，方是第一次摸到的球的标号，x2是第二次摸到的球 的标号，试用集合的形式写出试验的样本空间2： (2)分别求事件A,B,C发生概率； (3)求事件A,B,C中至少有一个发生的概率， 试卷第3页，共4页 17.已知直线l:x+y+5=0,该直线与圆C:x2+y2+4x-2y+a=0(a∈R)交于A,B两点， 且A8=2. (1)求a的值； 2)直线n:(m+1)x+(m+2)y-3m-5=0, (i)证明直线n过定点，并求出该定点P的坐标： ()求过点P且与圆C相切的直线方程， 18.记数列{a,},{b}的前n项和分别为S,I,4=1,4=p-1（p≠0且p≠1)，当n22时， 安女母 (1)证明数列{S}为等比数列： a ②诺p=2,当b,-(a,+pa+p ①求a.的通项公式： ②没入是正整数间是否存在八，使得等式+。-。成立，考存在，求出和入的值：衣 6d 在请说明理由。 1识已炎圆丛：学 +卡=1(a>b>0)的离心率为5，左焦点为P,左， 右顶点分别为A,B,上顶点为C,且△ACF的外接圆半径为5. (1)求椭圆M的标准方程 (②)设斜率存在的直线交椭圆M于P,2两点（P,2位于x轴的两侧)，记直线AP,B2的 斜率分别为：若5= ()试判断直线P2是否过定点，若是，求出此定点坐标；若不是，请说明理由； ()设直线1与x轴的交点为T,记△MPT与△B2r的面积分别为8，品求号的取值范 围。 …‘试卷第4页，共4页江苏省苏州中学2025-2026学年度第一学期质量评估 高二数学参考答案与评分标准 本试卷满分150分，考试时间120分钟.请将答案填写在答题纸相应位置 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的、 1.C2.B3.D4.A5.B6.A7.A8.C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得全分，有选错的不得分，部分选对的得部分分. 9.ACD 10.ABD 11.BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.2t22 13.-101114.2m 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(1)由频率分布直方图面积和为1， 可得(0.005+0.010+0.020+a+0.025+0.010)?101,解得a=0.030.…4分 (2)由频率分布直方图可得众数等于最高小矩形中点横坐标0+80 =75;…5分 2 样本平均数为45×0.05+55×0.1+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.1=74.…8分 即样本成绩的众数为75，平均数为74， (3)先计算三组数据的频数： 对于[60,70)：0.020×10×100=20，[70,80)：0.030×10×100=30， 又[80,90)0.025×10×100=25， 三组频数比为20：30：25=4：6：5，抽取15个样本时，…11分 则[30,0)的抽取个数为：15x名=5， 即成绩在[80,90)分的应抽取5份.… …13分 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描APF 16.(1) 样本空间2={1,2(1,3)，(1,4)，(2,1).(2,3(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)}， 2共有12个基本事件： …4分 (2) 事件A的基本事件为：《，2.1,3).(4).(2，.2,3).2,4}共6个基本事件，所以P(=2 事件B的蓝本事件为：{机，3)(2,3)，(4,3圳共3个基本事件，所以P(®)=子 事件c的基本事件为：《42,4)(4，)，(4,2}共4个基本事件，所以P(C)=子，…10分 (3) 事件A,B,C中至少有一个发生的基本事件为： {(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4)(4,1),(4,2),(4,3}共9个基本事件， 所r4UBUG)-子 …15分 17.(1)C:x2+y2+4x-2y+a=0(a∈R)的标准方程为C:(x+2)2+0-1)2=5-a(aeR),故 圆心为(-21)， d=上2+1+=25，故A8=2-w2=2, 2+12 .r=3, .5-a=r2=9, 故a=-4,… …6分 (2)(i)直线方程可化为m(x+y-3)+x+2y-5=0, ∫x+y-3=0 「x=1 x+2y-5=0故 y=2' 直线过定点P(门，2)…9分 (i)C:(x+2)2+(y-1)2=9, CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描Ap 由于P(L,2)在圆外，故当切线斜率不存在时，方程为x=1,满足题意，…12分 当切线斜率存在时，设其方程为：y=k(x-)+2, 则3=3张+2- V1+k2 ,解得长=子 4.10 故方程为y=-。x+ 3 3 4 综上所述切线方程为：y= +10 3 3或x=1.…15分 181证明当m≥2时，有+=，即 1 1 Sn and an nS4-S,S。-Sn’ 从而得g二9+8 ,8-S3-3去分母整理得：S=Snn 1 又因当n=1,a=1,a2=p-1(p*0且p≠1)，所以S,=a=1,S2=a+a2=p. 1+1=1 当n=2,3,+aa ，即a=p2-p,所以S=S2+a=p2,即S=SS. 所以由等比中项的定义可知数列{Sn}是1为首项，公比为P的等比数列.…4分 (2)解：①因p=2,由(1)可知Sn=2-,当n=1,S,=a=1, 所以当n22,an=Sn-Sn1=2-2, 1,n=1 经检验n=1,不满足.所以an= 2m-2,n≥2 …7分 ②叉因为b,a,+pja+可' 所以6“a,+20+7,当n=l,=41,即6=号 a 20-2 当m22时，6a,+26+2列(2+22+22+22+2 …10分 所以Tn=b+(2+b+b+…+b+bn).即： CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 红-时计[H中4a+2z(422》所以 =g+62) …12分 假设存在m,使得：工+6a亏成立 故时2小即时 2+26- 12,要使得入是正整数 2-1+2 只需2+2整除12，因n≥1，故有2-+2≥24+2=3，所以2-1+2只能取3,4,6,12. 所以当2+2=3，得n=1,此时1=2； 当21+2=4，得n=2,此时1=3； 当2-+2=6，得n=3,此时入=4； 当2+2=12，得2m-1=10,不满足n是正整数，此时1无解 会上可知，当且仅当入2时存在n=1使得等式+之=成立 6an 当且仅当入=3时，存在n=2使得等式，+2=4。 601g成立： 2=4 当且仅当1=4时，存在m=3使得等式3+62方成立… …17分 19.(1) 如，连接4C,GR,B即，因椭圆M的离心率为e=三=9，则名--G-分，即a=2b,c=5 a 2 在△0FC中，tan∠CF0=b- ,则∠C0= 6 lAG-5 在△4CF中，∠ArC=钙hd=G+F=V5,由正弦定理得乙ARC =25 2 解得b=5,故a=25,则精圆M的标准方程为兰+ 2+3 =1…4分 (2)(I)由题知直线I的斜率存在，且不为0，设直线：x=y+1(m≠0)， CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描App 立X十挪2，消去x,可得(m+4yP+2m0+-2=0, 联立 依题意，△=4m212-4(m2+4)(t2-12)>0,即3m2-2+12>0,…6分 设P划0小则%+⅓子y号 2-12 设直线8即的斜率为5，因为4(2.0,60，且音+号-1， 又因为内，故5=员， 207………8分 万0即%=易k-2-2同 即有。 又名=+=+1，所以x+x=5=-12m m2+4 f代入（，可得-20C-12=4-≥12m-2N5×_81 3(m2+4)m2+4 m2*4+12, 化简得2r2-31-6=0,解得1=25或！=-5 2 又B,2位于x轴的两侧，所以=-2 m2+4 <0,解得-25<1<25， 所以=9，放直线0的方程-w-号放多过定点(-马0H分 2 （国由60已得直线过定点(-9,0， 则8=*29训3马-9-， 于是 3丛 S,5y21 …13分 令上=2，则为=2y2,由()可得片+4= √5m -45 m+44=4m+4 〔y=水 +%--%0+可%可 √5m √5m入 由 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 45 3m22 45 再代入奶4+有，可得+2m+44m+4' 化商得可总的， 因为兰1+停>1所以<号 m <-,即：152+342+15<0， 解将-号<号即头=1e(停， 则哈3.受层 ……17分 CS扫描全能王 造3亿人都在用的扫描ApP