精品解析：上海市晋元高级中学2025-2026学年高二上学期期末数学试题

上海市晋元高级中学2025学年第一学期期末考试 高二年级数学学科试卷 日期：2026.1 考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：陈晓佟、孟蕊、张佳慧 审核人：陈晓佟 一、填空題（本大題共54分，1-6题每题4分，7-12题每题5分） 1. 直线的倾斜角为______． 【答案】## 【解析】 【分析】将原式中直线的一般式转化为斜截式，可得到斜率，根据（为倾斜角）即可求得直线的倾斜角. 【详解】原式，即，设为直线的倾斜角， 则有且，解得， 即直线的倾斜角为. 故答案为：. 2. 设是等比数列，，，则的通项公式______． 【答案】 【解析】 【分析】利用已知条件求出公比，再写出数列的通项公式. 【详解】，且，，又. ，. 故答案为： 3. 已知函数的导函数为，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】先利用导数公式求出导数，再求导数值即可. 【详解】因为，所以，则. 故答案为：2 4. 椭圆上一点P到其两个焦点的距离之和为______． 【答案】4 【解析】 【分析】求出椭圆a的值，再根据椭圆的定义即可求解． 【详解】焦点在轴上的椭圆，标准形式为（）， 所以，解得， 所以，椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为． 故答案为：4． 5. 某区从11000名小学生、10000名初中生和4000名高中生中采用分层抽样方法抽取名学生进行视力测试，若初中生比高中生多抽取60人，则__________． 【答案】250 【解析】 【分析】根据分层抽样等比例抽取的性质，列出等式计算即可. 【详解】设小学生抽取的人数为，高中生抽取的人数为，则初中生抽取的人数为， 所以，解得， 从而． 故答案为：250 6. 已知数列满足则数列的前10项和为_____. 【答案】1409 【解析】 【分析】分奇偶项应用等差数列求和及等比数列求和公式分组求和计算求解. 【详解】. 故答案为：. 7. 函数的单调递增区间为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数求解单调递增区间即可. 【详解】因为，所以， 令，可得， 则的单调递增区间为. 故答案为： 8. 已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用方程表示焦点在y轴上的椭圆建立不等式组，求解参数范围即可. 【详解】因为方程表示焦点在y轴上的椭圆， 所以，解得. 故答案为： 9. 设焦点为，的椭圆上的一点P也在抛物线上，抛物线的焦点为，若，则的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】先利用抛物线的定义和焦半径公式得到点的坐标，再代入椭圆中求出椭圆的方程，再利用三角形面积公式求得面积即可. 【详解】对于椭圆，可得其焦点一定在轴上， 如图，作出符合题意的图形，设， 结合对称性，不妨设点在轴的上方， 由焦半径公式得，解得， 则，将代入抛物线方程，可得，解得，则， 将代入椭圆方程，得到，解得， 则，即， 得到，故. 故答案为： 10. 在信道内传输信号，信号的传输相互独立．发送时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到的概率为，收到1的概率为．现依次发送1、1、0三个信号，则至少收到两个0的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】将目标事件合理拆分，再利用互斥事件的概率公式和独立事件的概率公式求解即可. 【详解】由题意得至少收到两个可拆分为恰好收到个和恰好收到个， 且两种情况互斥，对于恰好收到个，可拆分为如下三种情况， 第1位发送1时，收到，第2位发送1时，收到，第3位发送0时，收到， 第1位发送1时，收到，第2位发送1时，收到，第3位发送0时，收到， 第1位发送1时，收到，第2位发送1时，收到，第3位发送0时，收到， 而每一位收发数字的情况相互独立， 对于第一种情况，由独立事件的概率公式得概率为， 对于第二种情况，由独立事件的概率公式得概率为， 对于第三种情况，由独立事件的概率公式得概率为， 由互斥事件的概率公式得恰好收到个的概率为， 当恰好收到个时，由独立事件概率公式得概率为， 由互斥事件的概率公式得至少收到两个0的概率为. 故答案为： 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为的渐近线与圆在第一象限的交点为M，线段与C交于点N，O为坐标原点．若，则C的离心率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由可知 N是的中点，求出N的坐标，带入双曲线的方程化简即可. 【详解】的渐近线为：，焦点， ∵渐近线与圆在第一象限的交点为M 联立可得 ，所以N是的中点，， 因为N在双曲线上，化简得： 所以离心率为， 故答案为： 12. 数列：满足：，且，记集合.若数列满足：对任意，均有，则称数列是“好的”.“好的”数列的个数为_____. 【答案】1926 【解析】 【分析】由题意，要，则要满足，可得，设，则，分析可得k的范围，进而得到答案. 【详解】由题意，要，则需满足， 即，即， 由已知数列为递增数列，， 则有， 设，则， 又，则，则； ，则，则， 所以，则整数个数为， 则“好的”数列的个数为1926. 故答案为：1926. 二、选择题（本大题共18分，13-14每题4分，15-16每题5分） 13. 以下不能用来刻画一组数据的离散程度的统计量是（ ） A. 极差 B. 众数 C. 方差 D. 标准差 【答案】B 【解析】 【分析】利用极差，方差，标准差和众数的性质求解即可. 【详解】由题意得极差，方差，标准差描述离散程度，而众数描述集中趋势，故B错误. 故选：B 14. 已知函数的图象如图所示，且为的导函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别作出函数在处的切线，进而得到的大小关系． 【详解】分别作出函数在处的切线， 则 则有， 故选：B． 15. 已知函数在处取得极小值，则的值为（ ） A. 或 B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由求得或，再分别代入验证极值确定值. 【详解】由题意得，又函数在处取得极小值， 则，解得或． 当时，，令，则或， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 则在处取得极小值，故符合； 当时，，令，则或， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 则在处取得极大值，故不符合， 所以． 故选：B. 16. 在圆锥中，已知高，底面圆的半径为4，M为母线的中点，根据圆锥曲线的定义，下列四个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线及抛物线，下面四个命题，正确的个数为（ ） ①圆的面积为； ②椭圆的长轴长为； ③双曲线两渐近线的夹角正切值为； ④抛物线的焦点到准线的距离为 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】对于①，利用圆锥的几何性质确定圆的半径，即可求得圆的面积；对于②，结合圆锥的轴截面可求得椭圆的长轴长；对于③，建立平面直角坐标系，设双曲线方程，确定双曲线上的点的坐标，即可求得双曲线方程，进而求得双曲线两渐近线的夹角正切值；对于④，建立平面直角坐标系，设抛物线方程，确定抛物线上的点的坐标，即可求得参数，由此可判断出答案. 【详解】对于①，M为母线的中点，因此截面圆的半径为底面圆的半径的， 即截面圆半径为2，则圆的面积为，故①正确； 对于②，如图，在圆锥的轴截面中，作,垂足为C， 由题意可得M为母线的中点，则, 故椭圆的长轴长为,②正确； 对于③，如图，在与平面垂直且过点M的平面内，建立平面直角坐标系， 坐标原点与点P到底面距离相等， 则点M坐标为，双曲线与底面圆的一个交点为D，其坐标为， 则设双曲线方程为， 则，将代入双曲线方程，得， 设双曲线的渐近线与轴的夹角为，则， 故双曲线两渐近线的夹角正切值为，③错误； 对于④，如图，建立平面直角坐标系， 设抛物线与底面圆的一个交点为H， 则，则, 设抛物线方程为，则， 即抛物线的焦点到准线的距离为，④错误， 故正确的命题有2个， 故选：B 三、解答题（本大题共78分，17-19题每题14分，20-21每题18分） 17. 已知圆． （1）若，，直线过点，且与圆C相切，求直线的方程； （2）若圆心C在直线上，圆C与直线相交于两点，且，求圆C的方程． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）结合题意对直线斜率是否存在进行讨论，再结合直线与圆相切的性质建立方程，求解参数，进而得到直线方程即可. （2）先根据题意求出圆心，取中点为，求出，在直角中结合勾股定理求出半径，即可得出答案. 【小问1详解】 若，，则圆的方程为， 而直线过点，且与圆C相切，则讨论直线的斜率， 当的斜率不存在时，直线方程为，此时直线与圆相切，符合题意， 当的斜率存在时，设斜率为，圆心到直线的距离为， 则直线方程为，化简得， 由题意得圆心，，而直线与圆相切，则， 由点到直线的距离公式得， 则，解得，得到直线方程为， 整理可得直线方程为. 【小问2详解】 由圆的方程得圆心， 因为圆心在直线上， 所以，解得，可得圆心坐标为， 取中点为，连接，所以， 由点到直线的距离公式得到直线的距离如下， 为，因为，所以， 在直角中，由勾股定理得， 故圆的方程为. 18. 等差数列的公差不为0，是其前n项和．已知，且，，依次成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）若对一切正整数n都成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等比数列和等差数列的性质求出首项和公差，进而求出通项公式即可. （2）先利用等差数列的求和公式得到，再利用分离参数法结合基本不等式求解参数范围即可. 【小问1详解】 设首项为，公差为， 因为，，依次成等比数列，所以， 即，化简得， 因为，所以，即， 联立方程组，解得， 则. 【小问2详解】 因为，所以， 因为对一切正整数n都成立， 所以，即， 可得，令，即恒成立， 由基本不等式得，当且仅当时取等，此时解得， 则，，即，可得， 故实数的取值范围为. 19. 已知点、依次为双曲线的左、右焦点，且，，． （1）若，以为法向量的直线经过，求到l的距离； （2）若双曲线上存在点，使得，求实数b的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意知，，根据的关系求出，根据向量的共线定理设出直线方程，再代入点，求出直线方程，根据点到直线的距离公式计算距离； （2）设出点，根据数量积公式得，再根据点在双曲线上得，联立求解以后根据代入不等式求范围即可. 【小问1详解】 依题意，，， 则双曲线，，， 因为直线的法向量为，所以直线的斜率， 设直线，将代入解得：， 此时，到的距离为； 【小问2详解】 设双曲线上的点满足， 则，， 所以，即. 又，∴，即， ∵，且，∴， 又因为，∴实数的取值范围是． 20. 班主任小明为了解本班每位学生每周平均手机使用时长（单位：小时），在某一学期每周对全班45名学生进行问卷调查，收集了全部数据并计算出每位学生每周平均手机使用时长，绘制了相应的统计图表，全班用时最长的为25.6小时．其中，男生每周平均手机使用时长的茎叶图如图所示，女生每周平均手机使用时长的频率分布直方图如图所示． （1）求该班男生每周平均手机使用时长的第25百分位数； （2）小明老师想从本班每周平均手机使用时长小于12小时的学生中任选2人在班会课上做经验分享．设事件A表示“2人中至多1名男生”，事件B表示“2人中恰有1名学生的每周平均手机使用时长位于区间”．试判断事件A和事件B是否独立，并说明理由； （3）小明老师发现本班有t位学生的每周平均手机使用时长超过20小时，这t位学生的数据平均数为23小时．当去掉这t位学生中用时最长和用时最短的数据后，平均数变为22.7小时，且这t位学生中女生的数据从小到大依次排序成等差数列，求这t位学生每周平均手机使用时长的方差（精确到0.1）． 【答案】（1）12.8 （2） 事件和事件不相互独立，理由如下： 由，解得. 所以女生中每周平均手机使用时长小于12小时的人数为. 且女生中每周平均手机使用时长位于区间有2人，位于区间有2人. 由茎叶图可知，男生中每周平均手机使用时长小于12小时的人数为2，且男生中每周平均手机使用时长位于区间有2人. 抽取的6人中，每周平均手机使用时长位于区间的共有人. ，. 若抽取的是2名女生且恰好有1人的每周平均手机使用时长位于的概率为，. 显然，所以事件和事件不相互独立. （3）2.5 【解析】 【分析】（1）根据茎叶图判断出男生人数，然后由第25百分位数的计算公式求得结果. （2）分别求解出，然后根据与的关系作出判断. （3）先求出的值及男生数据，再根据平均数公式以及等差数列的性质求解出女生数据，最后计算出方差即可. 【小问1详解】 由茎叶图可知男生总人数为20，所以. 将男生每周平均手机使用时长从小到大排列，其中第5，6位的数据分别是12.7，12.9. 所以第25百分位数为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由茎叶图和频率分布直方图可知. 6个数据中，男生数据为，设女生的数据为且. 由题意可知，解得. 又成等差数列，，. 所以这6个数据分别为：. 所以方差为， 所以这6位学生每周平均手机使用时长的方差为 21. 已知抛物线的焦点为． （1）若点在抛物线上，求的值； （2）设，直线与抛物线交于两点，若抛物线上存在点满足，求证：； （3）设四边形的顶点均在抛物线上，直线过抛物线的焦点，对角线交于点，若点的横坐标的取值范围是，求直线斜率的取值范围． 【答案】（1）6； （2） 抛物线的焦点为，由， 得： 联立直线与抛物线，得， 故，. 因此，. 因在抛物线上，故. 直线与抛物线有两交点，判别式， 代入得：， 又，故. （3） 【解析】 【分析】（1）利用抛物线定义求焦半径； （2）结合向量运算与韦达定理，通过判别式限制参数范围； （3）利用抛物线弦的纵坐标性质求点坐标，化简斜率表达式后分析取值范围. 【小问1详解】 点在抛物线上，代入得. 抛物线的焦点为，准线为. 由抛物线定义，抛物线上点到焦点的距离等于到准线的距离，故. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设， 设直线的方程为， 由消去并化简得， ，则， 则，，故. 直线过，联立与抛物线，得， 故，，即. 同理，直线过，得，，即. 直线的斜率：， 令，，则. 令，. 函数在上递增： 当（即），，故； 当（即），，故. 综上所述，的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市晋元高级中学2025学年第一学期期末考试 高二年级数学学科试卷 日期：2026.1 考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：陈晓佟、孟蕊、张佳慧 审核人：陈晓佟 一、填空題（本大題共54分，1-6题每题4分，7-12题每题5分） 1. 直线的倾斜角为______． 2. 设是等比数列，，，则的通项公式______． 3. 已知函数的导函数为，则______． 4. 椭圆上一点P到其两个焦点的距离之和为______． 5. 某区从11000名小学生、10000名初中生和4000名高中生中采用分层抽样方法抽取名学生进行视力测试，若初中生比高中生多抽取60人，则__________． 6. 已知数列满足则数列的前10项和为_____. 7. 函数的单调递增区间为______． 8. 已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为______． 9. 设焦点为，的椭圆上的一点P也在抛物线上，抛物线的焦点为，若，则的面积是______． 10. 在信道内传输信号，信号的传输相互独立．发送时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到的概率为，收到1的概率为．现依次发送1、1、0三个信号，则至少收到两个0的概率为______． 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为的渐近线与圆在第一象限的交点为M，线段与C交于点N，O为坐标原点．若，则C的离心率为__________． 12. 数列：满足：，且，记集合.若数列满足：对任意，均有，则称数列是“好的”.“好的”数列的个数为_____. 二、选择题（本大题共18分，13-14每题4分，15-16每题5分） 13. 以下不能用来刻画一组数据的离散程度的统计量是（ ） A. 极差 B. 众数 C. 方差 D. 标准差 14. 已知函数的图象如图所示，且为的导函数，则（ ） A. B. C. D. 15. 已知函数在处取得极小值，则的值为（ ） A. 或 B. C. 1 D. 16. 在圆锥中，已知高，底面圆的半径为4，M为母线的中点，根据圆锥曲线的定义，下列四个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线及抛物线，下面四个命题，正确的个数为（ ） ①圆的面积为； ②椭圆的长轴长为； ③双曲线两渐近线的夹角正切值为； ④抛物线的焦点到准线的距离为 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 三、解答题（本大题共78分，17-19题每题14分，20-21每题18分） 17. 已知圆． （1）若，，直线过点，且与圆C相切，求直线的方程； （2）若圆心C在直线上，圆C与直线相交于两点，且，求圆C的方程． 18. 等差数列的公差不为0，是其前n项和．已知，且，，依次成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）若对一切正整数n都成立，求实数的取值范围． 19. 已知点、依次为双曲线的左、右焦点，且，，． （1）若，以为法向量的直线经过，求到l的距离； （2）若双曲线上存在点，使得，求实数b的取值范围． 20. 班主任小明为了解本班每位学生每周平均手机使用时长（单位：小时），在某一学期每周对全班45名学生进行问卷调查，收集了全部数据并计算出每位学生每周平均手机使用时长，绘制了相应的统计图表，全班用时最长的为25.6小时．其中，男生每周平均手机使用时长的茎叶图如图所示，女生每周平均手机使用时长的频率分布直方图如图所示． （1）求该班男生每周平均手机使用时长的第25百分位数； （2）小明老师想从本班每周平均手机使用时长小于12小时的学生中任选2人在班会课上做经验分享．设事件A表示“2人中至多1名男生”，事件B表示“2人中恰有1名学生的每周平均手机使用时长位于区间”．试判断事件A和事件B是否独立，并说明理由； （3）小明老师发现本班有t位学生的每周平均手机使用时长超过20小时，这t位学生的数据平均数为23小时．当去掉这t位学生中用时最长和用时最短的数据后，平均数变为22.7小时，且这t位学生中女生的数据从小到大依次排序成等差数列，求这t位学生每周平均手机使用时长的方差（精确到0.1）． 21. 已知抛物线的焦点为． （1）若点在抛物线上，求的值； （2）设，直线与抛物线交于两点，若抛物线上存在点满足，求证：； （3）设四边形的顶点均在抛物线上，直线过抛物线的焦点，对角线交于点，若点的横坐标的取值范围是，求直线斜率的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $