精品解析：河南省周口市项城市多校2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

2025－2026学年度第一学期期末考试试卷 九年级数学（华师版） 满分：120分 考试时间：110分钟 一、选择题（每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程）判断各选项即可． 【详解】解：A：含有两个未知数x和y，不是一元二次方程，不符合题意； B、方程中含有，不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； C、只含未知数x，最高次数为2，且是整式方程，是一元二次方程，符合题意； D、最高次数为3，不是一元二次方程，不符合题意． 故选：C． 2. 若关于x的一元二次方程有一个根为，则k的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解， 将代入方程，求解k值． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， 解得． 故选：B． 3. 抛物线的顶点坐标和对称轴分别是（ ） A. ，直线 B. ，直线 C. ，直线 D. ，直线 【答案】A 【解析】 【分析】根据顶点式直接写出顶点坐标和对称轴即可． 本题考查了二次函数顶点式的顶点坐标为，对称轴为，掌握顶点式求顶点坐标是解题的关键． 【详解】解：抛物线的顶点坐标和对称轴分别是，直线． 故选：A 4. 已知反比例函数的图象经过点，则该函数图象所在的象限是（ ） A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、四象限 D. 第三、四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的图象性质是解题的关键．先根据图象经过的点的坐标求出值，再利用反比例函数图象的性质即可求解． 【详解】解：反比例函数的图象经过点， ， ， 该反比例函数的图象位于第二、四象限． 故选：C． 5. 如图，在中，，且，则与的面积比为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．先判定，然后求得相似比，最后根据相似三角形的性质即可解答； 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴，即， ∴，即． 故选：D． 6. 用配方法解一元二次方程，配方后的方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键； 根据配方法解一元二次方程的步骤求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ． 故选：A 7. 某果园2023年水果产量为100吨，2025年计划达到144吨，设年平均增长率为x，则列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，得到2025年产量的等量关系是解决本题的关键． 2025年的产量年的产量年平均增长率，把相关数值代入即可． 【详解】解：设年平均增长率为x，根据题意得： ． 故选：B 8. 若点都在反比例函数的图象上，且，则与的大小关系是（ ）． A. ＞ B. ＜ C. ＝ D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质．熟悉反比例函数的图象和性质，根据的取值范围，比较函数值的大小，是解题的关键． 根据反比例函数图象和性质，由的符号确定函数值符号，比较大小即可． 【详解】解：∵ 点在反比例函数的图象上， ∴，， ∵ ， ∴，， ∴． 故选：． 9. 对于二次函数，下列说法错误是（ ） A. 开口向下 B. 当时，函数有最大值4 C. 图象与x轴有两个交点 D. 图象经过点 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查抛物线的图象性质，抛物线图象与系数关系，抛物线与x轴交点问题，根据函数的图象和性质逐次求解即可． 【详解】解：∵， ∴二次函数图象开口向下，故A选项正确，不符合题意； ∵， ∴当时，函数有最大值4，故B选项正确，不符合题意； ∵， ∴图象与x轴有两个交点，故C选项正确，不符合题意； 当时，， ∴图象经过点，故D选项错误，符合题意； 故选：D． 10. 已知在矩形中，，点E是的中点，点F在上，且，则与的关系是（ ） A. 全等 B. 相似 C. 周长相等 D. 面积相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握矩形的性质以及相似三角形的判定定理． 可得，，则，再由夹角相等即可得到． 【详解】解：如图， ∵矩形， ∴ ∵， ∴， ∵，点E是的中点， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握判别式等于0时，方程有两个相等的实数根是解题的关键． 根据一元二次方程有两个相等实数根时，判别式等于零，列出方程求解． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等实数根，其中，，， ∴， 解得． 故答案为：． 12. 写出一个图象经过第一、三象限的反比例函数解析式：______（写一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质．熟悉反比例函数的图象和性质是解题的关键．根据反比例函数的性质，当反比例函数，时，图象经过第一、三象限． 【详解】解：反比例函数的一般形式为（），其图象是双曲线， 当时，双曲线的两支分别位于第一象限和第三象限， ∴只需令，如，则函数解析式为． 故答案为：（答案不唯一）． 13. 二次函数的图象沿y轴向上平移2个单位，平移后的函数解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，解答本题的关键是明确二次函数平移的特点，左加右减、上加下减．根据平移规律即可解答． 【详解】解：二次函数的图象沿y轴向上平移2个单位，平移后的函数解析式为． 故答案为：． 14. 如图，在中，，于点D，若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，等积法求线段的长．解题的关键是掌握勾股定理． 先根据勾股定理求出的长，再根据等积法求出的长即可． 【详解】解：，，， ， ， ，即：， ； 故答案为：． 15. 某商品进价为每件40元，售价为每件50元时，每月可卖出210件；售价每上涨1元，每月销量就减少10件，设售价为每件x元，每月利润为y元，则y与x的函数关系式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用．根据利润等于每件利润乘以销量，可得到函数关系式． 【详解】解：根据题意得：． 即y与x的函数关系式为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 解一元二次方程 (1)（因式分解法）             (2)（公式法） 【答案】(1)，；(2)，． 【解析】 【分析】（1）方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解； （2）找出a，b，c的值，代入求根公式即可求出解. 【详解】(1)， ， ，， ，； (2)   ， a=2，b=-4，c=-1， >0， ∴=， ∴，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键. 17. 已知反比例函数的图象经过点． （1）求m的值； （2）判断点是否在该函数的图象上，并说明理由． 【答案】（1） （2）在该函数图象上，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题的关键． （1）将点代入函数解析式，即可求得m的值； （2）根据（1）中所求得到函数解析式，判断点是否满足该函数解析式即可． 【小问1详解】 解：将点代入， 得， 解得； 【小问2详解】 解：点在该函数图象上， 理由：由（1）得函数解析式为， 当时，，与点的纵坐标一致， ∴点在该函数图象上． 18. 已知在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于两点（在左侧），与轴交于点． （1）求三点的坐标； （2）求的面积． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】本题考查了求二次函数图象与坐标轴的交点坐标，二次函数的几何应用，熟练掌握知识点是解题的关键． （）把和代入函数解析式解答即可求解； （）根据三角形的面积公式计算即可求解； 【小问1详解】 解：令，则， 解得， ∵在左侧， ∴，， 令，则， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴． 19. 某扶贫车间生产一批手工艺品，若单独由甲组生产，需要10天完成；单独由乙组生产，需要15天完成．现两组合作生产，中途甲组因有其他任务停工2天，完成这批手工艺品一共用了多少天？ 【答案】完成这批手工艺品一共用了天 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，设完成这批手工艺品一共用了x天，则甲组生产了天，根据工作总量等于工作效率乘以工作时间，结合两组的工作总量之和为1建立方程求解即可． 【详解】解：设完成这批手工艺品一共用了x天，则甲组生产了天 由题意得，， 解得， 答：完成这批手工艺品一共用了天． 20. 如图，在和中，，，，，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理和对应边成比例是解题的关键． 根据，，可知，然后根据相似三角形对应边成比例，结合已知条件，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 21. 某商场购进一批进价为20元/件的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系． （1）设该商品每天的销售利润为w元，求w与x的函数关系式； （2）销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）销售单价定为35元时，利润最大，最大利润为2250元 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式，二次函数图象的性质， 对于（1），根据销售利润等于单件利润乘以销售量列出关系式，再求出解； 对于（2），根据抛物线的开口方向和对称轴可知有最大值，求出即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：∵，其中， ∴开口向下，利润有最大值，对称轴为， 当时，， 答：销售单价定为35元时，利润最大，最大利润为2250元． 22. 如图，在正方形中，点E在边上，点F在边上，且，连接交于点G． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据正方形的性质得出相等的边和角，然后利用证明三角形的全等即可； （2）根据全等三角形得出相等的角，然后利用直角三角形的性质得出，根据两个角相等的三角形相似即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴； 【小问2详解】 证明：由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 23. 如图，已知二次函数的图象经过点，与y轴交于点C．顶点为D． （1）求该二次函数解析式； （2）求顶点D的坐标； （3）在x轴上是否存在点P，使得为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，点P坐标为 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，顶点坐标，根据等腰三角形的性质求点的坐标，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）根据顶点坐标公式进行求解即可； （3）连接，作线段的垂直平分线交轴于点，假设，根据等边列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：将代入得， ， 解得， ∴该二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：顶点横坐标为， 顶点纵坐标为， ∴顶点D的坐标为； 【小问3详解】 解：存在，理由如下： 连接，作线段的垂直平分线交轴于点， ∴, 此时，为等腰三角形， 假设， 根据勾股定理得， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； 根据勾股定理得,， 分别以点为圆心，以长为半径画圆，与轴无交点， ∴点P的坐标只有． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度第一学期期末考试试卷 九年级数学（华师版） 满分：120分 考试时间：110分钟 一、选择题（每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 若关于x的一元二次方程有一个根为，则k的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 3. 抛物线的顶点坐标和对称轴分别是（ ） A. ，直线 B. ，直线 C. ，直线 D. ，直线 4. 已知反比例函数图象经过点，则该函数图象所在的象限是（ ） A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、四象限 D. 第三、四象限 5. 如图，在中，，且，则与的面积比为（ ） A. B. C. D. 6. 用配方法解一元二次方程，配方后的方程正确的是（ ） A B. C. D. 7. 某果园2023年水果产量为100吨，2025年计划达到144吨，设年平均增长率为x，则列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 若点都在反比例函数的图象上，且，则与的大小关系是（ ）． A. ＞ B. ＜ C. ＝ D. 无法确定 9. 对于二次函数，下列说法错误是（ ） A. 开口向下 B. 当时，函数有最大值4 C. 图象与x轴有两个交点 D. 图象经过点 10. 已知在矩形中，，点E是中点，点F在上，且，则与的关系是（ ） A. 全等 B. 相似 C. 周长相等 D. 面积相等 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值是_____． 12. 写出一个图象经过第一、三象限的反比例函数解析式：______（写一个即可）． 13. 二次函数的图象沿y轴向上平移2个单位，平移后的函数解析式为______． 14. 如图，在中，，于点D，若，，则的长为______． 15. 某商品进价为每件40元，售价为每件50元时，每月可卖出210件；售价每上涨1元，每月销量就减少10件，设售价为每件x元，每月利润为y元，则y与x的函数关系式为______． 三、解答题（本大题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 解一元二次方程 (1)（因式分解法）             (2)（公式法） 17. 已知反比例函数的图象经过点． （1）求m的值； （2）判断点是否在该函数的图象上，并说明理由． 18. 已知在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于两点（在左侧），与轴交于点． （1）求三点的坐标； （2）求面积． 19. 某扶贫车间生产一批手工艺品，若单独由甲组生产，需要10天完成；单独由乙组生产，需要15天完成．现两组合作生产，中途甲组因有其他任务停工2天，完成这批手工艺品一共用了多少天？ 20. 如图，在和中，，，，，，求的长． 21. 某商场购进一批进价为20元/件的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系． （1）设该商品每天的销售利润为w元，求w与x的函数关系式； （2）销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 22. 如图，在正方形中，点E在边上，点F在边上，且，连接交于点G． （1）求证：； （2）求证：． 23. 如图，已知二次函数的图象经过点，与y轴交于点C．顶点为D． （1）求该二次函数的解析式； （2）求顶点D的坐标； （3）在x轴上是否存在点P，使得为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $