专题03 菱形的性质与判定八类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材苏科版八年级下册

专题03 菱形的性质与判定八类综合题型 目录 典例详解 类型一、利用菱形的性质求解 类型二、利用菱形的性质求解折叠问题 类型三、利用菱形的性质求解动点问题 类型四、利用菱形的性质证明和求解综合问题 类型五、利用菱形的判定与性质求解 类型六、利用菱形的判定与性质多结论性问题 类型七、利用菱形的判定与性质解决综合性问题 类型八、利用菱形的判定与性质作图（含无刻度作图） 压轴专练 类型一、利用菱形的性质求解 方法总结 1. 性质对应：明确菱形的四边相等、对角线互相垂直平分且平分对角。 2. 方程求解：利用上述性质，结合勾股定理或三角函数，建立关于线段或角度的方程求解。 解题技巧 1. 对角线分直角：菱形的对角线将其分割为四个全等的直角三角形，是常用的解题模型。 2. 等边转化：利用“四边相等”进行线段等量代换，常与对角线垂直产生的垂直关系结合使用。 例1．在菱形中，对角线，交于点O，若，则的度数为 ． 【答案】30 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、直角三角形的两个锐角互余、利用菱形的性质求角度 【分析】本题主要考查了菱形的性质，平行线的性质和直角三角形两锐角互余，熟练掌握菱形的性质是解题关键． 先根据菱形的性质可得，，再根据平行线的性质和直角三角形两锐角互余即可得． 【详解】解：如图所示， 四边形是菱形， ， ∵ ， ∵ ， 故答案为：30． 【变式1-1】已知一个菱形的两条对角线长分别为和，则这个菱形的面积为 ． 【答案】24 【知识点】利用菱形的性质求面积 【分析】本题考查菱形的性质，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，进行求解即可． 【详解】解：由题意，这个菱形的面积为； 故答案为：24． 【变式1-2】如图，若菱形的顶点，的坐标分别为，，点在轴上，则点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】坐标系中的平移、利用菱形的性质求线段长、已知两点坐标求两点距离 【分析】本题主要考查了坐标与图形，菱形的性质，两点距离计算公式，先由两点距离计算公式求出的长，进而由菱形的性质得到，轴，据此可得答案． 【详解】解：∵，的坐标分别为， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵点A和点D都在x轴上， ∴轴， ∵， ∴， 故答案为；． 【变式1-3】如图，在菱形中，，，则 ，作于，则 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题考查了菱形的性质以及勾股定理的运用，关键是掌握菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直平分．利用菱形的性质即可计算得出、的长，再利用勾股定理求出的长，再根据面积法即可得到的长． 【详解】解：如图，设，交于点， ∵是菱形， ∴，，， ∴； ∴， ∵， 即， ∴， 故答案为：；． 【变式1-4】如图，已知菱形的边长为6，，是图中线段上一点，且，连接，则的长为 ． 【答案】4或或 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长 【分析】由题意知，如图，分三种情况求解：当时，；当时，过作交点，则，先求出，根据含的直角三角形求得，，进而求得，最后根据勾股定理求解即可；当时，过作交点，交于点，则，根据含的直角三角形和线段的和差易求，，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴如图，分三种情况求解： 当时，； 当时， ∵在菱形中，， ∴是等边三角形， ∴，， 过作交点，则， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； 当时， 过作交点，交于点，则， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 综上，的长为4或或． 类型二、利用菱形的性质求解折叠问题 方法总结 1. 抓住折叠本质：折叠即轴对称，对应边相等、对应角相等，折痕垂直平分对应点连线。 2. 结合菱形性质：利用菱形四边相等、对角线垂直平分且平分对角的性质，寻找全等或直角三角形。 解题技巧 1. 标注等量：在图上清晰标出折叠产生的等边、等角，以及由菱形本身决定的等量关系。 2. 设元勾股：常在菱形折叠后形成的直角三角形中，设未知线段为x，利用勾股定理列方程求解。 例2．如图，将菱形折叠，使点落在边的点F处，折痕为．若，则 ． 【答案】/30度 【知识点】等边对等角、利用菱形的性质证明、折叠问题 【分析】本题主要考查了菱形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，解题关键是理清折叠前后重叠的线段及角相等．根据菱形的性质得，，由折叠的性质可得，，再根据“等边对等角”可得，利用平角计算出的值，然后利用三角形内角和即可计算的值． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∵将菱形折叠，使点落在边的点处， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2-1】如图，菱形纸片，将该菱形纸片折叠，使点恰好落在边的中点处，折痕与边、分别交于点．则的长为 ． 【答案】 【知识点】折叠问题、利用菱形的性质求线段长、用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形 【分析】过点作与的延长线交于点E，根据含角的直角三角形的性质和勾股定理求出和，设，则，用x表示出，然后在中，利用勾股定理得出方程进行解答． 【详解】解：过点作与的延长线交于点E，    ∵四边形是菱形， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 由折叠的性质知：， 在中，， ∴， 解得：，， 即的长为， 故答案为：． 【变式2-2】如图，将一个边长为4的菱形沿着直线折叠，使点落在延长线上的点处，若，则的长为 ． 【答案】 【知识点】利用菱形的性质求线段长、勾股定理与折叠问题、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，由菱形得到，，由折叠得：，，再由勾股定理求出即可求解，掌握相关性质是解题的关键． 【详解】解：如图： 在菱形中，，， ∴， 由折叠得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2-3】如图，在菱形中，，点是边上一动点，连接，将沿着折叠，得到，连接，若，则 ；若点是的中点，，则的最小值为 ．    【答案】 /度 【知识点】折叠问题、利用菱形的性质求线段长、用勾股定理解三角形、等边三角形的判定和性质 【分析】（）根据折叠可得，，再根据等腰三角形性质及三角形内角和定理可得结论； （）延长到点，使得，连接，，则是的中位线，证明是等边三角形，求出，，从而可得结论． 【详解】解：由折叠和菱形的定义可知，，， ∵在菱形中， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 延长到点，使得，连接，，      则是的中位线， ∴， 当取最小值时，有最小值， 连接， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴ 又， ∴是等边三角形， ∴，， ∴于， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由折叠可知， 又， ∴， 当，，共线时，有最小值 此时的最小值为． 故答案为：， ． 类型三、利用菱形的性质求解动点问题 方法总结 1. 分类画图：根据动点位置（如在线段上、延长线上），画出所有可能的菱形示意图。 2. 性质建方程：利用菱形四边相等或对角线垂直平分的性质，建立关于动点坐标或时间的方程。 解题技巧 1. 参照系固定：以已知定点为参照，用含t的代数式表示动点的坐标或相关线段长。 2. 检验合理性：解方程后，检验结果是否满足动点的运动范围（如在线段上）及图形的构成条件。 例3．如图，在菱形中，，分别是边，上的动点，连接，，，分别为，的中点，连接．若，，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题考查的知识点是三角形的中位线定理、菱形的性质、勾股定理解直角三角形．由三角形中位线定理可得，则当有最小值时，有最小值，即当时，有最小值，由等腰直角三角形的性质可求的最小值，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，分别为，的中点， ， 当有最小值时，有最小值， 当时，有最小值， 四边形是菱形， ，， 当时，， 的最小值， 的最小值为． 故答案为：． 【变式3-1】如图，在边长为的菱形中，，E是边上的动点，F是边上的动点，且，连接，则的最小值是 cm．    【答案】5 【知识点】利用菱形的性质求线段长、等边三角形的判定和性质、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，正确作出辅助线是解题的关键． 连接，首先证明是等边三角形，构建垂线段最短可知，当时，最短，即最短． 【详解】解：如图，连接，    ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴都是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵时，线最小，最小值为， ∴的最小值为． 故答案为：． 【变式3-2】如图1，在平行四边形中，，，动点从点出发，沿折线方向匀速运动，运动到点停止．设点的运动路程为，的面积为与的函数图象如图2所示，则的长为 ． 【答案】 【知识点】动点问题的函数图象、利用平行四边形的性质求解、根据菱形的性质与判定求线段长 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，根据菱形的性质和函数图象，能根据图形得出正确信息是解此题的关键．先证明四边形是菱形，根据图1和图2判定三角形为等边三角形，它的面积为解答即可． 【详解】解：在平行四边形中，， ∴四边形是菱形， ∴， ， 为等边三角形， 设，由图可知，当两点重合时，的面积为， ∴的面积， 解得：(负值已舍)， 故答案为：． 【变式3-3】如图，菱形的面积为，点是的中点，点是边上的动点．当点运动到边的中点时，的面积为 ；当的面积为时，图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【知识点】利用菱形的性质求面积、根据三角形中线求面积 【分析】本题考查菱形的性质，三角形中线的性质，当点运动到边的中点时，连接、，根据菱形的性质得，再根据三角形中线平分三角形的面积可得结论；当的面积为时，连接、、，根据菱形的性质得，，根据三角形的中线的性质得，，继而得到，再代入计算即可．解题的关键是掌握：三角形中线平分三角形的面积． 【详解】解：当点运动到边的中点时， 连接、， ∵菱形的面积为， ∴， ∵点是边中点， ∴， ∵点是边中点， ∴； 当的面积为时， 连接、、， ∵菱形的面积为， ∴，， ∵点是边中点， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴和的底相同，高相等， ∴， ∴； 故答案为：；． 类型四、利用菱形的性质证明和求解综合问题 方法总结 1. 性质选择：根据所求结论，选用菱形对应性质（如四边相等、对角线垂直平分且平分对角）。 2. 数形转化：将几何关系转化为代数方程（如用勾股定理），或转化为三角形全等、相似的证明问题。 解题技巧 1. 对角线模型：连接对角线，构造出直角三角形，是运用勾股定理和三角函数的关键。 2. 等量代换：灵活运用“四边相等”进行线段等量代换，并结合“对角线互相垂直”产生的垂直关系。 例4．如图，在菱形中，连接，过B作交于点E，过D作交于点F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】利用菱形的性质证明、用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质等，综合应用上述知识点是解题的关键． （1）由菱形的性质可得，，，由可得，再证，即可证明； （2）连接交于O，由菱形的性质可得，，结合可证，再利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性质求出，，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴； （2）解：连接交于O， 则，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理，在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式4-1】如图，在菱形中，交于点，延长交的延长线于点，且为的中点，连接． (1)求证：； (2)求的值． 【答案】(1)见解析； (2)． 【知识点】利用菱形的性质证明、用勾股定理解三角形、等边三角形的判定和性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）根据菱形的性质可得，则，进而证明，得出，由，根据垂直平分线的性质可得； （2）由（1）可得是等边三角形，根据含30度角的直角三角形的性质，设，则，在中，勾股定理求得，即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是菱形， ， ． 是的中点， ． 在和中， ， ， ． 又 ． 四边形是菱形， ． （2）解：由（1）可得 是等边三角形， ． ，． 四边形是菱形， ， ． 设，则． 在中，， ． 【变式4-2】已知：如图，在菱形中，F为边的中点，与对角线交于点M，过M作于点E，． (1)若，求的长； (2)求证：； (3)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定、利用菱形的性质证明 【分析】（1）根据菱形的性质可得对角线平分对角，根据平行线的性质得出，等量代换可得，根据三线合一即可求得，即可求解； （2）由题意，借助三角形全等的判定定理即可得证； （3）由（2）中，得出，进而得出，根据含30度角的直角三角形的性质即可得证． 【详解】（1）解：四边形是菱形， ，，， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：， ， 在与中， ， ； （3）证明：由 （2）中得， ， ， ， ，，， ， ，， ， 设，在中，，则， ， 在中，， ，，， ， ． 【变式4-3】综合与实践：在菱形中，，作，，分别交，于点，． (1)【动手操作】如图①，若是边的中点，根据题意在图①中画出，则________度； (2)【问题探究】如图②，当为边上任意一点时，求证：； (3)【拓展延伸】如图③，在菱形中，，点，分别在边，上，在菱形内部作，连接，若，求线段的长． 【答案】(1)图见解析， (2)见解析 (3)1或3 【知识点】全等三角形综合问题、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质证明 【分析】（1）根据题意作图，由菱形的性质可得是等边三角形，根据等腰三角形的性质可得，由直角三角形的性质即可求解； （2）如解图，连接，由四边形是菱形，可得和都是等边三角形，再证即可求解； （3）根据题意作图如解图，过点作于点，连接，可得是等边三角形，由勾股定理可得，在中，，，由勾股定理可得，同理可得，分类讨论：当点在点的左侧（的位置）时，；当点在点的右侧（的位置）时，；再由（2）知，可得线段的长为1或3，由此即可求解． 【详解】（1）解：作如解图， ∵四边形是菱形， ∴， 如图所示，连接，， ∴是等边三角形， ∴， ∵点是中点， ∴，即， ∴， 故答案为：； （2）证明：如解图，连接， 四边形是菱形，且， ，， 和都是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ． （3）解：根据题意作图如解图，过点作于点，连接， 四边形是菱形，且，， ， 是等边三角形， ， ， 在中，，， ，同理可得， 当点在点的左侧（的位置）时，； 当点在点的右侧（的位置）时，； 或3； 由（2）知， ， ， 线段的长为1或3． 类型五、利用菱形的判定与性质求解 方法总结 1. 先判后性：先依据一组邻边相等或对角线垂直等条件，判定四边形为菱形。 2. 再性求解：再利用菱形的性质（四边相等、对角线垂直平分等）求解角度、线段或证明。 解题技巧 1. 判定优选：优先选择“四边相等的四边形”或“对角线垂直平分的四边形”等直接判定。 2. 转化化归：将菱形问题常转化为等腰三角形或直角三角形问题，运用勾股定理、等边对等角求解。 例5．如图，在中，，分别以C、B为圆心，取的长为半径作弧，两弧交于点D．连接、．若，则 ． 【答案】/25度 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、根据菱形的性质与判定求角度 【分析】由题意和作法可知：，可得四边形是菱形，再根据菱形及等腰三角形的性质，即可求解． 【详解】解：如图：连接， 由题意和作法可知：， 四边形是菱形，， ， 故答案为：． 【变式5-1】如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形．若测得，之间的距离为之间的距离为，则线段的长为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、根据菱形的性质与判定求线段长 【分析】本题考查了菱形的判定和性质、勾股定理，正确得出四边形是菱形是解题的关键； 根据题意可得四边形是菱形，再根据菱形的性质和勾股定理即可求解. 【详解】解：由题意可得， ∴四边形是平行四边形， 又∵两张纸条是等宽的， ∴边上的高h相等， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形， 连接，设交点为O， 则，， ∴cm； 故答案为：cm. 【变式5-2】四边形的对角线，相交于点，，若，，，则四边形的面积为 ． 【答案】96 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、根据菱形的性质与判定求面积 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与菱形的面积公式是解题的关键．先利用证得和全等，即可得出，再证四边形是菱形，由勾股定理求出的长，即可得出对角线的长，最后根据菱形的面积等于对角线积的一半计算即可． 【详解】解：如图， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ，， ，点是的中点， ， 在中，由勾股定理得，， ， 菱形的面积为， 故答案为：96． 【变式5-3】如图，用4根长度相等的木棒首尾顺次连接组成四边形中，，则该四边形的面积是 ． 【答案】16 【知识点】根据菱形的性质与判定求面积 【分析】本题主要考查了菱形的判定及性质，熟练掌握菱形的面积计算公式，是解题的关键．根据四边相等的四边形是菱形可得四边形是菱形，再由菱形的两条对角线，求出菱形的面积即可． 【详解】解：∵， ∴四边形是菱形， ∵， ∴该四边形的面积是：． 故答案为：16． 类型六、利用菱形的判定与性质多结论性问题 方法总结 1. 逐项分析：对每个结论单独推理，判断其是否可由已知条件结合菱形判定与性质必然推出。 2. 构造反例：对于“不一定成立”的结论，尝试构造特殊菱形（如内角非90°的菱形）进行验证。 解题技巧 1. 性质链梳理：系统梳理菱形的判定条件与性质（边、对角线、角），形成完整推理链条。 2. 图形直观法：画出一般菱形（非正方形）示意图，结合图形测量快速排除明显错误结论。 例6．如图，在四边形中，是边的中点，连接并延长，交的延长线于点，则下列结论：①；②四边形是平行四边形；③；④．其中正确的个数为（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形性质和判定证明、根据菱形的性质与判定求线段长 【分析】根据，可得，得出内错角相等，证明，可判断且，从而得出四边形为平行四边形；进而证得四边形是菱形，得到，，根据直角三角形的斜边大于直角边得到． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， 又， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形，故②正确； ∵四边形为平行四边形，， ∴四边形是菱形， ∴，故③正确； ∵四边形BDFC是菱形， ∴， ∴， ∴，故④错误． ∴正确的结论为①②③， 故选：C． 【变式6-1】如图，在菱形中，对角线与相交于点，，分别是，的中点，下列结论：①四边形是菱形；②；③；④，其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】利用菱形的性质证明、根据菱形的性质与判定求面积 【分析】本题考查了菱形的判定及性质，涉及到平行四边形的判定及平行线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 根据菱形的性质得出，，，然后根据菱形的判定即可判断①； 根据菱形的面积结合变形即可判断④； 根据菱形的性质得出，，再根据平行线的性质得出，，然后利用角的和差即可判断②； 根据直角三角形的性质即可判断③． 【详解】解：四边形为菱形 ，， ，分别是，的中点， ， 四边形为平行四边形 四边形是菱形，故①正确； ，故④正确； 四边形是菱形，四边形是菱形， ， ， 即，故②正确； 在中，为的中线 ，故③错误； 故选：C． 【变式6-2】如图，在菱形中，与交于点，，延长至点，使得，连接，则下列结论：①；②；③四边形 为菱形；④的面积为菱形面积的一半，其中正确的结论个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【知识点】等边三角形的判定和性质、与三角形中位线有关的证明、根据菱形的性质与判定求角度、根据菱形的性质与判定求面积 【分析】根据菱形的性质和，可得，是等边三角形，再利用等边三角形的性质和三角形中位线定理可证①②正确，根据，可证得四边形是平行四边形，利用平行四边形性质可得④正确，但，不能证明四边形是菱形，即可得解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， , 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 又∵，， ∴，，， 故①②正确； ∵，，， ∴，， ∴四边形 为平行四边形， 但， ∴四边形 不是菱形， 故③错误； ∵四边形 为平行四边形，四边形是菱形， ∴， 故④正确； ∴正确的结论个数为3个， 故选：B． 【变式6-3】如图，菱形的对角线相交于O点，E，F分别是边上的中点，连接．若，，则下列结论中，正确的个数为（    ） ①四边形是平行四边形；②菱形的周长为； ③与互相垂直平分；④的面积是． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题、斜边的中线等于斜边的一半、根据菱形的性质与判定求面积 【分析】此题考查菱形的性质，三角形的中位线定理，直角三角形的性质，掌握菱形的性质是解决问题的关键．根据菱形的性质，三角形的中位线定理，直角三角形的性质进行一一判断即可． 【详解】解：①四边形是菱形， ∴ ∵E，F分别是边上的中点， ∴， ∴， ∴， 四边形是平行四边形， 故①正确； ②，分别是，边上的中点，， ， 四边形是菱形， ，，， ， 菱形的周长为． 故②正确； ③如图，连接， 四边形是菱形， ∴， 在中，为斜边上的中线， ∴， 在中，为斜边上的中线， ∴， ∴， 四边形是菱形， 与互相垂直平分， 故③正确； ④∵， ∴， ∴， ， ， 故④正确， 故选：D 类型七、利用菱形的判定与性质解决综合性问题 方法总结 1. 判性结合：先依据条件判定菱形，再运用其性质（四边相等、对角线垂直平分）推导新结论或求值。 2. 数形互化：将几何关系转化为方程求解（如勾股定理），或将代数条件还原为几何特征进行判定。 解题技巧 1. 对角线模型：连接对角线构造直角三角形，是运用勾股定理和三角函数的核心模型。 2. 等量转化：灵活利用“四边相等”进行线段等量代换，常与“对角线垂直”产生的垂直关系结合。 例7．如图，在中，，D，E分别是边，的中点，连接并延长到点F，使，连接，，，． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题、证明四边形是菱形 【分析】此题考查了菱形的判定、勾股定理、三角形的中位线等知识，证明四边形是菱形是解题的关键． （1）证明，又由即可证明四边形是平行四边形，证明是的中位线，则，得到，即可证明四边形是菱形； （2）先求出，由是的中位线得到，再由勾股定理即可求出答案． 【详解】（1）证明：∵点D是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵点D，E分别是边的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， 即， ∴四边形是菱形； （2）∵，， ∴， ∵是的中位线， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式7-1】如图，在中，，交于点，交的延长线于点，且，连接，． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析； (2)30 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质证明、利用菱形的性质求线段长、证明四边形是菱形 【分析】本题主要考查了菱形的判定以及性质，平行四边形的性质，直角三角形的性质以及勾股定理的应用，掌握菱形的判定定理以及性质是解题的关键． （1）先利用平行四边形的性质得出，，再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出，根据菱形的判定即可证明． （2）根据勾股定理得出，然后利用菱形的性质及平行四边形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴ ∵， ∴． ∴四边形是菱形． （2）在中，. ∵四边形是菱形，， ∴菱形的面积． 【变式7-2】如图，在四边形中，，对角线交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形性质和判定证明、利用菱形的性质求线段长、证明四边形是菱形 【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质、勾股定理、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． （1）根据题意先证明四边形是平行四边形，再由可得平行四边形是菱形； （2）根据菱形的性质得出的长以及，利用勾股定理求出的长，再根据直角三角形斜边中线定理得出，即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵为的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形； （2）解：四边形是菱形， ，， ， ． ， ． 在中，，， ，   ． 【变式7-3】小颖新房买了一盏精致的吊灯（图1），其正面的平面图如图2所示，四边形是一个菱形外框架，对角线，相交于点，四边形是其内部框架，且点E、F在上，． (1)求证：四边形内部框架为菱形． (2)若，F为的中点，，求四边形的周长． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【知识点】含30度角的直角三角形、斜边的中线等于斜边的一半、利用菱形的性质证明、证明四边形是菱形 【分析】本题考查了平行四边形的判定及性质、菱形的判定及性质、含角的直角三角形的性质、等边三角形的判定及性质等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）由菱形的性质，得，利用已知条件，可判定四边形是平行四边形，再根据，即可求证； （2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一边，得，根据菱形的性质得，，所以是等边三角形，易证，得，在中，利用勾股定理可求出，通过菱形周长公式即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是菱形， ，， ， 四边形是平行四边形， ，即， 四边形内部框架为菱形； （2）解：， 是直角三角形， 为的中点， ， 四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ， 又， ， ， ， 四边形是菱形，， ， 在中，， ， ， 四边形是菱形， 四边形的周长为． 类型八、利用菱形的判定与性质作图（含无刻度作图） 方法总结 1. 依性作图：根据菱形“四边相等”、“对角线垂直平分”的性质，利用圆规截等长、作中垂线。 2. 依判构形：以满足菱形判定条件（如“邻边相等的平行四边形”）为目标，设计作图步骤。 解题技巧 1. 先定一边：通常先作出一条边，再以此边为半径画弧确定等长的邻边或对角线的交点。 2. 巧用对角线：利用“对角线互相垂直平分”，通过作已知线段的中垂线来定位顶点。 例8．如图，在中，．是边上的高． (1)实践与操作：用尺规作图法在和边上分别作，，使得四边形是菱形；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)应用与计算：在（1）的条件下，连接，，若，．分别求菱形两条对角线的长、 【答案】(1)见解析 (2)， 【知识点】作垂线(尺规作图)、用勾股定理解三角形、证明四边形是菱形、根据菱形的性质与判定求线段长 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质与判定，菱形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握特殊四边形的性质与判定是解题的关键； （1）作，连接，则四边形即为所求； （2）过点作于点，则四边形是矩形，进而勾股定理求得，在中，勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解：如图，四边形即为所求； 根据作图可得 ∴ 又∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形是菱形； （2）解：如图，过点作于点，则四边形是矩形， ∵是边上的高，， ∴ ∵四边形是菱形 ∴ ∴ 在中，， ∵， ∴， 又∵， ∴中，． 【变式8-1】如图，已知，连接． (1)请用无刻度的直尺和圆规作图（保留作图痕迹，不写作法） 作的垂直平分线，分别交，，于点，，，连接和； (2)在（1）的条件下，四边形为何种特殊四边形？并证明．若四边形的周长为16，求的长． 【答案】(1)作图见解析 (2)四边形是菱形，证明见解析； 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、作垂线(尺规作图)、证明四边形是菱形 【分析】此题考查了菱形的性质和判定，线段垂直平分线的作图和性质，全等三角形的判定和性质，证明四边形是菱形是解题的关键． （1）按照垂直平分线的作图方法作图即可； （2）证明，则．又由即可证明四边形是平行四边形．由垂直平分线段得到，即可证明四边形是菱形，根据菱形的周长即可求出的长． 【详解】（1）如图所示： （2）解：四边形是菱形，证明如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，． ∴． 又∵， ∴， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∵垂直平分线段， ∴． ∴四边形是菱形， ∴,四边形的周长为16， ∴四边形的周长． ∴． 【变式8-2】如图，正五边形，请仅有无刻度直尺按下列要求画图．（保留作图痕迹） (1)在图1中，画一个以为边的菱形； (2)在图2中，画一个以为对角线的菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】正多边形的内角问题、证明四边形是菱形 【分析】本题考查正多边形的内角，菱形的判定与性质，熟练掌握相关知识是解题的关键； （1）连接、交点为，此时根据正五边形的性质得到，，即可得到，，则四边形是菱形； （2）延长、交于点，连接、，此时根据正五边形的性质得到，，即可得到，则四边形是菱形； 【详解】（1）解：如图，是以为边的菱形，即为所求； （2）解：如图，是以为对角线的菱形，即为所求． 【变式8-3】如图，在四边形中，，是对角线． (1)尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，作线段的垂直平分线，垂足为点O，与边分别交于点E，F（要求：不写作法，保留作图痕迹，并将作图痕迹用黑色签字笔描黑）； (2)在（1）的条件下，连接，求证：四边形为菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图)、证明四边形是菱形 【分析】本题主要考查了菱形的判定，线段垂直平分线的性质及其尺规作图，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）分别以B、D为圆心，以大于长的一半画弧，二者交于M、N，连接分别与与边分别交于点E，F，则点E和点F即为所求； （2）由线段垂直平分线的定义打得到，，，再由等边对等角和平行线的性质可推出，则可证明，得到，据此可证明结论． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）证明：如图所示， ∵垂直平分， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． 一、单选题 1．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，菱形中，连接，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查菱形的性质，菱形的对角线互相垂直，所以在菱形中，，即，在中，因为，三角形内角和为，所以，因为菱形的对边平行，即，根据两直线平行，内错角相等，所以． 【详解】解：如图， ∵四边形是菱形， ∴，即，， 在中，∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 2．（25-26八年级下·全国·周测）如图，，是的对角线，过点作，交的延长线于点，则添加下列条件，不能使为菱形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据各选项条件，结合菱形判定依据，逐一分析能否判定平行四边形为菱形． 【详解】解：A、∵是平行四边形， ∴，． ∵， ∴，是平行四边形． ∴． ∵， ∴是菱形，不符合题意． B、∵， ∴． ∵， ∴只能说明是的角平分线，无法推出的邻边相等或对角线垂直，不能判定其为菱形，符合题意． C、，直接根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，可判定是菱形，不符合题意． D、由三角形外角性质，， ∵ ， ∴ ， ∴， ∴是菱形，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定定理、三角形外角性质，解题关键是准确区分 “能判定菱形的条件” 和 “不能判定菱形的条件”，熟练将角的关系转化为边的关系． 3．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图，在矩形中，连接，分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，，作直线分别交，于点，，连接，，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、矩形的性质、菱形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．设与交于点，由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，结合矩形的性质可得出四边形为菱形，再进一步可得答案． 【详解】解：设与交于点， 由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ，，，． 四边形为矩形， ， ，， ， ， ， 四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴； 故选：D． 4．（25-26九年级上·山东青岛·月考）如图，菱形的对角线交于点O，过点C作，交的延长线于点E，连接．若，，则菱形的面积为（   ） A． B． C． D．9 【答案】B 【分析】此题考查了菱形的性质和直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．首先根据菱形的性质得到，然后利用直角三角形斜边中线的性质得到，然后利用菱形面积公式求解即可． 【详解】解：四边形是菱形，， ，， ，， ， ， 菱形的面积， 故选B． 5．（24-25九年级下·河北沧州·月考）如图，现有一张矩形纸片，，，点，分别在矩形的边，上，将矩形纸片沿直线折叠，使点落在边上点处，点落在点处，连接，交于点，连接．下列结论： ①； ②四边形是菱形； ③，重合时，； ④点、、三点共线． 其中正确的结论有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】先判断出四边形是平行四边形，再根据翻折的性质可得，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出②正确；假设，得，进而得，这个不一定成立，判断①错误；，重合时，设，表示出，利用勾股定理列出方程求解得的值，进而用勾股定理求得，判断出③正确；结合矩形的性质可知，进而可证明，即可判断④． 【详解】解：矩形中， ， 由翻折可知：，， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形，故②正确； ，， ， 在和中， ， 若，则， ，这个不一定成立，故①错误； 点与点重合时，如图， 设，则， 在中，， 即， 解得， ， ， 四边形是菱形，故②正确； ， ， ，故③正确； 由折叠可知：， ， 四边形是菱形， ， ， 、、三点一定在同一直线上，故④正确． 综上所述：正确的结论有②③④，共个． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是矩形的性质、折叠性质、平行四边形的判定、菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，解题关键是熟练掌握折叠性质． 二、填空题 6．（25-26九年级上·陕西渭南·月考）如图，已知菱形花坛，沿着菱形花坛的对角线修建两条小路和，、相交于点O，若，则的度数为 °． 【答案】60 【分析】本题主要考查菱形的性质，由菱形性质得，再根据直角三角形两锐角互余可得结论． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，即， ∴， ∵， ∴, 故答案为：60． 7．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，在矩形中，点，分别在，上，，不添加任何字母与辅助线，添加一个适当的条件 ，使四边形是菱形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．根据矩形的性质得到，即，推出四边形是平行四边形，根据菱形的判定定理即可得到结论． 【详解】解：这个条件可以是， 理由：四边形是矩形， ，即， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， 故答案为：（答案不唯一）． 8．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，在的两边上分别截取，使，分别以点A，B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点C，连接．若，四边形的面积为，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查菱形的判定与性质．根据作法判定出四边形是菱形，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解． 【详解】解：由作图知， 四边形为菱形， ， 四边形的面积为， ， ， 故答案为：6． 9．（25-26九年级上·辽宁阜新·期末）中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．如图，小红家有一个菱形中国结装饰，对角线，相交于点，测得，，过点作于点，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，根据菱形的性质得到，，，，根据勾股定理得到，最后根据等面积法即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（25-26九年级上·辽宁辽阳·期末）在菱形中，，边长为8，点M是边上一点，点N是边上一点，将沿翻折，点A的对应点恰好落在菱形的一条边上，若，则的长为 ． 【答案】6或7 【分析】本题考查菱形的性质，折叠的性质，矩形的判定和性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，熟练掌握相关知识点，利用分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键． 分落在上和落在上两种情况进行讨论求解即可． 【详解】①当落在上时，如图， ∵菱形中，，边长为8， ∴，， ∴， ∵折叠， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴； 当落在上时，如图： 作交的延长线于点，作于点， ∵菱形， ∴， ∴， ∴，四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理，得， 解得， ∴； 综上：或； 故答案为：6或7． 三、解答题 11．（25-26九年级上·贵州贵阳·月考）如图，是菱形的对角线，． (1)请用尺规作图法，在上找点，使；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）条件下，连接,求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查作垂直平分线和以及垂直平分线的性质，菱形的性质等性质，掌握菱形的性质和垂直平分线的作法是解题的关键． （1）作的垂直平分线交于点F即可； （2）根据菱形的性质求出，继而求出，最后运用等边对等角即可得解． 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求； （2）解：∵四边形是菱形， ∴，，． ∴，， ∴，     ∵， ∴． 12．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）如图，四边形的对角线、交于点O，延长至点E，使得，连接交边于点F，点D、F分别是、的中点，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查菱形的性质和判定，勾股定理； （1）先证明得到，，得出四边形是平行四边形，再证明邻边即可； （2）由菱形的性质和勾股定理求出，即可求出四边形的面积． 【详解】（1）证明：∵点D、F分别是、的中点，， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴四边形是菱形． （2）解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴设，则， ∵， ∴，解得：， ∴， ∵四边形是菱形， ∴． 13．（24-25八年级下·福建·期中）如图，平行四边形中，平分交于点E，F为边上的点，且，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若，，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）由平行四边形的性质得，由，推导出，则，而，所以，因为，所以四边形是平行四边形，再根据菱形的定义证明四边形是菱形即可； （2）连接，由菱形的性质得，因为，所以，则，求得． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵平分交于点为边上的点，， ， ， ， ∵， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形． （2）解：连接，如图所示： ∵四边形是菱形， ， ， ， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴的长是． 【点睛】此题重点考查平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定、菱形的判定与性质、勾股定理及其逆定理等知识，推导出及是解题的关键． 14．（25-26九年级上·江西萍乡·期中）如图，菱形及点P，请仅用无刻度的直尺按要求完成下列作图． (1)如图1，若点P在上，请在上作出点Q，使． (2)如图2，若点P在菱形外，请在菱形外作点Q，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图复杂作图，菱形的性质等知识，解题的关键是作出菱形的对称中心，属于中考常考题型． （1）连接，交于点，连接，延长交于点，点即为所求． （2）连接，交于点，延长交的延长线于，连接交的延长线于，连接，连接，延长交于点，连接，点即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求． （2）如图所示，点即为所求． 15．（24-25八年级下·云南临沧·期末）如图，矩形的对角线与相交于点O，且，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的周长． 【答案】(1)见详解 (2)8 【分析】该题考查了菱形的性质和判定，勾股定理，矩形的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形，再根据矩形对角线相等且互相平分可得进而可以解决问题； （2）在矩形中，，则，结合，得出，则，，根据，得出，则，进而可以解决问题． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵矩形的对角线与相交于点， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：∵在矩形中，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的周长． 16．（24-25八年级下·湖北十堰·期末）如图，在菱形中，，，点E为上一动点，延长到点，使，且分别交，于点和点． (1)将沿对折，使点E落在处，若，求的度数； (2)在点E运动过程中，是否存在这样的一点E，使得四边形是平行四边形？若存在，请说出E点位置，并证明四边形是平行四边形，若不存在，请说明理由． (3)若，探究是否为定值？如果是定值，求出这个值；如果不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，是的中点时，四边形是平行四边形 (3)是定值， 【分析】（1）由菱形的性质得，由折叠的性质得，即可求解； （2）由菱形的性质得，，结合是的中点时，由平行四边形的判定方法，即可得证； （3）过作交的延长线于，由菱形的性质和等腰三角形的判定及性质得，结合菱形的性质，设，则，由勾股定理得，即可求解． 【详解】（1）解：如图， 四边形是菱形，， ， ， ， 由对折得：； （2）解：存在，是的中点时，四边形是平行四边形， 证明：如图， 四边形是菱形， ，， ， 是的中点时， ， ， ， 四边形是平行四边形； （3）解：过作交的延长线于， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， 解得：，（舍去）， ，， ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03 菱形的性质与判定八类综合题型 月录 典例详解 类型一、利用菱形的性质求解 类型二、利用菱形的性质求解折叠问题 类型三、利用菱形的性质求解动点问题 类型四、利用菱形的性质证明和求解综合问题 类型五、利用菱形的判定与性质求解 类型六、利用菱形的判定与性质多结论性问题 类型七、利用菱形的判定与性质解决综合性问题 类型八、利用菱形的判定与性质作图（含无刻度作图） 压轴专练 典例详解 类型一、利用菱形的性质求解 方法总结 1.性质对应：明确菱形的四边相等、对角线互相垂直平分且平分对角。 2.方程求解：利用上述性质，结合勾股定理或三角函数，建立关于线段或角度的方程求解。 解题技巧 1.对角线分直角：菱形的对角线将其分割为四个全等的直角三角形，是常用的解题模型。 2.等边转化：利用“四边相等”进行线段等量代换，常与对角线垂直产生的垂直关系结合使用。 例1.在菱形ABCD中，对角线AC,BD交于点O,若∠OAB=60°，则∠BDC的度数为° 【变式1-1】已知一个菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm,则这个菱形的面积为 _cm2. 【变式1-2】如图，若菱形ABCD的顶点A,B的坐标分别为(4,0)，(1,4)，点D在x轴上，则点C的坐标 为」 D 1/16 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式13】如图，在菱形ABCD中，AC=6,BD=8,则AB=,作AE⊥BC于E,则AE= 【变式1-4】如图，己知菱形ABCD的边长为6，∠B=60°，P是图中线段上一点，且AP=2,连接BP, 则BP的长为」 类型二、利用菱形的性质求解折叠问题 方法总结 1.抓住折叠本质：折叠即轴对称，对应边相等、对应角相等，折痕垂直平分对应点连线。 2.结合菱形性质：利用菱形四边相等、对角线垂直平分且平分对角的性质，寻找全等或直角三角形。 解题技巧 1. 标注等量：在图上清晰标出折叠产生的等边、等角，以及由菱形本身决定的等量关系。 2. 设元勾股：常在菱形折叠后形成的直角三角形中，设未知线段为x,利用勾股定理列方程求解。 例2.如图，将菱形ABCD折叠，使点B落在AD边的点F处，折痕为CE.若∠D=70°，则 ∠AEF= E B 【变式2-1】如图，菱形纸片ABCD,AB=16,∠B=60°，将该菱形纸片折叠，使点B恰好落在CD边的中点 B处，折痕与边BC、BA分别交于点M、N,则CM的长为 2/16 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D B B M 【变式2-2】如图，将一个边长为4的菱形ABCD沿着直线AE折叠，使点D落在BC延长线上的点F处， 若EF⊥BC,则DE的长为， 【变式2-3】如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，点P是边BC上一动点，连接AP,将△ABP沿着AP折 叠，得到△AEP,连接DE,若LBAP=16°，则∠ADE=一；若点F是DE的中点，AB=4,则CF的 最小值为 类型三、利用菱形的性质求解动点问题 方法总结 1.分类画图：根据动点位置（如在线段上、延长线上），画出所有可能的菱形示意图。 2.性质建方程：利用菱形四边相等或对角线垂直平分的性质，建立关于动点坐标或时间的方程。 解题技巧 1.参照系固定：以已知定点为参照，用含t的代数式表示动点的坐标或相关线段长。 2.检验合理性：解方程后，检验结果是否满足动点的运动范围（如在线段上）及图形的构成条件。 例3.如图，在菱形ABCD中，M,N分别是边CD,BC上的动点，连接AM,MN,P,Q分别为AM ,MN的中点，连接P2.若∠B=45°，AB=4,则PQ的最小值为_ D 3/16 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式3-1】如图，在边长为I0cm的菱形ABCD中，∠DAB=60°，E是AD边上的动点，F是CD边上的 动点，且AE=DF,连接EF,则EF的最小值是cm. D F C E B 【变式3-2】如图1，在平行四边形ABCD中，∠A=60°，AD=DC,动点P从点A出发，沿折线 AD→DC→CB方向匀速运动，运动到点B停止.设点P的运动路程为x,△APB的面积为y,y与x的函数 图象如图2所示，则AB的长为 63-- 图1 图2 【变式3-3】如图，菱形ABCD的面积为24，点E是AD的中点，点F是AB边上的动点.当点F运动到 AB边的中点时，△AEF的面积为一；当△AEF的面积为2时，图中阴影部分的面积为 F B 类型四、利用菱形的性质证明和求解综合问题 方法总结 1. 性质选择：根据所求结论，选用菱形对应性质（如四边相等、对角线垂直平分且平分对角）。 2.数形转化：将几何关系转化为代数方程（如用勾股定理），或转化为三角形全等、相似的证明问题。 解题技巧 1.对角线模型：连接对角线，构造出直角三角形，是运用勾股定理和三角函数的关键。 2.等量代换：灵活运用“四边相等”进行线段等量代换，并结合“对角线互相垂直”产生的垂直关系。 例4.如图，在菱形ABCD中，连接AC,过B作BE⊥BA交AC于点E,过D作DF⊥DC交AC于点F. 4/16 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B (I)求证：△ADF≌△CBE; (2)若AD=12,∠DAB=60°，求EF的长. 【变式4-1】如图，在菱形ABCD中，AE⊥CD交CD于点E,延长AE交BC的延长线于点F,且E为AF 的中点，连接AC,BE. (1)求证：AC=CD; 2)求 E的值. 【变式4-2】已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M,过M作 ME⊥CD于点E,∠1=∠2. B A M E (1)若CE=2,求CD的长； (2)求证：△CME兰△CMF; (3)求证：AM=DF+ME. 【变式4-3】综合与实践：在菱形ABCD中，∠B=60°，作∠MAN=∠B,AM,AN分别交BC,CD于点 M,N. C C C 图① 图② 图③ 5/16 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (I)【动手操作】如图①，若M是边BC的中点，根据题意在图①中画出∠MAN,则∠BAM= 度； (2)【问题探究】如图②，当M为边BC上任意一点时，求证：AM=AN; (3)【拓展延伸】如图③，在菱形ABCD中，AB=4,点P,N分别在边BC,CD上，在菱形内部作 ∠PAN=∠B,连接AP,若AP=V3,求线段DN的长. 类型五、利用菱形的判定与性质求解 方法总结 1. 先判后性：先依据一组邻边相等或对角线垂直等条件，判定四边形为菱形。 2.再性求解：再利用菱形的性质（四边相等、对角线垂直平分等）求解角度、线段或证明。 解题技巧 1.判定优选：优先选择“四边相等的四边形”或“对角线垂直平分的四边形”等直接判定。 2.转化化归：将菱形问题常转化为等腰三角形或直角三角形问题，运用勾股定理、等边对等角求解。 例5.如图，在ABC中，AB=AC,分别以C、B为圆心，取AB的长为半径作弧，两弧交于点D.连接 BD、AD·若∠ABD=130°，则∠CAD= 【变式5-1】如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形ABCD.若测得A,C之间的距 离为4cm,B,D之间的距离为3cm,则线段AB的长为 D B 【变式5-2】四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,OB=OD,若BD=16,AB=AD=10, ∠ABD=∠CDB,则四边形ABCD的面积为一 【变式5-3】如图，用4根长度相等的木棒首尾顺次连接组成四边形ABCD中，BD=8,AC=4,则该四边 形的面积是 6/16 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D 类型六、利用菱形的判定与性质多结论性问题 方法总结 1.逐项分析：对每个结论单独推理，判断其是否可由已知条件结合菱形判定与性质必然推出。 2.构造反例：对于“不一定成立”的结论，尝试构造特殊菱形（如内角非90°的菱形）进行验证。 解题技巧 1.性质链梳理：系统梳理菱形的判定条件与性质（边、对角线、角），形成完整推理链条。 2.图形直观法：画出一般菱形（非正方形）示意图，结合图形测量快速排除明显错误结论。 例6.如图，在四边形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，BC=BD,E是CD边的中点，连接BE并延长，交AD的 延长线于点F，,则下列结论：①BC∥AF;②四边形BDFC是平行四边形；③BD=DF;④BE=BD.其 中正确的个数为() B D A.1 B.2 C.3 D.4 【变式6-1】如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,E,F分别是OB,OD的中点，下列 结论：①四边形AECF是菱形；②LBAE=LDCF;③LDAF=LFAO;④S菱彩4BCD=EF·AC，其中正确结 论的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 【变式6-2】如图，在菱形ABCD中，AC与BD交于点O,DC=2OD,延长DC至点E,使得CE=CD, 7/16 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 连接BE,则下列结论：①∠ACD=30°；②OC=BE;③四边形ABEC为菱形；④ABCE的面积为菱形 、) ABCD面积的一半，其中正确的结论个数为() ○ B A.4 B.3 C.2 D.1 【变式6-3】如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于O点，E,F分别是AB,BC边上的中点，连接 EF、OF,若EF=√3，BD=4,则下列结论中，正确的个数为() ①四边形AEFO是平行四边形；②菱形ABCD的周长为4√7； ⑧OB与EF互相垂直平分；④aFOC的面积是V5 2 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 类型七、利用菱形的判定与性质解决综合性问题 方法总结 1.判性结合：先依据条件判定菱形，再运用其性质（四边相等、对角线垂直平分）推导新结论或求值。 2.数形互化：将几何关系转化为方程求解（如勾股定理），或将代数条件还原为几何特征进行判定。 解题技巧 1.对角线模型：连接对角线构造直角三角形，是运用勾股定理和三角函数的核心模型。 2.等量转化：灵活利用“四边相等”进行线段等量代换，常与“对角线垂直”产生的垂直关系结合。 例7.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D,E分别是边BC,AC的中点，连接ED并延长到点F,使 DF=ED,连接BE,BF,CF,AD. 8/16 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)求证：四边形BFCE是菱形， (2)若BC=12,EF=6,求AD的长. 【变式7-1】如图，在口ABCD中，FA⊥AB,交CD于点E,交BC的延长线于点F,且CF=BC,连接 AC,DF. A E B C (1)求证：四边形ACFD是菱形. (2)若AB=5,BF=13,求菱形ACFD的面积. 【变式7-2】如图，在四边形ABCD中，AB∥DC,AB=AD,对角线AC,BD交于点O,AC平分∠BAD, 过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E,连接OE. D ⊙ (1)求证：四边形ABCD为菱形： (2)若AB=6,BD=8,求OE的长. 【变式7-3】小颖新房买了一盏精致的吊灯（图1），其正面的平面图如图2所示，四边形ABCD是一个菱 形外框架，对角线AC,BD相交于点O,四边形AECF是其内部框架，且点E、F在BD上，OE=OF, B E D 图1 图2 9/16 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)求证：四边形内部框架AECF为菱形. (2)若AE⊥AD,F为DE的中点，AB=6√5，求四边形AECF的周长. 类型八、利用菱形的判定与性质作图（含无刻度作图) 方法总结 1.依性作图：根据菱形“四边相等”、“对角线垂直平分”的性质，利用圆规截等长、作中垂线。 2.依判构形：以满足菱形判定条件（如“邻边相等的平行四边形”）为目标，设计作图步骤。 解题技巧 1.先定一边：通常先作出一条边，再以此边为半径画弧确定等长的邻边或对角线的交点。 2.巧用对角线：利用“对角线互相垂直平分”，通过作己知线段的中垂线来定位顶点。 例8.如图，在ABCD中，BC>AB.AE是BC边上的高. D B (1)实践与操作：用尺规作图法在BC和AD边上分别作F，G,使得四边形ABFG是菱形；（保留作图痕迹， 不要求写作法) (2)应用与计算：在(1)的条件下，连接AF,BG,若BE=3,AE=4.分别求菱形ABFG两条对角线的 长、 【变式8-1】如图，已知口ABCD(AD>AB),连接AC. A (1)请用无刻度的直尺和圆规作图（保留作图痕迹，不写作法） 作AC的垂直平分线MN,分别交AD,BC,AC于点M,N,O,连接CM和AN; (2)在(1)的条件下，四边形AMCN为何种特殊四边形？并证明.若四边形AMCN的周长为16，求AM的 长 【变式8-2】如图，正五边形ABCDE,请仅有无刻度直尺按下列要求画图.（保留作图痕迹） 10/16