专题03 乘法公式的五类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材苏科版七年级下册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03乘法公式的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、平方差公式中连续相乘应用 类型二、乘法公式中简便运算变换 类型三、乘法公式中项数的变换 类型四、乘法公式中整体代换应用 类型五、乘法公式中几何图形的应用 压轴专练 典例详解 类型一、平方差公式中连续相乘应用 1.连续相乘化简：多个平方差形式连续相乘时，可逐步套用公式分解。如(a-b)(a+b)(a2+b2).·, 前两项得2-b2,再与下一项用平方差，以此类推，简化运算。 2.注意项的关联：连续相乘需关注前后项的联系，确保符合(x-y)(x+y)形式。例如(1-1/2)(1 1/32)..,每项拆分为两数和差，连续约分化简。 例1.（25-26八年级上山东期末) 1-1-1-20201023片 【变式1-1】(25-26八年级上山东德州月考)18×(3+1)(32+134+1…34+1+9的个位数字为 【变式1-2】(25-26八年级上·山东济宁周测)先观察下面的解题过程，然后解答问题： 例题：化简(2+)×2+1×24+1. 解：(2+1×2+×(2+ =(2-1)×(2+1)×22+1×24+1 =(22-1×22+1×(2+ =(24-1×(2+1 1/10 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 =28-1 问题： (1)化简：(2+1)×22+1×24+1×28+1×…×24+1； (2)求(3+1)×32+1×3+1×3+1×…×3”+1的值 【变式1-3】(24-25七年级下·全国·课后作业)阅读下列材料： 某同学在计算3(4+1)(42+1)时，把3写成4-1后，发现可以连续运用平方差公式计算： 3(4+1)(42+1)=(4-1)(4+1)(42+1)=(42-1)(42+1)=162-1. 回答下列问题： ()请借鉴该同学的方法，计算： +凯+0+++0 (2)借鉴上面的方法，再逆用平方差公式计算： （〔-) 类型二、乘法公式中简便运算变换 1.凑整变形：将原式凑成完全平方或平方差形式，如992=(100-1)2，用(a-b)2=a2-2ab+b2快速计算，避 免复杂乘法。 2.拆分重组：拆分项使其符合公式，如102×98=(100+2)(100-2)，用平方差公式得1002-22，简化运算 步骤。 例2.用乘法公式进行简便运算： (1)10032: (2)20102-2011×2009. 【变式2-1】简便运算： (1)20022: (2)2024×2026-20252. 【变式2-2】运用乘法公式进行简便运算： (1)2012; (2)49×51-2500. 【变式2-3】使用简便计算： (1)9002-894×906. (2)10012-2002+1. 2/10 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型三、乘法公式中项数的变换 1.增减项配公式：通过添减常数项凑完全平方，如x2+6x可加9减9，变为c+3)-9,适配公式简化计 算。 2.分组合并项：多项式分组后用公式，如a2-b2+a-b,前两项用平方差得(a-b(a+b),再与后两项合 并提公因式。 例3.计算：(5a+3b-2c)(5a-3b+6c. 【变式3-1】计算：（2a-b+5)(2a+b-5. 【变式3-2】计算：(a+2b-3c)(a-2b-3c. 【变式3-3】计算：(2a+3b-1)(1+2a-3b)+(1+2a-3b)2. 类型四、乘法公式中整体代换应用 1.视多项式为整体：如计算(a+b+c)2,将(a+b)看作整体，用完全平方公式得(a+b)2+2(a+b)c+c2,再 展开化简。 2.代换简化求值：已知x+y=5,y=3,求x2+y2,用(x+y)2-2y整体代入，避免求单值。 例4.已知：a-b=3,ab=1,试求： (1)a2+3ab+b2的值； (2(a+b)的值. 【变式4-1】同学们在学习八年级上册第十四章《整式的乘法与因式分解》时，学习了重要的公式一一完全 平方公式，解答下列各题： 【基础公式】请写出完全平方公式(a+b)=一 【公式变形】公式可以变形为a2+b2=； 【应用】 (1)已知：a+b=8,ab=15,求a2+b2的值； (2)已知：a+1=3,求a2+号的值. a a 【变式4-2】阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法 3/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2=(a±b)2. 例如：(《-+3，(x-2+2,(分-2+是-2x+4的三种不同形式的配方. 请根据阅读材料解决下列问题： (1)将x2-6x+4按三种不同的形式配方； (2)将a2+ab+b2配方（至少两种形式）； (3)已知a2+b2+c2-ab-3b-2c+4=0,求a+b-c的值. 【变式4-3】观察以下等式： (x+10x2-x+1=x3+1,(x-2)x2+2x+4=x3-8,(x+3)x2-3x+9=x3+27, (x-5)x2+5.x+25)=x3-125… 按以上等式的规律，发现： ①(a+b)a2-ab+b2）=a3+b3；②(a-b)a2+ab+b2）=a3-b (1)利用多项式乘以多项式的法则，证明：(a+b)川a2-ab+b2)）=a3+b成立： (2)已知a+b-4+(ab-22=0,求a3+b3值： 6已知x>%x+y=3=子求-少的值。 类型五、乘法公式中几何图形的应用 1.面积验证公式：用图形面积直观体现公式，如边长为a+b的正方形面积，可分为a2、b2和两个ab,验 证(a+b)2=a2+2ab+b2。 2.图形分割计算：复杂图形分割后用公式，如大正方形挖去小正方形，面积差2-b2对应长方形面积(a-b) (a+b),印证平方差公式。 例5.如图1是一张边长为a的正方形纸片，在它的一角剪去一个边长为b的小正方形，然后将图1剩余部 分（阴影部分）剪拼成如图2的一个大长方形（阴影部分）. 4/10 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 b a 图1 图2 (1)将图1阴影部分的面积记为S,图2的面积记为S2,若用含a、b的代数式表示S,和S2,则S=-, S2=[- (2)请你判断S与S2之间的大小关系：S-S2(填“>”、“<”或“=”)： (3)利用(2)中的结论，求20242-2022的值. ab 【变式5-1】定义：对于任意四个有理数a、b、c、d,定义一种新运算： =a2+d2+bc. cd -1-2 34 (1) m-n m-n (2) km2n =-若 是完全平方式，则k=- km2n m+4n-4 (3)若有理数m、n满足m+3n=5,且 =13 4m2+2n24m-n ①求mm的值； ②如图，四边形ABCD是长方形，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，连接EG、FH交于点P ，且EG、FH将长方形ABCD分割成四个小长方形，若AB=9n,BF=3n,CF=3m,DG=m,在①的条 件下，求图中阴影部分的面积， D G B F 【变式5-2】如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成如图2 所示长方形 5/10 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 5 图1 图2 图3 (1)根据图1和图2的阴影部分的面积关系，可得等式 (用字母a,b表示) (2)运用以上等式计算： 0---0024 (3)如图3,100个圆由小到大套在一起，从外向里相间画阴影，最外面的圆的半径为100m,向里依次为 99cm,98cm,,1cm,那么在这个图形中，所有阴影的面积和是多少？（结果保留π） 【变式5-3】【知识生成】 通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式.如图1，在边长为的 正方形中剪掉一个边长为b的小正方形(a>b),把余下的部分剪开并拼成一个长方形（如图2），图1中阴 影部分的面积可表示为：a2-b,图2中阴影部分的面积可表示为：(a+b)(a-b),因为两个图中的阴影部 分的面积是相同的，所以可得到等式：a2-b2=(a+b)(a-b). 图1 图2 图3 图4 图5 【结论探究】 图3是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成 一个大正方形 (1)如图4，用两种不同方法表示图中阴影部分面积，可得到一个关于(a+b)2,(a-b),ab的等式是一 (2)若a+b=7,ab=5,求(a-b的值. 6/10 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【类比迁移】 (3)如图5，点C是线段BG上的一点，以BC,CG为边向上下两侧作正方形ABCD,正方形CEFG,两正 方形的面积分别记为S和S2,若BG=9,两正方形的面积和S,+S2=47,求图中阴影部分的面积. 压轴专练 一、单选题 1.(25-26八年级上广东广州期末)已知m+n=2,m-n=3,则计算m2-n2的结果为(）. A.-1 B.1 C.5 D.6 2.(2025-2026学年第一学期八年级期末质量抽测数学试题)下列等式中，成立的是() A.982=902+82 B.982=(90+8)(90-8 C.982=902+90×8+82 D.982=1002-2×100×2+22 3.(25-26七年级下·全国·周测)运用平方差公式计算a+b-1)(a-b+1),下列变形正确的是() A.[a-b+1 B.[a+b+1) c.[a+(b-][a-(b-] D.[(a-b)+1][(a-b)-1] 4.(25-26八年级上全国期末)己知2025-a)(2024-a)=4,则(2025-a)2+(2024-a)的值为() A.7 B.8 C.9 D.12 5.(25-26八年级上广西南宁期末)如图1，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形a>b), 把余下的部分组成一个长方形如图2，根据两个图形中阴影部分的面积相等可以验证的等式是(). 7/10 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 a b 图1 图2 A.a2-2ab+b2=(a-b)2 B.a2-b2=(a+b)(a-b) C.a2+2ab+b2=(a+b)2 D.(a-b)2=(a+b)2-4ab 二、填空题 6.(25-26七年级下.全国·周测)计算：20242-20252= 7.(2025八年级上湖北武汉.专题练习)计算(a-b+5c)(a+b-5c)= 8.(25-26八年级上内蒙古兴安盟·期中)计算(3+)(32+13+1(38+136+1)所得结果个位数字是· 9.(25-26八年级上·福建泉州·期中)有两类正方形A,B,其边长分别为a,b.现将B放在A的内部得图1， 将A,B并列放置后构造新的正方形得图2.若图1和图2中阴影部分的面积分别为2和10，则正方形A,B的 面积之和为 图1 图2 10.(25-26七年级上·上海浦东新期末)如图1是中国数学会的会徽，它是由四个相同的直角三角形拼成的 一个正方形.将会徽抽象为图2，记BF=a,AF=b,AB=c.对图2进行图形运动得到图3，图形运动后， 原正方形ABCD与六边形MNDEFB的面积相等，由此可得关于a,b,c的等式为」 B M B E 6 A b G C H G D D 图1 图2 图3 8/10 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 三、解答题 11.(25-26八年级上·天津河西·月考)计算： (1)(2x+y-6)(2x-y+6) (2)(m-3n+2)2 12.(25-26七年级下·全国·课后作业)用简便方法进行计算： (1)172+102+32. (2)9×11×101×10001. 6)12+49 +51×49. 2 13.(25-26八年级上·山东济宁·周测)计算： (1)2022+404×198+1982 (2)2023×2025-20242 (3)(x-y+3)(x+y-3 14.(25-26七年级下·全国·周测)己知x+y=3,y=-7,求： (1)x2+y2的值. (2)x2-y+y2的值. (3)(x-y)2的值. 15.(25-26八年级上·广西北海·期末)边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余 部分拼成一个长方形（如图2）. ←一a b b一a b 图1 图2 (I)上述操作能验证的等式是 (请选择正确的一个选项) A.a2-2ab+b2=(a-b)2B.a2-b2=(a+b)(a-b C.a2+ab=a(a+b) D.a2-ab=a(a-b) (2)若x2-y2=12,x+y=4,求x-y的值； o计第：（-01-〔1甲-124儿1-202s) 9/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 16.(25-26七年级上·陕西西安期末)我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名数学家华罗庚先生 曾经说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”.例如，对于图1，我们用不同方式表示图形的面积，就可 得到一个数学公式：(a+b)=a2+2ab+b2 b a b 图1 图2 (I)探索发现：如图2，几个面积不等的小正方形与小长方形拼成了一个边长为a+b+c的正方形.你能发现 什么？请用等式表示出来： (2)解决问题：己知a+b+c=14,ab+bc+ac=56.求a2+b2+c2的值. (3)迁移应用：若m,n满足(n-2025)2+(2027-2n)+(n+1)2=3m-20, (n-2025)(2027-2n+(n-2025)n+1+2027-2nj(n+1)=2+m,求m的值. 10/10 专题03 乘法公式的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、平方差公式中连续相乘应用 类型二、乘法公式中简便运算变换 类型三、乘法公式中项数的变换 类型四、乘法公式中整体代换应用 类型五、乘法公式中几何图形的应用 压轴专练 类型一、平方差公式中连续相乘应用 1.连续相乘化简：多个平方差形式连续相乘时，可逐步套用公式分解。如(a - b)(a + b)(a² + b²)...，前两项得a² - b²，再与下一项用平方差，以此类推，简化运算。 2.注意项的关联：连续相乘需关注前后项的联系，确保符合(x - y)(x + y)形式。例如(1 - 1/2²)(1 - 1/3²)...，每项拆分为两数和差，连续约分化简。 例1．（25-26八年级上·山东·期末） ． 【答案】 【分析】本题考查平方差公式、数字类规律，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 观察每个因式，利用平方差公式化为，再通过分子分母约分后，得到结果即可． 【详解】解：观察每个因式发现规律：， 故答案为：． 【变式1-1】（25-26八年级上·山东德州·月考）的个位数字为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了利用平方差公式计算，有理数的乘方运算．先利用平方差公式计算，化简算式得到，再分析的个位数字规律，最后确定整个表达式的个位数字． 【详解】解： ， ∵，，，，，… ∴（为正整数）的个位数字以3，9，7，1，四个数为一循环， ， ∴的个位数字为1， ∴的个位数字为9， 故答案为：9． 【变式1-2】（25-26八年级上·山东济宁·周测）先观察下面的解题过程，然后解答问题： 例题：化简． 解： 问题： (1)化简：； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了平方差公式．解决本题的关键是式子乘以、后，运用平方差公式． （1）仿照例题，式子乘1后结果不变，所以式子乘，反复运用平方差公式，得出结果； （2）仿照例题，式子乘1后结果不变，所以式子乘后，运用平方差公式，计算出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1-3】（24-25七年级下·全国·课后作业）阅读下列材料： 某同学在计算时，把3写成后，发现可以连续运用平方差公式计算：． 回答下列问题： (1)请借鉴该同学的方法，计算：． (2)借鉴上面的方法，再逆用平方差公式计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方差公式的运用，熟练掌握平方差公式是解题的关键． （1）为了利用平方差公式，将原式第一部分乘以和进行配凑然后再连续利用平方差公式计算； （2）把每个因式逆用平方差公式分解，然后根据有理数的乘法计算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 类型二、乘法公式中简便运算变换 1.凑整变形：将原式凑成完全平方或平方差形式，如99²=(100-1)²，用(a-b)²=a²-2ab+b²快速计算，避免复杂乘法。 2.拆分重组：拆分项使其符合公式，如102×98=(100+2)(100-2)，用平方差公式得100²-2²，简化运算步骤。 例2．用乘法公式进行简便运算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了乘法公式，熟知完全平方公式和平方差公式是解题的关键． （1）把原式变形为，再利用完全平方公式求解即可； （2）把原式变形为，再利用平方差公式求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2-1】简便运算： (1)； (2)． 【答案】(1)4008004 (2) 【分析】本题考查了完全平方公式和平方差公式的应用，熟练掌握公式是关键． （1）将变形为，根据完全平方公式即可解答 （2）把变形为，根据平方差公式利用平方差公式，即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式2-2】运用乘法公式进行简便运算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先整理原式，再运用完全平方公式进行简便运算，即可作答． （2）先整理原式，再运用平方差公式进行简便运算，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2-3】使用简便计算： (1)． (2)． 【答案】(1)． (2)． 【分析】本题主要考查了平方差公式和完全平方公式的应用，熟练掌握平方差公式和完全平方公式的形式及适用条件是解题的关键． （1）可将和转化为与有关的形式，再利用平方差公式计算； （2）将转化为的形式，再利用完全平方公式计算． 【详解】（1）解： ， （2）解： 类型三、乘法公式中项数的变换 1. 增减项配公式：通过添减常数项凑完全平方，如x² + 6x可加9减9，变为(x + 3)² - 9，适配公式简化计算。 2. 分组合并项：多项式分组后用公式，如a² - b² + a - b，前两项用平方差得(a - b)(a + b)，再与后两项合并提公因式。 例3．计算：． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算、计算多项式乘多项式 【分析】本题考查了多项式乘多项式以及平方差公式的运算，先整理原式为，再运用平方差公式展开进行计算，再合并同类项，即可作答． 【详解】 【变式3-1】计算：． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】构造平方差公式计算，本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】 ． 【变式3-2】计算：． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式和完全平方公式．此题难度适中，注意首先把原式变形为：是解答此题的关键． 所求的式子可化成，然后利用平方差公式和完全平方公式即可求解． 【详解】解： ． 【变式3-3】计算：． 【答案】． 【知识点】运用完全平方公式进行运算、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了整式的乘法－乘法公式．利用平方差公式和完全平方公式计算即可求解． 【详解】解：原式 ． 类型四、乘法公式中整体代换应用 1.视多项式为整体：如计算(a+b+c)2，将(a+b)看作整体，用完全平方公式得(a+b)2 + 2(a+b)c + c2，再展开化简。 2.代换简化求值：已知x + y = 5，xy = 3，求x2 + y2，用(x+y)2 - 2xy整体代入，避免求单值。 例4．已知：，，试求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查完全平方公式，熟记公式的几个变形公式对是解题的关键． 根据完全平分公式的变形即可求解 【详解】（1）解：， ； （2） ． 【变式4-1】同学们在学习八年级上册第十四章《整式的乘法与因式分解》时，学习了重要的公式——完全平方公式，解答下列各题： 【基础公式】请写出完全平方公式______； 【公式变形】公式可以变形为______； 【应用】 （1）已知：求的值； （2）已知：求的值． 【答案】[基础公式] [公式变形] [应用]（1） （2） 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题主要考查完全平方公式的运用，掌握完全平方公式及其变形计算是解题的关键． [基础公式]由完全平方和公式即可求解； [公式变形]根据完全平方公式的变形即可求解； [应用]（1）根据完全平方公式的变形得到，代入计算即可； （2）运用完全平方公式变形得到，代入计算即可． 【详解】解：[基础公式]， 故答案为：； [公式变形]， 故答案为：； [应用]（1）∵，， ∴原式； （2）∵，， ∴原式． 【变式4-2】阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即． 例如：，，是的三种不同形式的配方． 请根据阅读材料解决下列问题： (1)将按三种不同的形式配方； (2)将配方至少两种形式； (3)已知，求的值． 【答案】(1)；；； (2)；；； (3) 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了完全平方公式的逆写，熟练掌握完全平方式的结构是解题关键． （1）仿照例题，利用完全平方公式即可求解； （2）仿照例题，利用完全平方公式即可求解； （3）利用完全平方公式，将等式化为，进而求出，，，再代入求值即可． 【详解】（1）解：； ； ； （2）解：； ； （3）解： ， ， ，，， ，，， 【变式4-3】观察以下等式∶ …… 按以上等式的规律，发现∶ ①；② (1)利用多项式乘以多项式的法则，证明∶成立； (2)已知，求值； (3)已知，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)40 (3) 【知识点】多项式乘法中的规律性问题、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查多项式乘以多项式，利用完全平方公式变形求值： （1）利用多项式乘以多项式的法则，将等式的左边展开即可得证； （2）根据非负性求出的值，进而求出的值，进而求出的值即可； （3）先求出的值，整体思想求出的值即可． 【详解】（1）证明： ； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． 类型五、乘法公式中几何图形的应用 1.面积验证公式：用图形面积直观体现公式，如边长为a+b的正方形面积，可分为a²、b²和两个ab，验证(a+b)²=a²+2ab+b²。 2.图形分割计算：复杂图形分割后用公式，如大正方形挖去小正方形，面积差a²-b²对应长方形面积(a-b)(a+b)，印证平方差公式。 例5．如图1是一张边长为a的正方形纸片，在它的一角剪去一个边长为b的小正方形，然后将图1剩余部分（阴影部分）剪拼成如图2的一个大长方形（阴影部分）． (1)将图1阴影部分的面积记为，图2的面积记为，若用含a、b的代数式表示和，则 ， ； (2)请你判断与之间的大小关系： （填“”、“”或“”）； (3)利用（2）中的结论，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)8092 【知识点】平方差公式与几何图形、运用平方差公式进行运算、列代数式 【分析】本题主要考查平方差公式与几何面积、列代数式，熟练掌握平方差公式是解题的关键． （1）根据正方形和长方形的面积可直接进行求解； （2）根据图形可得结论； （3）根据（2）中的结论可得，进而利用结论进行求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，，， 故答案为：，； （2）解：根据图形，图2的大长方形是边长为a的正方形纸片，在它的一角剪去一个边长为b的小正方形，然后将阴影部分剪拼成的， ∴， 故答案为：； （3）解：由（2）得， ∴ ． 【变式5-1】定义：对于任意四个有理数a、b、c、d，定义一种新运算：． (1) ； (2) ；若是完全平方式，则 ； (3)若有理数m、n满足，且． ① 求的值； ② 如图，四边形是长方形，点E、F、G、H分别在边上，连接交于点P，且将长方形分割成四个小长方形，若，，，，在①的条件下，求图中阴影部分的面积．    【答案】(1)11 (2)； (3)①2；② 【知识点】完全平方式在几何图形中的应用、求完全平方式中的字母系数、多项式乘多项式——化简求值 【分析】本题考查了新定义，完全平方公式的变形求解，熟练掌握新定义和完全平方公式是解答本题的关键． （1）根据计算即可； （2）根据计算，再根据完全平方式的特征求解即可； （3）①根据得出，再结合即可求出； ②根据图象可得，化简后代入，即可求解； 【详解】（1）解：； （2）解：； 若是完全平方式，则； （3）解：①∵ ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ②由题意可知： ， 将，代入可得，原式． 【变式5-2】如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成如图2所示长方形． (1)根据图1和图2的阴影部分的面积关系，可得等式________（用字母a，b表示） (2)运用以上等式计算： (3)如图3，100个圆由小到大套在一起，从外向里相间画阴影，最外面的圆的半径为100，向里依次为99，98，…，1，那么在这个图形中，所有阴影的面积和是多少？（结果保留） 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】运用平方差公式进行运算、平方差公式与几何图形 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用，考核学生的计算能力和应用意识，找到规律是解题的关键； （1）根据图1和图2图形的面积相等列出等式即可； （2）利用平方差公式整理成即可求解； （3）根据圆的面积公式列出式子，根据（1）的规律计算即可． 【详解】（1）解：解：①根据图1和图2阴影部分面积相等可得：， 故答案为：； （2）解： ； （3）解： ， 答：阴影部分的面积为． 【变式5-3】【知识生成】 通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形（），把余下的部分剪开并拼成一个长方形（如图2），图1中阴影部分的面积可表示为：，图2中阴影部分的面积可表示为：，因为两个图中的阴影部分的面积是相同的，所以可得到等式：． 【结论探究】 图3是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个大正方形． （1）如图4，用两种不同方法表示图中阴影部分面积，可得到一个关于，，的等式是______． （2）若，，求的值． 【类比迁移】 （3）如图5，点是线段上的一点，以为边向上下两侧作正方形，正方形，两正方形的面积分别记为和，若，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）；（2）29；（3）17 【知识点】完全平方式在几何图形中的应用、平方差公式与几何图形、列代数式 【分析】（1）根据题意，阴影部分的面积大正方形的面积4个小长方形的面积，列出代数式即可；阴影部分的面积正方形的面积长方形的面积小长方形的面积，代入字母求出代数式即可； （2）根据（1）代入数据计算即可； （3）根据题意，延长交于点H，设正方形的边长为x，正方形的边长为，两个正方形的面积和是47，得出方程，根据 ，列出代数式，求出阴影部分面积即可． 本题考查了平方差公式、完全平方公式，代数式，解决本题的关键是熟练运用正方形的面积公式、三角形的面积公式、梯形的面积公式． 【详解】解：（1）阴影部分的面积： 阴影部分的面积： 故答案为： （2）若，， （3）如图：延长交于点H 设正方形的边长为x，正方形的边长为， 得， ， ， 即， ， 即 答：图中阴影部分的面积是17． 一、单选题 1．（25-26八年级上·广东广州·期末）已知，，则计算的结果为（   ）． A． B．1 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查平方差公式，利用平方差公式进行化简是解题的关键． 首先利用平方差公式将代数式变形，再代入已知数值计算即可． 【详解】解：∵，且，， ∴， 故选：D． 2．（2025-2026学年第一学期八年级期末质量抽测数学试题）下列等式中，成立的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了利用完全平方公式进行运算，熟练掌握完全平方公式是解题关键．将整理为或，然后利用完全平方公式求解即可． 【详解】解：或． 故选：D． 3．（25-26七年级下·全国·周测）运用平方差公式计算，下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式的应用，掌握通过分组变形，将原式转化为平方差公式的形式是解题的关键． 将原式通过分组变形，使其符合平方差公式的形式． 【详解】解：∵， ∴该变形直接应用平方差公式，与选项C一致． 故选：C． 4．（25-26八年级上·全国·期末）已知，则的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．12 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式．设，，则，，利用完全平方公式求解即可． 【详解】解：设，， 则，， ∴ ． 故选：C． 5．（25-26八年级上·广西南宁·期末）如图，在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形，把余下的部分组成一个长方形如图，根据两个图形中阴影部分的面积相等可以验证的等式是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键． 用代数式分别表示图形中阴影部分的面积即可． 【详解】解：根据图可将阴影部分面积看成两个正方形的面积差，即， 根据图可将阴影部分面积看成一个长为，宽为的长方形面积，即． ∵两个图形中阴影部分的面积相等， ． 故选：B． 二、填空题 6．（25-26七年级下·全国·周测）计算： ． 【答案】 【分析】直接利用平方差公式进行因式分解，从而简化计算． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了平方差公式的应用，解题关键是识别题目为平方差形式，并正确套用公式进行因式分解，避免直接计算大数平方． 7．（2025八年级上·湖北武汉·专题练习）计算 【答案】 【分析】本题考查整式的乘法，熟记乘法公式是解答的关键． 利用平方差公式和完全平方公式进行计算即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 8．（25-26八年级上·内蒙古兴安盟·期中）计算所得结果个位数字是 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了平方差公式，掌握两个数的和与这两个数的差相乘等于这两个数的平方差是解题的关键． 先变形为原式，再依次利用平方差公式计算得到原式，然后找个位数的规律即可解答． 【详解】解： ； 的个位数为3，的个位数为1； 的个位数为9，的个位数为4； 的个位数为7，的个位数为3； 的个位数为1，的个位数为0； 的个位数为3，的个位数为1； ∵， 所得结果个位数字是0． 故答案为0． 9．（25-26八年级上·福建泉州·期中）有两类正方形，其边长分别为．现将放在的内部得图1，将并列放置后构造新的正方形得图2．若图1和图2中阴影部分的面积分别为2和10，则正方形的面积之和为 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用和整体代入的数学思想，根据图形得出数量关系是解题的关键．根据图1的阴影部分面积求出的值，根据图2阴影部分的面积求出的值，再根据完全平方公式求出的值即可得到答案． 【详解】解：由图1得：，即， 由图2得：，整理得， ∴， ∴． 即正方形A、B的面积之和为12． 故答案为：12． 10．（25-26七年级上·上海浦东新·期末）如图1是中国数学会的会徽，它是由四个相同的直角三角形拼成的一个正方形．将会徽抽象为图2，记．对图2进行图形运动得到图3，图形运动后，原正方形与六边形的面积相等，由此可得关于的等式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，解题时注意数形结合思想的运用． 六边形可以看作由四个直角三角形和中间的小正方形组成分别表示出面积可得等式． 【详解】解：∵正方形的边长为， ∴ ∵六边形可以看作由四个直角三角形和中间的小正方形组成， ∴每个直角三角形的面积为，四个总面积为．中间小正方形的边长为，面积为 ． ∵正方形与六边形面积相等： ∴ ∴． 故答案为：． 三、解答题 11．（25-26八年级上·天津河西·月考）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了乘法公式，熟练掌握公式是解答本题的关键．完全平方公式是；平方差公式是． （1）先利用平方差公式计算，再利用完全平方公式计算即可； （2）两次利用完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 12．（25-26七年级下·全国·课后作业）用简便方法进行计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）观察到，将原式凑成完全平方公式的形式，简化计算； （2）把各数写成整十/整百/整千的形式，连续用平方差公式逐步化简； （3）将原式通分，观察分子特点，利用完全平方公式的形式简化计算． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 【点睛】本题考查了完全平方公式与平方差公式的综合应用，掌握观察数字特征，通过凑完全平方、转化为整数形式、用中间数表示对称数等技巧，结合公式简化计算是解题的关键． 13．（25-26八年级上·山东济宁·周测）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确整式混合运算的计算方法； （1）根据完全平方公式可以解答本题； （2）根据平方差公式可以解答本题； （3）根据平方差公式可以解答本题． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 14．（25-26七年级下·全国·周测）已知，，求： (1)的值． (2)的值． (3)的值． 【答案】(1)23 (2)30 (3)37 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键； （1）根据完全平方公式变形求解； （2）将（1）中所求的，以及代入即可求解； （3）根据，代入求值即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 15．（25-26八年级上·广西北海·期末）边长为的正方形剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是________（请选择正确的一个选项） A．    B． C．        D． (2)若，，求的值； (3)计算：． 【答案】(1)B (2) (3) 【分析】本题主要考查平方差公式的几何背景，熟练掌握平方差公式是解题的关键． （1）结合图①和图②阴影部分面积相等建立等式即可． （2）利用平方差公式计算即可． （3）利用平方差公式展开计算化简，最后求值． 【详解】（1）解：边长为a的正方形面积是，边长为b的正方形面积是， ∴图①阴影部分面积为；图②长方形面积为； 则验证的等式是， 故答案为：B； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解： ． 16．（25-26七年级上·陕西西安·期末）我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．例如，对于图1，我们用不同方式表示图形的面积，就可得到一个数学公式： (1)探索发现：如图2，几个面积不等的小正方形与小长方形拼成了一个边长为的正方形．你能发现什么？请用等式表示出来：________． (2)解决问题：已知，．求的值． (3)迁移应用：若m，n满足，，求m的值． 【答案】(1) (2)84 (3) 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积，完全平方公式的应用． （1）用两种方法表示大正方形的面积即可得出结论； （2）根据（1）等式，即可求解； （3）设，，，利用完全平方公式的变形求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：，， ； （3）解：设，，， ， ， ， 由（1）知：， 即：， ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $