精品解析：陕西汉中市南郑区2025-2026学年上学期期末质量监测八年级数学试题

南郑区2025—2026学年度第一学期期末质量监测 八年级数学试题（卷） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的．请把选择题的答案填到第2页的表格中．） 1. 在平面直角坐标系中，点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 下列各选项中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列命题中，其逆命题是真命题的是（ ） A. 对顶角相等 B. 若，则 C. 全等三角形的对应角相等 D. 两直线平行，同位角相等 4. 如图，已知直线AB//CD，BE平分∠ABC，交CD于D，∠CDE=150°，则∠C的度数为（ ）． A. 150° B. 130° C. 120° D. 100° 5. 如图，有一条橡皮筋放置在直线l上，固定两端A和B，然后把中点C竖直向上拉升至点D，若此时橡皮筋长度比原长伸长了，则橡皮筋原长是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是函数的图象，则函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 某同学进行投掷标枪训练，总共投掷10次，前9次标枪的落点如图所示，记录成绩（单位：），此时这组成绩的平均数是，方差是若第10次投掷标枪的落点恰好在线上，且投掷结束后这组成绩的方差是，则正确的是（ ） A. B. C. D. 无法比较与的大小 8. 设点A（-3，a），B（b， ）在同一个正比例函数的图象上，则ab的值为（ ） A. B. C. -6 D. 二、填空题（共7小题，每小题3分，计21分）． 9. 的立方根是___________． 10. 已知x，y满足的方程组是，则的值为________． 11. 如图，是一个棱长为1的正方体纸盒，若一只蚂蚁要沿着正方体纸盒的表面，从顶点A爬到顶点B去觅食，则需要爬行的最短路程是______________． 12. 已知A，B两个班级的人数相同，在一次测试中两个班级成绩的箱线图如图所示，则A，B两个班级平均分较高的是________班． 13. 若直线经过点，经过点．且与关于x轴对称，则与的交点坐标为______． 14. 已知点，点，轴，则线段的长度为______． 15. 如图所示的图形表示勾股定理的一种证明方法，该图形是由四个全等的直角三角形（阴影部分）与中间的空白部分组成．若正方形的边长为5，五边形的面积是36，则图中空白部分的面积是___________． 三、解答题（共10小题，计75分．解答应写出过程．） 16. 计算： （1） （2） 17. 解方程组： （1） （2） 18. 在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）作和，使得它们关于y轴对称； （2）求线段的长度． 19. 某条道路限速，如图，一辆小汽车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A正下方的B处，过了，小汽车到达C处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为． （1）求的长； （2）这辆小汽车超速了吗？ 20. 如图，在等边三角形中，是边上的中线，且，E是上的一个动点，F是边的中点，在点E运动的过程中，求的最小值． 21. 我国新能源汽车快速健康发展，续航里程不断提升，王师傅驾驶一辆纯电动汽车从A市前往B市，他驾车从A市一高速公路入口驶入时，该车的剩余电量是，行驶了后，从B市一高速公路出口驶出，已知该车在高速公路上行驶的过程中，剩余电量与行驶路程之间的关系如图所示． （1）求y与x之间的关系式； （2）已知这辆车的“满电量”为，求王师傅驾车从B市这一高速公路出口驶出时，该车的剩余电量占“满电量”的百分之多少． 22. 甲、乙两块试验田里种植了一新品种大麦，为了了解大麦的生长情况，农业科研人员从甲、乙试验田里各随机抽取了10株，量得其麦穗长度（单位：）如下表： 甲试验田 5.6 5.9 6.0 6.0 6.3 6.3 6.3 6.7 6.8 7.0 乙试验田 59 6.2 6.3 63 6.3 6.3 6.5 6.6 6.7 68 根据以上数据，解答下列问题： （1）甲试验田里的这10个麦穗长度的众数为______； （2）乙试验田里的这10个麦穗长度的中位数为______； （3）一般情况下，一块田里麦穗的平均长度越长，大麦的整体生长情况就越好，请估计这两块试验田中，哪一块试验田里的大麦整体生长情况好一些？ 23. 如图，点M是中边上一点，过点M作交于点N，点D是延长线上一点，平分，且． （1）试说明：； （2）若，求的度数． 24. 如图，直线与直线相交于点，交y轴于点B，交y轴负半轴于点C，且． （1）求直线和的解析式； （2）若D是直线上一点，且的面积是9，求点D的坐标． 25. 《2022新课标》指明推理能力是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题或结论的能力．目前我们已经具备通过一次全等或者二次全等证明其他结论的能力． 【模型证明】阅读下列材料，完成相应证明． 命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 如图1，中，，是斜边上的中线．求证：． 分析：如图，要证明等于一半，可以用“中线倍长法”延长到，使得，连接，可证，再证明，最后得到：． 请你按材料中的分析写出完整的证明过程； 【模型应用】如图3，在中，，延长到，使得，是边的中点，连接，求证：； 【模型构造】如图4，在中，，延长到，使得，连接，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南郑区2025—2026学年度第一学期期末质量监测 八年级数学试题（卷） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的．请把选择题的答案填到第2页的表格中．） 1. 在平面直角坐标系中，点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中各象限坐标特征，解题的关键是掌握平面直角坐标系中各象限坐标特征． 根据各象限内点的坐标符号特征判断． 【详解】解：∵点A的横坐标，纵坐标， ∴点A在第二象限， 故选：B． 2. 下列各选项中，是无理数的是（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的识别，解题的关键是掌握无理数的定义． 根据无理数的定义逐项进行判断即可，即无限不循环的小数是无理数． 【详解】A.该选项是无理数，符合题意； B. 该选项是有理数，不符合题意； C. 该选项是有理数，不符合题意； D. 该选项是有理数，不符合题意； 故选：A． 3. 下列命题中，其逆命题是真命题的是（ ） A. 对顶角相等 B. 若，则 C. 全等三角形的对应角相等 D. 两直线平行，同位角相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了逆命题，命题的真假，先写出每个命题的逆命题，再判断命题的真假即可，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”，该逆命题是假命题，不符合题意； 、“若，则”的逆命题“若，则”，该逆命题是假命题，不符合题意； 、“全等三角形的对应角相等”的逆命题是“对应角相等的两个三角形全等”，该逆命题是假命题，不符合题意； “两直线平行，同位角相等”的逆命题是“同位角相等，两直线平行”，该逆命题是真命题，符合题意； 故选：． 4. 如图，已知直线AB//CD，BE平分∠ABC，交CD于D，∠CDE=150°，则∠C的度数为（ ）． A. 150° B. 130° C. 120° D. 100° 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵直线AB∥CD， ∴∠CDB=∠ABD， ∵∠CDB=180°-∠CDE=30°， ∴∠ABD=30°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABD=∠CBD， ∴∠ABC=∠CBD+∠ABD=60°， ∵AB∥CD， ∴∠C=180°-∠ABC=180°-60°=120°． 故选C． 5. 如图，有一条橡皮筋放置在直线l上，固定两端A和B，然后把中点C竖直向上拉升至点D，若此时橡皮筋的长度比原长伸长了，则橡皮筋原长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理． 根据题意得出为等腰三角形，假设，根据勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：根据题意可知，点为线段的中点，且， ∴，为等腰三角形， ∴， 假设，则， 根据勾股定理得，， 即， 解得， ∴， ∴， 故选：B． 6. 如图，是函数的图象，则函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，解题的关键是掌握数形结合的思想． 根据一次函数的图象和性质进行求解即可． 【详解】解：由函数图象可知， ∵随的增大而减小， ∴， ∴ ∵直线与轴交于负半轴， ∴， 则函数的图象，随的增大而减小，直线与轴交于正半轴， 故选：A． 7. 某同学进行投掷标枪训练，总共投掷10次，前9次标枪的落点如图所示，记录成绩（单位：），此时这组成绩的平均数是，方差是若第10次投掷标枪的落点恰好在线上，且投掷结束后这组成绩的方差是，则正确的是（ ） A. B. C. D. 无法比较与的大小 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查方差，熟练掌握方差的意义是解题的关键． 根据方差公式，结合题中数据代值求解即可得出结论． 【详解】解：设这组数据为前9个数分别为，，，，， 由题意可知， ， 根据方差越小越稳定，即前九次波动较大， ∴， 故选：C． 8. 设点A（-3，a），B（b， ）在同一个正比例函数的图象上，则ab的值为（ ） A. B. C. -6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】设正比例函数的解析式为y=kx，将两点在分别代入函数解析式，就可表示出a，b，然后代入求出ab的值． 【详解】设正比例函数的解析式为y=kx（k≠0） ∴a=-3k，bk= ∴b= ∴． 故答案为：B． 【点睛】此题考查了一次函数图象上点的坐标特征，此类题目需灵活运用待定系数法建立函数解析式，然后将点的坐标代入解析式，利用方程解决问题． 二、填空题（共7小题，每小题3分，计21分）． 9. 的立方根是___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解答问题的关键．根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴的立方根为， 故答案为：． 10. 已知x，y满足的方程组是，则的值为________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是掌握二元一次方程组的特殊解法． 将方程组中的两个方程直接相减即可求解． 【详解】解： 用②﹣①得：， 即， 故答案为：6． 11. 如图，是一个棱长为1的正方体纸盒，若一只蚂蚁要沿着正方体纸盒的表面，从顶点A爬到顶点B去觅食，则需要爬行的最短路程是______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理与最短路径问题，根据正方体展开图的特点，将正方体展开，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，将正方体沿着它的一条棱展开，则， ∴， 由两点之间，线段最短可知，从顶点A爬到顶点B去觅食，则需要爬行的最短路程是， 故答案为：。 12. 已知A，B两个班级的人数相同，在一次测试中两个班级成绩的箱线图如图所示，则A，B两个班级平均分较高的是________班． 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了箱线图的应用，熟练掌握箱线图中各统计量（分位数、最值等）的意义是解题的关键． 通过观察两个班级成绩箱线图中各分位数（上四分位数、下四分位数）以及最低分的情况，来比较两个班级的平均分高低． 【详解】解：由两个班级成绩箱线图可知， A班的上四分位数与B班的中位数一致，均为120， B班下四分位数大于A班的下四分位数， B班的最低分也大于A班的最低分， 所以B班的平均分较高， 故答案为：B． 13. 若直线经过点，经过点．且与关于x轴对称，则与的交点坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据对称的性质得出两个点关于轴对称的对称点，再根据待定系数法确定函数关系式，求出一次函数与轴的交点即可． 【详解】解：直线经过点，经过点，且与关于轴对称， 两直线相交于轴上， 直线经过点，经过点，且与关于轴对称， 直线经过点，经过点， 把和代入直线经过的解析式， 则，解得：， 故直线经过的解析式为：， 可得与的交点坐标与与轴的交点，解得：， 即与的交点坐标为． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及坐标与图形的性质，正确得出与的交点坐标为与与轴的交点是解题关键． 14. 已知点，点，轴，则线段的长度为______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形性质，主要利用了平行于y轴的直线上的点的坐标特征．根据平行于轴的直线上的点的横坐标相等列式求出，线段的长为两点的纵坐标之差． 【详解】解：直线轴， 解得， 点的坐标为， 的长为， 故答案为：9． 15. 如图所示的图形表示勾股定理的一种证明方法，该图形是由四个全等的直角三角形（阴影部分）与中间的空白部分组成．若正方形的边长为5，五边形的面积是36，则图中空白部分的面积是___________． 【答案】14 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，正确表示出直角三角形的面积.根据题意列式计算即可得到结论． 【详解】解：∵正方形的边长为5， ∴正方形的面积， ∴两个全等的直角三角形的面积=五边形的面积-正方形的面积， ∴图中空白部分的面积=正方形的面积-两个全等的直角三角形的面积， 故答案为：． 三、解答题（共10小题，计75分．解答应写出过程．） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1）5 （2） 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算及二次根式混合运算，熟练掌握二次根式化简，绝对值，零次幂，平方差公式的计算是解题的关键， （1）化简二次根式，进行绝对值，零次幂运算即可得到答案； （2）进行二次根式除法及平方差公式计算即可得到答案． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 17. 解方程组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用代入消元法进行解方程，即可作答． （2）先整理方程组为，再运用加减消元法进行解方程，即可作答． 【小问1详解】 解： 把代入，得， 解得， 把代入，得， ∴方程组的解为； 【小问2详解】 解：∵， 整理得， 得， 解得， 把代入得， 解得， ∴方程组的解为． 18. 在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）作和，使得它们关于y轴对称； （2）求线段的长度． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了作图——轴对称变换，利用勾股定理求两点间的距离，解题的关键是掌握轴对称变换的定义与性质，并据此得出变换后的对应点． （1）分别确定在坐标系中对应的点，并确定关于轴对称的对称点，再顺次连接； （2）利用勾股定理求线段的长度即可． 【小问1详解】 解：如图，和即为所求； 【小问2详解】 解：根据关于轴对称得，， 由勾股定理得，． 19. 某条道路限速，如图，一辆小汽车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A正下方的B处，过了，小汽车到达C处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为． （1）求长； （2）这辆小汽车超速了吗？ 【答案】（1） （2）未超速 【解析】 【分析】本题考查了将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，解题的关键是把条件和问题放到直角三角形中进行解决． （1）根据勾股定理即可求解； （2）根据小汽车用行驶的路程和时间，可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得，, 由勾股定理，得， ∴， 故的长为． 【小问2详解】 解：， ∵， ∴这辆小汽车未超速． 20. 如图，在等边三角形中，是边上的中线，且，E是上的一个动点，F是边的中点，在点E运动的过程中，求的最小值． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查轴对称求最短距离，等边三角形的性质，熟练掌握利用轴对称求最短距离的方法是解题的关键． 连接，交于点，根据等边三角形的性质得出垂直平分线段，确定的值最小，为线段的长即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，交于点， ∵为等边三角形，且F是边的中点，是边上的中线， ∴，， ∴垂直平分线段， ∴点与点关于对称， 则, 当点在同一条直线上时，的值最小，为线段的长， ∵，，， ∴， ∴的最小值为6． 21. 我国新能源汽车快速健康发展，续航里程不断提升，王师傅驾驶一辆纯电动汽车从A市前往B市，他驾车从A市一高速公路入口驶入时，该车的剩余电量是，行驶了后，从B市一高速公路出口驶出，已知该车在高速公路上行驶的过程中，剩余电量与行驶路程之间的关系如图所示． （1）求y与x之间的关系式； （2）已知这辆车的“满电量”为，求王师傅驾车从B市这一高速公路出口驶出时，该车的剩余电量占“满电量”的百分之多少． 【答案】（1）y与x之间的关系式为； （2）该车的剩余电量占“满电量”的． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，正确理解题意、求出函数关系式是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得当时，y的值，再计算即可求解． 【小问1详解】 解：设y与x之间的关系式为， 将，代入得， 解得， ∴y与x之间关系式为； 【小问2详解】 解：当时，， ， 答：该车的剩余电量占“满电量”的． 22. 甲、乙两块试验田里种植了一新品种大麦，为了了解大麦的生长情况，农业科研人员从甲、乙试验田里各随机抽取了10株，量得其麦穗长度（单位：）如下表： 甲试验田 5.6 5.9 6.0 6.0 6.3 6.3 6.3 6.7 6.8 7.0 乙试验田 5.9 6.2 6.3 6.3 6.3 6.3 6.5 6.6 6.7 6.8 根据以上数据，解答下列问题： （1）甲试验田里的这10个麦穗长度的众数为______； （2）乙试验田里的这10个麦穗长度的中位数为______； （3）一般情况下，一块田里麦穗的平均长度越长，大麦的整体生长情况就越好，请估计这两块试验田中，哪一块试验田里的大麦整体生长情况好一些？ 【答案】（1）6.3 （2）6.3 （3）乙 【解析】 【分析】本题考查了众数、中位数、平均数，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）利用众数的定义解答； （2）利用中位数的定义解答； （3）利用平均数的定义解答． 【小问1详解】 解：甲试验田里的这10个麦穗的长度数据中出现次数最多， ∴众数为 ； 故答案为：； 【小问2详解】 解：乙试验田里的这10个麦穗长度数据从小到大依次为：，，，，，，，，，；第5个和第6个数据的平均数是：， ∴中位数为； 故答案为：； 【小问3详解】 解：甲试验田：， 乙试验田：， ∵， ∴乙试验田里的大麦整体生长情况好一些． 23. 如图，点M是中边上一点，过点M作交于点N，点D是延长线上一点，平分，且． （1）试说明：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，熟知平行线的性质与判定定理是解题的关键． （1）先由平行线的性质得到，再证明，即可证明； （2）先由平行线的性质和角平分线的定义得到的度数，进而得到的度数，据此可得答案． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴． 24. 如图，直线与直线相交于点，交y轴于点B，交y轴负半轴于点C，且． （1）求直线和的解析式； （2）若D是直线上一点，且的面积是9，求点D的坐标． 【答案】（1）直线的解析式为，直线的解析式为 （2）或 【解析】 【分析】本题考查了求一次函数的解析式、一次函数的应用，熟练掌握待定系数法和一次函数的性质是解题关键． （1）根据点，利用待定系数法即可得直线的解析式，从而可得点的坐标，再根据可得点的坐标，然后利用待定系数法即可得直线的解析式； （2）先求出，再设点的坐标为，利用三角形的面积公式求解即可得． 【小问1详解】 解：将点代入得：， 解得， 则直线的解析式为， 当时，，即， ∵， ∴， ∵点位于轴负半轴， ∴， 将点，代入得：，解得， 则直线的解析式为． 【小问2详解】 解：∵， ∴， 设点的坐标为， ∵的面积是9， ∴， 解得或， 当时，， 当时，， 则点的坐标为或． 25. 《2022新课标》指明推理能力是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题或结论的能力．目前我们已经具备通过一次全等或者二次全等证明其他结论的能力． 【模型证明】阅读下列材料，完成相应证明． 命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 如图1，中，，是斜边上的中线．求证：． 分析：如图，要证明等于的一半，可以用“中线倍长法”延长到，使得，连接，可证，再证明，最后得到：． 请你按材料中的分析写出完整的证明过程； 【模型应用】如图3，在中，，延长到，使得，是边的中点，连接，求证：； 【模型构造】如图4，在中，，延长到，使得，连接，求的度数． 【答案】【模型证明】证明见解析；【模型应用】见解析；【模型构造】 【解析】 【分析】（1）利用倍长中线，证明，得，进而证明得即可得证； （2）连接，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到，再证明与是等腰三角形，可得，利用三角形外角的性质可得结论； （3）作，利用含角的直角三角形的性质可得，证明是等边三角形，求出，进而可得，根据等腰三角形的性质可得的结论． 【详解】解：（1）如图所示： 延长到，使得，连接． 在和中， ， ∴， ，， ∴（内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补）． ， ， 在和中， ， ∴， ． ∴， （2）证明：连接． ，且为的中点， ， ， ， ， ， ∴， ； （3）解：如图所示，过作于，连接． ，且， ． ∴． ． ， ， ∴为等边三角形． ，， ． ∴， ∴． ∴． ∴为等腰直角三角形． ， ∴． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的判定和性质，倍长中线法，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的性质与判定． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $