小升初重点专题04：长方体和正方体（专项训练）-2025-2026学年数学六年级下册人教版

小升初重点专题04：长方体和正方体-2025-2026学年数学六年级下册人教版 一、选择题 1．下图是一个立体图形的展开图，与该图形对应的立体图形可能是（    ）。 A． B． C． D． 2．一个用若干块小立方体搭成的图形，从正面和上面看都是，这个图形至少有（    ）块小立方体搭成的。 A．7 B．6 C．5 D．4 3．一个长方体中，最多有（    ）条棱的长度相等。 A．12 B．8 C．6 D．4 4．在一个长8分米、宽6分米、高9分米的长方体盒子中放入棱长2分米的小正方体木块，最多能放（    ）个。 A．54 B．72 C．48 D．60 5．一个长为20分米的方木的横截面是边长为m分米的正方形，将它锯掉8分米后，方木的体积比原来减少（    ）。 A．8m立方分米 B．12m立方分米 C．8m2立方分米 D．12m2立方分米 6．如图5种形状的硬纸各有若干张，选择其中的哪几种，每种选几张，正好可以围成一个长方体？（    ） A．①号2张，③号4张 B．①号2张，⑤号4张 C．①号2张，②号2张，③号2张 D．①号2张，③号2张，④号2张 二、填空题 7．填上适当的单位名称。 一支铅笔长20( )。                 一间教室的占地面积是54( )。 一个苹果大约重250( )。             园园每天的睡眠时间约是10( )。 妈妈购买一袋白糖约花费5( )。      一瓶矿泉水的容积是500( )。 8．如图四个正方体，每个正方体六个面上的、、、、、六个字母的排列顺序完全相同，那么的对面是( )，的对面是( )，的对面是( )。 9．一个漏水的水龙头每分钟漏水5毫升，照这样计算，这个水龙头一天一共漏水( )升。 10．一个长方体的底面是边长为2分米的正方形，把它的侧面展开后也是一个正方形，这个长方体的表面积是( )平方分米，体积是( )立方分米。 11．一根长48cm的铁丝，要把它焊接成一个长5cm、宽4cm的长方体框架，高最多是( )cm。（接头处忽略不计） 12．将一根长1.5米的长方体木料沿横截面切成3段，表面积增加24平方分米，这根长方体木料的体积是( )立方分米。 13．如下图是一个边长为4厘米的正方体，分别在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个边长1厘米的正方体，做成一种玩具，它的表面积是( )平方厘米。 14．轩轩想做一个无盖的长方体鱼缸，长、宽、高分别是8分米、6分米、3分米。 (1)轩轩需要选择( )（写出序号），共( )块玻璃。 (2)这个鱼缸所用玻璃的面积是( )容积是( )（玻璃厚度不计）。 三、判断题 15．正方体的棱长是6分米，所以正方体的表面积等于体积。( ) 16．表面积相等的两个长方体，它们的形状不一定相同。( ) 17．一个长方体有6个面和8个顶点。( ) 18．一块豆腐切了3刀，最多能切6块。( ) 19．若长方体与正方体的棱长和相等，正方体的体积一定大于长方体的体积。( ) 四、计算题 20．计算下面正方体的体积。 21．下面是一个长方体的展开图，请计算它的表面积和体积。（单位：分米）    22．求下面图形的体积。（单位：厘米） 五、解答题 23．把一个长、宽、高分别是7厘米、6厘米、5厘米的长方体截成两个长方体，使这两个长方体的表面积之和最大，这时表面积之和是多少？ 24．把如图的长方体木块平均分成三块后，木块的表面积增加多少平方厘米？每块长方体木块的体积是多少立方厘米？ 25．希望小学卫生间的水龙头坏了，当被老师发现时水深11厘米，地长10米，宽5米。那么因水龙头损坏白白浪费多少升水？ 26．一种立体的米形玩具，三个长方体的长宽高都分别为10厘米、2厘米、2厘米。这个米字形玩具的体积是多少立方厘米？ 27．在一块长方形铁皮的两个角上各剪掉一个边长为10厘米的小正方形，并把剪下的两个小正方形焊接到长方形的另一边的中间（如图），然后制成一个无盖的长方体盒子。这个盒子的体积是多少立方分米？（软皮的损耗不计） 28．我市游泳健身中心的室内泳池长50米，宽 25米。 （1）最浅处水深1.2米，最深处水深1.6米。 （2）“泳池的容积是多少立方米？”对这一数学问题以下两位同学展开了讨论。 请根据他们的思考过程解决问题。 ①小朱同学：“它不是一个长方体，但可以通过割或补的方法（如下图），就可以变成长方体了。所以它的容积大小范围就在（     ）立方米和（    ）立方米之间。” ②小峰同学：“两个完全一样的泳池可以拼成一个大长方体（如下图）。这样就能计算出它的容积啦。” 请根据小峰的方法计算该泳池的容积。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《小升初重点专题04：长方体和正方体-2025-2026学年数学六年级下册人教版》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 D C A C C D 1．D 【分析】根据正方体的表面展开图共有11种情况，本题中涉及到的是“1－4－1”型，即中间四个正方形围成正方体的侧面，左、右各一个为正方体的左、右面，有五角星和线段的面必须是相邻的两个面，线段的端点对着五角星，折成正方体后，面上的三条线段互相平行，否则不正确。 【详解】 A．线段的端点不对着五角星，与给出的展开图不符； B． 展开图中没有三个空白面，与给出的展开图不符； C． 线段的端点不可能连在一起，与给出的展开图不符； D． 两条线段互相平行与给出的展开图一致； 故答案为：D 2．C 【分析】 这个立方体图形，从正面看是，说明从正面看是由4个小正方体组成的，分两层，下层3个，上层1个居中。从上面看也是，由4个正方体组成，分两层，下层3个，这3个就是从正面看到的这4个小正方体中的3个，上层1个，说明在这4个小正方体的后面最少还有1个小正方体，据此解答。 【详解】 如图所示：这个立体图形至少有5个小立方体搭成。 故答案为：C 3．A 【分析】解答这道题需明确：长方体共有12条棱，分为长、宽、高共3组，每组各4条。要确定最多有多少条棱长度相等，需结合长方体的特殊形态（含正方形面的情况）分析。 （1）普通长方体：长、宽、高都不相等，此时只有“长、宽、高各自的4条棱”分别相等，最多4条棱长度相等。 （2）特殊长方体：当长方体有两个相对的面是正方形时，正方形的边长既是长（或宽），也是高，此时：正方形的4条边对应的棱，加上与之平行的另外4条棱，共8条棱长度相等。 （3）若12条棱都相等，此时长方体就变成了正方体，而正方体是特殊的长方体。 【详解】根据分析： 长方体中最多有12条棱长度相等。 故答案为：A 4．C 【分析】先分别计算长方体长、宽、高方向能容纳的小正方体数量，即用长方体的长、宽、高分别除以小正方体的棱长，再将三个方向的数量相乘，即可得到长方体内最多能放的小正方体的数量。 【详解】8÷2＝4（个） 6÷2＝3（个） 9÷2＝4（个）……1（分米） 由于小正方体不能分割，剩余的1分米不足以再放一个小正方体，因此只能放4个。 4×3×4 ＝12×4 ＝48（个） 因此，最多能放48个小正方体。 故答案为：C 5．C 【分析】长方体的体积＝底面积×高，正方形的面积＝边长×边长。方木的横截面是边长为m分米的正方形，那么它的底面积是m×m＝m2（平方分米），锯掉8分米，那么锯掉的体积就等于底面积乘8。据此解答。 【详解】m×m＝m2（平方分米） m2×8＝8 m2（立方分米） 所以方木的体积比原来减少8 m2立方分米。 故答案为：C 6．D 【分析】依据长方体的特征，长方体有6个面，由3组完全相同的相对面组成， A．2张①号长6、宽3，4张③号长6、宽2，长×宽＝6×3，长×高＝6×2，宽×高应该是3×2，不可以围成一个长方体； B．2张①号长6、宽3，4张⑤号长6、宽6，长×宽＝6×3，长×高＝6×6，宽×高应该是6×3，不可以围成一个长方体； C．2张①号长6、宽3，2张②号长3、宽3，2张③号长6、宽2，长×宽＝6×3，长×高＝6×2，宽×高应该是2×3，不可以围成一个长方体； D．2张①号长6、宽3、2张③号长6、宽2、2张④号长3、宽2，长×宽＝6×3，长×高＝6×2，宽×高=3×2，围成的长方体的长6、宽3、高2； 【详解】A．①号长6、宽3，③号长6、宽2，不可以围成一个长方体； B．①号长6、宽3，⑤号长6、宽6，不可以围成一个长方体； C．①号长6、宽3，②号长3、宽3，③号长6、宽2，不可以围成一个长方体； D．①号长6、宽3、③号长6、宽2、④号长3、宽2，围成的长方体的长6、宽3、高2； 故答案为：D 【点睛】紧扣长方体 “6个面＝3组完全相同的相对面（每组 2 张）” 的特征，无需画图拼接，只需验证选项中 “面的数量搭配（每组2张）” 和 “边长匹配（对应长、宽、高的两两乘积）” 即可快速排除错误选项。 7． cm g 小时 元 mL 【分析】结合生活常识和单位的适用场景，匹配对应的度量单位： 长度单位：厘米（）适用于较短物体（如铅笔）； 面积单位：平方米（）适用于房间等较大平面的面积计量； 质量单位：克（）适用于较轻的日常物品（如苹果）； 时间单位：小时（）适用于较长时长（如睡眠时间）； 货币单位：元是人民币日常消费的核心计价单位； 容积单位：毫升（）适用于较小容器的液体容积（如矿泉水瓶）。 【详解】①一支铅笔长20（厘米）（或） ②一间教室的占地面积是54（平方米）（或） ③一个苹果大约重250（克）（或） ④园园每天的睡眠时间约是10（小时）（或） ⑤妈妈购买一袋白糖约花费5（元） ⑥一瓶矿泉水的容积是500（毫升）（或） 8． 【分析】根据图示可知：与、、、相邻，所以与相对；与、、相邻，所以与相对；则与相对。 【详解】如图四个正方体，每个正方体六个面上的、、、、、六个字母的排列顺序完全相同，即的对面是，的对面是，的对面是。 9．7.2 【分析】一个漏水的水龙头每分钟滴水5毫升，一天有24小时，即（24×60）分钟，求一天能滴多少升水，列式5×24×60计算即可，再根据1升＝1000毫升即可换算。 【详解】5×24×60＝7200（毫升） 7200÷1000＝7.2（升） 即这个水龙头一天一共漏水7.2升。 10． 72 32 【分析】因为侧面展开后是一个正方形，所以长方体的高等于底面周长。先根据“正方形的周长＝边长×4”用2×4计算出底面周长；然后根据“正方形的面积＝边长×边长”分别计算出底面正方形的面积和侧面展开的正方形面积；再用底面正方形的面积乘2计算出长方体上下两个面的面积；最后将上下两个面的面积和侧面展开的正方形面积求和即可计算长方体的表面积。 根据“长方体的体积＝底面积×高”用底面正方形的面积乘长方体的高即可计算长方体的体积。 【详解】2×4＝8（分米） 2×2＝4（平方分米） 4×2＋8×8 ＝8＋64 ＝72（平方分米） 4×8＝32（立方分米） 一个长方体的底面是边长为2分米的正方形，把它的侧面展开后也是一个正方形，这个长方体的表面积是72平方分米，体积是32立方分米。 11．3 【分析】首先需要明确长方体框架的棱长特征：长方体有12条棱，可分为4组（长、宽、高各4条）。因此，长方体的棱长总和公式为：棱长总和＝4×（长＋宽＋高），已知铁丝总长（即棱长总和）为48cm，长为5cm，宽为4cm，要求最高的高度，只需通过棱长总和公式逆推求出高即可。 【详解】根据长方体棱长总和公式变形可得： 第一步，计算长、宽、高的和：（cm） 第二步，代入长和宽的值求高： （cm） 因此，这个长方体框架的高最多是3cm。 12． 90 【分析】解答这道题的关键是明确增加的表面积是这个木料的横截面积，且横截面的面积就是这个长方体的底面积；长方体的体积＝底面积×高。切成3段需要切2次，切1次增加两个横截面，2次就要增加个横截面。根据增加的表面积，求出一个横截面的面积即可。另外，问题的单位是立方分米，题目中木料的长为1.5米，需要进行单位换算，将1.5米化成15分米。据此解答。 【详解】根据分析： 求增加的横截面的数量： （个） 求横截面的面积： （平方分米） 求长方体体积： 1.5米＝15分米 （立方分米） 所以这根长方体木料的体积是90立方分米。 【点睛】长方体沿横截面切段，需要切次，表面积会增加个横截面的面积，这是解决此类因切割导致表面积变化问题的关键。计算过程中还需注意单位不统一，必须先进行单位换算，否则会导致计算结果错误。 13．120 【分析】正方体的表面积＝6×边长×边长，代入计算出正方体原表面积，因为前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个边长1厘米的正方体，相当于每个小正方体的地方都增加了4个面，每个面的面积＝边长×边长。 【详解】正方体的表面积： 6×4×4 ＝24×4 ＝96（平方厘米） 6个小正方体增加的面积： 6×4×1×1 ＝24×1×1 ＝24×1 ＝24（平方厘米） 96＋24＝120（平方厘米） 所以它的表面积是120平方厘米。 【点睛】本题考查了正方体的表面积，点睛之处在于，在挖掉一个小正方体后，需要弄清楚与之前对比表面积是增加了还是减少了，因为挖进去后的正方体有5个面，所以实际上对比之前增加了4个面，所以表面积会等于原表面积加上6个正方体增加的面，也就是24个小正方形。 14．(1) ①③④⑥⑦ 5 (2) 132平方分米 144立方分米 【分析】（1）做一个无盖长8分米，宽6分米，高3分米的长方体观赏鱼缸，共5个面，需要长为8分米、宽为6分米的一块玻璃作为底，长为8分米、宽为3分米的2块玻璃作为左右两个侧面，长为6分米、宽为3分米的2块玻璃作为前后两个侧面，所以选择①③④⑥⑦，共需要5块玻璃。 （2）根据无盖长方体表面积公式：；长方体的体积公式，代入公式进行解答。 【详解】（1）通过分析可得：需要长为8分米、宽为6分米的1块玻璃，长为8分米、宽为3分米的2块玻璃，长为6分米、宽为3分米的2块玻璃。则轩轩需要选择①③④⑥⑦，共需要5块玻璃。 （2）表面积： （平方分米） 容积： （立方分米） 15．× 【分析】正方体的表面积是指正方体6个面的面积总和。正方体的体积指正方体所占空间的大小。单位不同，表面积单位为面积单位，体积单位为体积单位，二者不能直接比较或相等。 【详解】（平方分米） （立方分米） 表面积和体积的单位不同，不能比较大小，因此不相等，原说法错误。 故答案为：× 16．√ 【分析】根据“长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2”可知长方体的表面积由长、宽、高共同决定。若两个长方体的表面积相等，但长、宽、高的数值组合可能不同，因此形状不一定相同。 【详解】当表面积相等时，可能存在不同的长、宽、高组合。例如： 长方体甲的长、宽、高分别为3、2、1 （3×2＋3×1＋2×1）×2 ＝（6＋3＋2）×2 ＝11×2 ＝22 长方体乙的长、宽、高分别为5、1、1 （5×1＋5×1＋1×1）×2 ＝（5＋5＋1）×2 ＝11×2 ＝22 两者的表面积相等，但形状不同。因此，表面积相等的两个长方体，形状不一定相同，原题说法正确。 故答案为：√ 17．√ 【分析】根据长方体的基本特征，长方体是由6个面组成的立体图形，每个面都是长方形（特殊情况下有两个相对的面是正方形），并且有8个顶点，每个顶点由三条棱相交形成。据此判断。 【详解】根据分析可知： 一个长方体有6个面和8个顶点。该说法正确。 故答案为：√ 18．× 【分析】根据题意，要使切的块数最多，每刀应尽可能与之前的切面相交，且三个切面两两垂直。据此判断。 【详解】如图： 第一刀将豆腐切成2块，第二刀与第一刀垂直相交，得到4块，第三刀与前两刀均垂直相交，将每块再次分割，最终得到8块。 因此，题目中“最多能切6块”的说法错误。 故答案为：× 19． √ 【分析】可利用设数法，设出长方体和正方体的棱长相关数据，分别计算出它们的体积，再进行比较，以此来判断该说法是否正确。 【详解】假设正方体和长方体的棱长和都为24分米。 正方体棱长：24÷12＝2（分米） 正方体体积：2×2×2＝8（立方分米） 长方体长、宽、高的和：24÷4＝6（分米） 若长为3分米，宽2分米，高1分米。 长方体体积：3×2×1＝6（立方分米） 8＞6，正方体的体积大。 若长为4分米，宽1分米，高1分米。 长方体体积：4×1×1＝4（立方分米） 8＞4，正方体体积大。 因此，不管怎么选长方体的长、宽、高（只要不是都相等，因为相等就是正方体了），算出来的体积都比正方体小。说明原题结论成立。 故答案为：√ 20．729立方分米 【分析】正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据计算即可。 【详解】9×9×9 ＝81×9 ＝729（立方分米） 这个正方体的体积是729立方分米。 21．88平方分米；48立方分米 【分析】根据长方体展开图的特征可知，长方体的长为（16－2－2）÷2分米，宽为4分米，高为2分米，把长方体的长、宽、高的数据代入长方体的表面积公式：S＝a×b×2＋a×h×2＋b×h×2，和长方体的体积公式：V＝a×b×h中，计算出长方体的表面积和体积。 【详解】（16－2－2）÷2 ＝12÷2 ＝6（分米） 6×4×2＋6×2×2＋4×2×2 ＝48＋24＋16 ＝88（平方分米） 6×4×2＝48（立方分米） 即长方体的表面积是88平方分米，体积是48立方分米。 22．1250立方厘米 【分析】组合体的体积＝大长方体的体积－2个棱长5厘米的正方体体积，长方体体积＝长×宽×高，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，据此列式计算。 【详解】20×5×（10＋5）－5×5×5×2 ＝100×15－250 ＝1500－250 ＝1250（立方厘米） 23．298平方厘米 【分析】截成两个长方体，有三种切割方法，要使这两个长方体的表面积之和最大，就要沿着7×6的面切割，即切割后的表面积比原来增加了2个7×6面的面积；先根据得出原来的表面积再加上增加的两个面的面积，据此计算即可。 【详解】（7×6＋7×5＋6×5）×2＋7×6×2 ＝（42＋35＋30）×2＋84 ＝107×2＋84 ＝214＋84 ＝298（平方厘米） 答：这时表面积之和是298平方厘米。 24．木块的表面积增加200平方厘米；每块长方体木块的体积250立方厘米 【分析】观察可知，表面积增加的是4个长是10厘米，宽是5厘米的长方形的面积；每块长方体的长是10厘米，宽是厘米，高是5厘米。根据长方形的面积＝长×宽，，代入数据计算即可。 【详解】10×5×4 ＝50×4 ＝200（平方厘米） （15÷3）×10×5 ＝5×10×5 ＝250（立方厘米） 答：木块的表面积增加200平方厘米，每块长方体木块的体积是250立方厘米。 25．5500升 【分析】根据长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入公式解答。注意要先将水深换算成米。1立方米＝1000升，据此将求出水的容量换算成升。 【详解】11厘米＝0.11米 10×5×0.11 ＝50×0.11 ＝5.5（立方米） 5.5立方米＝5500升 答：因水龙头损坏白白浪费5500升水。 26．104立方厘米 【分析】由图可知，这个玩具由三个长方体组成，但其中2个长方体中间少了一个边长为2厘米的正方体。根长方体的体积＝长×宽×高，正方体体积＝边长×边长×边长，先求出三个长方体的体积之和，再减去两个小正方体的体积即可。 【详解】10×2×2×3－2×2×2×2 ＝120－16 ＝104（立方厘米） 答：这个米字形玩具的体积是104立方厘米。 27．10立方分米 【分析】看图可知，制成的长方体盒子的长＝（60－10）厘米，宽＝（40－10×2）厘米，高＝10厘米，根据长方体体积＝长×宽×高，列式解答即可。根据1立方分米＝1000立方厘米，统一单位。 【详解】60－10＝50（厘米） 40－10×2 ＝40－20 ＝20（厘米） 50×20×10＝10000（立方厘米）＝10（立方分米） 答：这个盒子的体积是10立方分米。 28．①1500；2000 ②1750立方米 【分析】①根据长方体的体积＝长×宽×高；割去一部分是指使该泳池变成高为泳池最浅处水深1.2米的长方体，底面积不变；则该长方体体积为50×25×1.2＝1500（立方米） 补上一部分是指使该泳池变成高为泳池最深处水深1.6米的长方体，底面积不变；则该长方体体积为50×25×1.6＝2000（立方米） 泳池体积最小为：被割去一部分之后的体积，最大为：被补上一部分之后的体积，所以它的容积大小范围就在1500立方米和2000立方米之间。 ②两个完全一样的泳池可以拼成一个大长方体，则该长方体的高为1.6＋1.2＝2.8米，底面积不变；则该长方体体积为50×25×2.8＝3500（立方米），再用长方体的体积除以2即可求出泳池的容积。 【详解】①50×25×1.2 ＝1250×1.2 ＝1500（立方米） 50×25×1.6 ＝1250×1.6 ＝2000（立方米） 所以它的容积大小范围就在1500立方米和2000立方米之间。 ②1.6＋1.2＝2.8（米） 50×25×2.8 ＝1250×2.8 ＝3500（立方米） 3500÷2＝1750（立方米） 答：泳池的容积是1750立方米。 【点睛】本题的解题关键是灵活运用长方体的体积（容积）公式解决实际问题。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $