湖北武汉市武昌区2026届高三上学期期末质量检测数学

2026届高三年级上学期期末质量检测 数学 本试卷共4页，19题。全卷满分150分。考试用时120分钟。 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡指定位置。 2.回答逃择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非逃择题时，将答案写在答题 卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的 1.若i为虚数单位，则(1+)(1+7)= A.2+2i B.2-2i C.2 D.0 2.若两个球的表面积之比为1：9，则它们的体积之比为 A1:3 B.1:9 C.1￥27 D.1729 3.离散型随机变量∈的取值为1,2,3，…，9，P(=k)=a4(k=1,2,3,,9).若数列{a4}为 等差数列，则a5= A B司 c品 D 4.已知动点P在正方体ABCD一A:B,C1D1的侧面CDD,C1内（包括边界）运动，记向量 AP=xAB+yAD十zAA1(x,y,z∈R),则x十y十z的取值范围是 A[1,2] B.[2,22] C.[1,3] D.C3,33] 5.用模型y=1+log2(kx十b)去拟合y与x的关系，令z=2?,得到x关于x的回归直线方 程为z=3x十2，则b= A.1 B.2 C.3 D.4 6.若曲线y=nx与圆x2+y2-2my-2十m2=0恰有一个公共点，则实数m的值为 A.e B.2 c是 D.1 高三年级数学试卷第1页共4页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描APF 7.将点A(一6,8)绕着原点O逆时针旋转120°到B点，则B点的坐标为 A(3-43,-4-33) B.(3-4V5,-4+3√5) C.(3+45,-4+35) D.(-3-45,4-35) 8设双曲线C:答-景-1a>0,6>0)止-点P2,到其两焦点E,(-3,0),F,3,0)的 距离之和为d1,到y轴的距离为d2.若d1=12d2,则a= A.2 B.1 c n 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合 题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.如图所示，函数f(x)=2sin(ux十p)(0<9<2)的图象经过A(0,t),B(1,0,C(2,一1) 三点，则 A.t=1 Bp=晋 cw- Df)在（一号，号上单澜递地 10.如果“若p则g”和“若g则p”同为真命题或同为假命题，就称p与g具有“同步关系”. 已知非零函数f(x)的定义域为R,p:y=f(x)为R上的单调递增函数，则p与下列选 项中的q具有“同步关系”的是 Aq:对任意x1,x2∈R,都有(x1一x2)[f(x1)一f(x2)]>0 B.q:y=f(x+1)为R上的单调递增函数 C.g:h(x)=e·f(x)为R上的单调递增函数 D.q:g(x)=x十f(x)为R上的单调递增函数 11.若X1与X2是相互独立的随机变量，均服从二项分布，且X1~B(n1,p),X2~B(n2,p), 其中n1∈N”,n2∈N”,0<p<1,则下列说法中正确的是 A.E(X)=n1p B.D(X1)=(1-p)E(X1) C.令X=X1+X2,则X~B(n1十n2,p2) ChC D.若k∈N',n∈N',满足n一n2≤≤n1,则有P(X1=k|X1十X2=n)= Chtnz 高三年级数学试卷第2页共4页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描Ap 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知数列{am)的前n项和Sn满足Sm+1=Sn十2°，则a3=」 13.过抛物线y2=4x的焦点F的直线与该抛物线交于A,B两点，若4<|AF|<8,则|BF| 的取值范围是 14.若]m∈Z,使得集合A=(a“,am+3)中包含且仅包含两个整数m+1和m十2，则正实 数a的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分) 记△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,cosA cos(C-B)=cosBcos(A一C). (1)若a=3,求b; (2)若D为边BC上的点，且CD=2DB,求cos∠CAD的最小值. 16.(15分) 如图，在三棱柱ABC-A1B1C,中，平面A1AQC1⊥平面ABC,A1A=A1C=AC=4, BC=2,∠BAC=30°，E,F分别是AC,A1B1的中点. (1)证明：EF⊥BC; C (2)求点F到平面A1BC的距离. 17.(15分) 已知函数f(x)=x+a+1-alnr(a∈R. (1)讨论函数f(x)的单调区间； (2)若3xo∈[1，e],f(x)≤0，求a的取值范围. 高三年级数学试卷第3页共4页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描APp 18.(17分) 已知0为坐标原点，直线1y=c十m与椭圆C,号+y=1交于A,B两点（点B 在点A的右侧)，P(xoyo)是椭圆C在第二象限上的一动点（不同于A,B). (1)若m=0,直线PA和直线PB的斜率分别记为k1,k2,求k1·k2的值； (2)若k=1,是否存在点P使得四边形OAPB为平行四边形？若存在，求直线L的方程， 若不存在，请说明理由， (3)若k=一，m=0,N为线段0B上的一点，PN1=2,求证：直线PN过定点，并 2y0 求出定点的坐标. 19.（17分) 甲、乙两人用一副卡牌玩“抢宝藏”游戏，卡牌包含若干对图案相同的普通牌和一张 不能成对的宝藏牌，在分配完卡牌，双方丢弃手中所有已经成对的普通牌后，恰好甲手中 有n(n∈N')张没有成对的普通牌，乙手中有n张没有成对的普通牌和1张宝藏牌，现 按以下规则游戏： ①甲乙轮流抽对方一张牌，甲先抽（甲乙抽对方牌均计人抽牌次数）； ②若抽取的牌是宝藏牌则将其保留在手中，否则将手中与之成对的一张牌一并丢弃； ③直到有人手中没有牌时游戏结束，手中只剩宝藏牌的玩家获胜； (1)若n=5,经过三次抽牌后，求宝藏牌在甲手中的概率； (2)设游戏开始时甲手中有”张牌，游戏结束时乙获胜的概率为p。,由全概率公式得 P,=+号1-)，即p1=号类似地，求pps: (3)记X。为这次游戏结束需要抽牌的次数，期望为E(X.), 求证：EX.)Kn+号h号+a∈N,m≥3) 高三年级数学试卷第4页共4页 觉巯识 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描APF参考答案 一、选择题 题号 y 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D C B C A D A C AB ABC ABD 二、填空题 11.4 13.(321(注：(3,4]，3,41,6,2]均可 三、解答题 15. (1)解：因为cos Acos(C-B)=cos B cos(A-C), 则cosA(cosC cos B+sin Csin B)=cosB(cos Acos C+sin Asin C),整理得 cos Asin C sin B=cos Bsin AsinC,又C∈(0，π)，sinC≠0， 所以cos Asin B=cos Bsin A,即sin(A-B)=0, 所以A=B,故a=b即b=3.…(6分) b+m-4a (2)解：设AD=m,在△ACD中，由余弦定理知cos∠CAD= 9 2bnL m2+562 由(1)知a=b,所以cos∠CAD= m 56 2bm 2b18L 又业5b. 2边5当组仅当 5b 2b18m2V2b18m3 , 即5b2=92), 2b-18 故o∠C1D的最小值为5 …（13分) 16.法1 (1)证明：连接AE,:AA=AC,E是AC的中点，.AE1⊥AC, 又平面AACC⊥平面ABC,AEC平面AACC, 平面AACC∩平面ABC=AC,AE⊥平面ABC, BCC平面ABC.AE⊥BC①， 在△ABC中，BC2=AB2+AC2-2AB.AC cos30°，得AB=2V5 G 即AC2=AB2+BC2.AB⊥BCAF/IAB,AB⊥BC, .BC⊥AF②，'AF∩AE=A③， ∴BC⊥平面AEF,EFC平面AEF .BC LEF…（7分) (2)解：取BC中点G,连接EG、GF,则EGFA是平行四边形， :AE⊥平面ABC,EGC平面ABC,,AE⊥EG,.平行四边形FGA是矩形， 由(I)得BC⊥平面EGFA,BCC平面ABC,则平面ABC⊥平面EGFA, .F在平面ABC上的射影在直线AG上， 点F与平面ABC的距离是直角△AGF斜边AG上的高.设为h, 由4=5，GP=25,得4G=5,h=4FGN-3.23_25 AG 15 5 故点P与平面4BC的距离21西 …（15分） 5 参考答案及评分细则第1页共4页 法2 连接AE,AA=AC,E是AC的中点，AE⊥AC,又平面AACC,⊥平面ABC, AEC平面AACC,平面AACC∩平面ABC=AC,.AE⊥平面ABC, 如图，以E为原点，在平面ABC中，过E作AC的垂线为x轴，EC,EA所在直线分别为y轴， z轴，建立空间直角坐标系…(3分) 由4C=4,则0,00,40,0,2W3),BV3,1.0,BW3,3,23),F2,223),C0,20) C=0,乐=5， 乐c-92同(10-0，乐1C 故BC⊥EF… …（7分) (2)4C=0,2,-2,C=(525 2’2 设平面ABC的法向量i=(心，y,z), 则C7=-3+y=0,取=1，得元=，5.D, ACii=y-3z=0 故点P与平面ABC的距离dCF元=2西 …(15分) 5 17.解： 1)f)=1-1+a-g=-a=+a）_+[x-+ac>0 x2 x x2 x- ①当1+a>0时，即a>-1时，在1+a,+w)上，f'(x)>0;在(0,1+上，f'(x)<0, 故f(x)在(1+a,+o)上单调递增，在(0,1+上单调递减： ②当1+a≤0，即a≤-1时，在(0，+w)上，所以，f(x)在(0，+w)上单调递增， 综上，当a>-1时，f(xw)的单调递增区间是(1+a,+w);单调递减区间是(0,1+a), 当a≤-1时，f)的单调递增区间是(0，+0），无减区间.…(7分) (2)存在x。∈L,e],使得f(x)≤0成立，即x∈L,e时，f(x)m≤0.由(1)知 ①当1+a2e,即a≥e-l时，f(x)在L,e上单调递减，所以f(x)=f(e), 由f=e+1+a-a50可得a≥g,满足a≥6-1，所以a≥e-1 e-1 e-1 ②当1+a≤1，即a≤0时，f(x)在[上，e]上单调递增，所以fx)mn=f), 由f1)=1+1+a≤0可得a≤-2，满足a≤0，所以a≤-2： ③当1<1+a<e,即0<a<e-1时，f(x)在L,1+a)上单调递减，在1+a,e]上单调递增， 即fx)mn=f1+a),因为0<h(1+a)<1,所以0<an(1+a)<a, 故f1+a)=2+a-an(1+a)>2,此时f1+a)≤0不成立 综上，a的范围是a≤-2或a≥+} …（15分) e-1 参考答案及评分细则第2页共4页 18. (1)解：因为m=0,故直线1经过原点O,此时A,B关于原点O对称，设A(丛)，则B(,-) 由坊=1兰听1-兰得为=么当》后-或0》-多三号 2 2 ,22=222=-（5分） 0-x10+x1x行-x2 (2)因为k=1,故直线1的方程为y=x+m,设A(,),B(2y2方 y=x+m 由 ,得3x2+4x+2(m2-1)=0,△=8(3-m2）>0,即m2<3, 则5+名=4,5西，=20m-卫，月+为=5+m+名+m=4”+2m=20， 3 3 3 3 若存在点P,使得四边形OAPB为平行四边形，则m≠0， 且O丽=a函+0=5+5，X+=,2吗即%物 3, 3’3 2m 0= _4m 代入兰+1得1解得a= 2 2 当m=5时，P25满足题意，此时：y=x+5 2 3’3 当m=- 5时，p25,,此时P在第四象限，不满足题意，故舍去： 3，-3 综上，存在点25使得四边形01PB为平行四边形，1：y=+5.…(11分) 3”3 2 阿边时时平方可得：爱-++=2将=单-利代入， 得044( 2,2 又因为N在线段OB上，故n>0, 所以=+V4=,+2y-(+2-2y,即w22, 2共%+120-)2-动 2-x0’x0-2 2y%3 4 %-b 所以kN= 02=。-2）-xY=0,即直线Pw:y-6=0-)》 2y02x(。-2)+2%2x0-1 x0-1 02-0 整理得PW:yc-,故直线PV恒过定点Sl0. …(17分) 参考答案及评分细则第3页共4页 19.解 (1)记第n次由甲抽到宝藏牌为事件A(n=2k-l,k∈N),第n次由乙抽到宝藏牌为事件Bn=2k,keN), 则P-4a44属高4)6名8子8子0 …(5分) (2)设甲手中有n张牌时，乙获胜的概率为p。,按照甲第一次抽卡牌的情况分两类， 第一类，若甲第一次抽到宝藏牌，此时甲有n张普通牌和1张宝藏牌，乙有n张普通牌，再轮到乙抽， 由对称性，甲获胜的概率为P,乙获胜的概率为1-P 第二类，若甲第一次抽到普通牌，此时甲手中丢掉成对卡牌后剩-1张普通牌，乙有n-1张普通牌和 1张宝藏牌，再轮到乙抽，一定抽到的是普通牌，丢掉成对卡牌后还有-2张普通牌和1张 宝藏牌，甲有-2张普通牌，此时乙获胜的概率为P-2 数g点a) ×1×P,2,化简得卫，=四21 (*) n+1 n+2 当n=3时，代入(*)得p= 3P+13 3+25 当n=5时，代入（得B,=马，+1_4 ……(11分) 5+27 (3)按照甲第一次抽卡牌的情况分两类， 第一类，若甲第一次抽到宝藏牌，此时甲有n张普通牌和1张宝藏牌，乙有张普通牌，再轮到乙抽， 由对称性，此时游戏结束抽牌的平均次数还要(X)次，一共E(X,)+1次 第二类，若甲第一次抽到普通牌，此时甲手中丢掉成对卡牌后剩-1张普通牌，乙有-1张普通牌和 1张宝藏牌，再轮到乙抽，一定抽到的是普通牌，丢掉成对卡牌后还有-2张普通牌和1张 宝藏牌，此时游戏结束抽牌的平均次数还需为(X-2),一共E(X-2)+2次 Ex)-n7ax)++nIEX)+2 放E(X)=B(X）+1+”+L,(X)=2B(x,)=0 @话n为個数，设n2k,X02++号+++片 2kk-1 利用不等式<此X0<x),代入名有2）h低) k 1- 故8-安+片h+1,有20X)n+时经+号 21 222 ②若”为所数设”2-1，x,）-1+水3+片片 由不等式如这欢（当>2时 故Bx-)<2k-1+1+S+S,-D<n+1+2（nk+hk-D+1D 4 4 gX)-n1"空+h”0m*分号 2 2 24 综上所述，E(X）K+2n+…（17分) 2 24 参考答案及评分细则第4页共4页