第2章 圆【章末复习】 课件 2025-2026学年湘教版 九年级数学下册

该初中数学课件系统梳理了圆的核心知识，涵盖概念（圆、弦、弧）、性质（对称性、圆心角与圆周角关系、垂径定理）、位置关系（直线与圆）、应用（弧长扇形面积、正多边形）等，通过问题回顾与概念辨析串联知识点，构建从基础到综合的知识网络。 其亮点在于采用“基础回顾-例题解析-中考衔接”复习模式，如用监控器安装问题培养数学眼光，切线证明题发展推理意识，分层练习（基础题到中考题）兼顾不同学生需求，助力学生巩固知识，教师可精准把握复习重点。

湘教版（新教材）数学9年级下册培优备精做课件 章末复习 第2章 圆 授课教师： Home . 班 级： 九年级（---）班 . 时 间： . 2026年1月31日 2026年1月31日星期六8时24分1秒 2026年1月31日星期六8时24分2秒 1. 请举例说明什么叫作圆，什么叫作弦，什么叫作弧. 回顾 O A B C D 2. 举例说明圆有哪些对称性质. 圆是中心对称图形， 圆心是它的对称中心. 圆是轴对称图形， 任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴. 3. 在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的 弦和弧相等吗？ 4. 在同圆中，同一条弧所对的圆周角与圆心角有什么 关系？ *5. 试描述垂直于弦的直径有什么性质. 6. 怎样过不在同一直线上的三个点作圆？ 7. 直线与圆有哪几种位置关系？ （1） （2） （3） 8. 怎样判定一条直线是圆的切线？ 圆的切线有什么性质？ *9. 圆的切线长有什么性质？ 10. 什么叫作三角形的内心和外心？怎样作已知三角形 的内切圆和外接圆？ 11. 举例说明如何计算弧长与扇形面积. n° 12. 怎样作圆的内接正方形、正六边形？ 正多边形有 哪些对称的性质？ 【教材P88】 × √ × × 随堂练习 答：为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上共安装这样的监视器3 台。 【教材P88】 解 ∵ ∠A=65° ∴ 圆周角∠A所对的弧所对的圆心角是130° ∴ 360°÷130°≈3 随堂练习 【教材P88】 解 ∵ AD 是⊙O 的直径 ∴ ∠ACD = 90° . 在 Rt△ACD 中， 又∵ ∠D 与∠B 为 所对的圆周角. ∴ ∠D＝∠B，则 . AC 随堂练习 【教材P89】 解 过 O 向 AB 作垂线，垂足为 D. 显然OD 为半径的一半长， 即为 2. 连接 AO， 在 Rt△AOD 中， AD＝ 则弦 AB 的长度为2AD＝ . 随堂练习 【教材P89】 解：∵ 在Rt ABC中两直角边长分别为6cm，8cm r = = 5 cm. ∴ AC= 随堂练习 【教材P89】 证明 （1） 连接 AO. ∵ BC 是⊙O 的直径， ∴ ∠BAC = 90°. ∵ AB＝AD，∠ADB = 30° ∴ ∠B＝∠ADB=30°. 又∵ OB＝OA， ∴ ∠OAB=30°. ∴ ∠AOC = 60°. 在△OAD 中， ∠AOD = 60°,∠D = 30° ∴ ∠OAD = 90°,即 OA⊥AD. ∴ AD 是⊙O 的切线. 随堂练习 【教材P89】 （2）∵△BAC是直角三角形，∠B=30°， ∴∠ACO=60°，△AOC是等边三角形， ∴∠AOC=60° ∴ 随堂练习 【教材P89】 解 连接 OB. ∵ AB 与⊙O 相切于点 B， ∴ ∠OBA = 90°. 又∠ABC =120°, ∴ ∠OBC = 30°. 则∠BOC =180°-2×30°＝120°. ∴ 随堂练习 【教材P89】 证明 ∵ ⊙O 是△ABC 的内切圆， ∴ AD = AE， BD＝BF， CF＝CE. ∴ AB+CF＝AD+BD+CF＝AE+BF+CE＝AC+BF. 随堂练习 【教材P89】 解：易证△ADO≌△OEB，则∠AOB = 90°， 随堂练习 【教材P89】 解 蓝色部分面积 = ( S⊙O - S△ABC ) ÷ 3， ∵ AB = AC = BC = 12 cm , ∴ 圆的半径为 cm. 蓝色部分面积 = 随堂练习 【教材P90】 ∵ AB=DC， ∴ ∠BCA＝∠CBD. ∵ ∠BAC 与∠BDC 所对的弧为 ， ∴ ∠BAC＝∠BDC. 又∵ BC 边公共， ∴ △ABC≌△DCB . 随堂练习 【教材P90】 解 如图，过 O 作 EF⊥AB 于点 E，交 CD 于点 F， ∵ AB∥CD， ∴ EF⊥CD. ∴ EF＝7，EB＝3，FD＝4. 连接 OB，OD. 设 EO＝x，则OF ＝7-x， 因此 x2+32＝(7-x)2+42，解得 x＝4. ∴ ⊙O 的半径为 5. 随堂练习 【教材P90】 解 连接 OD. ∵ DO＝OA，∴ ∠1＝∠2. 又∵ AD∥OC， ∴ ∠1＝∠3，∠2＝∠4. ∴ ∠3＝∠4. 在△ODC 与△OBC 中， ∵OD= OB,∠4=∠3，OC 边公共， ∴ △ODC≌△OBC. 即∠ODC＝∠OBC＝90°. 又∵ OD 是⊙O 的半径，DC经过点 D， ∴ DC 是⊙O 的切线. 随堂练习 【教材P90】 解 连接 BO，DO. ∵ 四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，∠A = 80°， ∴ ∠BCD＝180°-80°＝ 100°. 又∵ 圆周角∠BCD 与圆心角∠BOD 所对应的弧为 , 随堂练习 【教材P90】 若将绳子拴在 A 树，则活动面积为 若将绳子拴在 B 树，则活动面积为 若将绳子拴在 C 树，则活动面积为 若将绳子拴在 D 树，则活动面积为 因此，应将羊拴在 B 树，此时面积最大，为 随堂练习 【教材P91】 解 连接 OB，OC. △OBC 是等边三角形， ∵ △ABC 和△OBC 等底等高， ∴ S△ABC = S△OBC . ∴ S阴影 = S扇形OBC = 随堂练习 【教材P91】 证明 连接 BO，并延长交⊙O 于 D，连 CD. 则直径 BD 所对的圆周角∠BCD= 90°. 在 Rt△BCD 中，BD＝2R， 又∠A 与∠D 所对的弧为 ， ∴ ∠A＝∠D. 随堂练习 【教材P91】 同理，可连接AO，并延长交⊙O 于 E，连 EC， 则∠ACE = 90°. 在Rt△ACE 中， 又∠E＝∠B， 随堂练习 【教材P91】 解 连接 AB，AD. ∵ AC 为⊙O1的直径，∴ ∠ABC = 90°， 则∠ABD=90°. ∴ AD 为⊙O2的直径， 即 AD 经过圆心O2. 在△ACD中， O1O2为△ACD 的中位线， 又O1O2＝2，∴ CD＝4. 随堂练习 返回 C 1．下列说法中，正确的有(　　) ①半圆是弧，弧也是半圆；②直径是圆中最长的弦；③半径相等的两个半圆是等弧；④半径相等的两个圆是等圆；⑤顶点在圆上的角是圆周角． A．1个　 B．2个　 C．3个　 D．4个 中考考法 34 C 返回 中考考法 35 12 中考考法 36 返回 中考考法 B 返回 中考考法 38 中考考法 39 中考考法 返回 【答案】D 中考考法 中考考法 42 中考考法 返回 【答案】D 中考考法 7．[2025西安铁一中模拟]如图，已知AB是⊙O的直径，E为CD的中点，CD＝BC，连接OC，若OB＝2，则AE的长为________． 1 中考考法 45 返回 中考考法 8．如图，已知∠ACB＝30°，CM＝2，AM＝5，以点M为圆心，r为半径作⊙M，当⊙M与线段AC有交点时，r的取值范围是________．　 1≤r≤5 返回 中考考法 47 9. 如图，已知O为坐标原点，点A的坐标为(2，3)，⊙A的半径为1，过A作直线l平行于x轴，点P在l上运动． 中考考法 48 (1)当点P运动到⊙A上时，求线段OP的长； 中考考法 49 (2)当点P的坐标为(4，3)时，试判断直线OP与⊙A的位置关系，并说明理由． 【解】直线OP与⊙A相离．理由如下：如图，过点A作AM⊥OP，垂足为M.∵P(4，3)，∴OC＝3，CP＝4，AP＝2. 中考考法 50 返回 中考考法 51 10．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的切线与BA的延长线交于点D，点E在⊙O上(不与点B，C重合)，连接BE，CE.若∠D＝40°，则∠BEC的度数为(　　) A．100° B．110° C．115° D．120° C 返回 中考考法 52 11．[2025南充]如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，以CD为直径的⊙O交BC于点E，交AC于点F，M为线段DB上一点，ME＝MD. 中考考法 53 (1)求证：ME是⊙O的切线． 中考考法 54 中考考法 55 中考考法 返回 中考考法 20 返回 中考考法 58 2．如图，A，B，C，D是⊙O上的点，∠1＝∠2，下列结论中错误的是(　　) A. ＝ B．AC＝BD C．∠COB＝2∠1 D. ＝ 3． 如图所示，A，B是半径为3的⊙O上的两点．若∠AOB＝120°，C是的中点，则四边形AOBC的周长为________． 【点拨】如图，连接OC.∵C是的中点，∴∠AOC＝∠BOC.∵∠AOB＝120°， ∴∠AOC＝∠BOC＝60°. 又∵OA＝OC＝OB，∴△AOC和 △BOC都是等边三角形．∴OA＝ OB＝CA＝CB＝3.∴四边形AOBC的周长为12. 4． [2025天津第一中学月考]如图，CD是⊙O的直径，点A，B在⊙O上．若＝，∠AOC＝36°，则∠D＝(　　) A．9° B．18° C．36° D．45° 5．[2025西安长安区模拟]如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD为⊙O的直径，B为的中点，过点C作CE∥AB交AD于点E.若∠CED＝75°，则∠ABC的度数为(　　) A．120° B．130° C．140° D．150° 【点拨】如图，连接BD.∵CE∥AB，∴∠A＝∠CED＝75°.∵AD为⊙O的直径，∴∠ABD＝90°.∴∠ADB＝15°.∵B为的中点，∴＝， ∴∠ADB＝∠CDB＝15°. ∴∠ADC＝30°. ∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠ABC＋∠ADC＝180°. ∴∠ABC＝150°.故选D. 6. 如图，一个纵截面为半圆的容器水平放置，然后向其中倒入部分液体，测得数据如图(单位：cm)，则液面宽度AB＝(　　) A．8 cm B．4 cm C．4 cm D．8 cm 【点拨】如图，设半圆形容器的圆心为O，连接AO，过圆心O作OC⊥AB于点C，则AC＝BC＝AB.在Rt△AOC中，OC＝18－14＝4(cm)，AO＝18－10＝8(cm)， ∴AC＝＝＝4(cm)． ∴AB＝2AC＝8 cm. 【点拨】∵AB是⊙O的直径，E为CD的中点，∴AB⊥CD，CE＝CD.∴∠BEC＝90°.∵CD＝BC，∴CE＝BC.∴∠B＝30°.∴∠BCE＝60°.∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠B＝30°.∴∠ECO＝∠BCE－∠OCB＝60°－30°＝30°.∵OB＝2，∴OC＝OA＝2.∴OE＝OC＝1.∴AE＝OA－OE＝2－1＝1. 【解】如图，设l与y轴的交点为C. 当点P运动到⊙A上时，有P1，P2两个位置， ∴OP1＝＝； OP2＝＝3. 综上，线段OP的长为或3. 在Rt△OCP中，OP＝＝5. ∵∠APM＝∠OPC，∠PMA＝∠PCO＝90°， ∴△PAM∽△POC.∴＝，即＝，∴AM＝. ∵⊙A的半径为1，>1，∴直线OP与⊙A相离． 【证明】如图，连接OE. 在△ODM与△OEM中， ∴△ODM≌△OEM. ∴∠OEM＝∠ODM＝90°. 又∵OE为⊙O的半径，∴ME为⊙O的切线． (2)若CF＝3, sin B＝，求OM的长． 【解】如图，连接DF. ∵∠ACB＝90°，CD⊥AB， ∴∠A＋∠B＝∠A＋∠ACD＝90°. ∴∠B＝∠ACD.∴sin∠ACD＝sin B＝. ∵CD为⊙O的直径， ∴∠CFD＝90°.∴sin∠ACD＝＝. 设DF＝4x，则CD＝5x.∵CD2＝DF2＋CF2， ∴(5x)2＝(4x)2＋32. ∴x＝1(负值已舍去)．∴CD＝5.∴OD＝. ∵△ODM≌△OEM，∴∠1＝∠2. ∵OC＝OE，∴∠3＝∠4.∵∠1＋∠2＝∠3＋∠4， ∴∠1＝∠3，∴OM∥BC.∴∠OMD＝∠B. ∴sin∠OMD＝sin B＝.∴OM＝＝. 12．[2025徐州月考]如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别是A，B，点C在上，过 点C的切线分别交PA，PB于 点D，E.若PB＝10，则△PDE 的周长为________． $