2.5.4 三角形的内切圆 课件 -2025-2026学年湘教版 九年级数学下册

该初中数学课件聚焦“三角形的内切圆”核心知识点，通过木工裁圆形木料的情境引入，引导学生从四种方案中选择最佳方案，以角平分线性质为学习支架，衔接切线性质等前置知识，逐步推导内心概念及内切圆作图方法。 其亮点在于以生活情境培养数学眼光，通过合作探究与作图实践发展推理思维，结合例题、练习及中考考点强化应用意识。例如情境问题激发探究欲，作图步骤培养逻辑推理，面积公式推导体现模型思想，助力学生提升几何直观与应用能力，为教师提供系统教学资源与中考衔接支持。

湘教版（新教材）数学9年级下册培优备精做课件 2.5.4 三角形的内切圆 第2章 圆 授课教师： Home . 班 级： 九年级（---）班 . 时 间： . 2026年1月31日 2026年1月31日星期六8时5分38秒 2026年1月31日星期六8时5分38秒 情境引入 如图是一块三角形木料，木工师傅要从中裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？下面有四种方案，请选择最佳方案. A B C A B C A B C A B C 方案一 方案二 方案三 方案四 √ 合作探究 猜想：方案二中的这个圆应当与三角形的三条边都相________. A B C 方案二 切 ∟ ∟ ∟ O 三角形的内切圆 画一个圆关键是定圆心和半径，如何画一个圆与三角形的三条边都相切？ 如果这个圆与△ABC的三条边都相切，那么圆心 O 到三条边的距离都等于______，从而这些距离相等. 半径 A B C Ｅ ∟ ∟ ∟ O Ｄ Ｆ 到一个角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上，因此圆心 O 是∠A 的__________与∠B的___________的___点. 平分线 平分线 交 A B C Ｅ ∟ ∟ ∟ O Ｄ Ｆ 与三角形的三条边都相切的圆存在吗？ 若存在， 如何画出这样的圆？ 如图，已知△ABC. 求作：与△ABC 的各边都相切的圆. 作法：（1）作∠A，∠B 的平分线AD，BE， 它们相交于点 O； （2）过点 O 作 AB 的垂线，垂足为 M； （3）以点 O 为圆心，OM 为半径作圆． ⊙O 就是所求作的圆. 与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆. 内切圆的圆心叫作三角形的内心. 这个三角形叫作圆的外切三角形. 设点 O 是△ABC 的内心，由于 AB，BC，CA 都与⊙O 相切， 因此圆心 O 到 AB，BC，CA 的距离都等于圆的半径. 从而圆心 O 在△ABC 的每个内角的平分线上. 由此得出：三角形的内心是这个三角形的三条角平分线的交点. 如图，⊙O 是△ABC 的内切圆，∠A = 70°，求∠BOC的度数. 解: ∵ ∠A = 70°， ∴ ∠ABC +∠ACB = 180° -∠A = 110°. ∵ ⊙O 是△ABC 的内切圆， ∴ BO，CO 分别是∠ABC与∠ACB 的平分线， 即∠1 = ∠ABC， ∠2 = ∠ACB. ∴ ∠BOC = 180°-（∠1 +∠2） = 180°- （∠ABC+∠ACB） = 180°- × 110° = 125°. 【教材P74页】 练习 任画一个三角形，求作它的内切圆. 【教材P74页】 2. 如图，△ABC 的内切圆的三个切点分别为D，E，F， ∠A＝ 74°，∠B ＝ 47°，求圆心角∠EOF 的度数． 【教材P74页】 解：∵△ABC的内切圆的三个切点分别为D，E，F， ∴ OF⊥AC，OE⊥BC，OD⊥AB， ∴∠OEC=∠OFC=90°. ∵∠A＝ 74°，∠B＝ 47°， ∴∠C=59°， ∴∠EOF = 121°. 3. 已知等边三角形 ABC 的边长为 a， 求它的内切 圆的半径． 【教材P74页】 解：如图，⊙O 是等边三角形ABC 的内切圆，连接OB， OC，则∠OBC＝ ∠B＝30°，∠OCB＝ ∠C＝30°. 设BC 边与⊙O 的切点为D，连接OD，则OD⊥BC，且OD 为内切圆的半径. 在Rt△OBD 与Rt△OCD 中， ∴ BD＝DC， 即 DC＝ 即内切圆的半径长为 【教材75】 解 ⊙O 的半径为 5 cm （1） 两个公共点； （2） 一个公共点； （3） 没有公共点 随堂练习 【教材75】 解 ∵ AB 是⊙O 的直径，△ABC 内接于⊙O， ∴∠C = 90°， ∠A+∠CBA = 90°. 又∵ ∠CBM = ∠A， ∴ ∠CBM+∠CBA＝ 90°，即 AB⊥ MN. 又∵ OB 是⊙O 的半径， 直线 MN 经过点 B， ∴ MN是⊙O 的切线. 随堂练习 【教材75】 证明 连接 BC. ∵ OC＝OB， ∠COB=60°， ∴ △OBC 为等边三角形. ∴∠OBC＝∠OCB＝60°， BC＝OC. 又∵ OC＝CA， ∴ BC＝CA. ∴ ∠CBA＝30°. ∴ ∠OBA＝90°， 即 OB⊥BA. 又∵ OB 为⊙O 的半径， 且 AB 经过点 B， ∴ AB 是⊙O 的切线. 随堂练习 【教材75】 解 ∵ BC 与⊙O 相切于点 B， OB 是半径， ∴ OB⊥BC， 即∠OBC＝90°. ∵∠ABC＝70°， ∴∠OBA＝20°. 又∵ OA＝OB， ∴ ∠A＝∠OBA＝20°. 随堂练习 【教材75】 解 连接 OA，OB. ∵ OA， OB 为⊙O 的半径，PA，PB 为⊙O 的切线，点 A，B 为切点， ∴ OA⊥AP，OB⊥BP，OA＝OB＝3 cm. 在 Rt△OPA 中， sin∠OPA＝ ， ∴ ∠OPA＝30°. ∴ cos30°＝ ，得 PA＝OP·cos30°＝ cm. 同理， ∠OPB＝30°， PB ＝ cm . 随堂练习 【教材75】 解 ∵⊙O 是△ABC 的内切圆，切点为D，E，F， ∴由切线长定理得： AD＝AF，BD＝BE，CE＝CF. ∴ BD + CF ＝ BE + CE ＝ BC， 即 L△ABC＝ 2AF + 2BC ＝ 9+6+5 ∴ AF＝4. 随堂练习 【教材75】 已知： 如图，⊙O 是等腰三角形ABC 的内切圆，AB＝AC，⊙O与BC 边相切于点 D，求证：BD=CD. 证明： 连接OB，OC，OD，则OD⊥BC， 由内切圆性质可知OB，OC分别平分∠B， ∠C， 又∠B＝∠C， ∴ ∠OBD＝∠OCD＝α， 随堂练习 【教材76】 解 如图，设⊙O 与△ABC 相切于点 D，E，F， 连接OD，OE，OF，因此OD⊥AB，OE⊥BC， OF⊥AC，且OD＝OE＝OF＝r. 连接 OA，OB，OC， 则 S△ABC ＝ S△OBC + S△OBA + S△OAC ＝ AB·OD + BC·OE + AC·OF ＝ (AB+BC+AC)·r = lr 随堂练习 证明 作△OAB 底边上的高 OD，D 为垂足，由等腰三角形的性质知 D 也为 AB 的中点，即 AD ＝ 4 cm. 在 Rt△OAD 中，OA＝ 5 cm，AD＝ 4 cm， ∴ OD ＝ 3 cm. 而⊙O 的直径为 6 cm， 即 OD 为⊙O 的半径， ∴ AB 所在的直线与⊙O 相切. 【教材76】 D 随堂练习 【教材76】 （1）如图，已知 l1，l2 是⊙O 的两条平行切线， 设 l1 与⊙O 的切点为 A，连接 AO，并延长交 l2于 B. ∵ OA⊥l1， l1∥l2， ∴ OA⊥l2， 则 OB⊥l2. 又∵ l2与⊙O 相切，由过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，则 l2与⊙O 的切点为点 B，因此 AB 为⊙O 的直径. 随堂练习 随堂练习 【教材76】 解 （1） ∵ DC， DA 分别为⊙O 的切线， ∴ DC＝DA. 同理，EC＝EB. ∴ △PDE 的周长= DC +EC +PE +PD =（DA +PD）+（EB+PE）=PA+PB = 8（cm）. 随堂练习 （2） 连接OA， OB， OC. 在四边形 PBOA中， ∠P＝40°，∠A＝∠B＝90°, ∴ ∠BOA = 360°-40°-2×90°＝140°. 易证△OAD ≌△OCD （SSS）， ∴ ∠AOD =∠COD. 同理， ∠COE=∠BOE. ∴∠DOE =∠COD+∠COE = ∠AOC + ∠BOC = ∠AOB = 70°. 随堂练习 返回 C 1．下列说法错误的是(　　) A．三角形的内切圆与三角形的三边都相切 B．一个三角形一定有唯一一个内切圆 C．一个圆一定有唯一一个外切三角形 D．等边三角形的内切圆与外接圆是同心圆 中考考法 27 2. 某旅游景区内有一块三角形绿地ABC，现要在绿地ABC内建一个休息点O，使它到AB，BC，AC三边的距离相等，下列作法正确的是(　　) D 返回 中考考法 28 3．如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB，IA.若∠CAI＝37°，则∠OBC的度数为(　　) A．37° B．20°　 C．16° D．14° 返回 C 中考考法 29 中考考法 30 5. 我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示)．若直角三角形的内切圆半径为2，大正方形的面积为169，则小正方形的面积为________． 49 中考考法 31 只适合于直角三角形 三角形内切圆 运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程. 有关概念 内切圆 应用 重要结论 内心(三角形三条角平分线的交点) 外切三角形 4． 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝5，AC＝3，点D是△ABC的内心，则BD的长度为(　　) A．2 B．3 C. D. $