2.5.4 三角形的内切圆（word教案）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（湘教版）

2．5.4　三角形的内切圆

1．了解有关三角形的内切圆和三角形内心的概念；(重点)

2．能运用三角形内切圆、内心的知识进行有关的计算．(难点)

一、情境导入

新农村建设中，张村计划在一块三角形场地中建一个最大面积的圆形花园，请你设计一个建筑方案．

二、合作探究

探究点一：三角形的内切圆的相关计算

【类型一】 利用三角形的内切圆求角的度数

如图，⊙O内切于△ABC，切点D，E，F分别在BC，AB，AC上．已知∠B＝45°，∠C＝65°，连接OE，OF，DE，DF，那么∠EDF等于(　　)

A．40°

B．55°

C．65°

D．70°

解析：∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠B＝45°，∠C＝65°，∴∠A＝70°.∵⊙O内切于△ABC，切点分别为D、E、F，∴∠OEA＝∠OFA＝90°，∴∠EOF＝360°－∠A－∠OEA－∠OFA＝110°，∴∠EDF＝∠EOF＝55°.故选B.

方法总结：解决本题的关键是利用三角形内切圆的性质，求出∠EOF的度数．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题

【类型二】 求三角形的内切圆的半径

如图，⊙O是边长为2的等边△ABC的内切圆，则⊙O的半径为________．

解析：如图，连接OD、OC.由等边三角形的内切圆的圆心即为底边上的中线，底边上的高和顶角的平分线的交点，所以∠OCD＝30°，OD⊥BC，所以CD＝BC，OC＝2OD.又由BC＝2，则CD＝1.在Rt△OCD中，根据勾股定理得OD2＋CD2＝OC2，所以OD2＋12＝(2OD)2，所以OD＝.即⊙O的半径为.故答案为.

方法总结：等边三角形的内切圆的圆心为等边三角形中线、高、角平分线的交点，它到等边三角形三边的距离相等．而在解直角三角形内切圆的相关问题时，经常要用到“圆心到切线的距离等于半径”这条性质．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第2题

【类型三】 求三角形的周长

如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AB、BC分别相切于点D、E，过劣弧(不包括端点D、E)上任一点P作⊙O的切线MN与AB、BC分别交于点M、N.若⊙O的半径为r，则Rt△MBN的周长为(　　)