2.5.4 三角形的内切圆（word教案）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（湘教版）

该教案聚焦“三角形的内切圆”核心知识点，涵盖内切圆与内心的概念及相关计算。通过“新农村建设中设计最大面积圆形花园”的情境导入，衔接圆的切线、三角形角平分线等旧知，搭建知识支架。 此资料以情境激发探究欲，合作探究分类型例题（如求角、半径、周长及内心证明），培养几何直观与推理意识。方法总结与变式训练强化应用能力，助力学生理解概念，提升教师教学效率。

2．5.4　三角形的内切圆 1．了解有关三角形的内切圆和三角形内心的概念；(重点) 2．能运用三角形内切圆、内心的知识进行有关的计算．(难点) 一、情境导入 新农村建设中，张村计划在一块三角形场地中建一个最大面积的圆形花园，请你设计一个建筑方案． 二、合作探究 探究点一：三角形的内切圆的相关计算 【类型一】 利用三角形的内切圆求角的度数 如图，⊙O内切于△ABC，切点D，E，F分别在BC，AB，AC上．已知∠B＝45°，∠C＝65°，连接OE，OF，DE，DF，那么∠EDF等于(　　) A．40° B．55° C．65° D．70° 解析：∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠B＝45°，∠C＝65°，∴∠A＝70°.∵⊙O内切于△ABC，切点分别为D、E、F，∴∠OEA＝∠OFA＝90°，∴∠EOF＝360°－∠A－∠OEA－∠OFA＝110°，∴∠EDF＝∠EOF＝55°.故选B. 方法总结：解决本题的关键是利用三角形内切圆的性质，求出∠EOF的度数． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题 【类型二】 求三角形的内切圆的半径 如图，⊙O是边长为2的等边△ABC的内切圆，则⊙O的半径为________． 解析：如图，连接OD、OC.由等边三角形的内切圆的圆心即为底边上的中线，底边上的高和顶角的平分线的交点，所以∠OCD＝30°，OD⊥BC，所以CD＝BC，OC＝2OD.又由BC＝2，则CD＝1.在Rt△OCD中，根据勾股定理得OD2＋CD2＝OC2，所以OD2＋12＝(2OD)2，所以OD＝.即⊙O的半径为.故答案为. 方法总结：等边三角形的内切圆的圆心为等边三角形中线、高、角平分线的交点，它到等边三角形三边的距离相等．而在解直角三角形内切圆的相关问题时，经常要用到“圆心到切线的距离等于半径”这条性质． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第2题 【类型三】 求三角形的周长 如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AB、BC分别相切于点D、E，过劣弧(不包括端点D、E)上任一点P作⊙O的切线MN与AB、BC分别交于点M、N.若⊙O的半径为r，则Rt△MBN的周长为(　　) A．r B.r C．2r D.r 解析：连接OD，OE，∵⊙O是Rt△ABC的内切圆，∴OD⊥AB，OE⊥BC.又∵MD，MP都是⊙O的切线，且D、P是切点，∴MD＝MP，同理可得NP＝NE，∴CRt△MBN＝MB＋BN＋NM＝MB＋BN＋NP＋PM＝MB＋MD＋BN＋NE＝BD＋BE＝2r.故选C. 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题 探究点二：三角形的内心的相关证明与计算 如图，已知E是△ABC的内心，∠A的平分线交BC于点F，且与△ABC的外接圆相交于点D. (1)求证：BD＝ED； (2)若AD＝8cm，DF∶FA＝1∶3.求DE的长． 解析：(1)求证BD＝ED，可利用等角对等边证明．只要证明∠DBE＝∠DEB即可； (2)要求DE的长，可转化为求BD的长．利用△BDF∽△ADB，用比例式即可求解． (1)证明：∵E是△ABC的内心，∴∠ABE＝∠CBE，∠BAD＝∠CAD.又∵∠CBD＝∠CAD，∴∠BAD＝∠CBD.∴∠CBE＋∠CBD＝∠ABE＋∠BAD.即∠DBE＝∠DEB，故BD＝ED； (2)解：∵AD＝8cm，DF∶FA＝1∶3，∴DF＝AD＝×8＝2(cm)．∵∠CBD＝∠BAD，∠D＝∠D，∴△BDF∽△ADB，∴＝.∴BD2＝AD·DF＝8×2＝16，∴BD＝4cm，又∵BD＝DE，∴DE＝4cm. 方法总结：(1)充分利用内心的意义以及三角形的外角、同弧所对的圆周角来证明角相等，最后利用等角对等边证明线段相等；(2)用相似三角形得比例式，由比例式求解． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题 三、板书设计 教学过程中，注重引导学生理解和掌握三角形的内切圆和内心的概念和性质， 并能进行灵活的运用．明确三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，到三角形三边的距离相等. 学科网（北京）股份有限公司 $