精品解析：贵州贵阳市2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题

贵阳市普通中学2025-2026学年度第一学期期末监测 高二数学 2026.1 注意事项： 1.本试卷共6页，满分100分，考试时间120分钟． 2.答案一律写在答题卡上，写在试卷上的不给分． 3.考试过程中不得使用计算器． 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．每小题有四个选项，其中只有一个选项正确，请将你认为正确的选项填写在答题卷的相应位置上．） 1. 已知空间向量，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在等差数列中，，，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 3. 已知圆C经过两点，且圆心C在直线上，则圆C的标准方程为（ ） A. B. C. D. 4. 若直线的一个方向向量的坐标为，则该直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 5. 在四面体OABC中，点M是的重心，设，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 朱载堉（1536年-1611年），中国明代一位杰出的音乐家、律学家、历法学家，他的著作《律学新说》阐述了最早的“十二平均律”，是目前世界上通用的把一组音分成十二个半音音程的律制．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音开始，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都相等，且最后一个单音频率是第一个单音频率的2倍．已知第十个单音的频率，则与第四个单音的频率最接近的是（ ） A. 494Hz B. 349Hz C. 311Hz D. 277Hz 7. 已知直线和，两点，若直线l上存在点C使得最小，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 过抛物线的焦点作一条直线与抛物线交于两点，，抛物线的准线与轴交于点，则的面积为（ ） A. 3 B. C. 6 D. 二、多项选择题（本题共2小题，每小题4分，共8分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得4分，部分选对得2分，有选错得0分．） 9. 已知是数列的前n项和，，则下列结论正确的有（ ） A. B. 是递增数列 C. D. 10. 已知正方体的棱长为2，点P在线段上运动，点M在线段BC上运动，则下列结论正确的是（ ） A. 三棱锥的体积不是定值 B. 直线平面 C. 点M到平面的距离的最大值为 D. 直线与平面所成角的正弦值的最小值为 三、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．请将你认为正确的答案填在答题卷的相应位置上．） 11. 已知直线与直线平行，则直线与间的距离为______． 12. 抛物线上与焦点的距离等于6的点的横坐标为__________. 13. 在空间直角坐标系中，点，则向量在上的投影向量的坐标为__________. 14. 设、是椭圆的两个焦点，若椭圆上点满足，记的外接圆和内切圆半径分别是、，则的值为______． 15. 已知数列的前项和为，且，若，则数列的前项和______． 四、解答题（本大题共4小题，每小题8分，共32分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16. 已知圆内有一点，过点A且倾斜角为的直线l与圆O相交于两点． （1）当时，求弦的长； （2）是否存在弦MN被点A平分？若存在，写出直线l的方程，若不存在，请说明理由． 17. 已知数列满足，且． （1）求证：数列是等差数列； （2）求数列的前n项和． 18. 已知双曲线的离心率为，若、，且．过点且斜率为k的直线l与双曲线相交于C、D两点． （1）求双曲线的方程； （2）若直线平行于直线，求k的值． 19. 如图，在四面体ABCD中，平面平面，，，，E是BC的中点，F是线段AD上的任意一点，． （1）是否存在点F，使得？若存在，求出实数的值，若不存在，请说明理由； （2）若三棱锥的体积为，且二面角的平面角的余弦值为，求的值． 五、阅读与探究（本大题1个小题，共8分．解答应写出文字说明，条理清晰．） 20. 阅读材料：在教材里，我们通过对圆的拉伸和压缩可以得到椭圆，反之我们也可以对椭圆进行伸缩变换得到相应的圆．伸缩变换是一种从二维坐标到二维坐标之间的线性变换，保持二维图形的“平直性”（直线经过变换依然是直线）与“平行性”（二维图形之间的相对位置关系保持不变）． 定义：在原始坐标系中设点，通过变换T将其映射为新坐标系中的点，其中T：，这称为沿y轴方向的均匀伸缩变换（x轴不变，y轴方向缩放u倍）（原始坐标中的每一个点都需要映射为新坐标）． 相关性质如下： ①同素性：点、直线、曲线在变换后仍为点、直线、曲线． ②保共线性：若三点共线，则变换后仍共线． ③保平行性：若两直线平行，则变换后仍平行． ④保比例：线段的比例关系（如定比分点）保持不变． ⑤面积关系：变换后面积缩放比例为u（即）． 伸缩变换的一个重要应用是椭圆变换为圆．我们可将椭圆的方程通过伸缩变换T：将其变为圆的方程，于是将椭圆中需解决的问题运用伸缩变换T转化为圆中的问题，并在该圆中求解，最后将圆中的答案逆变换回椭圆中，得到椭圆中问题的答案，其核心原理是运用变换前后相应量的关系．例如，椭圆变换成圆中相应量的面积关系． 结合阅读材料，回答下面的问题： （1）已知椭圆，离心率，变换：将椭圆C变为圆． （ⅰ）求椭圆C的方程； （ⅱ）过点的直线l与C交于A、B两点，求面积的最大值； （2）求证：在椭圆上任意一点处的切线方程为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贵阳市普通中学2025-2026学年度第一学期期末监测 高二数学 2026.1 注意事项： 1.本试卷共6页，满分100分，考试时间120分钟． 2.答案一律写在答题卡上，写在试卷上的不给分． 3.考试过程中不得使用计算器． 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．每小题有四个选项，其中只有一个选项正确，请将你认为正确的选项填写在答题卷的相应位置上．） 1. 已知空间向量，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量的坐标运算直接求解即可. 【详解】因为，， 所以. 故选：D 2. 在等差数列中，，，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的性质若，则，求解即可. 【详解】在等差数列中，，. 故选：B 3. 已知圆C经过两点，且圆心C在直线上，则圆C的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由求解. 【详解】解：设圆的标准方程为， 由题意得， 解得， 故圆的方程为， 故选：B 4. 若直线的一个方向向量的坐标为，则该直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用直线的方向向量求得其斜率，进而求得其倾斜角. 【详解】因为直线的一个方向向量的坐标为， 所以该直线的斜率为， 设该直线的倾斜角为，则，且， 所以. 故选：A. 5. 在四面体OABC中，点M是的重心，设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作出图象，利用空间向量的线性运算，结合三角形重心的性质即可得解. 【详解】设的边中点为， 因为，，， 则 ， 因为是的重心，故， 所以. 故选：C. 6. 朱载堉（1536年-1611年），中国明代一位杰出的音乐家、律学家、历法学家，他的著作《律学新说》阐述了最早的“十二平均律”，是目前世界上通用的把一组音分成十二个半音音程的律制．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音开始，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都相等，且最后一个单音频率是第一个单音频率的2倍．已知第十个单音的频率，则与第四个单音的频率最接近的是（ ） A. 494Hz B. 349Hz C. 311Hz D. 277Hz 【答案】C 【解析】 【分析】将13个单音的频率依次组成等比数列，利用题目条件求出公比，再通过已知的第10个单音频率，结合等比数列的性质求出第4个单音的频率. 【详解】设13个单音的频率依次组成等比数列，公比为， 已知，所以，得，即； 第十个单音，第四个单音，两式相除得， 所以，与最接近的是. 故选：C. 7. 已知直线和，两点，若直线l上存在点C使得最小，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设点关于直线的对称点为，求出，进而联立直线与的方程即可. 【详解】设点关于直线的对称点为， 当三点共线时，最小， 则由题意得，，解得，即， 则，则直线，即， 联立，得，， 故点C的坐标为. 8. 过抛物线的焦点作一条直线与抛物线交于两点，，抛物线的准线与轴交于点，则的面积为（ ） A. 3 B. C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用抛物线的定义求出和直线的斜率，再结合韦达定理求出两点间的距离，使用三角形面积公式计算即可. 【详解】如图所示， 已知可得焦点，准线，可得，则, 设直线倾斜角为，过作准线的垂线，垂足分别为， 由抛物线定义可得：, 设，则,， 过作于点，则, 在中，,故直线倾斜角， 直线的斜率，故直线的方程为：, 联立，消去得：, 设，则 ， . 故选：D 二、多项选择题（本题共2小题，每小题4分，共8分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得4分，部分选对得2分，有选错得0分．） 9. 已知是数列的前n项和，，则下列结论正确的有（ ） A. B. 是递增数列 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，令，即可得解；对于B、C、D，将与进行两式相减，得，即可判断. 【详解】对于A：令，得，则，故A正确； 对于B：，当时，有，两式相减， 得，整理得， 又因为，故是以为首项，为公比的等比数列， 即，易知是递减数列，故B错误； 对于C：由B可知，，故C正确； 对于D：将代入，可得，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知正方体的棱长为2，点P在线段上运动，点M在线段BC上运动，则下列结论正确的是（ ） A. 三棱锥的体积不是定值 B. 直线平面 C. 点M到平面的距离的最大值为 D. 直线与平面所成角的正弦值的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，利用线面平行的判定定理，得出平面，再根据三棱锥的体积的计算方法，即可判断A，利用向量法证明线面垂直即可判断B，利用点面距离的向量公式求解距离，然后利用一次函数性质求解最值判断C，利用向量法可求线面角的正弦值，再利用二次函数性质求解最值判断D. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， ，，，， ，，，，  对于A：因为，平面，平面， 所以平面，因为点在线段上运动， 所以点到平面的距离为定值，又的面积为定值， 故由等体积法可知三棱锥的体积为定值，故A错误； 对于B：，， ， 所以，，且， 所以是平面的一个法向量，即直线平面，故B正确； 对于C：设，则， 由B选项可知平面的一个法向量为， 故点M到平面的距离为， 因为，所以． 即点M到平面的距离最大值为，故C正确； 对于D：设，则，， 由B选项可知平面的一个法向量为， 所以直线与平面所成角的正弦值为： ， 当或时，直线与平面所成角的正弦值取得最小值， 且最小值为，故D错误. 故选：BC 三、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．请将你认为正确的答案填在答题卷的相应位置上．） 11. 已知直线与直线平行，则直线与间的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平移直线间的距离公式直接计算即可． 【详解】根据平移直线间的距离公式为． 故答案为：． 12. 抛物线上与焦点的距离等于6的点的横坐标为__________. 【答案】4 【解析】 【分析】根据抛物线的定义求得正确答案. 【详解】依题意，， 根据抛物线的定义可知. 故答案为：4 13. 在空间直角坐标系中，点，则向量在上的投影向量的坐标为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出向量，再由投影向量的定义，结合数量积的坐标运算、模的坐标运算公式求解即可得出结果. 【详解】根据题意可得，所以， 则； 因此向量在上的投影向量为， 因此投影向量的坐标为. 故答案为： 14. 设、是椭圆的两个焦点，若椭圆上点满足，记的外接圆和内切圆半径分别是、，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】设，，利用余弦定理、椭圆定义可求得的值，结合三角形的面积公式以及等面积法可求得，再利用正弦定理可求得的值，即可得解. 【详解】在椭圆中，，，则，故，如下图所示： 设的内心为，设，，则， 由余弦定理可得， 即，故， 所以， 又因为 ，解得， 由正弦定理可得，故，所以. 故答案为：. 15. 已知数列的前项和为，且，若，则数列的前项和______． 【答案】 【解析】 【分析】利用分组求和法结合等差数列的前项和公式求出，再利用裂项相消法即可求出答案. 【详解】 ， 则， 所以 . 故答案为：. 四、解答题（本大题共4小题，每小题8分，共32分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16. 已知圆内有一点，过点A且倾斜角为的直线l与圆O相交于两点． （1）当时，求弦的长； （2）是否存在弦MN被点A平分？若存在，写出直线l的方程，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在； 【解析】 【分析】（1）求出直线的方程，再利用圆心到直线的距离和半径求解弦的长； （2）根据点平分弦时，求得的斜率，再利用点斜式求直线方程. 【小问1详解】 当时，直线的斜率， 由直线过，得直线的方程为，即. 圆心到直线的距离， 所以弦长 【小问2详解】 若弦被点平分，则， 因为直线的斜率为，则直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 17. 已知数列满足，且． （1）求证：数列是等差数列； （2）求数列的前n项和． 【答案】（1） 已知，两边同时除以得：. 移项得：，又，则， 故数列是以为首项、公差为的等差数列. （2） 【解析】 【分析】（1）结合题目条件，利用等差数列的定义证明. （2）利用的通项公式求出的通项公式，再利用错位相减法求. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，因此 于是, 两边乘以得：， 由得： 又， 代入得：， . 18. 已知双曲线的离心率为，若、，且．过点且斜率为k的直线l与双曲线相交于C、D两点． （1）求双曲线的方程； （2）若直线平行于直线，求k的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据双曲线定义求，再由离心率求即可得曲线方程； （2）设的方程为，联立双曲线和直线方程可得，设，根据韦达定理得，再利用两直线平行斜率相等联立关于的方程，求解即可. 【小问1详解】 若、，且可知，即， 因为双曲线离心率，解得， 所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 如图所示，设直线的方程为， 联立，消去得， ，解得. 设，则. 设直线和斜率分别为， 由得， 若直线平行于直线，则，即， 因为， 所以，整理得. 又因为， 所以，即， ，即， 所以， 解得，故. 19. 如图，在四面体ABCD中，平面平面，，，，E是BC的中点，F是线段AD上的任意一点，． （1）是否存在点F，使得？若存在，求出实数的值，若不存在，请说明理由； （2）若三棱锥的体积为，且二面角的平面角的余弦值为，求的值． 【答案】（1）不存在，证明如下： 取的中点，连接，因为所以， 因为平面平面，交线为，平面， 所以平面. 因为，，所以. 如图所示，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则,,,, 又E是BC的中点，则， 设，则，， 由可知， 则，则， 所以， 若，则存在使得， 即 ， 所以，解得，，， 时点在平面上，与题干矛盾，故点不存在. （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，设，利用共线向量基本定理求解和，再结合题干判断； （2）由三棱锥的体积求出，然后求解平面和平面的法向量，再结合夹角余弦值联立的方程求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知， 则三棱锥的体积， 所以，得，则，. ，，， 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，得，故 . 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，得，即， 设二面角的平面角的夹角为，则， 所以， 化简整理得，即，又，所以. 五、阅读与探究（本大题1个小题，共8分．解答应写出文字说明，条理清晰．） 20. 阅读材料：在教材里，我们通过对圆的拉伸和压缩可以得到椭圆，反之我们也可以对椭圆进行伸缩变换得到相应的圆．伸缩变换是一种从二维坐标到二维坐标之间的线性变换，保持二维图形的“平直性”（直线经过变换依然是直线）与“平行性”（二维图形之间的相对位置关系保持不变）． 定义：在原始坐标系中设点，通过变换T将其映射为新坐标系中的点，其中T：，这称为沿y轴方向的均匀伸缩变换（x轴不变，y轴方向缩放u倍）（原始坐标中的每一个点都需要映射为新坐标）． 相关性质如下： ①同素性：点、直线、曲线在变换后仍为点、直线、曲线． ②保共线性：若三点共线，则变换后仍共线． ③保平行性：若两直线平行，则变换后仍平行． ④保比例：线段的比例关系（如定比分点）保持不变． ⑤面积关系：变换后面积缩放比例为u（即）． 伸缩变换的一个重要应用是椭圆变换为圆．我们可将椭圆的方程通过伸缩变换T：将其变为圆的方程，于是将椭圆中需解决的问题运用伸缩变换T转化为圆中的问题，并在该圆中求解，最后将圆中的答案逆变换回椭圆中，得到椭圆中问题的答案，其核心原理是运用变换前后相应量的关系．例如，椭圆变换成圆中相应量的面积关系． 结合阅读材料，回答下面的问题： （1）已知椭圆，离心率，变换：将椭圆C变为圆． （ⅰ）求椭圆C的方程； （ⅱ）过点的直线l与C交于A、B两点，求面积的最大值； （2）求证：在椭圆上任意一点处的切线方程为． 【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ）； （2） 1）当点不是椭圆顶点时， 点在变换下的对应的为， 椭圆在变换下变为圆，圆心为， 根据均匀伸缩变换性质可知，点在圆上， 因为，所以过点与圆相切的直线斜率为， 方程为：， 将代入得， 整理得， 因为点在椭圆上，所以， 所以， 根据均匀伸缩变换性质可知，为椭圆在点处的切线方程. 2）当点为长轴端点时，，椭圆切线方程为或， 满足； 3）当点为短轴端点时，，椭圆切线方程为或， 满足. 综上，在椭圆上任意一点处的切线方程为． 【解析】 【分析】（1）（ⅰ）根据离心率公式求出，得到变换公式，代入圆方程即可得解；（ⅱ）求出点变换后的坐标，求出直线与圆相交的弦长，然后求出面积，再利用变换前后的面积公式求解可得. （2）变换为圆，利用圆的性质求出切线方程，然后再利用变换公式转化为椭圆的切线方程即可得证. 【小问1详解】 （ⅰ）因为椭圆离心率，所以，解得， 所以，代入圆，得， 整理得椭圆C的方程为. （ⅱ）点变换后的坐标为，变换后的直线与圆交于， 易知直线斜率不为0，设直线的方程为，即， 因为圆心到直线的距离，所以， 所以， 令，则， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，所以， 所以的最大值为. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $