精品解析：四川省达州市渠县2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

2025秋季期末教学质量监测 九年级数学试题 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 第Ⅰ卷（选择题，共40分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 下列方程中是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示的几何体的俯视图是（ ） A B. C. D. 3. 袋中有50个除颜色外完全相同的小球，搅匀后随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，记为一次试验，通过多次摸球试验后发现从中摸出一个红球的频率稳定在，则估计袋中红球的个数为（ ） A. 20 B. 15 C. 10 D. 5 4. 反比例函数y＝的图象经过点（1，﹣2），则k的值是（　　） A. ﹣5 B. 5 C. 1 D. ﹣1 5. 如图，在中，点D在边上，过点D作，交于点E．若，则的值是（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法中，不正确的是（ ） A. 对角线相等的平行四边形是矩形 B. 有一个角是直角的平行四边形是正方形 C. 对边分别相等的四边形是平行四边形 D. 对角线互相平分且垂直的四边形是菱形 7. 如图，有一面积为的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长），另三边用竹篱笆围成，其中一边开有的门，竹篱笆的总长为．设鸡场垂直于墙的一边为，则列方程正确的是( ) A. B. C D. 8. 如图，在正方形中，分别以点A和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线，再以点A为圆心，以的长为半径作弧交直线于点（点在正方形内部），连接并延长交于点．若，则正方形的边长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中点在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，连接，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，菱形的边长为4，，点E，F分别是，边上的动点，且，连接，过点B作于点G，连接，则长度的最小值是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题，共110分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 11. 如果，则________． 12. 矩形的短边与长边的比等于黄金比（即），则该矩形叫黄金矩形．黄金矩形给我们以协调的美感．如图，黄金矩形的长边，则它的面积为______． 13. 已知点都在反比例函数 的图象上，则间的大小关系为___________（用“＜”号连接）. 14. 已知与是以点O为位似中心的位似图形．且相似比为，点B的坐标为，则点的坐标为______． 15. 如图，在中，，过点B作，且，连接，与相交于点M，过点M作，垂足为N．若，则的长为_______． 三、解答题（本大题共10个小题，共90分） 16. 解下列方程： （1）； （2）． 17. 关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）如果是符合条件的最大整数，且一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时的值． 18. 的顶点坐标分别为． （1）作出与关于轴对称的，并直接写出点的坐标； （2）以原点为位似中心在原点另一侧画出，使，并直接写出点的坐标． 19. 如图，在中，，，交的延长线于点E． （1）求证：； （2）若，，求的长． 20. 如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E、F在AC上，AE＝CF． （1）求证：四边形BEDF是平行四边形； （2）若AD＝2，∠AOB＝120°，求AB的长． 21. 为了了解全校1500名学生对学校设置的篮球、羽毛球、乒乓球、踢毽子、跳绳共5项体育活动的喜爱情况，在全校范围内随机抽查部分学生，对他们喜爱的体育项目（每人只选一项）进行了问卷调查，将统计数据绘制成如图两幅不完整统计图，请根据图中提供的信息解答下列各题． （1）m=______%，这次共抽取了_____名学生进行调查；并补全条形图； （2）请你估计该校约有______名学生喜爱打篮球； （3）现学校准备从喜欢跳绳活动的4人（三男一女）中随机选取2人进行体能测试，请利用列表或画树状图的方法，求抽到一男一女学生的概率是多少？ 22. 如图，王华晚上由路灯A下B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB是多少？ 23. 抖音直播购物逐渐走进了人们的生活．为提高我市特产烙锅辣椒面的影响力，某电商在抖音平台上对某品牌袋装（500克/袋）烙锅辣椒面进行直播销售．成本价为40元/袋，如果按60元/袋销售，每天可卖出80袋．通过市场调查发现，每袋烙锅辣椒面售价每降低1元，日销售量可增加10袋． （1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完库存烧锅辣椒面，每袋售价应定为多少元？ （2）钟珊珊在水城古镇的线下实体店售卖同品牌的烙锅辣椒面，标价为64元/袋．为提高市场竞争力，增加线下销售量，她决定实行打折销售，使其售价不超过（1）中的售价，则该品牌烙锅辣椒面至少打几折售卖？ 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线l：与x轴、y轴分别交于点A、B，与双曲线相交于点C，点C在第二象限且的面积为20．点在双曲线上． （1）求点C的坐标以及k的值； （2）联结，直线l向上平移交直线于点P，点Q为平面内任意一点，如果四边形为菱形，求点P的坐标； （3）点E为y轴上一动点，联结，以为边向右侧作正方形，在点E运动的过程中，当顶点F落在直线上时，求点E的坐标． 25. 【问题原型】如图①，与均等腰直角三角形，，连接AD、BE．求证： 【问题延伸】如图②，，，连接 ．试问与的大小有怎样的关系？请说明理由． 【问题应用】如图③，，，，．点E在边上，且，连接，则线段的长为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025秋季期末教学质量监测 九年级数学试题 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 第Ⅰ卷（选择题，共40分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 下列方程中是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程必须满足两个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可． 【详解】A、是一元二次方程，故A符合题意； B、是二元二次方程，故B不符合题意； C、是分式方程，故C不符合题意； D、时是一元一次方程，故D不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一次未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程． 2. 如图所示的几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图．根据俯视图是从上面看到的图形，即可求解． 【详解】解：如图所示的几何体的俯视图是 ． 故选：C 3. 袋中有50个除颜色外完全相同的小球，搅匀后随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，记为一次试验，通过多次摸球试验后发现从中摸出一个红球的频率稳定在，则估计袋中红球的个数为（ ） A. 20 B. 15 C. 10 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量，大量反复试验下频率稳定值即为概率值，据此得到从中摸出一个红球的概率为，再用球的总数乘以摸出红球的概率即可得到答案． 【详解】解：∵通过多次摸球试验后发现从中摸出一个红球的频率稳定在， ∴从中摸出一个红球的概率为， ∴估计袋中红球的个数为， 故选：C． 4. 反比例函数y＝的图象经过点（1，﹣2），则k的值是（　　） A. ﹣5 B. 5 C. 1 D. ﹣1 【答案】A 【解析】 【分析】根据反比例函数图象上点坐标特征，将（1，﹣2）代入已知反比例函数的解析式，列出关于系数k的方程，通过解方程即可求得k的值． 【详解】解：根据题意，得﹣2＝k+3， 解得，k＝﹣5. 故选：A． 【点睛】本题考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，是中学阶段的重点．解答此题时，借用了“反比例函数图象上点的坐标特征”这一知识点． 5. 如图，在中，点D在边上，过点D作，交于点E．若，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平行线分线段成比例定理的推论得出，即可求解． 【详解】解：∵中，， ∴， ∵ ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理的推论，解题关键是牢记“平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例”． 6. 下列说法中，不正确是（ ） A. 对角线相等的平行四边形是矩形 B. 有一个角是直角的平行四边形是正方形 C. 对边分别相等的四边形是平行四边形 D. 对角线互相平分且垂直的四边形是菱形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理． 根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理判断各选项的正确性． 【详解】解：∵对角线相等的平行四边形是矩形，∴A正确； ∵有一个角是直角的平行四边形是矩形，但不一定是正方形，∴B错误； ∵对边分别相等的四边形是平行四边形，∴C正确； ∵对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，∴D正确； ∴不正确的是B． 故选：B． 7. 如图，有一面积为的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长），另三边用竹篱笆围成，其中一边开有的门，竹篱笆的总长为．设鸡场垂直于墙的一边为，则列方程正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出平行于墙的一边的长度，即可建立一元二次方程． 【详解】解：∵鸡场垂直于墙的一边为 xm ， ∴平行于墙的一边的长度为：m ∴ 故选：A 【点睛】本题考查图形与一元二次方程．正确理解题意是解题关键． 8. 如图，在正方形中，分别以点A和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线，再以点A为圆心，以的长为半径作弧交直线于点（点在正方形内部），连接并延长交于点．若，则正方形的边长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，设交于点H，正方形边长为，由作图知，，垂直平分，得到，，由勾股定理得到，证明，推出，推出，得到，即得． 【详解】连接，设交于点H，正方形边长为， 由作图知，，垂直平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了正方形和线段垂直平分线综合．熟练掌握正方形性质，线段垂直平分线性质，勾股定理解直角三角形，平行线分线段成比例定理，梯形中位线性质，是解决问题的关键． 9. 如图，在平面直角坐标系中点在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，连接，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，勾股定理的应用，根据题意表示出线段的长度是解题的关键． 作轴于，于，即可求得，，，，由，得到，，，，进而，然后利用勾股定理得到，代入数值求解即可． 【详解】解：作轴于，于， ∴轴， ∵轴于点，轴于点， ∴，，，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵点在反比例函数图象上， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，， ∵反比例函数的图象在第一象限， ∴， ∴， 故选：A． 10. 如图，菱形的边长为4，，点E，F分别是，边上的动点，且，连接，过点B作于点G，连接，则长度的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接交于点O，可证明，得到，则点O为菱形对角线的交点；连接，取中点M，连接，，证明是等边三角形，得到，则，，根据，得到当A，M，G三点共线时，有最小值，最小值为的值，据此求解即可． 【详解】解：如图，连接交于点O， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点O为菱形对角线的交点； 连接，则过点O，取中点M，连接，， ∵菱形的边长为4，， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵M是中点， ∴， 在中，， 在中，， ∵， 当A，M，G三点共线时，有最小值，最小值为， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的性质与判定等知识，解题的关键是求出，的值． 第Ⅱ卷（非选择题，共110分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 11. 如果，则________． 【答案】 【解析】 【分析】设，，将，代入即可求解． 【详解】设，， ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查比例的性质，解题的关键是能够根据比例的性质设，． 12. 矩形的短边与长边的比等于黄金比（即），则该矩形叫黄金矩形．黄金矩形给我们以协调的美感．如图，黄金矩形的长边，则它的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金比，矩形的面积，由题意可得，即得，进而根据矩形的面积公式计算即可求解，掌握黄金比是解题的关键． 【详解】解：∵矩形为黄金矩形， ∴， ∵， ∴， ∴矩形的面积为， 故答案为：． 13. 已知点都在反比例函数 的图象上，则间的大小关系为___________（用“＜”号连接）. 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质得到函数的图象分布在第一、三象限，在每一象限，随的增大而减小，则． 【详解】∵， ∴函数的图象分布在第一、三象限，在每一象限，随的增大而减小， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例数的性质，掌握函数的图象分布在第一、三象限，在每一象限，随的增大而减小，是解题的关键． 14. 已知与是以点O为位似中心的位似图形．且相似比为，点B的坐标为，则点的坐标为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．根据位似变换的性质解答即可． 【详解】解：∵与是以点O为位似中心的位似图形．且相似比为，点B的坐标为， ∴点B的对应点的坐标为或，即或， 故答案为：或． 15. 如图，在中，，过点B作，且，连接，与相交于点M，过点M作，垂足为N．若，则的长为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质． 根据，，，得，，由相似比，即可求出的长． 【详解】解：，，， ，， ，， ，， ，， ， ， 解得． 故答案为：． 三、解答题（本大题共10个小题，共90分） 16. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）用因式分解法解一元二次方程即可； （2）把右边部分移项后，用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： 即或 解得，． 【小问2详解】 解： 即或 解得，． 【点睛】此题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法和步骤是解题的关键． 17. 关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）如果是符合条件的最大整数，且一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时的值． 【答案】（1）；（2）的值为． 【解析】 【分析】（1）利用判别式的意义得到，然后解不等式即可； （2）利用（1）中的结论得到的最大整数为2，解方程解得，把和分别代入一元二次方程求出对应的，同时满足． 【详解】解：（1）根据题意得， 解得； （2）的最大整数为2， 方程变形为，解得， ∵一元二次方程与方程有一个相同的根， ∴当时，，解得； 当时，，解得， 而， ∴的值为． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 18. 的顶点坐标分别为． （1）作出与关于轴对称，并直接写出点的坐标； （2）以原点为位似中心在原点的另一侧画出，使，并直接写出点的坐标． 【答案】（1）见解析， （2） 【解析】 【分析】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． （1）利用关于轴对称的点的坐标特征，写出、、的坐标，然后描点即可得到； （2）把、、的横纵坐标后乘以得到出、、的坐标，然后描点即可得到． 【小问1详解】 如图，为所作，； 【小问2详解】 如图，为所作，． 19. 如图，在中，，，交的延长线于点E． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）详见解析 （2）8 【解析】 【分析】本题考查了等边对等角，相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由，则，再结合，故，最后结合两组角对应相等的三角形是相似三角形，即可作答． （2）根据相似三角形的性质列式，再代入数值计算，即可作答． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， 20. 如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E、F在AC上，AE＝CF． （1）求证：四边形BEDF是平行四边形； （2）若AD＝2，∠AOB＝120°，求AB的长． 【答案】（1）见解析 （2）6 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的判定即可求出答案．（2）根据矩形的性质以及含30度角的直角三角形的性质即可求出答案． 【小问1详解】 解：在矩形ABCD中， ∴OA＝OB＝OC＝OD， ∵AE＝CF， ∴OE＝OF， ∴四边形BEDF是平行四边形． 【小问2详解】 由（1）可知：OA＝OB， ∵∠AOB＝120°， ∴∠DBA＝30°， ∵AD＝， ∴AB＝AD＝6． 【点睛】本题考查矩形，解题的关键是熟练运用矩形的性质以及平行四边形的判定，本题属于基础题型． 21. 为了了解全校1500名学生对学校设置的篮球、羽毛球、乒乓球、踢毽子、跳绳共5项体育活动的喜爱情况，在全校范围内随机抽查部分学生，对他们喜爱的体育项目（每人只选一项）进行了问卷调查，将统计数据绘制成如图两幅不完整统计图，请根据图中提供的信息解答下列各题． （1）m=______%，这次共抽取了_____名学生进行调查；并补全条形图； （2）请你估计该校约有______名学生喜爱打篮球； （3）现学校准备从喜欢跳绳活动的4人（三男一女）中随机选取2人进行体能测试，请利用列表或画树状图的方法，求抽到一男一女学生的概率是多少？ 【答案】（1）20，50，见解析 （2）360 （3） 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法与树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）由题意分别列式计算即可； （2）由该校学生人数乘以喜爱打篮球的学生所占的百分数即可； （3）列表得出共有12种等可能的结果，其中抽到一男一女学生的结果有6种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：， 这次共抽取了学生人数为（名）， 喜欢打乒乓球的人数为， 补全条形统计图如下： ； 【小问2详解】 解：该校喜爱打篮球的人数：（名）； 【小问3详解】 解; 列表如下： 男 男 男 女 男 —— （男，男） （男，男） （男，女） 男 （男，男） —— （男，男） （男，女） 男 （男，男） （男，男） —— （男，女） 女 （女，男） （女，男） （女，男） —— 共有12种等可能的结果，其中抽到一男一女学生的结果有6种， ∴抽到一男一女学生的概率． 22. 如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB是多少？ 【答案】AB=6m 【解析】 【分析】根据在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的光线三者构成的两个直角三角形相似解答． 【详解】解：， ∴,即 ， 即 解得， 解得， 即路灯A的高度AB为. 23. 抖音直播购物逐渐走进了人们的生活．为提高我市特产烙锅辣椒面的影响力，某电商在抖音平台上对某品牌袋装（500克/袋）烙锅辣椒面进行直播销售．成本价为40元/袋，如果按60元/袋销售，每天可卖出80袋．通过市场调查发现，每袋烙锅辣椒面售价每降低1元，日销售量可增加10袋． （1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完库存烧锅辣椒面，每袋售价应定为多少元？ （2）钟珊珊在水城古镇的线下实体店售卖同品牌的烙锅辣椒面，标价为64元/袋．为提高市场竞争力，增加线下销售量，她决定实行打折销售，使其售价不超过（1）中的售价，则该品牌烙锅辣椒面至少打几折售卖？ 【答案】（1）48元 （2）七五折 【解析】 【分析】（1）设每袋降价元，根据日利润保持不变列方程求解即可； （2）利用（1）中的售价列式计算即可． 【小问1详解】 解：设每袋降价元， 由题意得：（60－40－）（80＋10）＝（60－40）×80， 解得：＝12，＝0（不符合题意）， ∴ 60－12＝48（元）， 答：每袋售价应定为48元； 【小问2详解】 ×100%＝75%， 答：该品牌烙锅辣椒面至少打七五折． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线l：与x轴、y轴分别交于点A、B，与双曲线相交于点C，点C在第二象限且的面积为20．点在双曲线上． （1）求点C的坐标以及k的值； （2）联结，直线l向上平移交直线于点P，点Q为平面内任意一点，如果四边形为菱形，求点P的坐标； （3）点E为y轴上一动点，联结，以为边向右侧作正方形，在点E运动的过程中，当顶点F落在直线上时，求点E的坐标． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）先求出点坐标，根据，求出点纵坐标，然后代入，即可求出点横坐标，最后将点坐标代入，求得； （2）先求出点D坐标，再求出直线表达式为，设点，根据四边形是菱形，得出，列出方程求解即可得出点P坐标； （3）设点，分两种情况①当点E在点D的下方时，②当点E在点D的上方时，分别求解即可． 【小问1详解】 把代入，得， ∴点A坐标是， ∵， ∴， ∵点C在第二象限， ∴， 把代入，得， ∴点C坐标是． 把代入，得． 【小问2详解】 由（1）可知，双曲线为． 把D坐标，代入，得， ∴点D坐标是． 设直线表达式为：， 把，代入，得， 解得， ∴直线表达式为：． ∵四边形是菱形， ∴， ∵点P在直线上， ∴设点， 则， 解得：，（不合题意，舍去）． ∴点P坐标是， 【小问3详解】 设点， ①当点E在点D的下方时， 如图，过点E作轴，过点D作，垂足为M， 过点F作，垂足为N，则， ∵点D坐标是， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴，， ∴点F坐标是， 把代入直线：，得， 解得：， ∴点； ②当点E在点D的上方时，同理可得点F坐标是， 代入直线：，可得， ∴点． 综上所述，点或 【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的图象与性质，菱形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，两点间距离公式等知识，综合性较强，熟练掌握相关性质并灵活运用，正确作出图形添加辅助线构建全等三角形是解题的关键． 25. 【问题原型】如图①，与均为等腰直角三角形，，连接AD、BE．求证： 【问题延伸】如图②，，，连接 ．试问与的大小有怎样的关系？请说明理由． 【问题应用】如图③，，，，．点E在边上，且，连接，则线段的长为______． 【答案】问题原型：见解析；问题延伸：，理由见解析；问题应用： 【解析】 【分析】问题原型：只需要利用证明即可证明； 问题延伸：由得到，再证明．即可证明，从而证明； 问题应用：先利用勾股定理求出，则，同理证明，利用相似三角形的性质求出，由，得到，推出四点共圆，则，即可利用勾股定理得到． 【详解】解：问题原型：∵与均为等腰直角三角形， ∴，． ∵， ∴，即． ∴． ∴． 问题延伸：，理由如下： ∵， ∴． ∵， ∴，即． ∴． ∴． 问题拓展：在中，， ∴， ∵， ∴， 同理可证， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴四点共圆， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，圆内接四边形的性质等等，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $