精品解析：江苏省南京市第一中学2025-2026学年高二上学期1月期末数学试卷

南京一中2025-2026学年度第一学期期末试卷 高 二 数 学 2026.1 命题人: 王印 周晨旭 校对人： 周晨旭 审核人: 王印 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 过点且与直线平行的直线的方程为（ ） A. B. C. D. 2. 两条平行直线：与：间的距离为（ ） A. B. C. 3 D. 5 3. 已知圆的内接正方形的一条对角线上的两个顶点的坐标分别是，，则这个圆的方程为（ ） A. B. C D. 4. 椭圆：的左焦点为，椭圆上的点与关于坐标原点对称，则的值是（ ） A 3 B. 4 C. 6 D. 8 5. 当时，函数取得最大值，则（ ） A. B. C. D. 1 6. 记为等比数列的前项和，若，，则（   ） A. B. C. D. 7. 已知数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 8. 若函数在上有且仅有一个极值点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 数列的前项和为，已知，则（ ） A. 是递减数列 B. C. 当时， D. 当时，取得最大值 10. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，左、右顶点分别为、，点是双曲线上的点（异于、），则下列结论正确的是（ ） A. 该双曲线的离心率为 B. 该双曲线的渐近线方程为 C. 若，则的面积为 D. 点到、两点的连线斜率乘积为 11. 已知函数，g(x)＝lnx，其中e为自然对数的底数．下列结论正确的是（ ） A. 函数y＝f(x)－g(x)在(0，1)上单调递减 B. 函数y＝f(x)－g(x)的最小值大于2 C. 若P，Q分别是曲线y＝f(x)和y＝g(x)上的动点，则|PQ|的最小值为 D. 若f(mx)－g(x)≥(1－m)x对恒成立，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知抛物线上一点P到焦点F的距离为12，则点P的横坐标为________. 13. 已知为等差数列，，，则_______． 14. 已知双曲线（，）的左右焦点分别为，，为坐标原点，为上一点，右顶点到直线的距离为（），点到直线轴的距离为.若，且，，成等比数列，则双曲线的离心率为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等比数列中，， （1）求数列通项公式； （2）若，求数列的前项和． 16. 已知函数，且 （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数在区间上的最小值． 17 已知数列满足. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 18. 已知点是离心率为的椭圆：上的一点． （1）求椭圆的方程； （2）点在椭圆上，点关于坐标原点的对称点为，直线和的斜率都存在且不为，试问直线和的斜率之积是否为定值？若是，求此定值；若不是，请说明理由； （3）斜率为直线交椭圆于、两点，求面积的最大值，并求此时直线的方程． 19. 已知函数． （1）若是的极值点，试判断函数在上的单调性，并说明理由； （2）若对任意且，都有，求实数的取值范围； （3）当时，证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南京一中2025-2026学年度第一学期期末试卷 高 二 数 学 2026.1 命题人: 王印 周晨旭 校对人： 周晨旭 审核人: 王印 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 过点且与直线平行的直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据直线的平行关系求得所求直线的斜率，再根据斜截式方程求解即可 【详解】因为直线的斜率为，所求直线与平行， 所以所求直线的斜率也为， 又因为所求直线过点， 所以，由斜截式方程可知，所求直线方程为，即 故选：B 2. 两条平行直线：与：间的距离为（ ） A. B. C. 3 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用两条平行直线间的距离公式求解即可． 【详解】两条平行直线：与： 所以两条平行线间的距离为． 故选：C． 3. 已知圆的内接正方形的一条对角线上的两个顶点的坐标分别是，，则这个圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用中点坐标公式求出圆心坐标，利用两点间距离公式求出圆的半径，进而得圆的标准方程，再化为圆的一般方程即可求解. 【详解】由圆的内接正方形的一条对角线上的两个顶点的坐标分别是，， 所以圆心坐标为，圆的直径为， 所以圆的半径为， 所以圆的标准方程为：，即， 故选：B. 4. 椭圆：的左焦点为，椭圆上的点与关于坐标原点对称，则的值是（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】令椭圆C的右焦点，由已知条件可得四边形为平行四边形，再利用椭圆定义计算作答. 【详解】令椭圆C的右焦点，依题意，线段与互相平分，于是得四边形为平行四边形， 因此，而椭圆：的长半轴长， 所以. 故选：D 5. 当时，函数取得最大值，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可知，即可解得，再根据即可解出． 【详解】因函数定义域为，所以依题可知，，，而，所以，即，所以，因此函数在上递增，在上递减，时取最大值，满足题意，即有． 故选：B. 6. 记为等比数列的前项和，若，，则（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设公比为，由可得，然后可得即可. 【详解】设等比数列的公比为，又， 所以， 所以. 故选：D. 7. 已知数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造等差数列，结合等差数列的通项公式，求得，再求结果即可. 【详解】根据题意可得：，则，故数列是首项为，公差为的等差数列， 则，，故. 故选：B. 8. 若函数在上有且仅有一个极值点，则实数取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据极值点的意义,可知函数的导函数在上有且仅有一个零点.结合零点存在定理,即可求得的取值范围. 【详解】函数 则 因为函数在上有且仅有一个极值点 即在上有且仅有一个零点 根据函数零点存在定理可知满足即可 代入可得 解得 故选:C 【点睛】本题考查了函数极值点意义,函数零点存在定理的应用,属于中档题. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 数列的前项和为，已知，则（ ） A. 是递减数列 B. C. 当时， D. 当时，取得最大值 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定的前项和求出通项，再逐项判断得解. 【详解】数列的前项和， 当时，， 满足上式，因此， 对于A，，即，因此是递减数列，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，当时，，C错误； 对于D，当时，，数列前4项都为正，从第5项起都为负， 因此当时，取得最大值，D正确. 故选：ABD 10. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，左、右顶点分别为、，点是双曲线上的点（异于、），则下列结论正确的是（ ） A. 该双曲线的离心率为 B. 该双曲线的渐近线方程为 C. 若，则的面积为 D. 点到、两点的连线斜率乘积为 【答案】BC 【解析】 【分析】求出、、的值，利用双曲线的离心率公式可判断A选项；求出该双曲线的渐近线方程，可判断B选项；利用双曲线的定义、勾股定理结合三角形的面积公式可判断C选项；利用斜率公式结合双曲线的方程可判断D选项. 【详解】在双曲线中，，，则， 对于A选项，该双曲线的离心率为，A错； 对于B选项，该双曲线的渐近线方程为，B对； 对于C选项，因为，则， 由双曲线的定义可得， 所以，，可得， 故，C对； 对于D选项，设点，其中，且，可得， 易知点、，则，D错. 故选：BC. 11. 已知函数，g(x)＝lnx，其中e为自然对数的底数．下列结论正确的是（ ） A. 函数y＝f(x)－g(x)在(0，1)上单调递减 B. 函数y＝f(x)－g(x)的最小值大于2 C. 若P，Q分别是曲线y＝f(x)和y＝g(x)上动点，则|PQ|的最小值为 D. 若f(mx)－g(x)≥(1－m)x对恒成立，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】AB.令，用导数法判断；C. 由与关于对称，且与切于，与切于求解判断；D.将f(mx)－g(x)≥(1－m)x对恒成立，转化为对恒成立，用导数法求解判断. 【详解】解：设，则， 所以在上递增，又，又， 则存在，当时，，递减，当时，，递增，故A错误； 有，即， 所以当时，，当时，， 所以，又，则，故B正确； 易知与关于对称， 且与切于，与切于， 所以|PQ|的最小值为，故C正确； 若f(mx)－g(x)≥(1－m)x对恒成立，则， 即对恒成立，即 令，则在上递增， 则，，所以 令，则， 当时，，当时，， 所以，所以，故D正确； 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知抛物线上一点P到焦点F的距离为12，则点P的横坐标为________. 【答案】9 【解析】 【分析】根据焦半径公式即可求解. 【详解】抛物线的焦点，准线. 因为点到焦点的距离为12， 所以点到准线的距离为，则. 所以点的横坐标为. 故答案为： 13. 已知为等差数列，，，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式和等差中项求解即可. 【详解】根据题意，可设等差数列的公差为， 又由，则，即， ，则，即， 则公差， 则， 所以． 故答案为： 14. 已知双曲线（，）的左右焦点分别为，，为坐标原点，为上一点，右顶点到直线的距离为（），点到直线轴的距离为.若，且，，成等比数列，则双曲线的离心率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设出点坐标，利用点到直线距离公式可得，再利用双曲线定义及数量积的运算律列式求出离心率. 【详解】设点，则直线方程为，而，又， 则，于是，由，，成等比数列， 得，而，则， 令双曲线半焦距为，由， 得，因此，解得， 所以双曲线C的离心率为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等比数列中，， （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件先求出首项和公比代入等比数列通项求解即可. （2）结合等差数列求和公式和等比数列求和公式，用分组求和的方法代入求解即可. 【小问1详解】 设等比数列的首项为，公比为，其通项公式为， 根据已知条件，可列出方程组，化简得：， 将代入，解得， 因此通项公式为； 【小问2详解】 这个数列的每一项都是一个等差数列与一个等比数列的对应项的和，因此可以分组求和． ． 16. 已知函数，且 （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数在区间上的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意，求出的值，然后根据导数的几何意义即可求解； （2）根据导数与函数单调性的关系，判断函数在区间上的单调性，从而即可求解. 【小问1详解】 解：由题意，， 因为，所以，解得， 所以，， 因为，， 所以曲线在点处的切线方程为，即； 【小问2详解】 解：因为，， 所以时，，时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，即函数在区间上的最小值为. 17. 已知数列满足. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据已知递推式得，再由等比数列的定义写出通项公式； （2）由（1）及已知得，再应用裂项相消法求和. 【小问1详解】 由，则，而， 所以是首项、公比均为2的等比数列，则， 所以； 【小问2详解】 由（1）， 所以， 所以. 18. 已知点是离心率为的椭圆：上的一点． （1）求椭圆的方程； （2）点在椭圆上，点关于坐标原点的对称点为，直线和的斜率都存在且不为，试问直线和的斜率之积是否为定值？若是，求此定值；若不是，请说明理由； （3）斜率为的直线交椭圆于、两点，求面积的最大值，并求此时直线的方程． 【答案】（1）； （2）是， （3）最大值， 【解析】 【分析】（1）根据和过点可求结果； （2）设，所以，，从而得到． （3）先联立直线与椭圆得出，点到直线的距离为，计算，利用均值不等式求面积的最值和直线的方程． 【小问1详解】 ，， 将代入椭圆方程得， 所以椭圆方程为； 【小问2详解】 依题意得在椭圆上， 直线和的斜率都存在且不为， 设，所以， ， ， 所以直线和的斜率之积为定值； 【小问3详解】 设直线的方程为，， 由消去，整理得， ，则， 则， ， 点到直线的距离为， ， 当，即时面积最大，且最大值为， 此时直线的方程为． 19. 已知函数． （1）若是的极值点，试判断函数在上的单调性，并说明理由； （2）若对任意且，都有，求实数的取值范围； （3）当时，证明． 【答案】（1）单调递增，理由见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题已知函数的极值点，可求出函数的解析式．进而通过导数，分析函数的单调性． （2）由条件，化简后，可建立所需函数，进而运用导数分析它的单调性，化为最值问题，求出的取值范围； （3）由题为证明，可化为区间上的最值问题．即使函数的最小值大于零可得证．则可借助导数先确定函数的单调区间，分析可得． 【小问1详解】 在单调递增， ， 是的极值点，，解得：， ，定义域是，， 设，则，在递增， 又，时，，即，时，，即， 在递减，在递增，在单调递增， 【小问2详解】 因为对任意且，都有，即都有， 故函数在上单调递增； 在上恒成立，又因为在上单调递增， 所以只要即； 【小问3详解】 证明：当，时，， 故只需证明当时， 当时，函数在上为增函数，且，， 故在上有唯一实数根，且， 当时，，当时，， 从而当时，取得最小值． 由，得，，故， 综上，当时，． 法二：．，，，故， 令，易证时“”成立）， 故， “”不同时成立）， 故，成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $