8.4正方形寒假预习讲义2025-2026学年苏科版八年级下学期数学.（知识点归纳+题型精讲+综合测试）

8.4正方形寒假预习必备讲义（苏科版） 👌 课前预习★目标 ●明确正方形的定义，知道正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，理清它与平行四边形、矩形、菱形的从属关系； ●熟记正方形的边、角、对角线、对称性等核心性质，能区分并对比正方形与矩形、菱形性质的异同； ●梳理正方形的 3 种主要判定方法，能根据已知条件（边、角、对角线）选择合适的判定思路； ●感受正方形在生活中的应用（如地砖、窗户），体会几何图形与生活的联系，提升学习兴趣。 ☘ 重点知识★梳理归纳 【知识点1正方形的定义】 四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形． 【重点提示】既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形． 【知识点2正方形的性质】 正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质． 要素 性质 边 对边平行，四条边都相等 角 四个角都是直角 对角线 两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角 对称性 是轴对称图形，有四条对称轴 【重点提示】正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形． 【知识点3正方形的判定】 正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）． 【知识点4】特殊平行四边形之间的关系 【知识点5】顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状 （1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形． （2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形． （3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形． （4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形． 【重点提示】新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成． ●若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形． ●若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形． ●若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形． ✅ 聚焦题型★提升能力 【题型1正方形性质理解】 【例1】．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（   ） A．对角线相等 B．对角线互相垂直 C．对角线平分一组对角 D．对角线互相平分 【答案】A 【分析】正方形是特殊的菱形，具有菱形的所有性质，但对角线相等是正方形独有的性质，菱形不一定具有． 本题考查了正方形与菱形的性质．此题比较简单，解题的关键是熟记正方形与菱形的性质定理． 【详解】解：∵正方形的性质有：四条边都相等，四个角都是直角，对角线互相平分垂直且相等，而且每一条对角线平分一组对角； 又∵ 菱形的性质有：四条边都相等，对角线互相垂直平分，而且每一条对角线平分一组对角； ∴正方形具有而菱形不一定具有的性质是：对角线相等． 故选：A． 【变式1】．如图，把一张矩形纸片对折两次，然后沿虚线剪下一个角．当虚线与折痕所成的锐角的度数为 时，剪下的这个角展开可以得到一个正方形． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质以及折叠的性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．找出剪下的角展开后可以得到一个正方形的条件即剪下的角必须是一个直角，以此进行分析即可． 【详解】解：由于剪下的角展开后可以得到一个正方形，那么剪下的角必须是一个直角。 因此，虚线与折痕所成的锐角的度数为． 故答案为：． 【变式2】．如图，已知在正方形中，E是的中点，F在上，且． (1)请你判断的形状，并说明理由． (2)若此正方形的面积为16，求的长． 【答案】(1)为直角三角形．理由见解析 (2) 【分析】本题考查了正方形的性质、比例关系、勾股定理及其逆定理等初中数学知识点，解题关键在于通过设定正方形边长，利用比例关系计算各线段长度，再应用勾股定理验证直角三角形的条件，最后结合正方形面积求解目标线段的长度，体现了数学建模和逻辑推理的能力． （1）可通过设正方形边长，利用勾股定理计算三边平方关系来确定； （2）先由正方形面积得出边长的平方，再结合第（1）问结论求的长． 【详解】解：（1）为直角三角形．理由如下： 设正方形的边长为，则． 是的中点， ． 在正方形中， 在中，； 在中，； 在中，， ， 为直角三角形； （2）因为正方形的面积为16， ， ， （负值已舍去）． 【题型2根据正方形的性质求角度】 【例2】．如图，有一个和一个正方形，其中点在边上，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质、平行四边形的性质、三角形内角和定理等知识；熟练掌握平行四边形和正方形的性质，由三角形内角和定理求出的度数是解决问题的关键.由平角的定义求出的度数，由三角形内角和定理求出的度数，再由平行四边形的同旁内角互补即可得出结果． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴ ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴． 故选：C． 【变式1】．如图，四边形是一个正方形，E是延长线上一点，且，则的度数 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握以上性质是解题的关键．根据正方形的性质，可得，，则，再根据等边对等角，可得，结合，即可求得的度数． 【详解】解：∵四边形是一个正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【变式2】．如图，是正方形的一条对角线，点、分别在对角线、边上，连接、、，且，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三线合一，中垂线的性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键：先由正方形的性质得，再证明是等腰三角形，故得是的垂直平分线，所以证明，结合，得，即可作答． 【详解】解：如图所示： ∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【题型3根据正方形的性质求线段长】 【例3】．如图，点E是正方形对角线的中点，，则正方形的周长为（   ） A． B．8 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质和勾股定理，求出边长是解题的关键． 利用正方形的性质和勾股定理求出边长即可解决问题． 【详解】解：∵点E是正方形对角线的中点，， ∴， ∴， ∵在正方形中， ∴， ∴正方形的周长为：， 故选：B． 【变式1】．如图，已知点是正方形外的一点，连接若，，则的长为 ．    【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，以为对角线画正方形，延长交于点H，得，可得，，再根据勾股定理即可求出的长 【详解】解：如图，以为对角线画正方形，延长交于点H，    ∴，得矩形， ∴ 在中， ∴ ∴， 在中，， ∴． 故答案为：． 【变式2】．如图，四边形是正方形，，是对角线上一点，过点作于点于点，若，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据四边形是正方形，，证明四边形是矩形，四边形是矩形，得，运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：如图，延长，交于点． 四边形是正方形， ． ， ， ， 四边形是矩形， ， ， 四边形是矩形， ． ， ， ． 【题型4根据正方形的性质求面积】 【例4】．对角线长是3的正方形的面积（    ） A． B．9 C． D．11 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，解题的关键熟练掌握正方形的性质．设正方形边长为a，根据正方形的性质以及勾股定理即可得到，则，即可求解正方形的面积． 【详解】解：设正方形边长为a， 由正方形可得边长相等，且内角为， ∴由勾股定理得，， ∴， 即正方形的面积为， 故选：A． 【变式1】．如图，边长分别为8，4，2的正方形拼接在一起，三点分别是正方形的中心，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】42 【分析】本题主要考查正方形的性质，根据经过正方形中心的直线把这个正方形分成面积相等的两部分解答即可． 【详解】解：∵边长分别为8，4，2的正方形的面积为：64，16和4， ∴三个正方形的面积和为, ∵三点分别是正方形的中心， ∴图中阴影部分的面积为， 故答案为：42． 【变式2】．如图，四边形是边长为的正方形，且，，求阴影部分的面积． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的简单应用以及割补法求阴影面积，熟练掌握和运用勾股定理是解答关键．由题意可得是直角三角形，根据勾股定理求出其斜边长度，即正方形边长，再根据割补法求阴影面积即可． 【详解】解：四边形是边长为的正方形，且，， ， 是直角三角形． ． 【题型5正方形折叠问题】 【例5】．如图，四边形是边长为9的正方形纸片，将其沿折叠，使点落在边上的处，点的对应点为，且，则的长是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，正方形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．连接，，根据折叠的性质可得，再由线段的和差可得，然后在和中由勾股定理得到，，将，和代入计算即可求得的值． 【详解】解：连接，，如图， 在中，， 在中，， 根据折叠的性质可知，， ， 四边形是边长为9的正方形，， ，，， ， 解得． 故选：B． 【变式1】．如图，正方形的边长为8，将正方形折叠，使顶点落在边上的点处，折痕为，若，则线段的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，折叠的性质等知识．先根据正方形的性质得到，，，再根据折叠的性质得到，设，则，在中，根据勾股定理列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵正方形的边长为8，， ∴，，， 由折叠的性质得， 设，则， 在中，根据勾股定理得， 解得， 即． 故答案为：． 【变式2】．如图，正方形的边长为2，点是边的中点，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得到，延长交于点． (1)判断和的数量关系，并说明理由； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，图形的折叠问题，全等三角形的判定和性质： （1）连接，证明，即可解答； （2）设，则，，在中，根据勾股定理可得，再由，即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： 连接， 四边形是正方形， ，， 点是边的中点， ， 将沿直线翻折得， ，，， ， ， ∴， ； （2）解：设，则，， 根据勾股定理得， 即， 解得， ，， ∴ ． 【题型6求正方形重叠部分面积】 【例6】．如图，有大小不同的2个正方形A和B，当B的对角线交点与A的一个顶点重合时，重叠部分的面积是A的，那么当A的对角线交点与B的一个顶点重合时，重叠部分的面积是B的（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，涉及到正方形性质的应用，正确认识图形是解题的关键． 根据题意，结合图形，先得到图1中，结合已知条件，得到，结合图2，得到结果． 【详解】解∶如图，设正方形的面积为，正方形的面积为，图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为， ∵图1中，，，， ∴（）， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理，图2中，， ∴， 即当的对角线交点与的一个顶点重合时，重叠部分的面积是的， 故选∶． 【变式1】．如图，边长为6cm的正方形ABCD先向上平移3cm，再向右平移1.5cm，得到正方形，此时阴影部分的面积为 cm2 【答案】13.5// 【分析】将边长为6cm的正方形ABCD先向上平移3cm，再向右平移1.5cm，得到正方形，可得阴影部分是矩形，且可求阴影部分的长和宽，则面积能求出． 【详解】∵将边长为6cm的正方形ABCD先向上平移3cm，再向右平移1.5cm，得到正方形， ∴由平移的性质可得阴影部分是矩形， ∵根据题意得：阴影部分的宽为6-3=3（cm），长为6-1.5=4.5（cm）， ∴S阴影部分=3×4.5=13.5 （cm2）， 故答案为13.5cm2． 【点睛】本题考查正方形的性质，平移的性质，关键是理解图形变化的所表达的意义． 【变式2】．如图，在正方形中，对角线交于点O，点E、F分别在边上，且，连接． (1)求证：； (2)若正方形的边长为2，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)1 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，证明三角形全等是解题的关键． （1）由正方形的性质证明即可； （2）由，得，从而得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵正方形的边长为2，， ∴， 即四边形的面积为1． 【题型7根据正方形的性质证明】 【例7】．下列关于正方形对角线的结论中，错误的是（    ） A．两条对角线互相平分 B．两条对角线相等 C．两条对角线互相垂直 D．正方形面积等于对角线长的平方 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，根据正方形的性质，勾股定理逐一排除即可，熟练掌握正方形的性质是解题的关键． 【详解】解：、正方形的两条对角线互相平分，该选项正确，不符合题意； 、正方形的两条对角线相等，该选项正确，不符合题意； 、两条对角线互相垂直，该选项正确，不符合题意； 、设正方形边长为，对角线， ∴， ∴， ∴面积，即正方形面积等于对角线长平方的一半，该选项错误，符合题意； 故选：． 【变式1】．如图，四边形是正方形，将绕点A顺时针旋转得，连接，则的角度为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、旋转的性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握“利用旋转和正方形性质得到等腰三角形，再结合等腰三角形内角和求角”是解题的关键．先根据旋转性质得，结合正方形性质求，再利用等腰三角形性质求 【详解】解：绕点顺时针旋转得， ， 四边形是正方形， ，， ， ， 在中， ， 故答案为： 【变式2】．如图，在正方形中，点，分别在，上，且，与相交于点．试探究与之间的数量与位置关系，并说明理由． 【答案】，．理由见解析 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解题关键是利用正方形的边和角的性质证明三角形全等，再通过角的等量代换推导线段的垂直关系． 通过正方形的性质找到全等三角形的条件，证明三角形全等以推导线段的数量关系，再利用角的等量代换分析线段的位置关系． 【详解】解：，． 理由如下：四边形是正方形， ，． 又， ， ，． ， ， ， ． 【题型8正方形的判定定理理解】 【例8】．下列判断错误的是（   ） A．有一组邻边相等的四边形是菱形 B．有一个角是直角的平行四边形是矩形 C．对角线垂直的矩形是正方形 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形 【答案】A 【分析】本题考查了菱形、矩形、正方形、平行四边形的判定定理，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故原说法是不正确的，符合题意； B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故原说法是正确的，不符合题意； C、对角线垂直的矩形是正方形，故原说法是正确的，不符合题意； D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故原说法是正确的，不符合题意； 故选：A． 【变式1】．下列说法： ①对角线互相垂直且相等的四边形是菱形 ②矩形的对角线互相垂直 ③一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形 ④对角线垂直的矩形是正方形 其中正确的是 ．（把所有正确结论的序号都填上） 【答案】④ 【分析】依次根据菱形、矩形、平行四边形、正方形的判定定理，对每个说法进行判断．本题主要考查了菱形、矩形、平行四边形、正方形的判定，熟练掌握它们的判定定理是解题的关键． 【详解】解：菱形的判定是对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，仅垂直且相等不行，所以①错误； 矩形的对角线相等但不垂直，所以②错误； 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，一组对边平行且另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，所以③错误； 对角线垂直的矩形是正方形，满足正方形的判定，所以④正确． 故答案为：④． 【变式2】．如图，已知，请你用尺规作图法作正方形，且保证点D、E在的右侧．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查了作垂线，作线段，正方形的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先过点B作的垂线，再以点为圆心，的长度为半径，画弧交的垂线于点D，然后分别以点为圆心，的长度为半径，画弧，这两弧交于点，此时，即四边形是菱形，又因为，则四边形是正方形，即可作答． 【详解】解：如图所示，正方形即为所求．（作法不唯一） 【题型9证明四边形是正方形】 【例9】．若四边形的对角线互相垂直平分且相等，则它一定是（   ）． A． 菱形 B．正方形 C．等腰梯形 D．以上说法均不正确 【答案】B 【分析】本题考查了特殊四边形的判定，掌握平行四边形、菱形、矩形和正方形的判定方法是关键． 根据对角线互相平分可得四边形为平行四边形，再结合垂直可得菱形，最后对角线相等可得正方形． 【详解】解：∵ 四边形的对角线互相平分，   ∴ 该四边形是平行四边形， ∵ 平行四边形的对角线互相垂直， ∴ 该平行四边形是菱形， ∵ 菱形的对角线相等，   ∴ 该菱形是正方形． 故选：B． 【变式1】．如图，已知．小红做了如下操作：分别以点为圆心，长为半径作弧，两弧分别相交于点，连接，则四边形 正方形（填“是”或“不是”）． 【答案】是 【分析】本题考查的是正方形的判定，掌握正方形的判定方法是解题的关键．根据正方形的判定定理解答． 【详解】解：由题意得，， ∴四边形是菱形， ∵，， ∴ ∴ ∴四边形是正方形， 故答案为：是． 【变式2】 ．已知：如图，在中，，是的平分线，于点E，于点F．求证：四边形是正方形． 【答案】证明见详解 【分析】本题考查了正方形、矩形的判定，角平分线的性质及等腰三角形的判定与性质．先根据已知条件得出，再由，利用三角形内角和定理得出，从而根据等腰三角形的判定可知，，证明出四边形是矩形，进而求得四边形是正方形． 【详解】证明：∵，是的平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形． 【题型10添一个条件使四边形是正方形】 【例10】．如图，在中，，再添加一个条件，仍不能判定四边形是正方形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形的判定，熟练掌握正方形的判定定理是解题关键．根据矩形的判定定理及正方形的判定定理即可解答． 【详解】解：在中，， ∴四边形是矩形． A、当时，矩形是正方形，故A选项不符合题意； B、当时，矩形是正方形，故B选项不符合题意； C、当时，无法确定矩形就是正方形，故C选项符合题意； D、当时，则，，，矩形是正方形，故D选项不符合题意． 故选：C． 【变式1】．如图，在菱形中，添加一个条件使其成为正方形，你添加的条件是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了正方形的判定方法，①对角线相等的菱形是正方形，②有一个角是直角的菱形是正方形，③对角线互相垂直的矩形是正方形，④一组邻边相等的矩形是正方形． 根据①对角线相等的菱形是正方形，②有一个角是直角的菱形是正方形，添加条件即可． 【详解】解：∵有一个角是直角的菱形是正方形， ∴添加的条件是． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式2】．如图，在中，点O为的中点，过点O作直线． (1)利用圆规和无刻度直尺，在直线l上确定点E，F，连接，使得四边形为矩形，并证明：（保留作图痕迹，不用写作图步骤） (2)添加满足的一个条件，使得（1）中的矩形为正方形，并证明． 【答案】(1)详见解析 (2)当满足为直角的直角三角形时，四边形是正方形，详见解析 【分析】本题主要考查了作图-作等线段，正方形和矩形的判定知识，解题的关键是作出， （1）以点为圆心，长为半径画弧交直线于点，连，则四边形为矩形，即为所求，根据矩形的判定定理证明即可得到结论； （2）由满足为直角的直角三角形时，则推出四边形是矩形且对角线垂直，所以四边形是正方形． 【详解】（1）解：如图，四边形为矩形，即为所求， 点O为的中点， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形； （2）解：当满足为直角的直角三角形时，四边形是正方形， 由（1）知，四边形是矩形， 直线， 当时，则， ， 四边形是正方形． 【题型11根据正方形的性质与判定证明】 【例11】．如图，，是直角且，其中，，则的长度为（ ） A．2 B． C． D．6 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，以及勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．过点A作，证得四边形是正方形，再利用正方形的性质求得，，最后利用勾股定理求得的长度即可． 【详解】解：过点A作，交的延长线于点E， ∵，是直角， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， 如图可得，，， 在中，根据勾股定理可得， ． 故选：C． 【变式1】 ．如图，在矩形中，，，点E为的中点，点F为边上任意一点，将沿翻折，点B的对应点为，则当面积最小时折痕的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，正方形性质，勾股定理，当面积最小时，到的距离最小，即到的距离最大，当到的距离时，此时到的距离最大，即，根据折叠的性质得到，，推出四边形是正方形，利用勾股定理得到，即可解题． 【详解】解：当面积最小时，到的距离最小，即到的距离最大， ∴当到的距离时，此时到的距离最大， 即， 将沿翻折，点B的对应点为， ，， 四边形是正方形， 利用勾股定理得到， 点E为的中点，， ， ， ∴当面积最小时折痕的长为， 故答案为：． 【变式2】．在菱形中，E，F是对角线所在直线上的两点，且，连接 (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的性质，正方形的性质和判定，勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点． （1）先根据“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”得四边形是菱形，再根据“有一个角是直角的菱形是正方形”得出答案； （2）先根据菱形的性质求出，进而求出，再根据正方形的性质可得，然后根据勾股定理求出，则此题可解． 【详解】（1）证明：连接，交于点O， ∵四边形是菱形， ∴ ∵， ∴， 即 ∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是正方形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， 在中，， ∴． 【题型12根据正方形的性质与判定求角度】 【例12】．将矩形纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在边上点F处，折痕为（如图1）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在上的点处，折痕为（如图2）；再展平纸片（如图3）．则图3中的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形与折叠，正方形的判定与性质．熟练掌握矩形与折叠，正方形的判定与性质是解题的关键． 由矩形与折叠的性质可证四边形是正方形，，由折叠的性质可知，，根据，计算求解即可． 【详解】解：由矩形与折叠的性质可知，，， ∴四边形是正方形，， 由折叠的性质可知，， ∴， 故选：B． 【变式1】．如图，在中，，，是射线上一点，将沿折叠，得到，连接．当为直角三角形时，的度数为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了折叠的性质，正方形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是分类讨论．分两种情况：当时，当时，根据折叠的性质，等腰直角三角形的性质，正方形的判定与性质求解即可． 【详解】解：当时， ， ， 由折叠可得：，， ， 四边形是矩形， ， 矩形是正方形， ； 当时， ，， ， 由折叠可知，，， ， 点、、共线， ， 综上所述，的度数为或． 当时， ∵， ∴， ∴， 由折叠可得，； 故答案为：或或． 【变式2】．如图1，已知在四边形中，，，平分，交于点，过点作，交于点F，O是的中点，连接，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，如图2所示：求证：． 【题型13根据正方形的性质与判定求线段长】 【例13】．如图，为正方形内一点，，，，将绕点按顺时针方向旋转，得到．延长交于点，则的长为（   ） A．7 B．7.5 C．8 D．9 【变式1】．如图，矩形纸片，．如果点P在边上，将纸片沿折叠，使点B落在点E处，连接，当是直角三角形时，那么的长为 ． 【变式2】．（1）如图，在中，用无刻度的直尺和圆规作图：作的平分线与的垂直平分线，它们相交于点D．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）中，若，，且，则的长为 ．（如需画草图，请使用备用图） 【题型14根据正方形的性质与判定求面积】 【例14】．如图，正方形中，在各边上截，连接交于点P，四边形的面积是4，四边形的面积是36，则原来的正方形的面积是（    ） A．64 B．50 C．49 D．56 【变式1】．如图，正方形的对角线相交于点O，，．若，则四边形的面积是 ． 【变式2】．如图，在四边形中，，，，，求四边形的面积． 【题型15利用（特殊）平行四边形的对称性求阴影面积】 【例15】．如图，在一块长为a，宽为的长方形铁皮中，若，时，则剩下的铁皮的面积（取）为（　　）． A．5 B．7 C．8 D．12 【变式1】．如图，点，分别是矩形的边，的中点，两条平行线，分别经过菱形的顶点，和边，的中点，，已知菱形的面积为，则图中阴影部分的面积和为 ．（用含的代数式表示） 【变式2】．我们定义：若一个四边形的两条对角线互相垂直，且其中一条对角线平分另一条对角线，则称这个四边形为“和谐四边形”． (1)请从以下选项中选出属于“和谐四边形”的选项填在横线上． ___________ A．矩形    B．菱形    C．等腰梯形 (2)已知四边形是“和谐四边形”，对角线，平分于点若，求四边形面积___________． (3)如图，在四边形中，对角线、相交于点，平分，过点作交于点，交于点，．求证：四边形是“和谐四边形”． 【题型16（特殊）平行四边形的动点问题】 【例16】．如图，在边长为的正方形中，为边上一点，且，点在边上以的速度由点向点运动；同时，点在边上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为，连接．当与全等时，的值为（　　） A．1 B．2 C．2或4 D．1或1.5 【变式1】．如图，在矩形中，，，的平分线交于点，，分别是，上的动点，且，是线段上的动点，连接，．若，则的长为 ． 【变式2】．如图所示，在四边形中，，，，点从点向点以的速度运动，到点即停止点从点向点以的速度运动，到点即停止直线将四边形截成两个四边形，分别为四边形和四边形，已知，两点同时出发，则几秒后所截得的两个四边形中，有一个为平行四边形 【例17四边形中的线段最值问题】 【例17】．如图，正方形的边长为12，点E在AB上，且，点F是上一动点，则的最小值是（    ） A．15 B． C． D．12 【变式1】．如图，在边长为10的正方形中，点G是边的中点，E，F分别是和边上的点，则四边形周长的最小值为 ．    【变式2】．如图，一次函数的图象分别与x轴和y轴相交于A、C两点，且与正比例函数的图象交于点． (1)求m，n的值； (2)当时，直接写出自变量x的取值范围； (3)在y轴上找一点P，使的值最小，求点P的坐标． 【题型18四边形其他综合问题】 【例18】．在学习四边形的过程中，我们引入如下新定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四过边形叫做邻等对补四边形，如图，如果我们用一副三角板进行拼接得到的四边形中，是邻等对补四边形的有（　　）个（在拼接过程中，重合的边可以看作长度相等，且两个三角板位于重合边的两侧） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】．如图，把边长为的正方形纸片分割成如图的三块，其中点为正方形的中心，为的中点，用这三块纸片拼成与该正方形不全等且面积相等的四边形（要求这三块纸片不重叠无缝隙），若四边形为矩形，则四边形的周长是 ． 【变式2】．如图，平行四边形，连结，．点在边上，过点作，垂足为，交延长线于点，连接，． (1)求证：； (2)当为中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由； (3)在满足（2）的条件下，当满足什么条件时，四边形是正方形？（不必说明理由） ✏强化巩固★综合测试 一、单选题 1．下列命题是真命题的是（　　） A．四条边都相等的四边形是正方形 B．菱形的对角线互相垂直 C．平行四边形、菱形、矩形都是轴对称图形 D．顺次连接一个四边形四边中点得到的四边形是矩形，则原来的四边形一定是菱形 【答案】B 【分析】本题考查正方形、菱形、矩形、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．根据正方形、菱形、矩形、平行四边形的判定和性质即可一一判断； 【详解】解：A、四条边都相等的四边形不一定是正方形，故本选项不符合题意； B、菱形的对角线互相垂直，故本选项符合题意； C、平行四边形不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、顺次连接一个四边形四边中点得到的四边形是矩形，则原来的四边形不一定是菱形，故本选项不符合题意； 故选：B． 2．若一个正方形的对角线长为，则它的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正方形的面积与对角线的关系，利用公式“正方形面积等于对角线平方的一半”直接计算． 【详解】解：∵正方形对角线长为，且面积， ∴． 故选：A． 3．如图，四边形是正方形，是等边三角形，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查正方形、等腰三角形的性质以及等边三角形的性质．根据题意知是等腰三角形，，根据三角形内角和定理及等腰三角形性质求底角即可． 【详解】解：四边形是正方形，是等边三角形， ；，， ， 同理， ∴， 故选：B． 4．如图，正方形中，边长为8，E为线段上一点，将沿翻折到，连接，则的最小值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】该题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理等知识点，连接，根据正方形的性质和勾股定理求出，根据折叠可得，则，即可得出当点三点共线时，最小，的最小值为． 【详解】解：连接， ∵在正方形中，边长为8， ∴， ∴， ∵将沿翻折到， ∴， ∴， ∴当点三点共线时，最小，的最小值为， 故选：B． 5．如图，在边长为8的正方形纸片中，E、F分别是边、上的两点，将正方形沿折叠，点C恰好落在边上的中点G处，则的长度是（    ） A． B． C．10 D． 【答案】A 【分析】本题重点考查正方形的性质、轴对称的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识．作，交于点，证明四边形是平行四边形，再证明，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：作，交于点， ∵正方形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵将正方形沿折叠，点C恰好落在边上的中点G处， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的长度是， 故选：A． 6．如图所示：正方形的对角线相交于点O，点O又是另一个正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长相等，若正方形的边长为4，则两个正方形重叠部分的面积为（    ） A．16 B．8 C．4 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，掌握相关知识点是解题关键．过点作，，和的交点为，和的交点为，根据正方形的性质可证，四边形是正方形，得到，再证明，得到，从而得出两个正方形重叠部分的面积，即可得解． 【详解】解：如图，过点作，，和的交点为，和的交点为， ， 四边形和是正方形， ，，， 四边形是矩形， ，，，， ，， 四边形是正方形， ，， ，即， 又，， ， ， 两个正方形重叠部分的面积， 故选：C． 7．如图，在中，点D，E，F分别在边上，且，，下列四种说法： ①四边形是平行四边形： ②如果，那么四边形是矩形； ③如果平分，那么四边形是菱形； ④如果，且，那么四边形是正方形．其中，正确的有（   ） A．①② B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定，等腰三角形的性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键．根据平行四边形的定义，一个角是直角的平行四边形是矩形，一组邻边相等的平行四边形是菱形，正方形的判定解答即可． 【详解】解：∵，， 四边形是平行四边形，故选项①正确； ∵， 平行四边形为矩形，故选项②正确； 又平分， ， 又， ， ， ， 平行四边形为菱形，故选项③正确； 又，， 平分， 同理可得平行四边形为菱形，但不一定为直角， 故菱形不一定为正方形；故选项④错误； 则其中正确的是①②③ ． 故选：C． 8．如图，在中，，垂足为．添加下列哪个条件，不能使成为正方形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形、菱形、正方形的判定定理，首先明确平行四边形、菱形、正方形的判定关系：平行四边形中，对角线互相垂直的是菱形；菱形要成为正方形，需满足有一个内角为直角或对角线相等．本题先由得出是菱形，再分析各选项能否让菱形变为正方形． 【详解】四边形是平行四边形，且， 是菱形． 若，菱形的对角线相等．根据“对角线相等的菱形是正方形”，此时菱形是正方形，故A不符合“不能使”的要求． 若，菱形的一个内角为直角．根据“有一个角是直角的菱形是正方形”，此时菱形是正方形，故B不符合“不能使”的要求． 若，是菱形的边，是对角线．仅“边与对角线相等”无法推出菱形有直角或对角线相等，因此不能保证菱形是正方形，故C符合“不能使”的要求． 若，因菱形对角线互相平分（，），则，，即．结合“对角线相等的菱形是正方形”，此时菱形是正方形，故D不符合“不能使”的要求． 故选C 9．如图，点在正方形的对角线上，且，的两直角边，分别交于点，若正方形的边长为6，则重叠部分四边形的面积为（ ） A．36 B．32 C．16 D．8 【答案】C 【分析】本题考查正方形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，正确作出辅助线，运用转化思想是解题的关键． 过点E作于点P，于点Q，由正方形的性质得到，，，根据勾股定理求得，从而得到，证明四边形是正方形，得到，，，进而证得，得到，从而，根据勾股定理求出，即可解答． 【详解】解：过点E作于点P，于点Q， ∵正方形的边长为6， ∴，，， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴， ∴， ∴矩形是正方形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵在中，，， 又， ∴， 解得（负值舍去）， ∴， ∴． 故选：C． 10．如图，在矩形中，，，点E是上一动点，在平面内将矩形沿折叠，使点D落在位置．若为直角三角形，则的长为（   ） A． B．9或6 C．9或 D．3或 【答案】C 【分析】本题考查的是矩形的性质，正方形的判定与性质，勾股定理的应用，轴对称的性质，分两种情况讨论：当或，再结合图形进一步求解即可． 【详解】解：连接，如图， ∵在矩形中，，， ∴，， ∴， 当落在对角线上时， ，，， 设，则，， ∴， 解得：，即， 如图，当时， ∴， 同理可得：，， ∴四边形为正方形， ∴． 综上：当为直角三角形，则的长为或． 故选：C 11．如图，点是矩形边上一点（）．且，过点作交于点，在上取点使，连结．记四边形面积为，四边形面积为，，若，则（   ） A．10 B．12 C．20 D．24 【答案】A 【分析】本题考查矩形的性质，三角形的面积，关键是由三角形的面积公式得到． 判定四边形是正方形，四边形是矩形，设，，得到，可得． 【详解】解：四边形是矩形， ， ，， 四边形是正方形，四边形是矩形， 设，，则， ，， ， ， ， ． 故选：A． 12．如图，矩形的边，，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，若以为边向右侧作等腰直角三角形，，连接，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】过点G作于H，过点G作，由“”可证，可得，可得点G在平行且到距离为1的直线上运动，则当F与D重合时，有最小值，即可求解． 【详解】解：如图，过点G作于H，过点G作， ∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点G在平行且到距离为1的直线上运动， ∴当F与D重合时，有最小值，此时， ∴的最小值， 故选：B． 【点睛】本题考查了（特殊）平行四边形的动点问题，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，确定点G的运动轨迹是解题关键． 二、填空题 13．如图，阴影部分是两个正方形，其它部分是两个直角三角形和一个正方形，若右边的直角三角形中，，，则阴影部分的面积是 ． 【答案】25 【分析】本题主要考查的是勾股定理、正方形的性质，掌握如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么是解题的关键．根据勾股定理求出，根据正方形的性质得到，根据勾股定理、正方形的面积公式计算即可． 【详解】解：由勾股定理得，， 四边形为正方形， ， 阴影部分的面积， 故答案为：25． 14．如图，为正方形内一点，，按顺时针方向旋转角度后成为， ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上性质是解题的关键．由正方形的性质得到，由旋转的性质得到，则可得到旋转中心为点B，旋转角度为，可证明是等腰直角三角形，得到，据此可得答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵按顺时针方向旋转角度后成为， ∴， ∴旋转中心为点B，旋转角度为， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 故答案为：． 15．如图，在正方形中，，，交于点，点为的中点，连接，则的长为 ．    【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边中线等于斜边一半，掌握正方形的性质是关键． 根据正方形的性质，勾股定理得到，再证明，得到是直角三角形，由直角三角形斜边中线等于斜边一半即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，即是直角三角形， ∵点为的中点， ∴， 故答案为：． 16．如图，正方形的顶点O与正方形的对角线交点O重合，正方形和正方形的边长都是，则图中重叠部分的面积是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了正方形的性质，解题关键是题中重合的部分的面积是不变的，且总是等于正方形面积的． 根据题意可得：，所以，从而可求得其面积． 【详解】解：如图， 正方形和正方形的边长都是， ，，， ∴， 在和中， ， ， ； 则图中重叠部分的面积是， 故答案为：1． 17．如图，在中，点D、E、F分别在边上，且，．下列四种说法： ①四边形是平行四边形； ②如果，那么四边形是矩形； ③如果平分，那么四边形是菱形； ④如果，平分，那么四边形是正方形． 其中，正确的有 （只填写序号） 【答案】①②③ 【分析】本题考查了平行四边形的定义，菱形、矩形、正方形的判定，先由两组对边分别平行的四边形为平行四边形得出为平行四边形，得出①正确；当，根据推出的平行四边形，利用有一个角为直角的平行四边形为矩形可得出②正确；若平分，得到一对角相等，再根据两直线平行内错角相等又得到一对角相等，等量代换可得，利用等角对等边可得一组邻边相等，根据邻边相等的平行四边形为菱形可得出③正确；由可得四边形是菱形，但不一定为直角，④不一定正确 【详解】解：∵ ∴四边形是平行四边形，①正确； 若， ∴平行四边形为矩形，②正确； 若平分， ∴ 又 ∴ ∴ ∴ ∴平行四边形为菱形，③正确 由可得四边形是菱形，但不一定为直角， 故菱形不一定为正方形；④错误， 故答案为：①②③ 18．如图，在矩形中，，，的平分线交于点，于点． （1） ； （2）连接并延长交于点，则 ． 【答案】 【分析】（1）根据已知得出，则为等腰直角三角形．根据勾股定理即可求解； （2）过点作，，，垂足分别为点，，．则四边形为正方形，四边形，为矩形，勾股定理求得，进而证明得出，即可求解． 【详解】解：（1）∵四边形为矩形，平分， ∴． ∵， ∴为等腰直角三角形． ∵， ∴由勾股定理，得， 即， 解得（负值舍去）． 故答案为：． （2）如答图，过点作，，，垂足分别为点，，． ∴四边形，，为矩形． ∵为等腰直角三角形． ∴， ∵， ∴， ∴四边形为正方形， ∵为等腰直角三角形，， ∴，，． 在中，由勾股定理，得． ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质与判定，正方形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，掌握以上知识点是解题的关键． 19．如图，为正方形内一点，，，，将绕点按顺时针方向旋转，得到，延长交于点，连接．则的面积为 【答案】// 【分析】本题考查旋转的性质、勾股定理、正方形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质、勾股定理、正方形的判定与性质是解答本题的关键． 由旋转得，，，，，可得出四边形为正方形，可得．在中，由勾股定理得，，则，，即可解答． 【详解】解：由旋转得，，，， ， 四边形为矩形， ， 四边形为正方形， ， 在中，由勾股定理得，， ， ， ， 故答案为：． 20．如图，已知正方形的边长为1，E为的中点，P为正方形的边上的动点，动点P从点B匀速向点C运动．设的长度为x，阴影部分三角形的面积为y． （1）y与x之间的函数表达式为 （2）当点P运动的路程为 时，三角形的面积为． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质，一次函数的实际运用，以及三角形的面积计算公式来研究动点问题． （1）的长度为x，则，根据的面积正方形的面积的面积的面积的面积即可求出； （2）根据第（1）问，令求解即可． 【详解】解：（1）∵正方形的边长为1，E为的中点， ∴，， ∵的长度为x， ∴， ∴的面积＝正方形的面积的面积的面积的面积 ， 即； （2）∵的面积为， ∴， 解得， 当点P运动的路程为时，的面积为． 故答案为：，． 21．如图，四边形中，，，，，点在折线段上运动，令，点到的距离为，则的最小值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了勾股定理，巧用分类讨论的数学思想是解题的关键． 根据题意，对点M在和上的情况进行分类讨论即可解决问题． 【详解】解：分两种情况讨论： 当点在上时， ∵，且， ∴点到的距离为定值5， 即； 当点在上时， 过点作的垂线，垂足为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴． 连接，则， ∵点在上， ∴， 则当时，的值最小为3． 综上所述，的最小值为3． 故答案为：3． 22．如图，有八个全等的直角三角形拼成一个大四边形和中间一个小四边形，连接、得到四边形，设，，，若，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了代数式求值，四边形面积计算，将四边形的面积设为x，其余八个全等的三角形相等，每个三角形的面积设为y，由，，，可得出，，，根据，得出，从而求出，即可得出答案． 【详解】解：设四边形的面积为x，其余八个全等的三角形面积相等，每个三角形的面积设为y， ∵，，， ∴，，， ∵， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 三、解答题 23．如图，点P在是正方形内一点，将顺时针旋转得到，连接． (1)旋转中心是点_________，旋转角的大小为_________（度）； (2)若，求的长． 【答案】（1）B,90 (2) 【分析】本题考查了旋转的性质、正方形的性质以及等腰直角三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用旋转的性质得出对应边相等、对应角相等，进而构建特殊三角形求解． （1）根据旋转的定义，对应点连线的交点为旋转中心，对应边的夹角为旋转角，结合正方形的内角特征确定答案； （2）利用旋转性质得出对应边相等和对应角相等，证明为等腰直角三角形，再通过勾股定理计算的长． 【详解】（1）解：∵顺时针旋转得到，对应点分别为，公共对应点为B， ∴旋转中心是点B； ∵四边形是正方形， ∴， 又∵旋转后与重合， ∴旋转角为， 故答案为：B； （2）解：∵旋转得到， ∴， ∵，即， ∴，即， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， 由勾股定理得， 答：的长为． 24．如图，C是线段上的一点，分别以，为边向两边作正方形，．若，两正方形的面积和为20，求的面积． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用，以直角三角形三边为边长的图形面积，根据正方形的性质求线段长等知识点，解题关键是掌握完全平方公式． 先利用完全平方公式，求得，再利用三角形面积公式求解． 【详解】解：设，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵两正方形的面积和为20， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 25．西安一社区在2025年老旧小区改造中，为增加居民活动空间，计划将一块闲置的正方形空地改造成“社区健身角”．如图，空闲地块，边长为米．计划在地块上设计两个相同的长方形健身区（铺设塑胶地面），每块长方形健身区的长为米，宽为米． (1)求正方形空闲地块的面积； (2)已知塑胶地面约80元/平方米，那么铺设完健身区需要花费多少元？ 【答案】(1)米 (2)7840元 【分析】（1）根据正方形的面积公式求解即可； （2）先计算长方形健身区的总面积，再求铺设健身区需要的总费用即可． 【详解】（1）解：由题意得，正方形空闲地块ABCD的面积平方米 答：正方形空闲地块的面积为平方米； （2）解：由题意，单个长方形健身区的长为米，宽为米， 单个长方形健身区的面积平方米， 铺设完健身区需要的花费元 答：铺设完健身区需要花费7840元． 26．如图，正方形纸片的边长为，点是边的中点，将这个正方形纸片翻折，使点落到点处，折痕交边于点，交边于点，请求出的长． 【答案】的长为 【分析】本题考查了正方形的性质，图形的翻折变换以及勾股定理．熟练掌握正方形的性质，图形的翻折变换以及勾股定理是解题的关键． 通过设未知数，利用勾股定理建立方程来求解的长即可． 【详解】解：设为， 四边形是边长为的正方形， ， ， 正方形纸片翻折，使点落到点处， ， 点是边的中点， ， 在中，根据勾股定理，得到， ， 解得， ． 27．如图，在正方形中，的中点为E，F为的中点，求证： 【答案】见解析 【分析】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，全等三角形的判定和对应边相等的性质，正确构建全等三角形是解题的关键； 作的平分线交的延长线于H，设正方形边长为a利用勾股定理求出，证明得再证即可解答． 【详解】证明：如图，作的平分线交的延长线于H，则， ∴． 设正方形边长为a，在中， ， ∴． ∴， ∴． ∵四边形是正方形， ∴． 在和中， ∴， ∴． 在和中， ∴， ∴． 28．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是，每个小格的顶点叫做格点． (1)在图中以格点为顶点画一个面积为的正方形； (2)如图，点、、是小正方形的顶点，求的度数． 【答案】(1)画图见解析 (2) 【分析】（）如图，连接格点，由勾股定理可得，由网格可得，所以四边形是正方形，且面积为，故四边形即为所求； （）由勾股定理及其逆定理可得为等腰直角三角形，进而即可求解； 本题考查了勾股定理及其逆定理，正方形的判定，等腰三角形的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，正方形即为所求； （2）解：如图，连接，由勾股定理可得，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴． 29．如图，在中，，点D是的中点，过点A作平行于，且，连接． (1)求证：四边形是矩形． (2)当 时，四边形是正方形． 【答案】(1)见解析 (2)45 【分析】本题主要考查了矩形的判定定理，正方形的判定定理，三线合一定理，等腰直角三角形的性质与判定，熟知矩形和正方形的判定定理是解题的关键． （1）可证明，则可证明四边形是平行四边形，由三线合一定理得到，据此可证明结论； （2）当时，可证明是等腰直角三角形，得到，则可证明矩形是正方形． 【详解】（1）证明：∵点D是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，D是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． （2）解：当时，四边形是正方形，证明如下： 由（1）可得，且四边形是矩形， 又∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴矩形是正方形． 30．如图，在正方形中，分别是上两点，交于点，且． (1)判断与之间的数量关系与位置关系，并说明理由： (2)当点是的中点时，连接，求的度数． 【答案】(1)，，理由见解析 (2) 【分析】（）证明，得，，进而可得，即得到，即可求证； （）过点作于，交的延长线于，可得四边形是矩形，再证明，得，利用三角形面积得，即得，即可得四边形是正方形，即可求解； 本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：，，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即； （2）解：如图，过点作于，交的延长线于， ∵， 则， ∴四边形是矩形， ∵点是的中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 由（）知， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴． 31．如图，在中，的平分线交于点D，， (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，且，求四边形的面积． 【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的判定，正方形的性质与判定，等角对等边，熟知菱形的判定定理和正方形的性质与判定定理是解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再由平行线的性质和角平分线的定义推出，则可得到，据此可得结论； （2）可证明四边形是正方形，再根据正方形对角线相等，且正方形的面积等于其对角线乘积的一半可得答案． 【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下： ，， 四边形是平行四边形． 平分 ． ， ， ， ， 平行四边形是菱形． （2）解：如图所示，连接， 由（1）可知，四边形是菱形． ，， ∴四边形是正方形， ∴， ∴． 32．如图，在矩形中，，，点O为对角线的中点，动点P从点A出发，沿向终点C运动．连结，当点P不与点B重合时，作点P关于的对称点E，顺次连结O、P、B、E四个点，组成四边形． (1)______； (2)求证：； (3)当四边形的面积为20时，求出此时的长． (4)在点P运动过程中，当四边形是菱形时，请直接写出此时的值． 【答案】(1)5 (2)证明见解析 (3)或 (4)或 【分析】（1）根据矩形的性质以及勾股定理即可求解； （2）根据题意可得垂直平分，从而得到，即可求证； （3）分两种情况：点P在边上或点P在边上，结合勾股定理以及等腰三角形的性质解答即可； （4）设，点P在边上或点P在边上，结合勾股定理以及菱形的性质解答即可． 【详解】（1）解：在矩形中，， ∴，， ∴， ∵点O为对角线的中点， ∴， 故答案为：5 （2）证明：∵点P关于的对称点为点E， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵， ∴ ∵四边形的面积为20， ∴， ∵点O为对角线的中点， ∴，， 当点P在边上时，过点O作，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴； 当点P在边上时，过点O作于点G， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的长为或； （4）解：设， 如图，当点P在边上时，设交于点N， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， 由（2）得：，， 在中，， ∴， 解得：， 即； 当点P在边上时，延长交于点M， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， 由（2）得：，， 在中，， ∴， 解得：， 即； 综上所述，的值为或． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，菱形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.4正方形寒假预习必备讲义（苏科版） 👌 课前预习★目标 ●明确正方形的定义，知道正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，理清它与平行四边形、矩形、菱形的从属关系； ●熟记正方形的边、角、对角线、对称性等核心性质，能区分并对比正方形与矩形、菱形性质的异同； ●梳理正方形的 3 种主要判定方法，能根据已知条件（边、角、对角线）选择合适的判定思路； ●感受正方形在生活中的应用（如地砖、窗户），体会几何图形与生活的联系， 学习兴趣。 ☘ 重点知识★梳理归纳 【知识点1正方形的定义】 四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形． 【重点提示】既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形． 【知识点2正方形的性质】 正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质． 要素 性质 边 对边平行，四条边都相等 角 四个角都是直角 对角线 两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角 对称性 是轴对称图形，有四条对称轴 【重点提示】正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形． 【知识点3正方形的判定】 正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）． 【知识点4】特殊平行四边形之间的关系 【知识点5】顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状 （1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形． （2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形． （3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形． （4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形． 【重点提示】新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成． ●若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形． ●若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形． ●若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形． ✅ 核心考点★精讲精练 【题型1正方形性质理解】 【例1】．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（   ） A．对角线相等 B．对角线互相垂直 C．对角线平分一组对角 D．对角线互相平分 【变式1】．如图，把一张矩形纸片对折两次，然后沿虚线剪下一个角．当虚线与折痕所成的锐角的度数为 时，剪下的这个角展开可以得到一个正方形． 【变式2】．如图，已知在正方形中，E是的中点，F在上，且． (1)请你判断的形状，并说明理由． (2)若此正方形的面积为16，求的长． 【题型2根据正方形的性质求角度】 【例2】．如图，有一个和一个正方形，其中点在边上，若，，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，四边形是一个正方形，E是延长线上一点，且，则的度数 ． 【变式2】．如图，是正方形的一条对角线，点、分别在对角线、边上，连接、、，且，求的度数． 【题型3根据正方形的性质求线段长】 【例3】．如图，点E是正方形对角线的中点，，则正方形的周长为（   ） A． B．8 C． D． 【变式1】．如图，已知点是正方形外的一点，连接若，，则的长为 ．    【变式2】．如图，四边形是正方形，，是对角线上一点，过点作于点于点，若，求的长． 【题型4根据正方形的性质求面积】 【例4】．对角线长是3的正方形的面积（    ） A． B．9 C． D．11 【变式1】．如图，边长分别为8，4，2的正方形拼接在一起，三点分别是正方形的中心，则图中阴影部分的面积为 ． 【变式2】．如图，四边形是边长为的正方形，且，，求阴影部分的面积． 【题型5正方形折叠问题】 【例5】．如图，四边形是边长为9的正方形纸片，将其沿折叠，使点落在边上的处，点的对应点为，且，则的长是（   ） A． B．2 C． D． 【变式1】．如图，正方形的边长为8，将正方形折叠，使顶点落在边上的点处，折痕为，若，则线段的长为 ． 【变式2】．如图，正方形的边长为2，点是边的中点，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得到，延长交于点． (1)判断BG和FG的数量关系，并说明理由； (2)求四边形的面积． 【题型6求正方形重叠部分面积】 【例6】．如图，有大小不同的2个正方形A和B，当B的对角线交点与A的一个顶点重合时，重叠部分的面积是A的，那么当A的对角线交点与B的一个顶点重合时，重叠部分的面积是B的（  ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，边长为6cm的正方形ABCD先向上平移3cm，再向右平移1.5cm，得到正方形，此时阴影部分的面积为 cm2 【变式2】．如图，在正方形中，对角线交于点O，点E、F分别在边上，且，连接． (1)求证：； (2)若正方形的边长为2，求四边形的面积． 【题型7根据正方形的性质证明】 【例7】．下列关于正方形对角线的结论中，错误的是（    ） A．两条对角线互相平分 B．两条对角线相等 C．两条对角线互相垂直 D．正方形面积等于对角线长的平方 【变式1】．如图，四边形是正方形，将绕点A顺时针旋转得，连接，则的角度为 ． 【变式2】．如图，在正方形中，点，分别在，上，且，与相交于点．试探究与之间的数量与位置关系，并说明理由． 【题型8正方形的判定定理理解】 【例8】．下列判断错误的是（   ） A．有一组邻边相等的四边形是菱形 B．有一个角是直角的平行四边形是矩形 C．对角线垂直的矩形是正方形 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形 【变式1】．下列说法： ①对角线互相垂直且相等的四边形是菱形 ②矩形的对角线互相垂直 ③一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形 ④对角线垂直的矩形是正方形 其中正确的是 ．（把所有正确结论的序号都填上） 【答案】④ 【变式2】．如图，已知，请你用尺规作图法作正方形，且保证点D、E在的右侧．（保留作图痕迹，不写作法） 【题型9证明四边形是正方形】 【例9】．若四边形的对角线互相垂直平分且相等，则它一定是（   ）． A．菱形 B．正方形 C．等腰梯形 D．以上说法均不正确 【变式1】．如图，已知．小红做了如下操作：分别以点为圆心，长为半径作弧，两弧分别相交于点，连接，则四边形 正方形（填“是”或“不是”）． 【变式2】 ．已知：如图，在中，，是的平分线，于点E，于点F．求证：四边形是正方形． 【题型10添一个条件使四边形是正方形】 【例10】．如图，在中，，再添加一个条件，仍不能判定四边形是正方形的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，在菱形中，添加一个条件使其成为正方形，你添加的条件是 ． 【变式2】．如图，在中，点O为的中点，过点O作直线． (1)利用圆规和无刻度直尺，在直线l上确定点E，F，连接，使得四边形为矩形，并证明：（保留作图痕迹，不用写作图步骤） (2)添加满足的一个条件，使得（1）中的矩形为正方形，并证明． 【题型11根据正方形的性质与判定证明】 【例11】．如图，，是直角且，其中，，则的长度为（ ） A．2 B． C． D．6 【变式1】 ．如图，在矩形中，，，点E为的中点，点F为边上任意一点，将沿翻折，点B的对应点为，则当面积最小时折痕的长为 ． 【变式2】．在菱形中，E，F是对角线所在直线上的两点，且，连接 (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求的长． 【题型12根据正方形的性质与判定求角度】 【例12】．将矩形纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在边上点F处，折痕为（如图1）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在上的点处，折痕为（如图2）；再展平纸片（如图3）．则图3中的度数是（　　） A． B． C． D． 【变式1】．如图，在中，，，是射线上一点，将沿折叠，得到，连接．当为直角三角形时，的度数为 ． 【变式2】．如图1，已知在四边形中，，，平分，交于点，过点作，交于点F，O是的中点，连接，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，如图2所示：求证：． 【题型13根据正方形的性质与判定求线段长】 【例13】．如图，为正方形内一点，，，，将绕点按顺时针方向旋转，得到．延长交于点，则的长为（   ） A．7 B．7.5 C．8 D．9 【变式1】．如图，矩形纸片，．如果点P在边上，将纸片沿折叠，使点B落在点E处，连接，当是直角三角形时，那么的长为 ． 【变式2】．（1）如图，在中，用无刻度的直尺和圆规作图：作的平分线与的垂直平分线，它们相交于点D．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）中，若，，且，则的长为 ．（如需画草图，请使用备用图） 【题型14根据正方形的性质与判定求面积】 【例14】．如图，正方形中，在各边上截，连接交于点P，四边形的面积是4，四边形的面积是36，则原来的正方形的面积是（    ） A．64 B．50 C．49 D．56 【变式1】．如图，正方形的对角线相交于点O，，．若，则四边形的面积是 ． 【变式2】．如图，在四边形中，，，，，求四边形的面积． 【题型15利用（特殊）平行四边形的对称性求阴影面积】 【例15】．如图，在一块长为a，宽为的长方形铁皮中，若，时，则剩下的铁皮的面积（取）为（　　）． A．5 B．7 C．8 D．12 【变式1】．如图，点，分别是矩形的边，的中点，两条平行线，分别经过菱形的顶点，和边，的中点，，已知菱形的面积为，则图中阴影部分的面积和为 ．（用含的代数式表示） 【变式2】．我们定义：若一个四边形的两条对角线互相垂直，且其中一条对角线平分另一条对角线，则称这个四边形为“和谐四边形”． (1)请从以下选项中选出属于“和谐四边形”的选项填在横线上． ___________ A．矩形    B．菱形    C．等腰梯形 (2)已知四边形是“和谐四边形”，对角线，平分于点若，求四边形面积___________． (3)如图，在四边形中，对角线、相交于点，平分，过点作交于点，交于点，．求证：四边形是“和谐四边形”． 【题型16（特殊）平行四边形的动点问题】 【例16】．如图，在边长为的正方形中，为边上一点，且，点在边上以的速度由点向点运动；同时，点在边上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为，连接．当与全等时，的值为（　　） A．1 B．2 C．2或4 D．1或1.5 【变式1】．如图，在矩形中，，，的平分线交于点，，分别是，上的动点，且，是线段上的动点，连接，．若，则的长为 ． 【变式2】．如图所示，在四边形中，，，，点从点向点以的速度运动，到点即停止点从点向点以的速度运动，到点即停止直线将四边形截成两个四边形，分别为四边形和四边形，已知，两点同时出发，则几秒后所截得的两个四边形中，有一个为平行四边形 【例17四边形中的线段最值问题】 【例17】．如图，正方形的边长为12，点E在AB上，且，点F是上一动点，则的最小值是（    ） A．15 B． C． D．12 【变式1】．如图，在边长为10的正方形中，点G是边的中点，E，F分别是和边上的点，则四边形周长的最小值为 ．    【变式2】．如图，一次函数的图象分别与x轴和y轴相交于A、C两点，且与正比例函数的图象交于点． (1)求m，n的值； (2)当时，直接写出自变量x的取值范围； (3)在y轴上找一点P，使的值最小，求点P的坐标． 【题型18四边形其他综合问题】 【例18】．在学习四边形的过程中，我们引入如下新定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四过边形叫做邻等对补四边形，如图，如果我们用一副三角板进行拼接得到的四边形中，是邻等对补四边形的有（　　）个（在拼接过程中，重合的边可以看作长度相等，且两个三角板位于重合边的两侧） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】．如图，把边长为的正方形纸片分割成如图的三块，其中点为正方形的中心，为的中点，用这三块纸片拼成与该正方形不全等且面积相等的四边形（要求这三块纸片不重叠无缝隙），若四边形为矩形，则四边形的周长是 ． 【变式2】．如图，平行四边形，连结，．点在边上，过点作，垂足为，交延长线于点，连接，． (1)求证：； (2)当为中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由； (3)在满足（2）的条件下，当满足什么条件时，四边形是正方形？（不必说明理由） ✏强化巩固★综合测试 一、单选题 1．下列命题是真命题的是（　　） A．四条边都相等的四边形是正方形 B．菱形的对角线互相垂直 C．平行四边形、菱形、矩形都是轴对称图形 D．顺次连接一个四边形四边中点得到的四边形是矩形，则原来的四边形一定是菱形 2．若一个正方形的对角线长为，则它的面积是（   ） A． B． C． D． 3．如图，四边形是正方形，是等边三角形，则等于（    ）    A． B． C． D． 4．如图，正方形中，边长为8，E为线段上一点，将沿翻折到，连接，则的最小值为（   ）． A． B． C． D． 5．如图，在边长为8的正方形纸片中，E、F分别是边、上的两点，将正方形沿折叠，点C恰好落在边上的中点G处，则的长度是（    ） A． B． C．10 D． 6．如图所示：正方形的对角线相交于点O，点O又是另一个正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长相等，若正方形的边长为4，则两个正方形重叠部分的面积为（    ） A．16 B．8 C．4 D．1 7．如图，在中，点D，E，F分别在边上，且，，下列四种说法： ①四边形是平行四边形： ②如果，那么四边形是矩形； ③如果平分，那么四边形是菱形； ④如果，且，那么四边形是正方形．其中，正确的有（   ） A．①② B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 8．如图，在中，，垂足为．添加下列哪个条件，不能使成为正方形的是（    ） A． B． C． D． 9．如图，点在正方形的对角线上，且，的两直角边，分别交于点，若正方形的边长为6，则重叠部分四边形的面积为（ ） A．36 B．32 C．16 D．8 10．如图，在矩形中，，，点E是上一动点，在平面内将矩形沿折叠，使点D落在位置．若为直角三角形，则的长为（   ） A． B．9或6 C．9或 D．3或 11．如图，点是矩形边上一点（）．且，过点作交于点，在上取点使，连结．记四边形面积为，四边形面积为，，若，则（   ） A．10 B．12 C．20 D．24 12．如图，矩形的边，，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，若以为边向右侧作等腰直角三角形，，连接，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D． 二、填空题 13．如图，阴影部分是两个正方形，其它部分是两个直角三角形和一个正方形，若右边的直角三角形中，，，则阴影部分的面积是 ． 14．如图，为正方形内一点，，按顺时针方向旋转角度后成为， ． 15．如图，在正方形中，，，交于点，点为的中点，连接，则的长为 ．    16．如图，正方形的顶点O与正方形的对角线交点O重合，正方形和正方形的边长都是，则图中重叠部分的面积是 ． 17．如图，在中，点D、E、F分别在边上，且，．下列四种说法： ①四边形是平行四边形； ②如果，那么四边形是矩形； ③如果平分，那么四边形是菱形； ④如果，平分，那么四边形是正方形． 其中，正确的有 （只填写序号） 18．如图，在矩形中，，，的平分线交于点，于点． （1） ； （2）连接并延长交于点，则 ． 19．如图，为正方形内一点，，，，将绕点按顺时针方向旋转，得到，延长交于点，连接．则的面积为 20．如图，已知正方形的边长为1，E为的中点，P为正方形的边上的动点，动点P从点B匀速向点C运动．设的长度为x，阴影部分三角形的面积为y． （1）y与x之间的函数表达式为 （2）当点P运动的路程为 时，三角形的面积为． 21．如图，四边形中，，，，，点在折线段上运动，令，点到的距离为，则的最小值为 ． 22．如图，有八个全等的直角三角形拼成一个大四边形和中间一个小四边形，连接、得到四边形，设，，，若，则 ． 三、解答题 23．如图，点P在是正方形内一点，将顺时针旋转得到，连接． (1)旋转中心是点_________，旋转角的大小为_________（度）； (2)若，求的长． 24．如图，C是线段上的一点，分别以，为边向两边作正方形，．若，两正方形的面积和为20，求的面积． 25．西安一社区在2025年老旧小区改造中，为增加居民活动空间，计划将一块闲置的正方形空地改造成“社区健身角”．如图，空闲地块，边长为米．计划在地块上设计两个相同的长方形健身区（铺设塑胶地面），每块长方形健身区的长为米，宽为米． (1)求正方形空闲地块的面积； (2)已知塑胶地面约80元/平方米，那么铺设完健身区需要花费多少元？ 26．如图，正方形纸片的边长为，点是边的中点，将这个正方形纸片翻折，使点落到点处，折痕交边于点，交边于点，请求出的长． 27．如图，在正方形中，的中点为E，F为的中点，求证： 28．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是，每个小格的顶点叫做格点． (1)在图中以格点为顶点画一个面积为的正方形； (2)如图，点、、是小正方形的顶点，求的度数． 29．如图，在中，，点D是的中点，过点A作平行于，且，连接． (1)求证：四边形是矩形． (2)当 时，四边形是正方形． 30．如图，在正方形中，分别是上两点，交于点，且． (1)判断与之间的数量关系与位置关系，并说明理由： (2)当点是的中点时，连接，求的度数． 31．如图，在中，的平分线交于点D，， (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，且，求四边形的面积． 32．如图，在矩形中，，，点O为对角线的中点，动点P从点A出发，沿向终点C运动． ，当点P不与点B重合时，作点P关于的对称点E，顺次连结O、P、B、E四个点，组成四边形． (1)______； (2)求证：； (3)当四边形的面积为20时，求出此时的长． (4)在点P运动过程中，当四边形是菱形时，请直接写出此时的值． 学科网（北京）股份有限公司 $