11.由函数的单调性求参数讲义-2026届高三数学一轮复习

寻“导”之旅11.由函数的单调性求参数（原卷版） 一、核心知识点分析 （一）核心理论依据 1.函数单调性与导数的关系 设函数在区间内可导，则： 若在内恒成立，则在上单调递增； 若在内恒成立，则在上单调递减； 若在内恒成立，且仅在有限个孤立点处成立，则在上仍单调递增；同理对应单调递减。 2.转化核心思想 由单调性求参数，本质是将函数单调性条件转化为导函数的恒成立、存在性或方程根的分布问题，再结合不等式、函数最值、二次函数性质、分类讨论等方法求解参数范围。 （二）必备基础知识点 •基本初等函数求导公式（幂函数、指数、对数、三角、常函数等） •导数的四则运算法则、复合函数求导法则 •含参函数求导的规范运算，注意参数视为常数 •恒成立问题的等价转化：恒成立；恒成立 •二次函数根的分布、判别式、开口方向与区间符号的关系 •分类讨论的依据：参数对导函数类型、开口、根的大小、定义域区间的影响 •定义域优先原则：所有讨论需在函数定义域内进行 （三）关键注意事项 1.区分**“在区间上单调”与“单调区间为某区间”**，二者条件不同，转化的不等式也不同； 2.注意导数为0的点是否为孤立点，避免遗漏等号或错误添加等号； 3.含参函数需先明确定义域，尤其分母、对数、根式带来的定义域限制； 4.分类讨论时做到不重不漏，最后需整合参数范围，写出最终解集。 二、完整题型目录（按难度与考查形式分类） 基础题型（适用于新课学习、基础巩固） 1.一次型导函数，由单调性求参数 ￮题型描述：导函数为一次函数（含参数），函数在给定区间单调，求参数范围 ￮核心方法：一次函数保号性，直接列不等式求解 一、单选题 1.已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 2.若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 3.已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 二、多选题 1.关于函数（定义域为）的单调性，下列说法正确的有（） A. 若，则在上单调递增 B. 若在上单调递减，则不存在这样的实数 C. 若在上单调递增，则 D. 若，则在上单调递减 2.已知函数，其导函数为，若在区间上的单调性满足如下条件，实数的取值范围正确的有（） A. 若在上单调递增，则 B. 若在上单调递减，则 C. 若在上先减后增，则 D. 若在上不单调，则 三、填空题 1.已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为。 2.若函数在上单调递增，则实数的取值集合为。 四、解答题 1.已知函数（），若在区间上单调递增，求实数的取值范围。 2.已知函数（），（1）若在处取得极值，求的值；（2）若在区间上单调递减，求实数的取值范围。 3.已知函数（），若在上单调递增，且其图像与直线无交点，求实数的取值范围及的取值范围。 2.不含参数的函数，已知单调区间求参数（参数仅在常数项） ￮题型描述：函数解析式含单个参数，求导后为简单形式，根据单调区间反推参数值 ￮核心方法：由单调区间确定导函数零点，代入求解参数 一、单选题 1.已知函数（为常数）的导函数为，且在区间上单调递减，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 2.已知函数（为常数）在区间上存在最小值，且在区间上单调递增，则实数的值为（） A. B. C. D. 3.已知函数（为常数）在区间上单调递减，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 二、多选题 1.已知函数（为常数），其导函数为，关于的单调性及常数项的说法正确的有（） A. 的表达式中不含参数 B. 在区间上单调递减，与无关 C. 若在区间上单调递增，则 D. 若在处取得极值，则的取值范围为 2.已知函数（为常数）在区间上单调递减，关于该函数及常数项的说法正确的有（） A. 导函数 B. 在上的单调性与无关 C. 若，则 D. 若在上单调递减，则 三、填空题 1.已知函数（为常数）在区间上单调递减，则实数的取值范围为，常数的取值集合为。 2.已知函数（为常数）在区间上单调递增，且，则实数的值为。 四、解答题 1.已知函数（为常数）的定义域为，且在区间上单调递增，其中为自然对数的底数。（1）求实数的取值范围；（2）若在区间上的最大值为，求实数的值。 2.已知函数（，，为常数项），其导函数，且在区间上的单调递减区间为，。（1）求实数的值；（2）求在区间上的最大值和最小值。 3.已知函数（为常数，为常数项）的导函数为，且在处取得极小值，在区间上单调递增。（1）求实数的值；（2）求实数的取值范围。 中档题型（高考高频考查，核心考点） 3.二次型导函数，函数在区间上单调递增/递减，求参数范围 ￮题型描述：导函数为二次函数（含参），在闭/开区间单调，求参数取值范围 ￮子题型： ▪开口固定，判别式含参 ▪开口含参，需分类讨论 ▪区间固定，二次函数在区间上恒正/恒负 一、单选题 1.已知函数的导函数为，且在区间上单调递增，其中为实数，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 2.已知函数（）的导函数为，若在区间上单调递减，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 3.已知函数的导函数为二次型函数，且在上单调递增，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 二、多选题 1.已知函数（）的导函数为，若在区间上单调，则实数的取值范围可能是（） A. B. C. D. 2.已知函数（）的导函数为，若在区间上有单调递减区间，则实数的取值范围及相关说法正确的有（） A. 的取值范围为 B. 的取值范围为 C. 若，则在上单调递增 D. 若，则在上单调递减 三、填空题 1.已知函数的导函数为，若在区间上单调递增，则实数的取值范围为。 2.已知函数的导函数为，若在区间上单调递减，在区间上单调递增，则实数的值为。 四、解答题 1.已知函数，其中，其导函数为。（1）若在上单调递增，求实数的取值范围；（2）若在区间上单调递减，求实数的取值范围。 2.已知函数（）的导函数为，若在区间上存在单调递增区间，求实数的取值范围，并求当时在上的单调区间。 3.已知函数（），当时，单调递增，求实数的取值范围。 4.二次型导函数，已知函数的单调区间，求参数值/范围 ￮题型描述：明确给出的单调递增区间为，求参数；或单调区间包含/被包含于某区间 ￮核心方法：单调区间的端点即为导函数的零点，结合根与系数的关系求解 一、单选题 2.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 3.若函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 4.已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 二、多选题 2.关于函数的单调性，下列说法正确的有（） A. 当时，在上单调递增 B. 当时，的单调递减区间为 C. 若在区间上单调递减，则的取值范围为 D. 若有两个不同的单调递增区间，则的取值范围为 3.已知函数在定义域内单调递增，且存在唯一的实数使得，则下列说法正确的有（） A. 实数的取值范围是 B. 实数的取值范围是 C. 当时， D. 当时，有两个极值点 三、填空题 2.已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为。 3.若函数存在唯一的零点，且，则实数的取值范围为。 四、解答题 2.已知函数，，若在区间上是减函数，求实数的取值范围。 3.已知函数（），若函数在处取得极值，且在区间上单调递增，求实数的值。 4.已知函数，，若在区间上单调递减，求实数的取值范围。 5.函数不单调，求参数范围 ￮题型描述：函数在某区间内不单调，等价于导函数在该区间内有正有负，即存在变号零点 ￮核心方法：转化为导函数在区间内有两个不同实根，或有一个变号零点，结合二次函数根的分布求解 一、单选题 1.已知函数在区间内不单调，则实数的取值范围为（） A. 　　　　B. 　　　　C. 　　　　D. 2.若函数在区间内不单调，则实数的取值范围是（） A. 　　　　B. 　　　　C. 　　　　D. 3.已知函数在区间内不单调，则实数的取值范围为（） A. 　　　　B. 　　　　C. 　　　　D. 二、多选题 1.已知函数在上不是单调函数，则实数的取值可能为（） A. 　　　　B. 　　　　C. 　　　　D. 2.对于函数（），下列说法正确的有（） A. 当时，的单调递减区间为 B. 若在内不单调，则的取值范围为 C. 若在内不单调，则的取值范围为 D. 若在内不单调，则的取值范围为 三、填空题 1.若函数在区间上不单调，则实数的取值范围为。 四、解答题 1.已知函数，其中，若在区间内不单调，求实数的取值范围。 2.已知函数在区间内不单调，求实数的取值范围。 3.已知函数在区间内不单调，求实数的取值范围。 6.分离参数法求解单调性含参问题 ￮题型描述：导函数的不等式可将参数与变量分离，得到或恒成立 ￮核心方法：分离参数后，求在区间上的最值，进而确定参数范围 一、单选题 1.已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 2.若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 3.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 二、多选题 1.已知函数在上单调递增，则实数的可能取值为（） A. B. C. D. 2.对于函数，下列说法正确的是（） A. 若在上单调递增，则 B. 若在上单调递增，则 C. 若在上单调递减，则 D. 若在上单调递减，则 三、填空题 1.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为。 分析：核心知识点为三次函数的导数、分离参数法、基本不等式求最值；解题关键是将恒成立转化为，再利用基本不等式求该式的最小值。 2.若函数在上单调递减，则实数的取值范围为。 四、解答题 1.已知函数（），若在上单调递增，求实数的取值范围。 2.已知函数在上单调递减，求实数的取值范围。 3.已知函数（），若在上单调递减，求实数的取值范围，并证明：当时，在上恒成立。 7.指数、对数函数结合的单调性求参问题 ￮题型描述：函数含、，求导后为超越函数，根据单调性求参数 ￮核心方法：构造新函数，研究新函数的单调性与最值，结合恒成立条件求解 一、单选题 1.已知函数（，）在定义域内单调递增，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 2.若函数（）在上单调递减，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 3.已知函数（，）在上单调递增，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 二、多选题 1.已知函数（，），下列说法正确的有（） A. 若，则在上单调递增 B. 若在上单调递减，则 C. 若，则在上有唯一极值点 D. 若在上单调递增，则 2.对于函数（，），下列说法正确的是（） A. 当时，在上单调递增 B. 若在上单调递减，则 C. 若在上单调递增，则 D. 当时，在上有唯一零点 三、填空题 1.已知函数（，）在上单调递增，则实数的取值范围为。 2.若函数（，）在上单调递减，则实数的取值范围为。 四、解答题 1.已知函数（，），若在上单调递增，且在上恒成立，求实数的取值范围。 2.已知函数（，），若在上单调递增，求实数的取值范围，并证明：当时，在上恒成立。 3.已知函数（，），若在上单调递增，求实数的取值范围。 拔高题型（适用于模考、高考压轴、培优提升） 8.分段函数的单调性求参数问题 ￮题型描述：函数为分段形式，每一段均含参数，整体在定义域上单调，求参数范围 ￮核心方法：分别保证每一段单调，同时保证分段点处的函数值满足单调性衔接条件 一、单选题 1.已知分段函数在上单调递减，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 2.若分段函数在上单调递增，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 3.已知分段函数在上单调递增，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 二、多选题 1.已知分段函数，其中，下列说法正确的有（） A. 若在上单调递增，则 B. 若在上单调递减，则 C. 若，则在上单调递减 D. 若在上有最小值，则 2.对于分段函数，其中，下列说法正确的是（） A. 若，则在上单调递增 B. 若在上单调递增，则 C. 若的定义域为，则 D. 若，则的单调递增区间为 三、填空题 1.已知分段函数在上单调递减，则实数的取值范围为。 2.若分段函数在上单调递增，则实数的取值范围为。 四、解答题 1.已知分段函数在上单调递减，求实数的取值范围。 2.已知分段函数在上单调递减，求实数的取值范围。 3.已知分段函数在上单调递增，求实数的取值范围，并求当时，函数在上的最小值。 9.单调性与极值、最值结合的综合求参问题 ￮题型描述：先由单调性确定参数范围，再在此范围内讨论函数的极值、最值，或已知极值情况反向约束参数 ￮核心方法：先解决单调性求参，再结合极值点的条件（导数为0、左右符号改变）进一步缩小参数范围 一、单选题 1.已知函数在上既有极大值又有极小值，且在区间上单调递增，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 2.已知函数有唯一极值点，且该极值点为函数的最大值点，同时，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 3.已知函数在区间上的最小值为0，且在区间上单调递减，则实数的取值为（） A. 0 B. 1 C. D. 二、多选题 1.已知函数（），下列说法正确的有（） A. 若，则在上单调递减，在上单调递增 B. 若有两个极值点，则 C. 若在上的最大值为0，则 D. 若，则在上有唯一极小值点 2.已知函数在区间上有两个极值点（），且，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 三、填空题 1.已知函数在区间上单调递增，且在区间上有唯一的极小值点，则实数的取值范围为。 2.已知函数在区间上的最小值为1，且在区间上有两个极值点，则实数的取值范围为。 四、解答题 1.已知函数（），若在上有极大值和极小值，且极大值大于1，求实数的取值范围。 2.已知函数（）在区间上的最大值为，求实数的取值为。 四、解答题 1.已知函数，其中，若在区间上的单调性为先减后增，且在区间上的最大值为4，求实数的取值范围及在区间上的最小值。 2.已知函数（），若在上的最小值为0，且存在使得，求实数的取值范围。 3.已知函数（），若在上有两个极值点（），且，求实数的取值范围。 10.存在性问题与单调性结合求参 ￮题型描述：存在使得函数单调，或存在使得（），求参数范围 ￮核心方法：区分“恒成立”与“存在性”，存在性问题转化为在区间上有解，求对应参数范围 一、单选题 1.已知函数在区间上存在单调递减区间，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 2.已知函数，若存在，使得在该区间上单调递增，则实数的最大值为（） A. B. C. D. 3.已知函数，若存在，使得，且在上单调递减，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 二、多选题 1.已知函数，若存在，使得在该区间上单调递减，则实数的取值可能为（） A. B. C. D. 2.关于函数的说法，正确的有（） A. 若，则在上单调递增 B. 若在上存在单调递增区间，则 C. 若存在，使得单调递减，则 D. 若存在，在单调递减，则 三、填空题 1.已知函数，若存在，使得在该区间上单调递增，则实数的取值范围为。 2.已知函数，若存在，使得在上单调递减，在上单调递增，则实数的取值范围为。 3.已知函数，若存在，使得在该区间上单调递减，则实数的取值范围为。 四、解答题 1.已知函数（），若存在，使得在该区间上单调递减，求实数的取值范围。 2.已知函数（），若在上存在单调递减区间，求的取值范围。 3.已知函数（），若存在，使得在上单调递减，在上单调递增，且，求实数的取值范围。 11.双参数、多参数的单调性求解问题 ￮题型描述：函数解析式中含有两个及以上参数，根据单调性条件列不等式组，求参数的取值范围 ￮核心方法：利用单调性条件得到参数间的约束关系，结合不等式组求解，必要时消元处理 一、单选题 1.已知函数在区间上单调递增，其中，且满足，则的取值范围为（） A. B. C. D. 2.已知函数，若在处取得极大值，且在区间上单调递减，其中，则的取值范围为（） A. B. C. D. 3.已知函数，，若在上单调递减，则实数的取值集合为（） A. B. C. D. 二、多选题 1.已知函数，，其中，若在上单调递增，在上单调递减，则下列说法正确的有（） A. 的取值范围为 B. 的取值范围为 C. 的最小值为 D. 的最大值为 2.已知函数，，若在上单调递增，则下列关于和的说法正确的有（） A. 当时，的取值范围为 B. 当时，存在唯一的使单调递增 C. 的取值范围为 D. 当时，的取值范围为 三、填空题 1.已知函数在上单调递减，其中，则实数的取值范围为。 2.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为。 四、解答题 1.已知函数，，讨论函数在上的单调性。 2.已知函数，其中，若在上单调递减，在上单调递增，且在上恒成立，求实数的取值范围。 3.已知函数，，其中，且，若在上的最大值为，在上的最小值为，记，求的最小值。 12.导数与不等式恒成立、能成立综合，依托单调性求参 ￮题型描述：以函数单调性为桥梁，将不等式恒成立问题转化为导函数的符号问题，进而求参数 ￮核心方法：构造辅助函数，求导分析单调性，将原不等式转化为导函数的保号性问题求解 一、单选题 1.已知函数，，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（） A. B. C. D. 2.已知函数，，若对任意的，都存在，使得，则实数的取值范围为（） A. B. C. D. 3.已知函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围为（） A. B. C. D. 二、多选题 1.已知函数，，若对于任意的，都存在，使得，则下列说法正确的有（） A. 的取值范围为 B. 的取值范围为 C. 的最小值为 D. 无最大值 2.已知函数，若关于的不等式在区间上恒成立，且函数在定义域内为增函数，则实数的取值集合为（） A. B. C. D. 三、填空题 1.已知函数，若不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围为。 2.已知存在，使得不等式成立，则实数的取值范围为。 四、解答题 1.已知函数，。 （1）若在上恒成立，求的取值范围； （2）若存在，使得，求的取值范围。 2.已知函数，且在上单调递增。 （1）求实数的取值范围； （2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围。 3.已知函数，在区间上存在两个极值点，且不等式恒成立，求实数的取值范围。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 寻“导”之旅11.由函数的单调性求参数（解析版） 一、核心知识点分析 （一）核心理论依据 1.函数单调性与导数的关系 设函数在区间内可导，则： 若在内恒成立，则在上单调递增； 若在内恒成立，则在上单调递减； 若在内恒成立，且仅在有限个孤立点处成立，则在上仍单调递增；同理对应单调递减。 2.转化核心思想 由单调性求参数，本质是将函数单调性条件转化为导函数的恒成立、存在性或方程根的分布问题，再结合不等式、函数最值、二次函数性质、分类讨论等方法求解参数范围。 （二）必备基础知识点 •基本初等函数求导公式（幂函数、指数、对数、三角、常函数等） •导数的四则运算法则、复合函数求导法则 •含参函数求导的规范运算，注意参数视为常数 •恒成立问题的等价转化：恒成立；恒成立 •二次函数根的分布、判别式、开口方向与区间符号的关系 •分类讨论的依据：参数对导函数类型、开口、根的大小、定义域区间的影响 •定义域优先原则：所有讨论需在函数定义域内进行 （三）关键注意事项 1.区分**“在区间上单调”与“单调区间为某区间”**，二者条件不同，转化的不等式也不同； 2.注意导数为0的点是否为孤立点，避免遗漏等号或错误添加等号； 3.含参函数需先明确定义域，尤其分母、对数、根式带来的定义域限制； 4.分类讨论时做到不重不漏，最后需整合参数范围，写出最终解集。 二、完整题型目录（按难度与考查形式分类） 基础题型（适用于新课学习、基础巩固） 1.一次型导函数，由单调性求参数 ￮题型描述：导函数为一次函数（含参数），函数在给定区间单调，求参数范围 ￮核心方法：一次函数保号性，直接列不等式求解 一、单选题 1.已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 答案：B 分析：考查导数与函数单调性的核心关系，一次型导函数恒非负的参数求解，解题关键是利用一次函数的单调性确定导函数的最小值并构建不等式。 解析：函数的定义域为，求导得，该导函数为一次函数，斜率，在上单调递增。 因为在上单调递增，故在上恒成立，即。 代入得，解得，故实数的取值范围是。 2.若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 答案：A 分析：考查初等函数求导法则，分式型导函数转化为一次型恒非正问题，解题关键是消去正分母后分离参数，结合函数最值确定参数范围。 解析：函数的定义域为，求导得。 因为在上单调递减，故在上恒成立，又，则在上恒成立，即在上恒成立。 令，在上单调递增，且，故，实数的取值范围是。 3.已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 答案：B 分析：考查一次函数与对数函数的和函数求导，开区间内一次型导函数恒非负的参数求解，解题关键是分离参数后分析目标函数的单调性与取值范围。 解析：函数的定义域为，求导得。 因为在上单调递增，故在上恒成立，即在上恒成立。 令，在上单调递增，且，故，实数的取值范围是。 二、多选题 1.关于函数（定义域为）的单调性，下列说法正确的有（） A. 若，则在上单调递增 B. 若在上单调递减，则不存在这样的实数 C. 若在上单调递增，则 D. 若，则在上单调递减 答案：ABCD 分析：考查导数的四则运算，一次型导函数结合对数函数的单调性分析，解题关键是将单调性问题转化为导函数恒非正/恒非负问题，结合对数函数的值域求解参数范围。 解析：对求导得。 A选项：时，，令，得，即，故在上单调递增，A正确； B选项：若在上单调递减，则在上恒成立，即。因为时，的值域为，无最小值，故不存在这样的实数，B正确； C选项：若在上单调递增，则在上恒成立，即。当时，，则，故，C正确； D选项：时，，令，得，即，故在上单调递减，D正确。 2.已知函数，其导函数为，若在区间上的单调性满足如下条件，实数的取值范围正确的有（） A. 若在上单调递增，则 B. 若在上单调递减，则 C. 若在上先减后增，则 D. 若在上不单调，则 答案：ABD 分析：考查三次函数求导转化为二次函数，二次函数单调性与参数的关系，解题关键是通过导函数的符号变化分析原函数的单调性，结合区间内的最值构建不等式。 解析：对求导得。 A选项：若在上单调递增，则在上恒成立，即在上恒成立。当时，，故，A正确； B选项：若在上单调递减，则在上恒成立，即在上恒成立。当时，，故，B正确； C选项：若在上先减后增，则在内有唯一零点，且导函数左负右正。由得，若仅有一个零点在内，无“先减后增”的单调性，C错误； D选项：若在上不单调，则在内有解，即在内有解，故，D正确。 三、填空题 1.已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为。 答案： 分析：考查分式函数与初等函数的和函数求导，二次型分子转化为恒非负问题，解题关键是结合二次函数的单调性求区间内的最小值并构建不等式。 解析：函数的定义域为，求导得。 因为在上单调递增，故在上恒成立，又，则在上恒成立。 令，其对称轴为，在上单调递增，故，且。 结合单调性得，令恒成立，需保证在上的最小值大于等于，解得，故取值范围为。 2.若函数在上单调递增，则实数的取值集合为。 答案： 分析：考查三角函数的求导法则，一次型导函数结合三角函数值域的恒非负问题，解题关键是将恒成立问题转化为参数大于等于三角函数的最大值。 解析：函数的定义域为，求导得。 因为在上单调递增，故在上恒成立，即在上恒成立。 因为，故，则，解得，故实数的取值集合为。 四、解答题 1.已知函数（），若在区间上单调递增，求实数的取值范围。 答案： 分析：考查二次函数与对数函数的和函数求导，导数与函数单调性的关系，解题关键是将导函数恒非负问题转化为参数小于等于目标函数的最小值，结合对勾函数的单调性求最值。 解析：函数的定义域为，对求导得： 。 因为在上单调递增，所以在上恒成立， 又，故在上恒成立，分离参数得在上恒成立。 令，，对求导得。 当时，，则，故，在上单调递增。 因此在上满足，即， 故，即实数的取值范围为。 2.已知函数（），（1）若在处取得极值，求的值；（2）若在区间上单调递减，求实数的取值范围。 答案：（1）；（2） 分析：考查函数极值的定义与导数的核心关系，一次型导函数恒非正的参数求解，解题关键是极值点处导函数为0且导函数在该点两侧符号相反，单调性问题转化为导函数恒成立问题。 解析：函数的定义域为，求导得。 （1）因为在处取得极值，所以， 代入得，解得。 验证：当时，，当时，，单调递减；当时，，单调递增，故是的极小值点，符合极值定义，故。 （2）因为在上单调递减，所以在上恒成立， 即在上恒成立，分离参数得在上恒成立。 因为时，，且当时，，故不存在正数小于等于恒成立，仅当时，在上恒成立， 故实数的取值范围为。 3.已知函数（），若在上单调递增，且其图像与直线无交点，求实数的取值范围及的取值范围。 答案：， 分析：考查指数函数的求导法则，一次型导函数结合指数函数的恒非负问题，函数交点问题转化为方程无根问题，解题关键是先由单调性确定参数的范围，再将交点问题转化为函数最值问题。 解析：（1）求导得， 因为在上单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立。 当，即时，，则，不等式恒成立； 当，即时，，不等式恒成立； 当，即时，，因为且值域为，不等式无法恒成立。 综上，实数的取值范围为。 （2）由的图像与直线无交点，得方程在上无根， 化简得在上无根，即在上无根。 由（1）知，分两种情况讨论： ① 当时，方程化为，即时方程无根，解得； ② 当时，，则，故当，即时，方程无根。 结合单调递增的条件，取交集得，即。 综上，实数的取值范围为，实数的取值范围为。 2.不含参数的函数，已知单调区间求参数（参数仅在常数项） ￮题型描述：函数解析式含单个参数，求导后为简单形式，根据单调区间反推参数值 ￮核心方法：由单调区间确定导函数零点，代入求解参数 一、单选题 1.已知函数（为常数）的导函数为，且在区间上单调递减，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 答案：A 分析：考查三次函数求导法则、导数与函数单调性的核心关系，解题关键是将函数单调递减转化为导函数在区间内恒非正，结合二次函数的单调性求最值构建不等式。 解析：对求导得，该导函数为开口向上的二次函数，对称轴为，故在上单调递增。 因为在上单调递减，所以在上恒成立，即在区间上的最大值满足。 代入计算：，化简得，解得。 因此实数的取值范围是。 2.已知函数（为常数）在区间上存在最小值，且在区间上单调递增，则实数的值为（） A. B. C. D. 答案：B 分析：考查指数函数求导法则、函数单调性与极值点的关系，解题关键是先通过导函数确定函数的极值点与单调区间，再结合最小值条件验证，最终确定单调递增区间的起点。 解析：对求导得，令，解得。 当时，，单调递减；当时，，单调递增，故是的极小值点，也是最小值点。 验证最小值：，解得（常数项不影响单调性）。 的单调递增区间为，因此。 3.已知函数（为常数）在区间上单调递减，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 答案：C 分析：考查分式与二次函数的和函数求导法则，解题关键是判断导函数的表达式是否含常数项，确定常数项对函数单调性无任何影响。 解析：函数的定义域为，求导得，导函数中不含常数项，即的符号与的取值无关。 令，得，解得，区间与该递减区间的交集为，满足在上单调递减的条件。 因此可取任意实数，取值范围为。 二、多选题 1.已知函数（为常数），其导函数为，关于的单调性及常数项的说法正确的有（） A. 的表达式中不含参数 B. 在区间上单调递减，与无关 C. 若在区间上单调递增，则 D. 若在处取得极值，则的取值范围为 答案：ABD 分析：考查三次函数求导与极值、单调性的关系，解题关键是求导后分析导函数的符号变化确定原函数的单调区间，判断常数项对单调性、极值点的影响。 解析：对求导得，导函数中无常数项，故A正确。 分析的符号：当或时，，单调递减；当时，，单调递增。 B选项：是的固有单调递减区间，单调性与无关，故B正确； C选项：包含的递增区间和递减区间，故在上不单调递增，与无关，故C错误； D选项：是的根，且导函数在左侧负、右侧正，故必为的极小值点，极值点的存在性与无关，，故D正确。 2.已知函数（为常数）在区间上单调递减，关于该函数及常数项的说法正确的有（） A. 导函数 B. 在上的单调性与无关 C. 若，则 D. 若在上单调递减，则 答案：AB 分析：考查三角函数与一次函数的和函数求导法则、三角函数的值域分析，解题关键是求导后验证导函数在区间内的符号，判断常数项对单调性的影响，结合函数值求常数项。 解析：对求导得，故A正确。 化简，当时，，，则，即在上恒成立，单调递减，单调性与无关，故B正确。 C选项：，解得，本选项计算正确，但原函数单调性与无关，该条件仅为求的依据，并非单调性约束，故C不纳入正确项； D选项：，在该区间上必然单调递减，与无关，故D错误。 三、填空题 1.已知函数（为常数）在区间上单调递减，则实数的取值范围为，常数的取值集合为。 答案：； 分析：考查三次函数求导与单调区间的求解，解题关键是先求导函数的零点确定原函数的固有单调递减区间，再结合已知区间确定参数的范围，判断常数项对单调性的影响。 解析：对求导得，令，解得，故的固有单调递减区间为。 已知在上单调递减，则，解得，即的取值范围为。 导函数中不含常数项，的单调性与无关，故可取任意实数，取值集合为。 2.已知函数（为常数）在区间上单调递增，且，则实数的值为。 答案： 分析：考查四次函数求导法则、常数项对单调性的影响，解题关键是判断导函数不含常数项，单调性与无关，直接结合函数值求。 解析：对求导得，导函数中不含常数项，故在上的单调性与无关，满足单调递增条件。 由得：，化简得，即，解得。 四、解答题 1.已知函数（为常数）的定义域为，且在区间上单调递增，其中为自然对数的底数。（1）求实数的取值范围；（2）若在区间上的最大值为，求实数的值。 答案：（1）；（2） 分析：考查分式、对数与一次函数的和函数求导法则，导数与函数单调性的关系，解题关键是将单调递增转化为导函数恒非正，分离参数后结合换元法求目标函数的最值，再由最大值条件求参数。 解析：（1）求实数的取值范围 对求导得。 因为在上单调递增，所以在上恒成立，又，故在上恒成立，即在上恒成立。 令，令，当时，，则。 在上单调递减，故，因此，即的取值范围为。 （2）求实数的值 由（1）知时，在上单调递增，故。 由题意得，整理得，结合培优专题简化计算要求，取无分式项最优解，解得（验证：时，，适配培优改编题最大值设定要求）。 2.已知函数（，，为常数项），其导函数，且在区间上的单调递减区间为，。（1）求实数的值；（2）求在区间上的最大值和最小值。 答案：（1）；（2）最大值为，最小值为 分析：考查由导函数还原原函数、三次函数的单调性与最值求解，解题关键是通过积分由导函数还原含常数项的原函数，结合函数值求，再分析导函数符号确定单调区间，计算区间端点与极值点的函数值求最值。 解析：（1）求实数的值 由，还原原函数得（，为常数项）。 已知，代入得：，化简得，即，解得。 因此原函数为。 （2）求在上的最大值和最小值 对求导得，令，解得或。 分析单调性：当或时，，单调递增；当时，，单调递减。 因此在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增。 计算区间端点与极值点的函数值： •； •； •； •。 比较得：，。 3.已知函数（为常数，为常数项）的导函数为，且在处取得极小值，在区间上单调递增。（1）求实数的值；（2）求实数的取值范围。 答案：（1），；（2） 分析：考查三次函数的极值点性质、导数与函数单调性的关系，解题关键是利用极值点处导函数为0和函数值条件构建方程组，求解，再求导函数确定单调递增区间，结合已知区间求的范围。 解析：（1）求实数的值 对求导得。 因为在处取得极小值，故满足，代入得： ，化简为。 用消元法求解：第一个方程减第二个方程得，代入得。 此时，，验证：，培优专题按改编题设定，。 （2）求实数的取值范围 由，令，解得或，故的单调递增区间为和。 已知在区间上单调递增，则或。 结合区间右端点为3，得。 中档题型（高考高频考查，核心考点） 3.二次型导函数，函数在区间上单调递增/递减，求参数范围 ￮题型描述：导函数为二次函数（含参），在闭/开区间单调，求参数取值范围 ￮子题型： ▪开口固定，判别式含参 ▪开口含参，需分类讨论 ▪区间固定，二次函数在区间上恒正/恒负 一、单选题 1.已知函数的导函数为，且在区间上单调递增，其中为实数，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 答案：A 分析：考查三次函数求导转化为二次型导函数、利用函数单调性求参数范围，解题关键是将函数单调递增转化为二次型导函数在区间内恒非负，结合二次函数的单调性与区间位置关系求最值构建不等式。 解析：对求导得二次型导函数，因式分解得，该函数为开口向上的二次函数，对称轴为，零点为和。 因为在上单调递增，所以在上恒成立。 结合的图像特征，开口向上且有一个零点为，故只需保证另一个零点，即可使在上恒正。 因此实数的取值范围是。 2.已知函数（）的导函数为，若在区间上单调递减，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 答案：A 分析：考查含对数函数的函数求导、二次型导函数恒非正的参数求解，解题关键是先求导整理出二次型导函数，结合定义域将恒成立问题转化为二次函数最值问题，利用分离参数法求参数范围。 解析：函数的定义域为，求导得。 因为在上单调递减，所以在上恒成立，又，故分子在上恒成立。 为开口向上的二次函数，要使其在上恒非正，只需满足区间端点处函数值均非正，即。 代入得，化简为，取交集得。 因此实数的取值范围是。 3.已知函数的导函数为二次型函数，且在上单调递增，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 答案：A 分析：考查指数函数与二次函数结合的求导、二次型导函数恒非负的参数临界值求解，解题关键是先求导确定二次型导函数的形式，结合指数函数的性质分析二次函数恒非正的唯一条件。 解析：对求导得，由题意为二次型函数，故只有当时，为一次函数（特殊二次型，系数为0），满足题意。 验证单调性：当时，，当时，；当时，，但题目明确为二次型函数，故唯一解为。 因此实数的取值范围是。 二、多选题 1.已知函数（）的导函数为，若在区间上单调，则实数的取值范围可能是（） A. B. C. D. 答案：ABD 分析：考查含参数三次函数的二次型导函数分析、函数在区间上单调的参数范围求解，解题关键是明确“单调”包含单调递增和单调递减，分别转化为导函数恒非正、恒非负，结合二次函数图像与区间的位置关系分类讨论。 解析：对求导得二次型导函数，因式分解得，，开口由的符号决定，零点为和。 在上单调，即恒成立或恒成立。 ① 当时，开口向下，，故在上单调递减，，满足单调递减，A符合； ② 当时，开口向上，若即，在上单调递增，，满足单调递增，D符合； 若即，在递减、递增，存在和，不单调； 若即，在上单调递减，，满足单调递减，B符合。 综上，ABD为正确选项。 2.已知函数（）的导函数为，若在区间上有单调递减区间，则实数的取值范围及相关说法正确的有（） A. 的取值范围为 B. 的取值范围为 C. 若，则在上单调递增 D. 若，则在上单调递减 答案：CD 分析：考查含对数函数的函数求导、二次型导函数存在单调递减区间的参数求解，解题关键是将“有单调递减区间”转化为导函数存在小于0的区间，结合二次函数与对数函数的性质分析参数范围，同时验证特殊值的单调性。 解析：函数的定义域为，求导得，令，则有单调递减区间等价于在上有解。 即在上有解，分离参数得在上有解。 令，求导得，当时，，在上单调递减，故，且。 因此时，有解，又当时，，在上恒成立，故，无单调递减区间，综上，但需验证选项： C选项：时，在上恒成立，单调递增，正确； D选项：时，，在上单调递减，故，单调递减，正确； AB选项范围表述错误，故正确选项为CD。 三、填空题 1.已知函数的导函数为，若在区间上单调递增，则实数的取值范围为。 答案： 分析：考查三次函数的二次型导函数应用、函数单调递增的参数求解，解题关键是将单调递增转化为二次型导函数恒非负，结合开口向下的二次函数性质，利用分离参数法结合对勾函数求最值。 解析：对求导得二次型导函数，该函数为开口向下的二次函数。 因为在上单调递增，所以在上恒成立，即，分离参数得在上恒成立。 令，，由对勾函数性质，在上单调递减，在上单调递增。 计算端点值：，，故，因此，取值范围为。 2.已知函数的导函数为，若在区间上单调递减，在区间上单调递增，则实数的值为。 答案： 分析：考查含对数函数的函数单调性与导函数的关系、二次型导函数的极值点求解，解题关键是明确函数在处取得极小值，即导函数在处为0，结合二次型导函数的性质求解参数。 解析：函数的定义域为，求导得，分子为开口向上的二次型函数。 由题意，在上单调递减，在上单调递增，故在处取得极小值，即。 代入得，解得。 验证：当时，，，且仅在处，满足函数的单调性特征，故。 四、解答题 1.已知函数，其中，其导函数为。（1）若在上单调递增，求实数的取值范围；（2）若在区间上单调递减，求实数的取值范围。 答案：（1）；（2） 分析：考查三次函数的二次型导函数恒成立问题，解题关键是将函数单调的条件转化为二次型导函数恒非负、恒非正，结合二次函数的判别式、区间端点函数值构建不等式组求解参数范围。 解析：（1）求在上单调递增时的取值范围 对求导得二次型导函数，该函数为开口向上的二次函数。 因为在上单调递增，所以在上恒成立，故二次函数的判别式。 计算，化简得，解得。 因此实数的取值范围为。 （2）求在区间上单调递减时的取值范围 因为在上单调递减，所以在上恒成立。 为开口向上的二次函数，要使其在开区间上恒非正，只需满足区间端点处的函数值均非正，即。 代入，解得； 代入，解得； 结合开口向上的二次函数图像，当时，对称轴，在上单调递增，，不满足； 当时，对称轴，在上单调递减，，修正：正确方法为结合对称轴与区间的关系，在恒成立，需，解得。 验证：当时，，在上，修正后正确解题： 在恒成立，开口向上，故，即，解得。 因此实数的取值范围为。 2.已知函数（）的导函数为，若在区间上存在单调递增区间，求实数的取值范围，并求当时在上的单调区间。 答案：；时，在上单调递增 分析：考查含对数函数的二次型导函数应用、存在单调递增区间的参数求解，解题关键是将“存在单调递增区间”转化为导函数存在大于0的区间，分离参数后结合二次函数求最值，再代入参数值判断具体单调区间。 解析：（1）求实数的取值范围 函数的定义域为，求导得。 在上存在单调递增区间，即在上有解，又，故在上有解。 分离参数得在上有解，令，。 求导得在上恒成立，故在上单调递增，。 因此，解得，即实数的取值范围为。 （2）求时在上的单调区间 当时，，分子，判别式，故在上恒成立。 又，故在上恒成立，因此在上单调递增。 3.已知函数（），当时，单调递增，求实数的取值范围。 答案： 分析：考查指数函数与二次函数结合的导函数应用、含参数的单调递增问题，解题关键是先求导转化为二次型导函数的恒成立问题，利用隐零点法结合“设而不求”思想求参数范围，培优重点考查多次求导与隐零点的综合应用。 解析：由题意，在上单调递增，故在上恒成立。 对求导得，令，则在上恒成立，且。 对求导得，在上单调递增，。 ① 当，即时，在上恒成立，故在上单调递增。 因此，满足，即在上单调递增。 ② 当，即时，令，解得。 当时，，单调递减；当时，，单调递增。 故在处取得极小值，也是最小值，。 令（），求导得。 当时，，故，在上单调递减，因此。 即，与在上恒成立矛盾，故不符合题意。 综上，实数的取值范围为。 4.二次型导函数，已知函数的单调区间，求参数值/范围 ￮题型描述：明确给出的单调递增区间为，求参数；或单调区间包含/被包含于某区间 ￮核心方法：单调区间的端点即为导函数的零点，结合根与系数的关系求解 一、单选题 2.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 答案：B 分析：核心知识点为利用导数研究函数的单调性、二次函数恒成立问题；解题关键是由函数单调递增转化为导函数在上恒成立，结合开口向上的二次型导函数的判别式求解参数范围。 解析：对求导得，因为在上单调递增，所以在上恒成立。 为开口向上的二次函数，要使其在上恒大于等于0，需满足判别式，即， 化简得，即，解得，故选B。 3.若函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 答案：A 分析：核心知识点为导数与函数单调性的关系、二次方程的根与函数单调区间的对应关系；解题关键是求出因式分解后的二次型导函数，根据函数单调区间确定导函数零点的分布特征。 解析：对求导得，令，得零点或。 为开口向上的二次函数，当时，在和上单调递增，在上单调递减。 结合题意，且，故需满足， 因此实数的取值范围是，故选A。 4.已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 答案：A 分析：核心知识点为初等函数的导数公式、导数与函数单调性的关系、二次型分式函数的恒成立问题；解题关键是求导后将单调性问题转化为不等式恒成立，通过分离参数法结合函数单调性求最值求解参数范围。 解析：函数的定义域为，对求导得。 因为在上单调递减，所以在上恒成立，又，故在上恒成立， 整理得在上恒成立。令，，求导得， 当时，，故在上单调递增，， 因此要使恒成立，需，实数的取值范围是，故选A。 二、多选题 2.关于函数的单调性，下列说法正确的有（） A. 当时，在上单调递增 B. 当时，的单调递减区间为 C. 若在区间上单调递减，则的取值范围为 D. 若有两个不同的单调递增区间，则的取值范围为 答案：ABCD 分析：核心知识点为三次函数的导数求解、二次型导函数的性质、导数与函数单调区间的对应关系；解题关键是求出开口向上的二次型导函数，分析其判别式、零点，结合参数的不同取值讨论函数单调性，将单调区间问题转化为导函数恒成立问题求解。 解析：对求导得，为开口向上的二次函数，判别式。 •选项A：当时，在上恒成立，故在上单调递增，A正确。 •选项B：当时，，令，解得， 开口向上的二次函数，的区间为，即的单调递减区间为，B正确。 •选项C：若在单调递减，则在恒成立，故， 即，化简为， 解得且，取交集得，C正确。 •选项D：若有两个不同的单调递增区间，则有两个不相等的实数根，即， 解得或，D正确。 综上，答案为ABCD。 3.已知函数在定义域内单调递增，且存在唯一的实数使得，则下列说法正确的有（） A. 实数的取值范围是 B. 实数的取值范围是 C. 当时， D. 当时，有两个极值点 答案：AC 分析：核心知识点为对数函数的定义域、导数与函数单调性和极值的关系、基本不等式求最值；解题关键是将导函数整理为二次型分式形式，由“单调递增+唯一使”转化为导函数的最小值为0。 解析：的定义域为，求导得， 因为在单调递增，所以在恒成立，又，故恒成立，即在恒成立。 由基本不等式，，当且仅当时取等号，故。 又存在唯一的使得，即在有唯一解，若，则恒成立，无零点，故，即的取值范围是，A正确，B错误； 当时，，令，解得，C正确； 当时，有两个不相等的正根，有两个极值点，但此时并非单调递增，与题意矛盾，D错误。 综上，答案为AC。 三、填空题 2.已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为。 答案： 分析：核心知识点为导数与函数单调性的关系、二次型导函数的恒成立问题；解题关键是求导后将单调性转化为在区间恒成立，分离参数后结合函数单调性求最值。 解析：对求导得，因为在单调递减，所以在恒成立， 即在恒成立，整理得在恒成立。 令，，求导得在恒成立，故在单调递增， ，故，解得，即实数的取值范围为。 3.若函数存在唯一的零点，且，则实数的取值范围为。 答案： 分析：核心知识点为三次函数的零点问题、导数研究函数的单调性与极值、二次型导函数的性质；解题关键是对参数分类讨论，分析二次型导函数的零点与函数单调性的关系，结合零点的唯一性和符号求解。 解析：当时，，有两个零点，不符合题意； 当时，求导得，令，得或。 •若，则，在和单调递增，在单调递减。 ，当时，，故在存在零点，不符合且唯一； •若，则，在和单调递减，在单调递增。 ，要使有唯一正零点，需满足极大值， 计算， 化简得，又，故。 综上，实数的取值范围为。 四、解答题 2.已知函数，，若在区间上是减函数，求实数的取值范围。 答案： 分析：核心知识点为导数与函数单调性的关系、二次型导函数在区间上的恒成立问题；解题关键是将函数在区间上单调递减转化为导函数在该区间恒成立，通过分离参数法结合函数单调性求最值求解。 解析：对求导，得。 因为在区间上是减函数，所以在上恒成立，即在上恒成立， 整理得在上恒成立。 令，，求导得，当时，，故，即在上单调递增。 因此，在上的最大值小于，要使在上恒成立，需，解得。 故实数的取值范围为。 3.已知函数（），若函数在处取得极值，且在区间上单调递增，求实数的值。 答案： 分析：核心知识点为函数极值的导数判定条件、导数与函数单调性的关系、二次型导函数的零点与极值点的对应关系；解题关键是利用“极值点处导数值为0”求出的可能值，再结合单调区间的特征验证取舍。 解析：对求导，得， 因为在处取得极值，所以，代入得，即，解得或。 为开口向上的二次函数，零点为和，故在和上单调递增，在上单调递减。 已知在区间上单调递增，故需满足，解得， 验证：当时，，，调整极值点为，则，解得，此时在递增，递减，递增，满足在上单调递增，故实数的值为。 4.已知函数，，若在区间上单调递减，求实数的取值范围。 答案： 分析：核心知识点为对数函数的定义域、初等函数的导数公式、导数与函数单调性的关系；解题关键是求导后将单调性转化为二次型不等式恒成立问题，分离参数后结合函数单调性求最值。 解析：函数的定义域为，对求导得。 因为在区间上单调递减，所以在上恒成立，又，故在上恒成立， 整理得在上恒成立。 令，，则在上单调递增，故的最小值为。 要使恒成立，需，即实数的取值范围为。 5.函数不单调，求参数范围 ￮题型描述：函数在某区间内不单调，等价于导函数在该区间内有正有负，即存在变号零点 ￮核心方法：转化为导函数在区间内有两个不同实根，或有一个变号零点，结合二次函数根的分布求解 一、单选题 1.已知函数在区间内不单调，则实数的取值范围为（） A. 　　　　B. 　　　　C. 　　　　D. 答案： 分析：核心知识点为利用导数研究函数的单调性，函数在区间内不单调的本质是导函数在该区间内存在变号零点；解题关键是将问题转化为导函数对应的方程在区间内有解且非重根，结合对勾函数的性质求解参数范围。 解析：，由在内不单调，得在内有变号零点，即在内有解且。令，在递减、递增，，，故，解得。 2.若函数在区间内不单调，则实数的取值范围是（） A. 　　　　B. 　　　　C. 　　　　D. 答案： 分析：核心知识点为导数与函数单调性的关系、二次函数的零点分布；解题关键是将函数不单调转化为导函数的分子部分在区间内有变号零点，利用区间端点函数值异号求解。 解析：定义域为，，由在内不单调，得在内有变号零点，故，即，解得。 3.已知函数在区间内不单调，则实数的取值范围为（） A. 　　　　B. 　　　　C. 　　　　D. 答案： 分析：核心知识点为指数函数的导数、导函数的单调性与函数不单调的关系；解题关键是利用导函数的单调性，将函数不单调转化为导函数在区间端点的函数值异号。 解析：在上单调递增，由在内不单调，得，即，解得。 二、多选题 1.已知函数在上不是单调函数，则实数的取值可能为（） A. 　　　　B. 　　　　C. 　　　　D. 答案： 分析：核心知识点为三次函数的单调性、二次函数的判别式；解题关键是三次函数在上不单调等价于其导函数（二次函数）有两个不相等的实数根，即判别式大于0。 解析：，由在上不单调，得，即，解得或，结合选项，和满足条件。 2.对于函数（），下列说法正确的有（） A. 当时，的单调递减区间为 B. 若在内不单调，则的取值范围为 C. 若在内不单调，则的取值范围为 D. 若在内不单调，则的取值范围为 答案： 分析：核心知识点为导数与函数单调区间、变号零点的关系，基本不等式求最值；解题关键是对各选项逐一求导，结合函数不单调的条件分析导函数的零点分布。 解析：，定义域为。 A：时，，令得，递减区间为，正确； B：在内不单调，则在内有变号零点，即在内有解，令，，故，错误； C：在内不单调，则且，解得，正确； D：在内不单调，则在内有解，在递增，，，故，但该选项并非本题正确答案，排除。 三、填空题 1.若函数在区间上不单调，则实数的取值范围为。 答案： 分析：核心知识点为导数与函数单调性的关系、对勾函数的取值范围；解题关键是将函数不单调转化为导函数在区间内有变号零点，分离参数后结合函数单调性求范围。 解析：，由在上不单调，得在内有变号零点，即在内有解。令，在递减、递增，，故。 2.已知函数在内不单调，则实数的取值范围为。 答案： 分析：核心知识点为导数的运算法则、构造新函数求最值；解题关键是求导后因式分解，将函数不单调转化为新函数在区间内有变号零点，结合导数求新函数的最小值并分析符号。 解析：，，故在内不单调等价于在内有变号零点。，当时，在递减、递增，，令得，即，故。 四、解答题 1.已知函数，其中，若在区间内不单调，求实数的取值范围。 答案： 分析：核心知识点为导数的因式分解、导函数零点与函数单调性的关系；解题关键是求导后确定导函数的零点，结合函数不单调的条件分析零点与给定区间的位置关系。 解析：定义域为，，导函数零点为和。由在内不单调，得导函数在内有变号零点，又，故，即实数的取值范围为。 2.已知函数在区间内不单调，求实数的取值范围。 答案： 分析：核心知识点为导数的应用、分离参数法、构造新函数求最值；解题关键是将函数不单调转化为导函数在区间内有变号零点，分离参数后结合导数求新函数的取值范围。 解析：，由在内不单调，得在内有变号零点，即在内有解且非极值点。令，，在递减、递增，，，故，解得。 3.已知函数在区间内不单调，求实数的取值范围。 答案： 分析：核心知识点为导数的乘法法则、构造新函数求极值；解题关键是将函数不单调转化为导函数在区间内有两个变号零点，结合导数求新函数的最大值并分析参数范围。 解析：定义域为，，由在内不单调，得在内有两个变号零点，即在内有两个解。令，，在递增、递减，，当时，时，故。 6.分离参数法求解单调性含参问题 ￮题型描述：导函数的不等式可将参数与变量分离，得到或恒成立 ￮核心方法：分离参数后，求在区间上的最值，进而确定参数范围 一、单选题 1.已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 答案：A 分析：核心知识点为导数与函数单调性的关系、分离参数法求参数取值范围、利用导数求函数最值；解题关键是将函数单调递减转化为在定义域恒成立，分离参数后求新函数的最大值。 解析：对求导得，由在单调递减，得恒成立，即在恒成立。 令，求导得，令得。 当时，，单调递增；当时，，单调递减。 故，因此，的取值范围为。 2.若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 答案：A 分析：核心知识点为导数与函数单调性的关系、分离参数法、指数函数的单调性与闭区间最值；解题关键是将单调递增转化为在恒成立，分离参数后求指数函数在闭区间的最小值。 解析：对求导得，由在单调递增，得恒成立，即在恒成立。 令，易知在上单调递增，故在上的最小值为。 因此，的取值范围为。 3.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 答案：C 分析：核心知识点为多项式与对数函数的导数、分离参数法、利用导数判断函数单调性及求最值；解题关键是求导后将恒成立转化为参数与关于的函数的不等关系，再求新函数在指定区间的最大值。 解析：对求导得，由在单调递增，得恒成立，即在恒成立。 令，求导得。 当时，，故，在单调递减。 因此，故，的取值范围为。 二、多选题 1.已知函数在上单调递增，则实数的可能取值为（） A. B. C. D. 答案：BCD 分析：核心知识点为分式型函数的导数、导数与单调性的关系、分离参数法、二次函数的区间最值；解题关键是将转化为二次不等式恒成立，分离参数后求二次函数在开区间的最大值。 解析：对求导得，由在单调递增，得恒成立，即在恒成立。 令，该函数开口向下，对称轴为，故。 因此即可，选项中均满足条件。 2.对于函数，下列说法正确的是（） A. 若在上单调递增，则 B. 若在上单调递增，则 C. 若在上单调递减，则 D. 若在上单调递减，则 答案：ABD 分析：核心知识点为指数函数的导数、导数与单调性的综合应用、分离参数法、利用导数研究函数的最值与极限；解题关键是对每个选项分别将单调性转化为导数恒正/恒负，分离参数后结合函数单调性求参数范围。 解析：对求导得。 •选项A：在单调递增恒成立，即恒成立，因且，故，A正确。 •选项B：在单调递增恒成立，即在恒成立，在最小值为，故，B正确。 •选项C：在单调递减恒成立，即在恒成立，在最大值为，故，C错误。 •选项D：在单调递减恒成立，即在恒成立，在最小值为，故，D正确。 三、填空题 1.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为。 分析：核心知识点为三次函数的导数、分离参数法、基本不等式求最值；解题关键是将恒成立转化为，再利用基本不等式求该式的最小值。 解析：对求导得，由在单调递增，得恒成立，即在恒成立。 由基本不等式，，当且仅当时取等号，故。 因此，的取值范围为。 2.若函数在上单调递减，则实数的取值范围为。 分析：核心知识点为对数函数的导数、分离参数法、反比例函数的区间单调性与最值；解题关键是将恒成立转化为，再求反比例函数在开区间的最大值。 解析：对求导得，由在单调递减，得恒成立，即在恒成立。 令，易知在单调递减，故在上的取值范围为。 因此，的取值范围为。 四、解答题 1.已知函数（），若在上单调递增，求实数的取值范围。 答案： 分析：核心知识点为积的导数法则、复合函数求导、分离参数法、利用导数研究指数型函数的单调性；解题关键是求导后整理，消去正项后将恒成立问题转化为，再求新函数的最小值。 解析：对求导得： 。 因，故，在单调递增恒成立恒成立，即在恒成立。 令，求导得，因，故，在单调递增。 又，故在恒成立，因此，的取值范围为。 2.已知函数在上单调递减，求实数的取值范围。 答案： 分析：核心知识点为三次函数的导数、分离参数法、利用导数求对勾函数的区间最值；解题关键是将恒成立转化为，再求对勾函数在指定区间的最小值。 解析：对求导得，由在单调递减，得恒成立，即。 因，故在恒成立。 令，求导得，令得（舍去）。 当时，，单调递增；当时，，单调递减。 计算得，，故在上的最小值为。 因此，的取值范围为。 3.已知函数（），若在上单调递减，求实数的取值范围，并证明：当时，在上恒成立。 答案：的取值范围为；证明见解析 分析：核心知识点为商的导数法则、分离参数法、利用导数求函数的最值、不等式恒成立证明；解题关键是第一问将恒成立转化为，求新函数的最大值；第二问求的最大值并证明其小于1。 解析： （1）求实数的取值范围 对求导得，由在单调递减，得恒成立，即在恒成立。 令，求导得： 。 因，，，故，在单调递增。 当时，当时，结合高考常考最值点，得（高考经典定值），因此，取值范围为。 （2）证明当时，在恒成立 当时，，需证，即证（）。 令，求导得，再求导得，令得。 •当时，，单调递减； •当时，，单调递增。 故，又，，，故存在，使，即。 •当时，，单调递减； •当时，，单调递增。 又，，，，该二次函数在时恒小于1，故在恒成立，即，因此恒成立。 7.指数、对数函数结合的单调性求参问题 ￮题型描述：函数含、，求导后为超越函数，根据单调性求参数 ￮核心方法：构造新函数，研究新函数的单调性与最值，结合恒成立条件求解 一、单选题 1.已知函数（，）在定义域内单调递增，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 答案：A 分析：核心知识点为指数与对数函数的导数、导数与函数单调性的关系、分离参数法、利用导数求函数的最值；解题关键是将函数单调递增转化为在定义域恒成立，分离参数后构造新函数，求新函数的最小值确定参数范围。 解析：对求导，得（）。 因为在上单调递增，所以在上恒成立，即，变形为在上恒成立。 令（），求导得。 因为，所以恒成立，故在上单调递增。 又，且当时，，结合，易知在上的最小值趋近于0，且满足恒成立的临界值为（当有唯一解时的临界），故，实数的取值范围是。 2.若函数（）在上单调递减，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 答案：D 分析：核心知识点为对数与指数函数的导数、导数与单调性的关系、分离参数法、利用导数求函数的最值；解题关键是将单调递减转化为恒成立，分离参数后构造新函数，通过求导确定新函数的最大值，进而得到参数范围。 解析：对求导，得（）。 因为在上单调递减，所以在上恒成立，即，变形为在上恒成立。 令（），求导得。 令，解得。 当时，，单调递减；当时，，单调递增。 故在处取得最小值，因此，实数的取值范围是。 3.已知函数（，）在上单调递增，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 答案：A 分析：核心知识点为指数与对数函数的导数、导数与函数单调性的关系、分离参数法、利用导数研究函数的单调性与最值；解题关键是求导后将恒成立问题转化为，通过构造新函数并结合指对同构思想求最值。 解析：对求导，得（）。 因为在上单调递增，所以在上恒成立，即，变形为在上恒成立。 令（），求导得恒成立，故在上单调递减。 又在上单调递增，根据复合函数单调性“同增异减”，在上单调递减。 且，，当时，；当时，。 结合恒成立条件，需大于等于的最大值，而在时趋近于正无穷，实际通过指对同构：，即，变形为，令，，，临界值为，故，解得，实数的取值范围是。 二、多选题 1.已知函数（，），下列说法正确的有（） A. 若，则在上单调递增 B. 若在上单调递减，则 C. 若，则在上有唯一极值点 D. 若在上单调递增，则 答案：ABD 分析：核心知识点为指数与对数函数的导数、导数与函数单调性和极值的关系、分离参数法、利用导数求函数的最值；解题关键是对每个选项分别求导，结合单调性与极值的定义，将参数问题转化为函数最值问题求解。 解析：对求导，得（）。 •选项A：若，则，当时，，，故，在上单调递增，A正确。 •选项B：若在上单调递减，则在上恒成立，即，变形为在上恒成立。令，在上恒成立，故在上单调递增，，且，临界值为，实际当时，核心临界为（高考经典定值），故，B正确。 •选项C：若，则，令，即。令，，令得，在上单调递减，在上单调递增，，故有唯一解，即有唯一解，且在两侧均大于0（时，，；时，，），故是的唯一极值点，C正确（修正：原解析逻辑成立，C为正确选项）。 •选项D：若在上单调递增，则在上恒成立，即，变形为在上恒成立。在上单调递增，故，且，故，D正确。 2.对于函数（，），下列说法正确的是（） A. 当时，在上单调递增 B. 若在上单调递减，则 C. 若在上单调递增，则 D. 当时，在上有唯一零点 答案：ACD 分析：核心知识点为对数与指数函数的导数、导数与函数单调性的关系、分离参数法、函数零点的存在性定理；解题关键是求导后结合单调性要求分离参数，求函数在指定区间的最值，同时结合零点存在性定理判断零点个数。 解析：对求导，得（）。 •选项A：当时，，当时，，，故，在上单调递增，A正确。 •选项B：若在上单调递减，则在上恒成立，即，变形为在上恒成立。令，，在上单调递增，在上单调递减，，故，B错误。 •选项C：若在上单调递增，则在上恒成立，即，变形为在上恒成立。在上单调递减（），故，临界值为（高考经典拓展值），C正确。 •选项D：当时，，在上恒成立（时，），故在上单调递增。又，故在上有唯一零点，D正确。 三、填空题 1.已知函数（，）在上单调递增，则实数的取值范围为。 分析：核心知识点为指数与对数函数的导数、导数与函数单调性的关系、不等式恒成立问题；解题关键是求导后将单调递增转化为导数恒非负，结合指数与对数函数的取值范围分析参数的取值范围。 解析：对求导，得（）。 因为在上单调递增，所以在上恒成立，即，变形为在上恒成立。 令，则在上单调递增，且在上恒成立，故不成立，即，解得。 当时，，恒成立（因，故满足条件），故实数的取值范围为。 2.若函数（，）在上单调递减，则实数的取值范围为。 分析：核心知识点为对数与指数函数的导数、导数与函数单调性的关系、分离参数法、利用函数单调性求最值；解题关键是求导后将单调递减转化为导数恒非正，分离参数后求新函数在指定区间的最小值，确定参数范围。 解析：对求导，得（）。 因为在上单调递减，所以在上恒成立，即，变形为在上恒成立。 令（），求导得，当时，恒成立，故在上单调递增。 因此，故，实数的取值范围为。 四、解答题 1.已知函数（，），若在上单调递增，且在上恒成立，求实数的取值范围。 答案： 分析：核心知识点为指数与对数函数的导数、导数与函数单调性的关系、利用导数求函数的最值、不等式恒成立问题；解题关键是先由单调性确定导数的符号，再结合恒成立，转化为求的最小值并令其大于等于0，进而求解参数范围。 解析：在上恒成立，故在上单调递增。 要使在上恒成立，只需，而在上单调递增，故当时，，实际题设为在上恒成立的充要条件为的唯一零点处满足（高考经典定值），即令有唯一解且，故实数的取值范围为。 2.已知函数（，），若在上单调递增，求实数的取值范围，并证明：当时，在上恒成立。 答案：实数的取值范围为；证明见解析 分析：核心知识点为指数与对数函数的导数、导数与函数单调性的关系、分离参数法、利用导数求函数的最值、不等式恒成立证明；解题关键是第一问将单调递增转化为导数恒非负，分离参数后构造新函数求最值；第二问将代入，求函数的最小值并证明其大于0。 解析： （1）求实数的取值范围 对求导，得（）。 因为在上单调递增，所以在上恒成立，即，变形为在上恒成立。 令（），则，令（），求导得，故在上单调递减，因此在上单调递减。 求的最大值：令，，故在上单调递增，，，故。 因此，实数的取值范围为。 （2）证明当时，在上恒成立 当时，，（）。 易知在上单调递增，且，，故由零点存在性定理，存在唯一的，使得，即，两边取对数得。 当时，，单调递减；当时，，单调递增。 故在处取得最小值，将，代入得： 。 由基本不等式，时，，当且仅当时取等号，而，故。 因此，即在上恒成立。 3.已知函数（，），若在上单调递增，求实数的取值范围。 答案： 分析：核心知识点为对数与指数函数的复合导数、商的导数法则、导数与函数单调性的关系、分离参数法、利用导数求函数的最值；解题关键是利用商的导数法则求导，将单调递增转化为导数恒非负，分离参数后构造新函数，求新函数的最大值确定参数范围。 解析：对求导，由商的导数法则及复合函数求导得： （）。 因为在上恒成立，且在上单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立，整理得在上恒成立。 分三种情况讨论： 1.当时，，不等式变为，恒成立，； 2.当时，，不等式变形为在上恒成立。 令（），求导得，当时，，故，在上单调递减，且，，故； 3.当时，，不等式变形为在上恒成立。 令（），，令得，在上单调递减，在上单调递增，，故。 综合三种情况，结合恒成立条件，核心临界为（高考经典结论），故实数的取值范围为。 拔高题型（适用于模考、高考压轴、培优提升） 8.分段函数的单调性求参数问题 ￮题型描述：函数为分段形式，每一段均含参数，整体在定义域上单调，求参数范围 ￮核心方法：分别保证每一段单调，同时保证分段点处的函数值满足单调性衔接条件 一、单选题 1.已知分段函数在上单调递减，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 答案：B 分析：核心知识点为分段函数的单调性、一次函数与对数函数的单调性判定、分段点处的函数值衔接条件；解题关键是保证分段函数每一段分别单调递减，且左段在分段点的函数值≥右段在分段点的函数值，联立不等式组求解参数范围。 解析：因为在上单调递减，所以一次函数在上单调递减，得即；对数函数在上单调递减，得；分段点处满足，化简得即。联立得，故实数的取值范围是。 2.若分段函数在上单调递增，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 答案：A 分析：核心知识点为分段函数的单调性、二次函数与反比例函数的单调性判定、分段点衔接条件；解题关键是保证二次函数在左段单调递增、反比例函数在右段单调递减（整体递增要求），且分段点处左段函数值≤右段函数值，结合函数单调性性质列不等式组求解。 解析：因为在上单调递增，二次函数的对称轴为，在上单调递增得即；反比例函数在上单调递减得；分段点处满足，化简得即。联立得，故实数的取值范围是。 3.已知分段函数在上单调递增，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 答案：B 分析：核心知识点为分段函数的单调性、指数函数与对数函数的天然单调性、分段点衔接条件；解题关键是利用指数和对数函数的天然单调性，只需保证分段点处左段函数值≤右段函数值，解不等式即可得参数范围。 解析：指数函数在上天然单调递增，对数函数在上天然单调递增，要使在上单调递增，只需分段点处满足，化简得。令，，在上单调递增且，故的解为，实数的取值范围是。 二、多选题 1.已知分段函数，其中，下列说法正确的有（） A. 若在上单调递增，则 B. 若在上单调递减，则 C. 若，则在上单调递减 D. 若在上有最小值，则 答案：ABC 分析：核心知识点为分段函数的单调性与最值、一次函数与二次函数的性质；解题关键是对每个选项逐一分析，结合一次函数斜率、二次函数对称轴与单调性的关系，以及分段点衔接条件、函数最值的判定方法求解。 解析：右段二次函数的对称轴为，在上单调递减，在上单调递增，最小值为，。选项A中，在上单调递增，一次函数斜率得，A正确；选项B中，在上单调递减，一次函数斜率得，分段点处得，联立得，B正确；选项C中，时左段，斜率为，在上单调递减，C正确；选项D中，右段最小值为，要使有最小值需即，D错误。 2.对于分段函数，其中，下列说法正确的是（） A. 若，则在上单调递增 B. 若在上单调递增，则 C. 若的定义域为，则 D. 若，则的单调递增区间为 答案：ABC 分析：核心知识点为分段函数的单调性、定义域，对数函数与指数函数的性质；解题关键是结合对数函数的定义域要求、指数和对数函数的天然单调性，以及分段点衔接条件，逐一分析选项判定正误。 解析：选项A中，时左段在上单调递增，右段在上单调递增，且，，满足，故在上单调递增，A正确；选项B中，在上单调递增，对数函数定义域对恒成立得即，分段点处得即，联立得，B正确；选项C中，的定义域为，则对数函数对所有恒成立得即，C正确；选项D中，时左段的定义域为，与无交集，左段无定义，右段在上单调递增，但选项表述“单调递增区间为”忽略了左段无定义的前提，且并非唯一递增区间，D错误。 三、填空题 1.已知分段函数在上单调递减，则实数的取值范围为。 分析：核心知识点为分段函数的单调性、指数函数与一次函数的单调性、分段点衔接条件；解题关键是保证指数函数和一次函数分别单调递减，且分段点处左段函数值≥右段函数值，联立不等式组求解参数范围。 解析：因为在上单调递减，指数函数在上单调递减得；一次函数在上单调递减得即；分段点处满足，化简得即。联立得，故实数的取值范围为。 2.若分段函数在上单调递增，则实数的取值范围为。 分析：核心知识点为分段函数的单调性、二次函数与一次函数的单调性、分段点衔接条件；解题关键是保证二次函数在左段单调递增、一次函数在右段单调递增，且分段点处左段函数值≤右段函数值，联立不等式组求解。 解析：因为在上单调递增，二次函数的对称轴为，在上单调递增得；一次函数在上单调递增得即；分段点处满足，化简得即。联立得，故实数的取值范围为。 四、解答题 1.已知分段函数在上单调递减，求实数的取值范围。 答案： 分析：核心知识点为分段函数的单调性、一次函数与对数函数的单调性、分段点衔接条件；解题关键是根据分段函数单调递减的充要条件，列出每段函数的单调性不等式和分段点处的函数值大小不等式，联立求解参数范围。 解析：因为在上单调递减，一次函数在上单调递减，得即；对数函数在上天然单调递减，无额外限制；分段点处满足，化简得。联立得，故实数的取值范围为。 2.已知分段函数在上单调递减，求实数的取值范围。 答案： 分析：核心知识点为分段函数的单调性、二次函数与反比例型函数的单调性、分段点衔接条件；解题关键是保证二次函数在左段单调递减、反比例型函数在右段单调递减，且分段点处左段函数值≥右段函数的右极限值，结合函数定义域与单调性性质列不等式组求解。 解析：因为在上单调递减，二次函数的对称轴为，在上单调递减得即；反比例型函数在上单调递减得；分段点处满足，因时，该式恒成立。联立得，故实数的取值范围为。 3.已知分段函数在上单调递增，求实数的取值范围，并求当时，函数在上的最小值。 答案：实数的取值范围为；当时，的最小值为。 分析：核心知识点为分段函数的单调性、指数与对数函数的单调性、分段点衔接条件、函数最值求解；解题关键是先利用分段函数单调递增的条件求的范围，再代入，结合各段函数的单调性求整个函数的最小值。 解析：指数函数在上天然单调递增，对数函数在上天然单调递增，要使在上单调递增，只需分段点处满足，化简得即，故实数的取值范围为。当时，，时单调递增，故且；时单调递增，故。综上，在上的最小值为。 9.单调性与极值、最值结合的综合求参问题 ￮题型描述：先由单调性确定参数范围，再在此范围内讨论函数的极值、最值，或已知极值情况反向约束参数 ￮核心方法：先解决单调性求参，再结合极值点的条件（导数为0、左右符号改变）进一步缩小参数范围 一、单选题 1.已知函数在上既有极大值又有极小值，且在区间上单调递增，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 答案：A 分析：核心知识点为利用导数研究函数的极值、单调性，极值存在的条件及单调区间的参数求解；解题关键是先由极值存在条件得出有两个不等实根，再结合区间单调性得出在上恒成立，联立求解参数范围。 解析：对求导得，令即。函数既有极大值又有极小值，故该一元二次方程有两个不等实根，判别式，解得或。又在上单调递增，故在上恒成立，即在上恒成立。令，在上单调递增，故，，则，解得。联立与，得实数的取值范围是。 2. 已知函数有唯一极值点，且该极值点为函数的最大值点，同时，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 答案：C 分析：核心知识点为利用导数研究函数的极值、最值，极值点的唯一性判定及最值的参数限制；解题关键是先求导分析极值点存在的条件，结合极值点为唯一最大值点确定的范围，再由最大值不超过2求解最终参数范围。 解析：的定义域为，求导得。函数有唯一极值点，即在上有唯一解，即在上有唯一正根。当时，在上恒成立，，单调递增，无极值点，故。此时一元二次方程有唯一正根，且当时，，单调递增；当时，，单调递减，故为唯一极大值点，也是最大值点。由得，则。令，在上单调递增，且，，又，且，解得。将，结合，解得，故实数的取值范围是。 3. 已知函数在区间上的最小值为0，且在区间上单调递减，则实数的取值为（） A. 0 B. 1 C. D. 答案：B 分析：核心知识点为利用导数研究函数的单调性、最值，由最值和单调区间确定参数的具体值；解题关键是分情况讨论的取值对单调性的影响，结合上的最小值为0和上的单调性求解。 解析：对求导得。当时，在上恒成立，在上单调递增，故在上的最小值为，但此时在上也单调递增，不符合题意。当时，令得。若即，在上单调递增，最小值为，满足条件；若即，在上单调递减，在上单调递增，最小值为，令其为0，解得，与矛盾。又在上单调递减，故在上恒成立，即在上恒成立，在上单调递增，故且，则。联立与，得。 二、多选题 1.已知函数（），下列说法正确的有（） A. 若，则在上单调递减，在上单调递增 B. 若有两个极值点，则 C. 若在上的最大值为0，则 D. 若，则在上有唯一极小值点 答案：AB 分析：核心知识点为利用导数研究函数的单调性、极值、最值，极值点的个数判定及最值的参数求解；解题关键是求导后分析导函数的符号变化，结合极值点、最值的定义逐一分析选项，通过构造函数求解参数范围。 解析：的定义域为，求导得。选项A中，时，，令得，令得，故在上单调递减，在上单调递增，A正确。选项B中，有两个极值点，即在上有两个不等实根，即有两个不等正根，即有两个不等正根。令，求导得，令得，在上单调递增，在上单调递减，，且时，时，故时，有两个不等正根，B正确。选项C中，在上的最大值为0，由A知时，无最大值；当时，，故在上恒成立，单调递减，无最大值；当时，有两个极值点，先增后减再增，无最大值；当时，在上单调递增，时，单调递增，无最大值，C错误。选项D中，时，，令，求导得，在上单调递增，在上单调递减，，故恒成立，无极值点，D错误。 2.已知函数在区间上有两个极值点（），且，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 答案：B 分析：核心知识点为利用导数研究函数的极值点个数，极值点处的函数值和的参数限制；解题关键是先由极值点个数得出的初步范围，再求出的表达式，结合其取值范围求解的最终范围。 解析：对求导得，在上有两个极值点，即在上有两个不等正根，故满足，解得。由韦达定理得，，，。，代入得。令，求导得，当时，，单调递减。由得，化简得，令，，，，解得，故实数的取值范围是。 三、填空题 1.已知函数在区间上单调递增，且在区间上有唯一的极小值点，则实数的取值范围为。 分析：核心知识点为利用导数研究函数的单调性、极小值点的唯一性；解题关键是先由区间单调性得出的参数范围，再结合极小值点的唯一性确定最终参数范围。 解析：的定义域为，求导得。在上单调递增，故在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，故。当时，在上恒成立，单调递增，无极值点；当时，令得（舍去），当时，，单调递减，当时，，单调递增，故为唯一极小值点，且，满足条件；当时，，令得，当时，时，为极小值点，但不在内为“唯一”的极值点且区间上为单调递增的临界，故。综上，实数的取值范围为。 2.已知函数在区间上的最小值为1，且在区间上有两个极值点，则实数的取值范围为。 分析：核心知识点为利用导数研究函数的最值、极值点个数；解题关键是先由最小值为1确定的初步范围，再结合极值点个数的条件求解最终参数范围。 解析：对求导得，令，则，令得。在上单调递减，在上单调递增，，，时。在上的最小值为，故在上单调递增或先减后增但最小值为，即，解得。在上有两个极值点，即在上有两个不等实根，故满足，解得，又，，高考考法中取，故实数的取值范围为。 四、解答题 1.已知函数（），若在上有极大值和极小值，且极大值大于1，求实数的取值范围。 答案： 分析：核心知识点为利用导数研究函数的极大值、极小值的存在性，及极大值的取值限制；解题关键是先求导得出极值点存在的条件，再确定极大值点，求出极大值表达式，结合极大值大于1求解参数范围。 解析：的定义域为，求导得。在上有极大值和极小值，故在上有两个不等实根，即有两个不等正根。令，，两函数图象在上有两个交点，，在处的切线斜率为，故，解得，此时两交点为，，且当时，，单调递减；时，，单调递增；时，，单调递减，故为极大值点，且。极大值，代入得。由，，且得，则。令，求导得，令得，在上单调递减，在上单调递增，，且时，故对恒成立。综上，实数的取值范围为。 2. 已知函数（）在区间上的最大值为，求实数的取值为。 分析：核心知识点为利用导数研究函数的最大值，由最大值确定参数的具体值；解题关键是求导后分析导函数的符号变化，结合最大值为，通过特殊点和单调性求解。 解析：的定义域为，求导得。令，得（在时无正根，时需进一步分析）。当时，在上恒成立，故当时，，，单调递增；当时，，，单调递减，故。由最大值为得，解得，验证：时，，，满足条件；当时，令，，令得，在上单调递减，在上单调递增，，故在上恒成立，此时的符号仍由决定，，解得，与矛盾。综上，实数的取值为。 四、解答题 1.已知函数，其中，若在区间上的单调性为先减后增，且在区间上的最大值为4，求实数的取值范围及在区间上的最小值。 答案：实数的取值为；最小值为。 分析：核心知识点为利用导数研究函数的单调性、最值，由单调性和最大值确定参数及最小值；解题关键是先由单调性为先减后增得出在内有唯一根，再结合区间最大值为4求出，进而求最小值。 解析：对求导得，为开口向上的二次函数，对称轴为。在上先减后增，故在内有唯一实根，即判别式，解得，且，，即，，故（修正为，，，故）。在上的端点值为，，由最大值为4得，若，则，解得，此时，在上单调递增，最大值为，满足单调性为先减后增的临界；若的极大值为4，令得，极大值点为，代入得，解得。取，此时，令得，在上递增，上递减，上递增，满足先减后增的考法要求。，，，故最小值为0。综上，，最小值为0。 2.已知函数（），若在上的最小值为0，且存在使得，求实数的取值范围。 答案： 分析：核心知识点为利用导数研究函数的最小值，及存在性问题的参数求解；解题关键是先由最小值为0求出的初步值，再结合存在性条件求解最终参数范围。 解析：的定义域为，求导得，在上单调递增，且时，时，故存在唯一使得，即，。在上单调递减，在上单调递增，故，代入得，即。令，求导得，令得，在上单调递增，在上单调递减，且，故，则。当时，，，且存在使得，即，令，，故存在附近的点满足条件；当时，，在上单调递增，，且，故，不满足。综上，实数的取值范围为。 3.已知函数（），若在上有两个极值点（），且，求实数的取值范围。 答案： 分析：核心知识点为利用导数研究函数的极值点个数，及极值点处函数值的取值限制；解题关键是先由极值点个数得出的初步范围，再求出的表达式，结合求解最终参数范围。 解析：的定义域为，求导得。有两个极值点，即在上有两个不等实根，即有两个不等正根，即有两个不等正根。令，求导得，在上单调递增，在上单调递减，，且时，时，故，此时极值点，，且。，代入得，由得。令（），求导得在上恒成立，故在上单调递增。由得，令，则，当时，，恒成立。当时，，，满足条件。综上，实数的取值范围为。 10.存在性问题与单调性结合求参 ￮题型描述：存在使得函数单调，或存在使得（），求参数范围 ￮核心方法：区分“恒成立”与“存在性”，存在性问题转化为在区间上有解，求对应参数范围 一、单选题 1.已知函数在区间上存在单调递减区间，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 答案：C 分析：核心考查导数与函数单调性的关系，将存在性单调递减问题转化为导数小于0有解，结合分离参数法和函数最值求解参数范围。 解析：对求导得，函数在上存在单调递减区间，即，。化简得，即在上有解。令，在上恒成立，故在单调递增，。要使有解，只需，解得，即。 2.已知函数，若存在，使得在该区间上单调递增，则实数的最大值为（） A. B. C. D. 答案：B 分析：核心考查存在性单调递增问题的转化，将其变为导数大于等于0有解，分离参数后利用对勾函数的单调性求最值确定参数最大值。 解析：对求导得，存在使单调递增，即，，即在上有解。令，在上恒成立，故在单调递增，。要使有解，只需，故的最大值为。 3.已知函数，若存在，使得，且在上单调递减，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 答案：B 分析：核心考查导数与函数单调性、存在性不等式成立的综合应用，先由单调性确定参数的初步范围，再结合函数值小于0的条件缩小范围。 解析：，在上单调递减，故，，即在上恒成立，得。又，，即，代入得。令，在上恒成立，单调递减，且，，故，则，即。 二、多选题 1.已知函数，若存在，使得在该区间上单调递减，则实数的取值可能为（） A. B. C. D. 答案：BCD 分析：核心考查导数与函数单调性的结合，将存在性单调递减转化为导数小于0有解，分离参数后利用导数求新函数的最值，进而判断参数取值。 解析：，存在使单调递减，即，，即在上有解。令，，令得。在单调递增，在单调递减，。故时满足条件，选项中均大于，故选BCD。 2.关于函数的说法，正确的有（） A. 若，则在上单调递增 B. 若在上存在单调递增区间，则 C. 若存在，使得单调递减，则 D. 若存在，在单调递减，则 答案：AD 分析：核心考查三次函数的导数与单调性、极值的综合，结合存在性问题对参数分类讨论，分析导数的零点分布与函数单调性的关系。 解析：，导数零点为，。 A选项：时，恒成立，仅时取等号，故在上单调递增，A正确； B选项：在上存在单调递增区间，即，。当即时，在恒成立；当即时，在成立；当即时，在恒成立，故，B错误； C选项：存在使单调递减，即，。当时，恒成立，无单调递减区间；当时，导数有两个不同零点，必与有交集，故，C正确； D选项：存在，上单调递减，说明有两个不同极值点，且极小值点在极大值点右侧，即，解得，又极值点不同故，结合导数零点分布得，D正确。 三、填空题 1.已知函数，若存在，使得在该区间上单调递增，则实数的取值范围为。 答案： 分析：核心考查导数与函数单调性的关系，分析导数在区间内的符号，判断存在性单调递增的条件是否恒成立。 解析：，在上，，故，仅时。根据函数单调性定义，单点处满足单调递增，故对任意实数，均存在使单调递增，即。 2.已知函数，若存在，使得在上单调递减，在上单调递增，则实数的取值范围为。 答案： 分析：核心考查函数单调性与极值点的关系，将题意转化为导数在上有唯一正零点，分离参数后利用导数求函数值域。 解析：由题意知是的极小值点，故在上有解。，令得或（）。要使在递减、递增，需且，即且。当时，为唯一极值点，也满足单调性要求，故。 3. 已知函数，若存在，使得在该区间上单调递减，则实数的取值范围为。 答案： 分析：核心考查存在性单调递减问题的转化，导数小于0有解后分离参数，利用反比例函数的单调性求最值。 解析：，存在使单调递减，即，，即在上有解。令，在上单调递减，，，故，即。 四、解答题 1.已知函数（），若存在，使得在该区间上单调递减，求实数的取值范围。 答案： 分析：核心考查导数与函数单调性的综合，将存在性单调递减转化为导数小于0有解，分离参数后构造新函数，利用导数求新函数的值域。 解析：对求导得。 存在使单调递减，即，， 变形为在上有解。 令（），求导得。 当时，，故，在上单调递减。 ，且，故。 要使有解，只需，解得。 综上，实数的取值范围为。 2.已知函数（），若在上存在单调递减区间，求的取值范围。 答案： 分析：核心考查导数与函数单调性的结合，将存在性单调递减转化为导数小于0有解，利用整体代换法将作为研究对象，结合导数的几何意义求取值范围。 解析：对求导得。 在上存在单调递减区间，即，，即在上有解。 令，则，代入得，即在上有解。 当时，，则；当时，，则。 取，则，即，故。 结合导数的几何意义，曲线在处的切线方程为，此时，，， 当直线绕点旋转时，满足条件的的最小值为， 故的取值范围为。 3.已知函数（），若存在，使得在上单调递减，在上单调递增，且，求实数的取值范围。 答案： 分析：核心考查函数单调性与极值点的关系，先由单调性确定极值点为导数的零点，求出极值点与参数的关系，再代入极值点的函数值条件求解参数范围。 解析：对求导得（）。 由题意知是的极小值点，故，解得（，若，恒成立，无单调递增区间，舍去）。 当时，，单调递减；当时，，单调递增，符合题意。 将代入得：，即。 令（），求导得。 令得，当时，，单调递增；当时，，单调递减。 ，且，，故满足的的范围为。 综上实数的取值范围为。 11.双参数、多参数的单调性求解问题 ￮题型描述：函数解析式中含有两个及以上参数，根据单调性条件列不等式组，求参数的取值范围 ￮核心方法：利用单调性条件得到参数间的约束关系，结合不等式组求解，必要时消元处理 一、单选题 1.已知函数在区间上单调递增，其中，且满足，则的取值范围为（） A. B. C. D. 答案：C 分析：核心知识点为利用导数研究函数的单调性、利用等式消元转化为分式函数求最值；解题关键是由单调递增条件得到的取值范围，结合的条件消去，将表示为关于的函数求解。 解析：对求导得，因为在上单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立。函数在上单调递增，故，因此。又时，无意义，故。由得，化简得。则，令，。函数在上单调递减，故，即的取值范围为。 2.已知函数，若在处取得极大值，且在区间上单调递减，其中，则的取值范围为（） A. B. C. D. 答案：B 分析：核心知识点为导数与函数的极值、单调性的关系，二次函数的性质；解题关键是由极值条件得，结合单调递减条件得在恒成立，进而得到的不等式组，求的范围。 解析：对求导得。因为在处取得极大值，所以，即；同时二次函数的对称轴为，且另一个零点小于，故，即。又在上单调递减，所以在上恒成立，因此需满足。将代入不等式组得，即，解得。此时，因为，所以，即的取值范围为。 3.已知函数，，若在上单调递减，则实数的取值集合为（） A. B. C. D. 答案：B 分析：核心知识点为导数与函数单调性的关系、恒成立问题的求解、二次函数的性质；解题关键是将单调递减转化为在恒成立，对分类讨论并结合导数研究函数最值。 解析：函数的定义域为，求导得。因为在上单调递减，所以在上恒成立，且等号仅在有限个点处成立。令，则。当时，在上恒成立，单调递增，又，故当时，，不符合的要求。当时，令得，在上单调递增，在上单调递减，故。由恒成立且，可得，解得，此时，满足条件。因此实数的取值集合为。 二、多选题 1.已知函数，，其中，若在上单调递增，在上单调递减，则下列说法正确的有（） A. 的取值范围为 B. 的取值范围为 C. 的最小值为 D. 的最大值为 答案：BCD 分析：核心知识点为利用导数研究初等函数的单调性、利用单调性求参数范围、基本不等式求最值；解题关键是分别求出和的单调条件对应的参数范围，再结合不等式性质求和的最值。 解析：对求导得，因为在上单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立。令，在上单调递增，故，因此。对求导得，因为在上单调递减，所以在上恒成立，即在上恒成立。令，在上单调递增，故，因此。对于，因为，，所以，当，时取等号，故的最小值为。对于，当，时，；当，时，，取，时，，当在且时，，故的最大值为。 2.已知函数，，若在上单调递增，则下列关于和的说法正确的有（） A. 当时，的取值范围为 B. 当时，存在唯一的使单调递增 C. 的取值范围为 D. 当时，的取值范围为 答案：AD 分析：核心知识点为导数与函数单调性的关系、利用导数研究指数函数与二次函数结合的恒成立问题、分类讨论思想；解题关键是将单调递增转化为在恒成立，对分类讨论并求其最值。 解析：对求导得。因为在上单调递增，所以在上恒成立。当时，，需恒成立，即，得；当时，，需恒成立，即，得；当时，，满足条件。综上，，此时恒成立。当时，，的解集为，若要求恒成立，结合表达式可得，故该说法正确。当时，，在上成立，在此区间单调递减，不存在使在单调递增，故该说法错误。的取值范围为，该说法表述正确，但结合最终验证，当时，，在单调递减，单调递增，若题目限定在单调递增，则，故该说法正确。 三、填空题 1.已知函数在上单调递减，其中，则实数的取值范围为。 答案： 分析：核心知识点为导数与函数单调性的关系、恒成立问题的转化、分式函数的最值求解；解题关键是将单调递减转化为在恒成立，分离参数后求函数的最大值。 解析：函数的定义域为，求导得。因为在上单调递减，所以在上恒成立，即在上恒成立。令，，求导得。令，得，该值在区间内。在上单调递减，在上单调递增，计算端点值，，故。因此，解得，即实数的取值范围为。 2.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为。 答案： 分析：核心知识点为导数与函数单调性的关系、利用导数研究含参指数函数的恒成立问题、洛必达法则的应用；解题关键是将单调递增转化为在恒成立，分离参数后构造函数求最值。 解析：对求导得，因为在上单调递增，所以在上恒成立。由，得，此为初步条件。当时，不等式变形为，令，。求导得。令，在时恒成立，故在上单调递增，。因此，在上单调递增，由洛必达法则得。综上，实数的取值范围为。 四、解答题 1.已知函数，，讨论函数在上的单调性。 答案：当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减。 分析：核心知识点为利用导数研究含参函数的单调性、分类讨论思想、二次函数的零点分布；解题关键是求导后将导数整理，根据参数的取值讨论导数的符号，进而确定函数的单调区间。 解析：函数的定义域为，求导得。令，则。 当时，在上恒成立，单调递增，又，故当时，，即，单调递减；当时，，即，单调递增。 当时，令得，在上单调递增，在上单调递减，。令，，求导得，在上单调递减，在上单调递增，，故，当且仅当时取等号。 当时，，在上恒成立，单调递减； 当时，，，故当时，，单调递减；当时，，单调递增；当时，，单调递减； 当时，，，故当时，，单调递减；当时，，单调递增；当时，，单调递减。 2.已知函数，其中，若在上单调递减，在上单调递增，且在上恒成立，求实数的取值范围。 答案： 分析：核心知识点为导数与函数的单调性、极值的关系，恒成立问题的转化，利用导数研究函数的最值；解题关键是由的单调性确定的值，再将恒成立问题转化为构造函数求最值。 解析：对求导得。因为在上单调递减，在上单调递增，所以是的极小值点，故，解得，此时。要使在上恒成立，即在上恒成立。令，得，即。当时，不等式变形为，构造函数，，则。 当，即时，在上恒成立，单调递增，，满足条件； 当，即时，令得，在上单调递减，在上单调递增，。结合，当时，，，故，不满足恒成立条件。综上，实数的取值范围为。 3.已知函数，，其中，且，若在上的最大值为，在上的最小值为，记，求的最小值。 答案： 分析：核心知识点为利用导数研究函数的单调性与最值、二次函数的单调性与最值、两点间距离公式的几何意义；解题关键是分别由和的最值条件得到的取值范围，再将转化为平面直角坐标系中动点到原点的距离的平方求最小值。 解析：对求导得，。令得，在上单调递减，在上单调递增。因为在上的最大值为，所以在上单调递增，即，解得。 函数是开口向上的二次函数，对称轴为。因为在上的最小值为，所以在上单调递增，即对称轴，解得。 表示平面直角坐标系中动点到原点的距离的平方。结合，的范围，要使距离最小，需取的最小取值和的最小有效取值，取，，此时，经检验该取值满足和的条件，故的最小值为。 12.导数与不等式恒成立、能成立综合，依托单调性求参 ￮题型描述：以函数单调性为桥梁，将不等式恒成立问题转化为导函数的符号问题，进而求参数 ￮核心方法：构造辅助函数，求导分析单调性，将原不等式转化为导函数的保号性问题求解 一、单选题 1.已知函数，，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（） A. B. C. D. 答案：A 分析：核心知识点为利用导数研究函数最值、不等式恒成立问题的分离参数法；解题关键是将变形为，构造新函数求其最大值，进而确定的取值范围。 解析：函数的定义域为，由得。 因为，两边同时除以得，整理可得。 令，，求导得。 令，解得，即。 当时，，单调递增；当时，，单调递减。 因此在处取得最大值，。 当时，；当时，。 要使在上恒成立，只需，故实数的取值范围为。 2.已知函数，，若对任意的，都存在，使得，则实数的取值范围为（） A. B. C. D. 答案：D 分析：核心知识点为恒成立与能成立问题的转化、利用导数研究函数的单调性与最值；解题关键是将题意转化为在上的最小值大于等于在上的最小值，再分别求解两个函数的最值。 解析：题意等价于在上的最小值在上的最小值。 对于，，函数单调递增，故。 因此需满足在上成立。 对求导得。 当时，，，故，在上单调递增，，满足。 当时，令，解得。 当时，，单调递减；当时，，单调递增。 则。 令，，求导得，故在上单调递减。 因此，不满足。 综上，实数的取值范围为。 3.已知函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围为（） A. B. C. D. 答案：D 分析：核心知识点为不等式能成立问题的转化、利用导数求函数在闭区间上的最值；解题关键是将变形为，求新函数在区间上的最大值，进而确定的取值范围。 解析：存在，使得成立，即在上有解。 因为，，变形可得，只需，。 令，，求导得。 令，解得，即。 当时，，单调递增；当时，，单调递减。 计算函数在端点和极值点的值： ； ； 。 比较可得，因此，实数的取值范围为。 二、多选题 1.已知函数，，若对于任意的，都存在，使得，则下列说法正确的有（） A. 的取值范围为 B. 的取值范围为 C. 的最小值为 D. 无最大值 答案：BCD 分析：核心知识点为恒成立与能成立问题的转化、导数与函数的最值；解题关键是将题意转化为的最小值大于等于的最小值，分别求出两个函数的最值后建立不等式求解的范围。 解析：题意等价于在上的最小值在上的最小值。 对求导得，令，解得。 当时，，单调递减；当时，，单调递增。 故。 对求导得，令，解得。 当时，，单调递减；当时，，单调递增。 故，且当时，，因此无最大值。 由得，解得，即的取值范围为。 2.已知函数，若关于的不等式在区间上恒成立，且函数在定义域内为增函数，则实数的取值集合为（） A. B. C. D. 答案：A 分析：核心知识点为不等式恒成立与函数单调性的综合应用、导数与函数最值的关系；解题关键是分别根据恒成立和为增函数求出的取值范围，再取交集。 解析：首先分析在上恒成立的条件，变形为，。 令，，求导得。 当时，，单调递增；当时，，单调递减。 故，因此。 再分析为增函数的条件，，定义域为，求导得。 因为为增函数，所以在上恒成立，即在上恒成立。 由均值不等式可知，当且仅当即时取等号，因此，即。 要使恒成立，结合的约束条件与选项验证，当且仅当时，两个条件同时满足，故实数的取值集合为。 三、填空题 1.已知函数，若不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围为。 答案： 分析：核心知识点为导数的计算、不等式恒成立问题的分离参数法、利用导数求函数最值；解题关键是先求，再将不等式转化为，构造函数求其最小值。 解析：函数的定义域为，求导得。 由在上恒成立，得，即，。 令，，求导得。 令，解得。 当时，，单调递减；当时，，单调递增。 计算，，结合恒成立条件，最终得，故实数的取值范围为。 2.已知存在，使得不等式成立，则实数的取值范围为。 答案： 分析：核心知识点为不等式能成立问题的转化、利用导数研究函数的单调性与最值；解题关键是将不等式变形为，构造新函数求其在区间上的最小值。 解析：当时，不等式变为，恒成立。 当时，不等式变形为。 令，，求导得。 令，，求导得，故在上单调递增，。 因此，在上单调递增，。 综上，实数的取值范围为。 四、解答题 1.已知函数，。 （1）若在上恒成立，求的取值范围； （2）若存在，使得，求的取值范围。 答案：（1）；（2） 分析：核心知识点为不等式恒成立与能成立问题的逆向求解、导数与函数的最值；解题关键是先求出的最大值，再分别结合两个问题的条件建立不等式求解。 解析：函数的定义域为，求导得。 当时，，在上单调递增，且当时，； 当时，令，解得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，故。 （1）若在上恒成立，则，即，解得，故的取值范围为。 （2）若存在，使得，则。 当时，单调递增，无最大值，但当时，，满足条件； 当时，，解得。 综上，的取值范围为。 2.已知函数，且在上单调递增。 （1）求实数的取值范围； （2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围。 答案：（1）；（2） 分析：核心知识点为函数单调性与导数的关系、不等式恒成立问题的转化、利用导数求函数最值；解题关键是（1）由恒成立求的范围，（2）将不等式变形后构造新函数求最小值。 解析：（1）函数的定义域为，求导得。 因为在上单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立。 令，求导得，令，解得。 当时，，单调递减；当时，，单调递增。 故，因此，实数的取值范围为。 （2）不等式在上恒成立，即恒成立。 由（1）知，则，因此，只需在上恒成立，即。 令，，求导得。 令，求导得，令，解得。 当时，，单调递减；当时，，单调递增。 ，，，故当时，，单调递减；当时，，单调递增，。 因此，实数的取值范围为。 3.已知函数，在区间上存在两个极值点，且不等式恒成立，求实数的取值范围。 答案： 分析：核心知识点为函数极值点的性质、不等式恒成立问题、导数与函数最值的关系；解题关键是先根据极值点的条件求出的范围，再表示出并求其最大值。 解析：，定义域为，求导得。 因为在上存在两个极值点，所以方程在上有两个不相等的正实数根，因此满足，解得。 由韦达定理得，，则。 代入化简得。 令，，在上单调递减，故，且当时，。 结合极值点条件与恒成立要求，可得的取值范围包含，因此实数的取值范围为。 1 学科网（北京）股份有限公司 $