第10讲 二次根式（寒假预习讲义）八年级数学新教材苏科版

第10讲 二次根式 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ： 二次根式的概念 1.二次根式的定义 一般地，形如√a（a≥0）的式子叫做二次根式。其中，“√”称为二次根号，a叫做被开方数。 分析：这个定义包含两个核心要素。一是形式上必须有二次根号“√”；二是被开方数a必须是非负数，即a≥0。这是因为在实数范围内，负数没有平方根，所以只有当a是非负数时，√a才有意义。例如，√5是二次根式，因为被开方数5≥0；而√-3不是二次根式，因为被开方数-3<0，在实数范围内无意义。 2.二次根式有意义的条件 二次根式√a有意义的条件是被开方数a为非负数，即a≥0。 分析：判断一个式子是否为二次根式，或者一个二次根式在什么情况下有意义，关键就看被开方数是否满足非负性。如果题目中给出一个二次根式，要求字母的取值范围，那么只需要解不等式a≥0即可。例如，对于√(x-2)，要使其有意义，则x-2≥0，解得x≥2。 3.二次根式的性质 1. √a (a≥0) 是一个非负数。 分析：因为二次根号的意义是表示一个数的算术平方根，而算术平方根本身就是非负的。所以无论a取何非负值，√a的结果总是大于或等于0的。例如，√4=2≥0，√0=0≥0。 2. (√a)² = a (a≥0) 分析：这个性质表明，一个非负数先开平方，再将结果平方，得到的仍是原来的非负数。它体现了平方和开平方（在算术平方根意义下）互为逆运算的关系。例如，(√3)² = 3，(√0.5)² = 0.5。反过来，如果已知一个数的平方等于a（a≥0），那么这个数可以表示为√a。 3. √(a²) = |a| = { a (a≥0), -a (a<0) } 分析：这个性质是对任意实数a都成立的。因为a²总是非负数，所以√(a²)有意义。当a是非负数时，它的算术平方根就是它本身；当a是负数时，它的算术平方根是它的相反数，因为算术平方根不能是负数。例如，√(5²)=√25=5=|5|；√=√25=5=|-5|=-(-5)。 知识点2 ： 二次根式的乘除 1.二次根式的乘法法则 √a · √b = √(ab) (a≥0, b≥0) 即两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。 分析：这个法则的成立条件是a和b都必须是非负数，只有这样，等式两边的二次根式才有意义。利用这个法则可以进行二次根式的乘法运算。例如，√2 · √3 = √(2×3) = √6；√4 · √9 = √(4×9) = √36 = 6，也可以先化简再相乘：2×3=6，结果一致。反过来，√(ab) = √a · √b (a≥0, b≥0)，这个逆用常用于二次根式的化简，即将被开方数中能开得尽方的因数或因式开出来。例如，√12 = √(4×3) = √4 · √3 = 2√3。 2.二次根式的除法法则 √a / √b = √(a/b) (a≥0, b>0) 即两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变。 分析：除法法则中，除了要求被开方数a是非负数外，还特别强调了b>0，这是因为b作为除数不能为0。利用这个法则可以进行二次根式的除法运算。例如，√8 / √2 = √(8/2) = √4 = 2。反过来，√(a/b) = √a / √b (a≥0, b>0)，这个逆用同样用于二次根式的化简。例如，√(3/4) = √3 / √4 = √3 / 2。 3.最简二次根式 满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式： 1. 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式； 2. 被开方数中不含分母。 分析：最简二次根式是二次根式运算的基础，很多二次根式的运算都要求先将二次根式化为最简二次根式。 对于条件1，例如√18 = √(9×2) = 3√2，因为9是能开得尽方的因数，所以√18不是最简二次根式，化简后3√2才是。 对于条件2，例如√(1/2)，被开方数中含有分母，不是最简二次根式，需要化简为√2 / 2（分子分母同乘√2，即√(1×2)/(2×2) = √2/2）才是最简二次根式。 知识点3 ：二次根式的加减 1.同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。 分析：判断几个二次根式是否为同类二次根式，必须先将它们都化为最简二次根式，然后比较它们的被开方数是否相同。例如，√8 = 2√2，√18 = 3√2，它们化简后被开方数都是2，所以√8和√18是同类二次根式。而√2与√3，化简后被开方数不同，就不是同类二次根式。同类二次根式与整式中的同类项类似，是可以进行合并的。 2.二次根式的加减法则 二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式分别合并。合并同类二次根式的方法与合并同类项类似，把系数相加减，根指数和被开方数不变。 分析：二次根式的加减运算步骤可以概括为“一化、二找、三合并”。 “一化”是指将每个二次根式都化为最简二次根式； “二找”是指找出其中的同类二次根式； “三合并”是指将同类二次根式的系数相加，根式部分保持不变。 例如，计算√12 + √27 - √3： 首先，将它们化为最简二次根式：√12 = 2√3，√27 = 3√3，√3本身就是最简二次根式。 然后，找出同类二次根式，这里它们的被开方数都是3，都是同类二次根式。 最后合并：2√3 + 3√3 - √3 = (2 + 3 - 1)√3 = 4√3。 不是同类二次根式的二次根式不能合并，例如√2 + √3就不能再进行加减运算。 【题型1 二次根式的定义与有意义】 例1．下列式子中，属于二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，一般地，我们把形如的式子叫做二次根式，熟练掌握二次根式的定义是解此题的关键． 根据二次根式的定义逐项判断即可得出答案． 【详解】二次根式需满足根指数为且被开方数， 对于：，根指数为，不是二次根式； 对于：，被开方数，无意义，不是二次根式； 对于：，，，恒成立，是二次根式； 对于：，当时，，被开方数不能保证为非负数，不属于二次根式的式子； 故选． 例2．分式在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A．且 B．且 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式和二次根式有意义的条件，掌握分式有意义需分母不为零、二次根式有意义需被开方数非负的综合应用是解题的关键． 结合分式有意义和二次根式有意义的条件，确定分母中二次根式的被开方数的取值范围，进而得到的取值范围，再判断选项． 【详解】解：∵ 在实数范围内有意义， ∴分母 ，且被开方数 ， 但当时，， ∴， 即 ． 故选：C． 变式1．小红说：“因为，所以不是二次根式．”小红的说法是 的（填“对”或“错”）． 【答案】错 【分析】本题主要考查的是二次根式的定义，掌握二次根式的定义是解题的关键． 根据二次根式的定义解答即可． 【详解】解：根据二次根式的定义，形如的式子叫做二次根式．中被开方数为，满足，且含有根号，因此是二次根式，不能因为其运算结果为整数而否定其二次根式的本质． 故小红的说法是错误的． 故答案为：错． 变式2．当 时，二次根式无意义． 【答案】 【分析】二次根式无意义的条件是被开方数小于，据此分析即可． 【详解】解：二次根式​有意义的条件是被开方数，反之，当被开方数时，二次根式无意义． 解不等式，得： ，即． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解题关键是明确“二次根式无意义时，被开方数小于”，进而列不等式求解． 变式3．已知，分别为等腰三角形的两条边长，且，满足，求此三角形的周长． 【答案】10或11 【分析】此题考查了二次根式有意义的条件和等腰三角形的定义与周长．先根据二次根式有意义的条件求出，，再分情况求出三角形的周长即可． 【详解】解：∵，根据二次根式有意义的条件得到， ， 若腰长为3，三边为，∵∴能构成三角形，则周长为， 若腰长为4，三边为，∵∴能构成三角形，则周长为， 三角形的周长为10或11． 【题型2 二次根式的性质化简】 例1．计算的结果为（   ） A． B．3 C．9 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质，掌握算术平方根的结果为非负数是解题的关键． 先计算根号内的结果，再根据二次根式的性质化简，最后逐一判断选项． 【详解】解：∵先计算根号内的式子：， ∴原式． ∵算术平方根的结果是非负的， ∴． 故选：B． 例2．把根号外的因式移入根号内，下列结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是根据二次根式有意义的条件判断字母的符号，再正确移动根号外的因式． 先根据二次根式有意义的条件确定的符号，再将根号外的负因式处理符号后，平方移入根号内进行化简． 【详解】解：∵， ∴． ∴=． 故选：C． 变式1．若与互为相反数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值和算术平方根的非负性，掌握几个非负数的和为0时，每个非负数都为是解题的关键． 根据相反数的定义，两个非负的表达式互为相反数，只能同时为零，从而求出和的值，再代入计算． 【详解】解：∵与互为相反数，且，， ∴且， ∴， 解得：； ， 解得：； ∴ 故答案为 ：． 变式2．若，化简 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的性质及化简、完全平方公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先判断，，再根据二次根式的性质化简，进而得出答案． 【详解】解：原式， ， ，， 原式 ． 故答案为：． 变式3．已知，求的平方根. 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质、双重非负性以及求一个数的平方根，先因为，得出，即可化简得，算出的值，因为，得，求出的值、的值，代入，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴，， ∴， 则， ∴， 则的平方根为． 【题型3 二次根式的乘法运算】 例1．计算的结果是（   ） A．6 B．4 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的乘法，二次根式的性质与化简，掌握相应的运算法则是解题的关键． 根据二次根式乘法运算法则，进行计算即可． 【详解】解：∵， 又∵， ∴ ， 故选：C． 例2．计算所得的结果是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的乘方运算．应用指数运算规则，将平方分配到每个因子进行计算． 【详解】解：． 故选：D． 变式1．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法，二次根式的性质，正确的计算是解题的关键． 通过简化根式乘法运算，比较等式两边系数和根号内值，求出和的值，再代入计算表达式． 【详解】解：， 又 ， ， 解得：， 又 ， ， 解得：， ， 故答案为：． 变式2．计算： ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，熟练掌握二次根式的乘法法则是解题的关键． 根据二次根式的乘法法则，将两个根式相乘转化为根号下的乘法运算，即可解答． 【详解】解：． 故答案为：2． 变式3．化简： (1)． (2)（，）． 【答案】(1)120 (2) 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，二次根式的乘除法，掌握相应的运算法则是关键． 可根据二次根式的乘法法则进行化简． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【题型4 二次根式的除法运算】 例1．化简（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质．将转化为分数形式，利用二次根式的性质和除法运算化简，即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 故选：C． 例2．计算的结果是（   ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了二次根式的除法运算，正确化简二次根式是解题关键． 利用二次根式的除法法则计算即可． 【详解】解：∵， 故选：A． 变式1．化简： （1） ． （2） ． （3） ． 【答案】 【分析】本题主要考查了最简二次根式，满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．正确化简二次根式是解题的关键． （1）根据二次根式的性质，将其转化为分数形式的二次根式，即可化简； （2）先将被开方数化为正分数，然后根据二次根式的性质，将其转化为分数形式的二次根式，即可化简； （3）先将带分数化为假分数，然后根据二次根式的性质，将其转化为分数形式的二次根式，即可化简． 【详解】解：（1）∵ = ，而 ，， ∴原式 = . 故答案为： . （2）， . 故答案为：． （3）， . 故答案为：． 变式2．计算： ． 【答案】 【分析】题目主要考查二次根式的除法运算，熟练掌握是解题关键． 根据二次根式的除法运算求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 变式3．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的除法． （1）直接根据二次根式的除法法则计算即可； （2）先将带分数化为假分数，再根据二次根式的除法法则计算即可； （3）直接根据二次根式的除法法则计算即可． 【详解】（1）原式； （2）原式； （3）原式． 【题型5 二次根式的乘除混合运算】 例1．计算结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的乘除运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据二次根式的乘除法则计算即可． 【详解】解： ， 故选：B． 例2．计算：的结果是（    ） A． B． C．40 D．7 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的乘除混合运算，根据运算顺序逐步计算，即可判断． 【详解】解： ． 故选：D． 变式1．计算： （其中）． 【答案】 【分析】本题可根据二次根式的乘除运算法则，先将系数部分和根式部分分别进行运算，再结合幂的运算化简结果． 【详解】解：按照二次根式乘除法则，先处理系数部分，再处理根式部分： 系数部分运算：； 根式部分运算：； 化简被开方数：； 因此根式部分结果为：； 将系数与根式部分结合：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除运算，解题关键是熟练运用二次根式乘除法则，并结合幂的运算化简被开方数． 变式2．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握二次根式乘除混合运算的法则是解题的关键． 直接根据二次根式乘除混合运算的法则进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 变式3．计算： (1)． (2)（，）． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用二次根式的乘法法则，先将系数相乘，再将被开方数相乘，最后化简； （2）结合幂的运算和二次根式乘法法则，系数与系数相乘，根式部分按法则计算； （3）先将二次根式化为最简形式，再按乘除法则计算； （4）先将系数和根式部分分开运算，再结合二次根式的乘除法则化简． 【详解】（1）解： 原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：先化简各根式： ，， 原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除运算，解题关键是熟练掌握二次根式的乘除法则，并结合最简二次根式的化简方法进行计算． 【题型6 最简二次根式与同类二次根式】 例1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查最简二次根式的判断．根据二次根式的性质化简二次根式，根据最简二次根式的定义即可求解． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、，故不是最简二次根式，不符合题意； D、，故不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 例2．下列式子中，化简后不能与（，）合并的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同类二次根式，二次根式的性质与化简，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 判断各选项化简后是否与是同类二次根式，即被开方数是否相同即可. 【详解】解：A、∵ ，， ，被开方数为，能与合并，不符合题意； B、∵ ，， ，被开方数为，能与合并，不符合题意； C、∵ ，， ，不是二次根式，不能与合并，符合题意； D、∵ ，， ，被开方数为，能与合并，不符合题意； 故选：C． 变式1．若式子是最简二次根式，则满足条件的正整数x的值有 个． 【答案】5 【分析】要确定满足是最简二次根式的正整数的值，需根据最简二次根式的定义，分析的取值，使得被开方数不含能开得尽方的因数，且为正整数． 【详解】∵是最简二次根式， ∴被开方数为不含完全平方因数的正整数， 由且为正整数，可知的可能取值为。 分别分析： 当时，，是最简二次根式； 当时，，是最简二次根式； 当时，，是最简二次根式； 当时，，，不是最简二次根式； 当时，，是最简二次根式； 当时，，是最简二次根式； 当时，，，不是最简二次根式． ∴满足条件的正整数x的值为，共个． 故答案为：． 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，掌握最简二次根式需满足被开方数不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键． 变式2．若与最简二次根式是同类二次根式，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了最简二次根式，同类二次根式．根据同类二次根式的定义，将化为最简二次根式后，被开方数为5，因此令的被开方数等于5，解方程，即可作答． 【详解】解：依题意，，其被开方数为5， ∵与最简二次根式是同类二次根式， ∴， 解得， 故答案为：． 变式3．已知，求下列各式的值： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． （1）结合平方差公式计算即可； （2）根据乘法公式计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： ． 【题型7 分母有理化】 例1．二次根式的一个有理化因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理化因式的概念． 根据有理化因式的定义，将原式与选项式子相乘，若结果为有理式，则该选项为有理化因式，据此验证各选项即可． 【详解】解：有理化因式的定义是：两个含有根式的代数式相乘，若积不含根式，则这两个代数式互为有理化因式． A、，仍含根式，此选项不符合题意； B、，积仍含根式，此选项不符合题意； C、，积为有理式，此选项符合题意； D、，积仍含根式，此选项不符合题意． 故选：C． 例2．的倒数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了倒数的概念，分母有理化，解题的关键是熟练掌握概念． 根据倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．根据这个求倒数，然后进行分母有理化即可得到答案． 【详解】解：根据倒数的定义可得， 则， 故选：A． 变式1．计算： ． 【答案】 【分析】解题思路是先对分母含二次根式的分式进行分母有理化，将其转化为整式与根式的和，再结合另一项的化简结果，合并同类二次根式得到最终结果．本题考查二次根式的分母有理化与加减运算，涉及的知识点是二次根式的化简、平方差公式的应用．解题中用到的方法是分母有理化法，利用平方差公式消除分母中的根号；以及合并同类二次根式法，简化计算．解题关键是正确进行分母有理化，注意符号的变化．易错点是分母有理化时符号处理错误，或化简时计算失误． 【详解】解： ． 故答案为： ． 变式2．已知，，则代数式 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，分母有理化， 先对x和y进行分母有理化，得到 ，然后分别计算和的值，最后求和即可． 【详解】解：； ， ， ， ， ． 故答案为：15． 变式3．在学习完二次根式后我们又掌握了一种分母有理化的方法．例如：，． (1)化简：__________． (2)观察上面的计算过程，直接写出式子：__________． (3)利用分母有理化计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）模仿示例，分子分母同乘，利用平方差公式分母有理化； （2）观察示例规律，给的分子分母同乘​，化简得到式子； （3）先利用（2）的规律将每个分式分母有理化，得到相邻二次根式的差，合并后再与相乘计算结果 【详解】（1）解：分子分母同乘： 原式 ． （2）解：分子分母同乘​： 原式 ． （3）解：原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的分母有理化，掌握利用平方差公式对​型分式分母有理化，及相邻二次根式差的合并规律是解题的关键． 【题型8 二次根式的加减运算】 例1．下列计算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，利用二次根式的性质化简，正确的计算是解题的关键. 通过直接计算每个选项，验证其正确性即可. 【详解】解：A、∵ > ， ∴A错误，不符合题意； B、∵ ≠ ， ∴B错误，不符合题意； C、∵ = = , ∴C正确，符合题意； D、∵ = , = , ∴ = , 则 = ≠ 1， ∴ D错误，不符合题意. 故选：C. 例2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的化简，二次根式的加法，二次根式的除法． 根据二次根式的运算法则逐一判断即可． 【详解】解：，A正确； ，B错误； ，C错误； ，D错误； 故选：A． 变式1．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的运算，涉及利用二次根式化简等知识，熟记二次根式相关运算法则是解决问题的关键． 先由二次根式性质，将化简为，再合并同类二次根式即可得到答案． 【详解】解： 故答案为：． 变式2．计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质是关键． 先将各二次根式化简，提取完全平方数，再合并同类二次根式． 【详解】解：，， 所以 ， 故答案为：． 变式3．计算下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据二次根式的性质进行化简，再运算乘法，最后运算加减法，即可作答． （2）先根据二次根式的性质进行化简，再去括号，最后运算加减法，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型9 二次根式的混合运算】 例1．已知，则的值为（   ） A．4 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的化简与同类二次根式的合并，掌握将二次根式化为最简形式并合并同类二次根式，结合二次根式有意义的条件求解方程是解题的关键． 本题通过简化方程，将各项转化为的倍数，然后求解． 【详解】解：∵， ，， ∴原方程化为， ∴， 两边平方得， ∴ 故选：C． 例2．的结果在（   ） A．10到11之间 B．9到10之间 C．8到9之间 D．7到8之间 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘除法法则是解决问题的关键． 先根据二次根式的乘除法法则进行计算，再估算的范围，从而确定整体值的区间． 【详解】解：∵ 原式 = . 又∵ , ∴ , ∴ , 即 , 故结果在到之间． 故选：D． 变式1．计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据平方差公式计算即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． 变式2．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，正确化简是解题的关键．先计算除法部分，利用根式的除法法则将除法转化为根号内的运算，化简后得到，再进一步化简为然后计算并化简为，最后进行减法运算。 【详解】解： 故答案为：． 变式3．计算 (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】题目主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据平方差公式及二次根式的乘法运算求解即可； （2）根据二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【题型10 二次根式的应用】 例1．已知矩形的长为，面积为，要在这个矩形上剪下一个正方形，则所剪下的正方形的最大面积是（    ） A．30 B．40 C．50 D．60 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的应用．先根据矩形面积和长求出宽，再比较长和宽的大小，确定正方形的最大边长，进而计算面积，即可作答． 【详解】解：∵矩形的长为，面积为， ∴矩形的宽为， ∵， ，且 ∴， ∴正方形的最大边长为， ∴正方形的最大面积为， 故选：D 例2．交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的经验公式是，其中v表示车速（单位：），d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：m），f表示动摩擦因数．若在某次交通事故调查中，测得，，则肇事汽车行驶的速度约为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的实际应用，直接将给定的和代入经验公式计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴． 故肇事汽车行驶的速度约为， 故选：D． 变式1．如图，在中，，，点是线段上一点，过点作交的延长线于点，过点作交于点，连接，若，的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理、二次根式的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．过点作于点，先利用勾股定理可得，利用三角形的面积公式可得，再利用勾股定理可得的长，则可得的长，然后利用的面积计算即可得． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∵， ∴在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 变式2．汉族传统的扇文化起源于远古时代，扇子的分类多种多样．如图扇子的扇面分别为长方形和圆形，若两种扇面的面积相等，其中长方形扇面的长为，宽为，则圆形扇面的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，熟练掌握对应图形面积公式及周长公式是解题的关键．先利用长方形扇面的长和宽求出面积，设圆形扇面半径为，根据两种扇面的面积相等，求出半径，最后代入圆的周长公式求解即可． 【详解】解：由题可得， 长方形扇面的面积， 设圆形扇面半径为， 因为两种扇面的面积相等， 根据圆的面积公式， 解得（负值舍去）， 因此圆形扇面的周长． 故答案为：． 变式3．【问题提出】 （）如图，点是边的中点，则 （填“、、”）． 如图，在中，已知，，在上找一点，使得线段将分成面积相等的两部分，则的长为 ． 【问题探究】 （）如图，在四边形中，，，点是的中点，如果，，且，那么在边上是否存在一点，使所在直线将四边形的面积分成相等的两部分？若存在，求出的长；若不存在，说明理由． 【问题解决】 （）如图，为美化校园环境，西安滨河学校计划将位于学校附近的一块空地（位于两条平行道路和之间），改造为一个“口袋公园”，种植两种花卉．现在打算过点修一条笔直的通道，交于点，以方便师生观赏，并要求通道两侧种植的两种花卉面积相等．经过测量，，垂足为点，，，，，，，如果将通道记为，请分别求出和通道的长（通道的宽度忽略不计）． 【答案】（），；（）存在，；（）， 【分析】（）根据三角形中线的性质、等腰三角形的性质及勾股定理解答即可求解； （）过点作交直线于点，取的中点，连接，作，可证，得，，即得，又根据梯形中位线的性质得，，即得到四边形和四边形都是平行四边形，且大小形状相同，得到，再证明，得到，进而可得，即得，根据得，即得到，得到，最后根据线段的和差关系解答即可求解； （）如图，平分四边形的面积，延长交于点，过点作，垂足为，点为的中点，连接，由平行线的性质可得，即得，再利用直角三角形的性质和勾股定理解答即可求解． 【详解】解：（）∵点是边的中点， ∴， ∴， 对于图，当点是的中点时，有， ∴， ∵，点是的中点， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，； （）存在，理由如下： 如图，过点作交直线于点，取的中点，连接，作， ∵， ∴，，四边形是平行四边形， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵是梯形的中位线， ∴，， ∴四边形和四边形都是平行四边形，且大小形状相同， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即所在直线将四边形的面积分成相等的两部分， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴； （）如图，平分四边形的面积，延长交于点，过点作，垂足为，点为的中点，连接，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形中线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，梯形中位线的性质，平行四边形的判定和性质，直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【题型11 海伦——秦九韶公式】 例1．请阅读材料，并解决实际问题： 海伦—秦九韶公式 海伦（约公元50年），古希腊几何学家，在数学史上以解决几何测量问题闻名，在他的著作《度量》一书中证明了一个利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式：假设在平面内，有一个三角形的三条边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积，这个公式称海伦公式．秦九韶（约1202-1261），我国南宋时期的数学家，曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式．它填补了中国数学史上的一个空白，从中可以看出中国古代已经具有很高的数学水平．通过公式变形，可以发现海伦公式和秦九韶公式实质是同一公式，所以海伦公式也称海伦—秦九韶公式．问题：在中，，，，用海伦—秦九韶公式求的面积为（    ） A． B．12 C． D．24 【答案】A 【分析】先求出的值，再将各值代入公式进行计算即可得． 【详解】解：在中，，，， ， 的面积为， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次根式的几何应用，正确理解海伦—秦九韶公式是解题关键． 例2．海伦--秦九韶公式古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别为、、，记，那么三角形的面积为：，在中，，，所对的边分别是、、，若、、，则的面积为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】考查了二次根式的应用，利用阅读材料，先计算出的值，然后根据海伦秦九韶公式计算的面积即可．解题的关键是代入后正确的运算以及化简二次根式． 【详解】解：∵、、， ∴， ∴的面积， 故选：C． 变式1．我国南宋著名数学家秦九韶和古希腊几何学家海伦分别提出利用三角形的三边求面积的公式并加以证明，人们把这个公式称为海伦﹣秦九韶公式．即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积．若的三边长分别为4，5，7，利用海伦﹣秦九韶公式可求出的面积为 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的应用和数学常识，解题的关键是读懂题意，利用材料中提供的公式解答，难度不大．根据a，b，c的值求得，然后将其代入三角形的面积求值即可． 【详解】解：由的三边长分别为4，5，7， 得． ∴三角形的面积． 故答案为：． 变式2．古今中外的不少学者对三角形面积的计算做出了诸多思考，尤其值得一提的是古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶均提出了类似的计算办法：若三角形三边长分别为a、b、c，记，则三角形的面积为，因此后人将他们的发现合称为海伦-秦九韶公式，请你利用海伦-秦九韶公式计算以下的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的意义，先根据题意求出，再根据公式代值计算即可． 【详解】解：由题意得，， ∴ ， 故答案为：． 变式3．已知任意三角形的三边长，如何求三角形的面积？古希腊的几何学家海伦在他的著作《度量》一书中，给出了计算公式①，并给出了证明．其中是三角形的三边长，，为三角形的面积，这一公式被称为海伦公式．我国南宋时期数学家秦九韶（约1202—约1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式②．后人经过对公式②进行整理变形，发现海伦公式和秦九韶公式实质上是同一个公式，所以我们也称①为海伦一秦九韶公式． 请根据上述公式，解答下列问题： (1)若有四个三角形，它们的三边长分别为5，12，13；3，4，5；6，8，10；7，8，9，求其中非直角三角形的面积；（利用公式①求解） (2)若一个三角形的三边长分别为，求该三角形的面积．（利用公式②求解） (3)如图，四边形中，，求该四边形的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的运算，勾股定理及其逆定理，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质并根据三边长度的特点选择合适的公式代入计算． （1）先利用逆定理判定三边长分别为7，8，9的这个三角形不是直角三角形，再套用公式①求解即可； （2）直接套用公式②求解即可； （3）连接，利用勾股定理求出，当假设在中，，，时，利用公式①或公式②，求出的面积，再利用即可求解． 【详解】（1）解：∵；；；， ∴根据勾股定理的逆定理可知：三边长分别为7，8，9的这个三角形不是直角三角形， ∴当假设在这个三角形中，，时， 则， ∴根据公式①，得该三角形的面积； （2）解：∵三角形的三边长分别为，，， ∴当假设，，时， 根据公式②，得该三角形的面积 ； （3）解：方法一：如图，连接， ∵， ，， ∴， ∴当假设在中，，，时，根据公式②，得该三角形的面积 ， ∴． 方法二：如图，连接， ∵， ，， ∴， ∴当假设在中，，，时， 则，根据公式①，得该三角形的面积 = = = =， ∴． 【题型12 二次根式的新定义】 例1．对于任意的正数m、n定义运算：计算的结果是（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了新定义运算，二次根式的加减运算．根据定义，分别计算和，再求和即可． 【详解】解：∵， ∴； ∵， ∴； ∴ ． 故选：B． 例2．定义一种新的运算：对于任意实数a，b，有，则的值是（   ） A． B．0 C．10 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了新定义，二次根式的混合运算，根据新定义可得，据此计算求解即可． 【详解】解：由定义， ∴ 故选：C． 变式1．对于任意两个实数a、b，定义运算“☆”为：．如，根据定义可得 ． 【答案】 【分析】将4和8替换定义中的a和b即可计算． 【详解】由题意得： ==2． 故答案为2． 【点睛】本题考查了新定义下的实数运算，将数据代入新定义的式子中即可． 变式2．对于任意不相等的两个实数、，定义运算¤如下：，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义，化简二次根式，根据新定义可得，据此计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 变式3．我们新定义一种三角形，两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做“奇异三角形”． (1)①根据“奇异三角形”的定义，等边三角形______奇异三角形（填“是”或“不是”）； ②若三角形的三边长分别为，则该三角形______（填“是”或“不是”）奇异三角形． (2)若是奇异三角形，，求的长． 【答案】(1)①是；②不是 (2)的长为或． 【分析】（1）①设等边三角形的边长为，则，在由“奇异三角形”的定义即可得出结论； ②计算两边的平方和是否等于第三边平方的2倍，即可根据定义判断； （2）分；；三种情况进行讨论即可得出答案． 【详解】（1）解：①设等边三角形的边长为， ∵， ∴等边三角形一定是“奇异三角形”， 故答案为：是； ②∵，，， ∴，，， ∴该三角形不是“奇异三角形”， 故答案为：是； （2）∵是直角三角形，， ∴，即． ∵是奇异三角形，， ∴有三种情况： ①，即． ∴． ∴（负值已舍去）； ②，即． ∴． ∴（负值已舍去）； ③，此种情况不成立． 综上，的长为或． 【点睛】本题考查了勾股定理，新定义“奇异三角形”，等腰三角形的性质等知识，理解新定义“奇异三角形”的定义是解本题的关键． 1．若是二次根式，则的值不能是（　　） A． B．3.14 C． D．0 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据是二次根式，则，即可得到答案． 【详解】解：若是二次根式，则被开方数需满足， 选项A、B、D均满足，此时属于二次根式，不符合题意； 选项C为负数，不满足，此时没有意义，不属于二次根式． 故选：C． 2．若二次根式有意义，则实数x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件是被开方数非负，得到不等式，解不等式即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴． 故选：C． 3．下列的取值中，能使二次根式在实数范围内有意义的是（   ） A． B．0 C．3 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是被开方数为非负数是解题的关键． 根据二次根式的性质，被开方数必须大于或等于，列不等式求解即可． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴， ∴， ∴． 选项中只有符合题意， 故选：D． 4．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的运算，包括减法、除法、加法和乘法，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 根据二次根式的运算法则逐一判断即可． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、 ，，∴ ，故此选项符合题意； D、，故此选项不符合题意． 故选：C． 5．已知，，都是整数，若，，，则下列关于，，大小关系的结论，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的乘法，实数大小的比较，熟练掌握实数大小比较的方法是解题的关键． 可根据二次根式的乘法法则进行化简，求出、、的整数值，然后比较大小即可. 【详解】解：∵ ，且， ∴． ∵，且， ∴． ∵，且， ∴． ∴, , , ． 故选：A． 6．请任意写出一个能使有意义的m值： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件，被开方数必须非负． 【详解】解：要使有意义，需满足， 解得． 因此，任意取的一个值即可，例如． 故答案为：（答案不唯一）． 7．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的减法． 根据运算法则计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 8．若最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查同类二次根式的定义，二元一次方程，掌握知识点是解题的关键． 根据同类二次根式的定义，被开方数必须相等，列出方程求解得到x与y的关系，得到的值即可． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴被开方数相等，即， ． 故答案为4． 9．比较大小： （填“”“ ”“”） 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的大小比较． 通过比较两个数的平方值来判断大小即可． 【详解】解：，， 由于， 所以． 故答案为：． 10．小明根据课本第84页阅读材料《从勾股定理到图形面积关系的拓展》中的内容改编出如下问题：如图，分别以直角三角形的三条边为边，向外分别作正三角形，已知，，，则的面积是 ． 【答案】11 【分析】本题考查的知识点是勾股定理的拓展知识，读懂题意，从图形中找出有用的信息是解题的关键．作于点H，先求出，由图可得出，化简代入数值即可． 【详解】解：作于点H， 在等边中，， ， ， ， 同理，， 在中，， ， ∵，，， ， 故答案为：11． 11．化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查了二次根式性质，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）根据二次根式的性质进行化简即可； （）根据二次根式的性质进行化简即可； （）根据二次根式的性质进行化简即可； （）根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 12．化简： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查的是二次根式的化简． （1）把原式化为，再进一步化简即可． （2）把原式化为，再进一步化简即可． （3）把原式化为，再进一步化简即可． （4）把原式化为，再进一步化简即可． （5）把原式化为，再进一步化简即可． （6）把原式化为，再进一步化简即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解：． （5）解：． （6）解：． 13．已知． (1)计算________；________；________． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先分母有理化可得，，再代入计算即可求解； （2）由（1）得：，，然后根据完全平方公式变形，再代入计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ， ， 故答案为：，6，； （2）解：由（1）得：，， ∴． 14．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，掌握相关运算法则成为解题的关键． （1）先计算乘法，再根据二次根式的性质化简即可； （2）根据平方差公式计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 15．在探究二次根式时发现了下列有趣的变形：一些分母含有二次根式加减的式子也可以分母有理化，如： 爱思考的小名在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： ∵， ∴． ∴，即． ∴． ∴． 请根据小名的分析过程，解决如下问题： (1)计算：______； (2)计算：______； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)9 (3)1 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，求代数式的值； （1）通过分母有理化，将分母乘以后化简． （2）每个分式分母有理化后，形成望远镜求和，中间项相互抵消． （3）先将分母有理化得到，然后通过变形，平方后得到，再代入所求表达式．仿照题的方法化简即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： ， 故答案为：9； （3）解：∵， ∴， ∴，则，即， ∴． 24 / 46 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 二次根式 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ： 二次根式的概念 1.二次根式的定义 一般地，形如√a（a≥0）的式子叫做二次根式。其中，“√”称为二次根号，a叫做被开方数。 分析：这个定义包含两个核心要素。一是形式上必须有二次根号“√”；二是被开方数a必须是非负数，即a≥0。这是因为在实数范围内，负数没有平方根，所以只有当a是非负数时，√a才有意义。例如，√5是二次根式，因为被开方数5≥0；而√-3不是二次根式，因为被开方数-3<0，在实数范围内无意义。 2.二次根式有意义的条件 二次根式√a有意义的条件是被开方数a为非负数，即a≥0。 分析：判断一个式子是否为二次根式，或者一个二次根式在什么情况下有意义，关键就看被开方数是否满足非负性。如果题目中给出一个二次根式，要求字母的取值范围，那么只需要解不等式a≥0即可。例如，对于√(x-2)，要使其有意义，则x-2≥0，解得x≥2。 3.二次根式的性质 1. √a (a≥0) 是一个非负数。 分析：因为二次根号的意义是表示一个数的算术平方根，而算术平方根本身就是非负的。所以无论a取何非负值，√a的结果总是大于或等于0的。例如，√4=2≥0，√0=0≥0。 2. (√a)² = a (a≥0) 分析：这个性质表明，一个非负数先开平方，再将结果平方，得到的仍是原来的非负数。它体现了平方和开平方（在算术平方根意义下）互为逆运算的关系。例如，(√3)² = 3，(√0.5)² = 0.5。反过来，如果已知一个数的平方等于a（a≥0），那么这个数可以表示为√a。 3. √(a²) = |a| = { a (a≥0), -a (a<0) } 分析：这个性质是对任意实数a都成立的。因为a²总是非负数，所以√(a²)有意义。当a是非负数时，它的算术平方根就是它本身；当a是负数时，它的算术平方根是它的相反数，因为算术平方根不能是负数。例如，√(5²)=√25=5=|5|；√=√25=5=|-5|=-(-5)。 知识点2 ： 二次根式的乘除 1.二次根式的乘法法则 √a · √b = √(ab) (a≥0, b≥0) 即两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。 分析：这个法则的成立条件是a和b都必须是非负数，只有这样，等式两边的二次根式才有意义。利用这个法则可以进行二次根式的乘法运算。例如，√2 · √3 = √(2×3) = √6；√4 · √9 = √(4×9) = √36 = 6，也可以先化简再相乘：2×3=6，结果一致。反过来，√(ab) = √a · √b (a≥0, b≥0)，这个逆用常用于二次根式的化简，即将被开方数中能开得尽方的因数或因式开出来。例如，√12 = √(4×3) = √4 · √3 = 2√3。 2.二次根式的除法法则 √a / √b = √(a/b) (a≥0, b>0) 即两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变。 分析：除法法则中，除了要求被开方数a是非负数外，还特别强调了b>0，这是因为b作为除数不能为0。利用这个法则可以进行二次根式的除法运算。例如，√8 / √2 = √(8/2) = √4 = 2。反过来，√(a/b) = √a / √b (a≥0, b>0)，这个逆用同样用于二次根式的化简。例如，√(3/4) = √3 / √4 = √3 / 2。 3.最简二次根式 满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式： 1. 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式； 2. 被开方数中不含分母。 分析：最简二次根式是二次根式运算的基础，很多二次根式的运算都要求先将二次根式化为最简二次根式。 对于条件1，例如√18 = √(9×2) = 3√2，因为9是能开得尽方的因数，所以√18不是最简二次根式，化简后3√2才是。 对于条件2，例如√(1/2)，被开方数中含有分母，不是最简二次根式，需要化简为√2 / 2（分子分母同乘√2，即√(1×2)/(2×2) = √2/2）才是最简二次根式。 知识点3 ：二次根式的加减 1.同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。 分析：判断几个二次根式是否为同类二次根式，必须先将它们都化为最简二次根式，然后比较它们的被开方数是否相同。例如，√8 = 2√2，√18 = 3√2，它们化简后被开方数都是2，所以√8和√18是同类二次根式。而√2与√3，化简后被开方数不同，就不是同类二次根式。同类二次根式与整式中的同类项类似，是可以进行合并的。 2.二次根式的加减法则 二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式分别合并。合并同类二次根式的方法与合并同类项类似，把系数相加减，根指数和被开方数不变。 分析：二次根式的加减运算步骤可以概括为“一化、二找、三合并”。 “一化”是指将每个二次根式都化为最简二次根式； “二找”是指找出其中的同类二次根式； “三合并”是指将同类二次根式的系数相加，根式部分保持不变。 例如，计算√12 + √27 - √3： 首先，将它们化为最简二次根式：√12 = 2√3，√27 = 3√3，√3本身就是最简二次根式。 然后，找出同类二次根式，这里它们的被开方数都是3，都是同类二次根式。 最后合并：2√3 + 3√3 - √3 = (2 + 3 - 1)√3 = 4√3。 不是同类二次根式的二次根式不能合并，例如√2 + √3就不能再进行加减运算。 【题型1 二次根式的定义与有意义】 例1．下列式子中，属于二次根式的是（   ） A． B． C． D． 例2．分式在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A．且 B．且 C． D． 变式1．小红说：“因为，所以不是二次根式．”小红的说法是 的（填“对”或“错”）． 变式2．当 时，二次根式无意义． 变式3．已知，分别为等腰三角形的两条边长，且，满足，求此三角形的周长． 【题型2 二次根式的性质化简】 例1．计算的结果为（   ） A． B．3 C．9 D． 例2．把根号外的因式移入根号内，下列结果正确的是（　　） A． B． C． D． 变式1．若与互为相反数，则 ． 变式2．若，化简 ． 变式3．已知，求的平方根. 【题型3 二次根式的乘法运算】 例1．计算的结果是（   ） A．6 B．4 C．2 D．1 例2．计算所得的结果是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 变式1．若，则 ． 变式2．计算： ． 变式3．化简： (1)． (2)（，）． 【题型4 二次根式的除法运算】 例1．化简（    ） A． B． C． D． 例2．计算的结果是（   ） A．2 B．3 C．4 D． 变式1．化简： （1） ． （2） ． （3） ． 变式2．计算： ． 变式3．计算： (1)； (2)； (3)． 【题型5 二次根式的乘除混合运算】 例1．计算结果为（   ） A． B． C． D． 例2．计算：的结果是（    ） A． B． C．40 D．7 变式1．计算： （其中）． 变式2．计算： ． 变式3．计算： (1)． (2)（，）． (3)． (4)． 【题型6 最简二次根式与同类二次根式】 例1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 例2．下列式子中，化简后不能与（，）合并的是（   ） A． B． C． D． 变式1．若式子是最简二次根式，则满足条件的正整数x的值有 个． 变式2．若与最简二次根式是同类二次根式，则的值为 ． 变式3．已知，求下列各式的值： (1)； (2) 【题型7 分母有理化】 例1．二次根式的一个有理化因式是（   ） A． B． C． D． 例2．的倒数是（    ） A． B． C． D． 变式1．计算： ． 变式2．已知，，则代数式 ． 变式3．在学习完二次根式后我们又掌握了一种分母有理化的方法．例如：，． (1)化简：__________． (2)观察上面的计算过程，直接写出式子：__________． (3)利用分母有理化计算：． 【题型8 二次根式的加减运算】 例1．下列计算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 例2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 变式1．计算： ． 变式2．计算的结果是 ． 变式3．计算下列各式： (1)； (2)． 【题型9 二次根式的混合运算】 例1．已知，则的值为（   ） A．4 B． C．2 D． 例2．的结果在（   ） A．10到11之间 B．9到10之间 C．8到9之间 D．7到8之间 变式1．计算的结果是 ． 变式2．计算： ． 变式3．计算 (1)； (2) 【题型10 二次根式的应用】 例1．已知矩形的长为，面积为，要在这个矩形上剪下一个正方形，则所剪下的正方形的最大面积是（    ） A．30 B．40 C．50 D．60 例2．交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的经验公式是，其中v表示车速（单位：），d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：m），f表示动摩擦因数．若在某次交通事故调查中，测得，，则肇事汽车行驶的速度约为（   ） A． B． C． D． 变式1．如图，在中，，，点是线段上一点，过点作交的延长线于点，过点作交于点，连接，若，的长为 ． 变式2．汉族传统的扇文化起源于远古时代，扇子的分类多种多样．如图扇子的扇面分别为长方形和圆形，若两种扇面的面积相等，其中长方形扇面的长为，宽为，则圆形扇面的周长为 ． 变式3．【问题提出】 （）如图，点是边的中点，则 （填“、、”）． 如图，在中，已知，，在上找一点，使得线段将分成面积相等的两部分，则的长为 ． 【问题探究】 （）如图，在四边形中，，，点是的中点，如果，，且，那么在边上是否存在一点，使所在直线将四边形的面积分成相等的两部分？若存在，求出的长；若不存在，说明理由． 【问题解决】 （）如图，为美化校园环境，西安滨河学校计划将位于学校附近的一块空地（位于两条平行道路和之间），改造为一个“口袋公园”，种植两种花卉．现在打算过点修一条笔直的通道，交于点，以方便师生观赏，并要求通道两侧种植的两种花卉面积相等．经过测量，，垂足为点，，，，，，，如果将通道记为，请分别求出和通道的长（通道的宽度忽略不计）． 【题型11 海伦——秦九韶公式】 例1．请阅读材料，并解决实际问题： 海伦—秦九韶公式 海伦（约公元50年），古希腊几何学家，在数学史上以解决几何测量问题闻名，在他的著作《度量》一书中证明了一个利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式：假设在平面内，有一个三角形的三条边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积，这个公式称海伦公式．秦九韶（约1202-1261），我国南宋时期的数学家，曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式．它填补了中国数学史上的一个空白，从中可以看出中国古代已经具有很高的数学水平．通过公式变形，可以发现海伦公式和秦九韶公式实质是同一公式，所以海伦公式也称海伦—秦九韶公式．问题：在中，，，，用海伦—秦九韶公式求的面积为（    ） A． B．12 C． D．24 例2．海伦--秦九韶公式古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别为、、，记，那么三角形的面积为：，在中，，，所对的边分别是、、，若、、，则的面积为（  ） A． B． C． D． 变式1．我国南宋著名数学家秦九韶和古希腊几何学家海伦分别提出利用三角形的三边求面积的公式并加以证明，人们把这个公式称为海伦﹣秦九韶公式．即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积．若的三边长分别为4，5，7，利用海伦﹣秦九韶公式可求出的面积为 变式2．古今中外的不少学者对三角形面积的计算做出了诸多思考，尤其值得一提的是古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶均提出了类似的计算办法：若三角形三边长分别为a、b、c，记，则三角形的面积为，因此后人将他们的发现合称为海伦-秦九韶公式，请你利用海伦-秦九韶公式计算以下的面积为 ． 变式3．已知任意三角形的三边长，如何求三角形的面积？古希腊的几何学家海伦在他的著作《度量》一书中，给出了计算公式①，并给出了证明．其中是三角形的三边长，，为三角形的面积，这一公式被称为海伦公式．我国南宋时期数学家秦九韶（约1202—约1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式②．后人经过对公式②进行整理变形，发现海伦公式和秦九韶公式实质上是同一个公式，所以我们也称①为海伦一秦九韶公式． 请根据上述公式，解答下列问题： (1)若有四个三角形，它们的三边长分别为5，12，13；3，4，5；6，8，10；7，8，9，求其中非直角三角形的面积；（利用公式①求解） (2)若一个三角形的三边长分别为，求该三角形的面积．（利用公式②求解） (3)如图，四边形中，，求该四边形的面积． 【题型12 二次根式的新定义】 例1．对于任意的正数m、n定义运算：计算的结果是（        ） A． B． C． D． 例2．定义一种新的运算：对于任意实数a，b，有，则的值是（   ） A． B．0 C．10 D． 变式1．对于任意两个实数a、b，定义运算“☆”为：．如，根据定义可得 ． 变式2．对于任意不相等的两个实数、，定义运算¤如下：，那么 ． 变式3．我们新定义一种三角形，两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做“奇异三角形”． (1)①根据“奇异三角形”的定义，等边三角形______奇异三角形（填“是”或“不是”）； ②若三角形的三边长分别为，则该三角形______（填“是”或“不是”）奇异三角形． (2)若是奇异三角形，，求的长． 1．若是二次根式，则的值不能是（　　） A． B．3.14 C． D．0 2．若二次根式有意义，则实数x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．下列的取值中，能使二次根式在实数范围内有意义的是（   ） A． B．0 C．3 D．6 4．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．已知，，都是整数，若，，，则下列关于，，大小关系的结论，正确的是（   ） A． B． C． D． 6．请任意写出一个能使有意义的m值： ． 7．计算： ． 8．若最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则 ． 9．比较大小： （填“”“ ”“”） 10．小明根据课本第84页阅读材料《从勾股定理到图形面积关系的拓展》中的内容改编出如下问题：如图，分别以直角三角形的三条边为边，向外分别作正三角形，已知，，，则的面积是 ． 11．化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 12．化简： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 13．已知． (1)计算________；________；________． (2)求的值． 14．计算： (1) (2) 15．在探究二次根式时发现了下列有趣的变形：一些分母含有二次根式加减的式子也可以分母有理化，如： 爱思考的小名在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： ∵， ∴． ∴，即． ∴． ∴． 请根据小名的分析过程，解决如下问题： (1)计算：______； (2)计算：______； (3)若，求的值． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $