江苏省镇江市扬中市第二高级中学2025-2026学年第一学期高二数学期末模拟

江苏省镇江市扬中市第二高级中学2025-2026第一学期高二数学期末模拟 姓名 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．直线的倾斜角为 （ ） A． B． C． D． 2．若为等差数列，则“”是“”的 （ ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D． 既不充分又不必要条件 3．已知抛物线的焦点为为抛物线上一点，，直线与抛物线另一个交点为 （ ） A． B． C． D． 4．已知函数的图象在处的切线方程为（ ） A． B． C． D． 5．点为两条直线的交点，则点到直线的距离最大为 A． B． C． D． （ ） 6．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法﹒商功》中，后人称为“三角垛”， “三角垛”最上层有一个球，第二层有3个球，第三层有6个球，……第层有个球，则数列的前30项和为 （ ） A． B． C． D． 7．已知函数既有最大值又有最小值，则实数的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 8．已知点是双曲线的上焦点，下支上的一点，点上一点，则的最小值是 （ ） A． B． C． D． 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9．下列说法正确的是 （ ） A．“直线互相垂直”是“”的充分不必要条件 B．直线的倾斜角的取值范围是 C．若圆上恰有两点到点的距离为1，则的取值范围是 D．设 为实数，若直线恰有一个公共点，则 10．已知圆锥曲线的离心率为分别为曲线的左、右焦点，为曲线上一点，则下列结论正确的是 （ ） A． B．的周长为12 C．面积的最大值为 D．的取值范围是 11．等差数列，的前项和分别为，则下列说法正确的有 （ ） A．数列是递增数列 B． C． D． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12．已知等差数列的前项和为，且 . 13．过椭圆的右焦点作椭圆长轴的垂线，交椭圆于两点，为椭圆的左焦点，若为正三角形，则该椭圆的离心率为 . 14．设，若函数存在两个不同的极值点，则的取值范围为 . 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．记为数列的前项和， （1）求是通项公式；（2）设，求数列的前项和 16．已知圆经过两点，且圆心在直线上.（1）求圆的方程；（2）已知以为端点的弦的长度为，求该弦所在直线方程. 17．已知函数 （1）讨论的单调性；（2）当时，求证： 18．已知为坐标原点，双曲线过点，渐近线方程为 （1）求双曲线的方程；（2）直线过点，与双曲线两点. ①若直线，求的面积；②在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 19．在数列中，按照下面方式构造：， 表示数列中最大的项. （1）若数列的前4项分别为，求数列的前4项. （2）若满足 ①求的值；②求的前项和 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省镇江市扬中市第二高级中学2025-2026第一学期高二数学期末模拟 姓名 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．直线的倾斜角为 （ B ） A． B． C． D． 2．若为等差数列，则“”是“”的 （ C ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D． 既不充分又不必要条件 3．已知抛物线的焦点为为抛物线上一点，，直线与抛物线另一个交点为 （ B ） A． B． C． D． 4．已知函数的图象在处的切线方程为（A ） A． B． C． D． 5．点为两条直线的交点，则点到直线的距离最大为 A． B． C． D． （ B ） 6．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法﹒商功》中，后人称为“三角垛”， “三角垛”最上层有一个球，第二层有3个球，第三层有6个球，……第层有个球，则数列的前30项和为 （ A ） A． B． C． D． 7．已知函数既有最大值又有最小值，则实数的取值范围是 （ A ） A． B． C． D． 8．已知点是双曲线的上焦点，下支上的一点，点上一点，则的最小值是 （ B ） A． B． C． D． 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9．下列说法正确的是 （ BC ） A．“直线互相垂直”是“”的充分不必要条件 B．直线的倾斜角的取值范围是 C．若圆上恰有两点到点的距离为1，则的取值范围是 D．设 为实数，若直线恰有一个公共点，则 10．已知圆锥曲线的离心率为分别为曲线的左、右焦点，为曲线上一点，则下列结论正确的是 （ ABD ） A． B．的周长为12 C．面积的最大值为 D．的取值范围是 11．等差数列，的前项和分别为，则下列说法正确的有 （ AB ） A．数列是递增数列 B． C． D． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12．已知等差数列的前项和为，且 . 13．过椭圆的右焦点作椭圆长轴的垂线，交椭圆于两点，为椭圆的左焦点，若为正三角形，则该椭圆的离心率为 . 14．设，若函数存在两个不同的极值点，则的取值范围为 . 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．记为数列的前项和， （1）求是通项公式；（2）设，求数列的前项和 15．解：（1）已知， 当， 即， 所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列， ； （2）由（1）知， ， . 16．已知圆经过两点，且圆心在直线上.（1）求圆的方程；（2）已知以为端点的弦的长度为，求该弦所在直线方程. 16．解：（1）因为， 所以的中垂线的斜率为， 又的中点为，所以的中垂线方程为 ， 由， 所以圆的方程为； （2）若弦所在直线下列不存在，则弦长为8，不合题意， 故弦所在直线的斜率存在，设弦所在直线方程为 ， 所以圆心到弦的距离， 解得， 所以弦所在的直线方程为 17．已知函数 （1）讨论的单调性；（2）当时，求证： 17．解：（1）， ， 当，函数上单调递增； 当， 函数上单调递增，在上单调递减； 因此当在上单调递增， 当在上单调递减，在上单调递增； （2）证明：由（1）知，当 要证， 只要证时恒成立， 设函数， ， 当， 所以函数上单调递增， 所以， 因此， 所以， 所以 18．已知为坐标原点，双曲线过点，渐近线方程为 （1）求双曲线的方程；（2）直线过点，与双曲线两点. ①若直线，求的面积；②在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 18．解：（1）在双曲线上 ，① 又渐近线方程为，：② 联立①②解得， 所以双曲线； （2）①直线斜率为， 故直线的方程为， 联立方程组， 则， ， 又点的距离为， 故的面积为； ②设， 当直线斜率不为0时，设， 代入双曲线，得， 则， 所以 ， 若为常数，则为常数， 设为常数，即对任意的实数恒成立， 则， 所以，此时， 当直线斜率为0时，可得， 对于， 解得（舍）， 所以在轴上存在定点 19．在数列中，按照下面方式构造：， 表示数列中最大的项. （1）若数列的前4项分别为，求数列的前4项. （2）若满足 ①求的值；②求的前项和 19．解：（1）因为数列的前4项分布为， ， 所以的前4项分别为； （2）， 又，所以数列是首项和公比均为的等比数列， 则， ①当为奇数时，， 当为偶数时，，可知当为偶数时，数列为递增数列， 可知， 所以， ②当时，； 当时， （ⅰ）当为奇数时， ， 令, 。 作差得 所以， 经检验时也满足上式， 所以为奇数； （ⅱ）当为偶数时，， 综上所述， 5 学科网（北京）股份有限公司 $