精品解析：广东省汕头市濠江区2025-2026学年九年级上学期期末数学质量检测试卷

2025-2026学年度第一学期期末质量检测 九年级数学 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 若方程“”是关于的一元二次方程，则“□”可以是（ ） A. B. C. D. 2. 若关于的一元二次方程的根为，则这个方程是（ ） A. B. C. D. 3. 下列事件中是随机事件的是（ ） A. 太阳从东边升起 B. 三角形任意两边之和大于第三边 C. 抛掷一枚硬币3次，3次都是正面朝上 D. 水中捞月 4. 嘉嘉用软件绘制抛物线时，将“”按成了“”，和原图象相比，发生改变的是（ ） A. 开口大小 B. 开口方向 C. 对称轴 D. 顶点坐标 5. 我国的乒乓球“梦之队”在巴黎奥运赛场上大放异彩，奥运会乒乓球比赛的第一阶段是团体赛，赛制为单循环赛（每两队之间都赛一场）．共安排28场比赛，设邀请个球队参加比赛，可列方程得（ ） A. B. C. D. 6. 关于二次函数的图象，下列结论正确的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴是 C. 与轴交于点 D. 当时，随的增大而减小 7. A、B、C三名同学玩“抢凳子”游戏．他们所站的位置围成一个，在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为保证游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（　　） A. 三边垂直平分线的交点 B. 三边中线的交点 C. 三个内角角平分线的交点 D. 三边高的交点 8. 下列说法中正确的是（ ） A. 直径是弦 B. 长度相等的两条弧是等弧 C. 相等的圆心角所对的弧相等 D. 平分弦的直径垂直于弦 9. 如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图2，筒车与水面分别交于点，筒车上均匀分布着若干盛水筒，P表示筒车的一个盛水筒，是的直径，连接，点M在的延长线上，若，则（ ） A. B. C. D. 10. 图1是放在水平桌面上的高脚杯的截面图，杯体是抛物线状（杯体厚度不计），点C是该抛物线的顶点，，D是的中点．当高脚杯中装满红酒时，液面，此时最大深度（液面到最低点的距离）为．现将高脚杯绕点F缓慢倾斜倒出部分红酒，当倾斜角时停止，此时液面为，如图2所示，则此时酒杯内红酒的最大深度是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 点关于原点的对称点的坐标是______． 12. 已知的直径为8，若，则点与的位置关系是___________． 13. 若，是方程的两个实数根，则______． 14. 如图，把绕着点顺时针方向旋转，得到，点恰好在上，则______． 15. 如图，已知正方形，以为腰向正方形内部作等腰，其中，过点E作于点F，若点P是的内心，，连接，则的最小值是______． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 已知关于的一元二次方程的一个根是1，求它的另一个根及的值． 17. 已知二次函数，求： （1）当时，函数的值； （2）该函数图像的对称轴． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为． （1）画出绕点C逆时针旋转后的图形； （2）将先向左平移4个单位，再向上平移4个单位得到，画出； （3）若可以看作绕某点旋转得到，则旋转中心的坐标是__________． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 潮汕地区有着深厚的文化底蕴，如潮汕抽纱历史悠久，工艺精湛．清乾隆《潮州府志》载：“潮州妇女多勤纺织，凡女子十一二龄，其母即预备嫁衣，故织维刺绣之功，虽富家不废也”．潮汕抽纱多以几何图案与花卉、动物等自然图案相互搭配，其中几何图案多具对称性，以平衡和谐的视觉效果给人以舒适、稳定的美感，再通过图案的重复性和规律性，营造出强烈的节奏感和韵律感．抽纱之美也体现了中国传统美学观念． 现有一幅精美抽纱作品，主要由以下几何图形组成：A等边三角形、B正五边形、C正六边形、D圆形．通过统计这幅作品中A、B、C、D，4种几何图形的个数，绘制了如下尚不完整的统计图． 类别 A B C D 图形名称 等边三角形 正五边形 正六边形 圆形 个数 24 30 9 请完成下列问题： （1）统计表中______，在统计图中，A所对应扇形的圆心角______； （2）这幅作品中A、B、C、D，4种类别的几何图形，是轴对称图形的一共有______个； （3）若从A、B、C、D这4种几何图形中任意选择两种进行抽纱图案设计，请你用画树状图或列表的方法，求选到的两个图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的概率． 20. 如图，是的直径，且，D为上一动点（不与点B、C重合）过点C作的切线交延长线于点A，E为中点，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，求阴影部分的面积． 21. 综合与实践． 实验操作：物理实验课上小明做一个实验，在一条笔直的滑道上有一个黑球以一定的速度在处开始向前滚动，并且均匀减速，测量黑球减速后的滚动速度，（单位：）随滚动时间（单位：s）变化的数据，整理得下表． 滚动时间 0 1 2 3 4 滚动速度 10 9.5 9 8.5 8 （一）解决问题： （1）小明探究发现，黑球的滚动速度与滚动时间之间成一次函数关系，直接写出关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）：______； （2）黑球在滑道上滚动用了多少秒？ （二）拓展提升： （3）黑球在滑道上滚动多远距离后停下来？（提示：距离平均速度时间，，其中是开始时的速度，是秒时的速度．） 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 数学活动：矩形绿地中的花圃设计 活动背景：学校准备在一块矩形绿地（记为矩形，，）内建造一个花圃，有如下两种方案设计． 方案一：如图1，已知绿地的长米，宽米，在绿地中间开辟一个矩形花圃，使四周绿地等宽，设宽度为米； 问题1．花圃的面积可表示为___________（用含的代数式表示）； 问题2．若花圃的面积刚好是绿地面积的一半，则___________米； 方案二：如图2，是矩形的中心（即矩形对角线的交点），以为圆心在绿地上开辟一个圆形花圃，分别过四点按图中方式铺四条小路（小路的宽度忽略不计），四条小路所在的直线均为的切线，切点分别为、； 问题3．请在图中作出小路，尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法； 问题4．学校打算用18000元改建绿地，经测量，米，米，圆的半径为7米，若建设圆形花圃花需80元/平方米，铺设小路需50元/米，那么按方案二设计，预算是否够用？请说明理由．（取3.14） 23. 如图1，抛物线y＝tx2﹣16tx＋48t（t为常数，t＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C． （1）点A的坐标是 　 　，点B的坐标是 　 　； （2）如图2，点D是抛物线上的一点，且位于第一象限，连接BD，延长BD交y轴于点E，若∠BCE＝∠BEC． ①求点D的坐标（用含t的式子表示）； ②若以点D为圆心，半径为8作⊙D，试判断⊙D与y轴的位置关系； （3）若该抛物线经过点（h，），且对于任意实数x，不等式tx2﹣16tx＋48t≤恒成立，求△BOC外心F与内心I之间的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期末质量检测 九年级数学 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 若方程“”是关于的一元二次方程，则“□”可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】解：∵方程“”是关于的一元二次方程， ∴“□”中必须含有项， 只有选项B符合题意； 故选：B． 2. 若关于的一元二次方程的根为，则这个方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，通过比较给出的求根公式与标准求根公式，确定系数a、b、c的值，从而得到原方程，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题意可得：， ∴，， 解得，， ∵， ∴， ∴原方程为， 故选：B． 3. 下列事件中是随机事件的是（ ） A. 太阳从东边升起 B. 三角形任意两边之和大于第三边 C. 抛掷一枚硬币3次，3次都是正面朝上 D. 水中捞月 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是随机事件，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据定义判断各选项． 【详解】解：A、太阳从东边升起，是必然事件，不符合题意； B、三角形任意两边之和大于第三边，是必然事件，不符合题意； C、抛掷一枚硬币3次，3次都是正面朝上，是随机事件，符合题意； D、水中捞月，是不可能事件，不符合题意； 故选：C． 4. 嘉嘉用软件绘制抛物线时，将“”按成了“”，和原图象相比，发生改变的是（ ） A. 开口大小 B. 开口方向 C. 对称轴 D. 顶点坐标 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 二次函数中，系数决定抛物线的开口方向和大小；的符号改变时，开口方向改变，但不变则开口大小不变；对称轴和顶点坐标均不变. 【详解】解：∵原函数，，开口向上；新函数，，开口向下， ∴开口方向改变； ∵， ∴开口大小不变； ∵对称轴均为， ∴对称轴不变； ∵顶点坐标均为， ∴顶点坐标不变． 故选：B． 5. 我国的乒乓球“梦之队”在巴黎奥运赛场上大放异彩，奥运会乒乓球比赛的第一阶段是团体赛，赛制为单循环赛（每两队之间都赛一场）．共安排28场比赛，设邀请个球队参加比赛，可列方程得（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用每组安排比赛的场数=每组邀请球队数每组邀请球队数，即可列出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：， 故选：D． 6. 关于二次函数的图象，下列结论正确的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴是 C. 与轴交于点 D. 当时，随的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 【详解】解：二次函数， 该函数图象开口向上，故选项A错误，不符合题意； 对称轴是直线，故选项 B错误，不符合题意； 当时，，即该函数图象与轴交于点，故选项C错误，不符合题意； 当时，随的增大而减小，故选项D正确，符合题意． 故选：D． 7. A、B、C三名同学玩“抢凳子”游戏．他们所站的位置围成一个，在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为保证游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（　　） A. 三边垂直平分线的交点 B. 三边中线的交点 C. 三个内角角平分线的交点 D. 三边高的交点 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用； 游戏公平需要凳子到三顶点距离相等，此点为三角形外心，即三边垂直平分线的交点． 【详解】解：∵凳子到A、B、C距离相等， ∴凳子应放于的三边垂直平分线的交点， 故选：A． 8. 下列说法中正确的是（ ） A. 直径是弦 B. 长度相等的两条弧是等弧 C. 相等的圆心角所对的弧相等 D. 平分弦的直径垂直于弦 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查圆的基本概念，包括弦、弧、圆心角的关系和垂径定理推论，利用垂径定理、圆的有关定义、圆心角、弦、弧之间的关系、等弧的定义等知识分别判断后即可解答． 【详解】解：A、直径是经过圆心的弦，故A正确； B、在同圆或等圆中，长度相等的两条弧才是等弧，原说法缺少前提条件，故B错误； C、相等的圆心角所对的弧相等需在同圆或等圆中，故C错误； D、平分弦的直径垂直于弦，但弦不能是直径（否则可能不垂直），故D错误． 故选：A． 9. 如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图2，筒车与水面分别交于点，筒车上均匀分布着若干盛水筒，P表示筒车的一个盛水筒，是的直径，连接，点M在的延长线上，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等，邻补角等知识．熟练掌握直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等，邻补角是解题的关键．如图2，连接，则，，由，可得，根据，求解作答即可． 【详解】解：如图2，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 10. 图1是放在水平桌面上的高脚杯的截面图，杯体是抛物线状（杯体厚度不计），点C是该抛物线的顶点，，D是的中点．当高脚杯中装满红酒时，液面，此时最大深度（液面到最低点的距离）为．现将高脚杯绕点F缓慢倾斜倒出部分红酒，当倾斜角时停止，此时液面为，如图2所示，则此时酒杯内红酒的最大深度是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以C为坐标原点，过C且平行于底面（或）的直线为x轴，垂直于底面的直线为y轴建立平面直角坐标系，如图，在抛物线上取一点G，使得，直线交x轴于P，过B作轴于Q，在直线下方取一点M，过M作y轴的平行线交直线于N，交于H，过M作于K，如图，利用三角形的内角和定理，结合等腰直角三角形的性质得到，故当最大时，最大；根据坐标与图形性质，结合等腰三角形的判定与性质求得；然后利用待定系数法求得直线的解析式为，抛物线的解析式为，设，则，利用二次函数性质求得的最大值为，可得的最大值为，根据旋转性质可得倾斜后酒杯内红酒的最大深度是的最大值，即可求解． 【详解】解：以C为坐标原点，过C且平行于底面（或）的直线为x轴，垂直于底面的直线为y轴建立平面直角坐标系，如图，在抛物线上取一点G，使得，直线交x轴于P，过B作轴于Q，在直线下方取一点M，过M作y轴的平行线交直线于N，交于H，过M作于K，如图， ∵，， ∴， ∴，故当最大时，最大； ∵高脚杯中装满红酒时，液面，此时最大深度（液面到最低点的距离）为． ∴轴，， 则，，， ∴，， ∴，则， 设直线解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 设抛物线的解析式为， 将代入，得，则， ∴抛物线的解析式为， 设，则， ∴， ∵， 当时，最大，最大值为， 此时，的最大值为， ∵高脚杯绕点F缓慢倾斜倒出部分红酒，当倾斜角时停止，此时液面为，如图2所示， 则此时酒杯内红酒的最大深度就是图1中的最大值， 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式、等腰直角三角形的判定与性质、二次函数的图象与性质、坐标与图形性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，建立合适的平面直角坐标系，得到倾斜后酒杯内红酒的最大深度就是的最大值是解答的关键． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 点关于原点的对称点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，根据关于原点对称的点，横纵坐标都变成相反数解答即可，掌握关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：点关于原点的对称点的坐标是， 故答案为：． 12. 已知的直径为8，若，则点与的位置关系是___________． 【答案】点在外 【解析】 【分析】本题考查了对点与圆的位置关系的判断，掌握“半径为，点到圆心的距离为，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内”是解题的关键． 首先求出圆的半径，然后比较与的大小即可解答． 【详解】解：∵的直径为8， ∴的半径为， 又∵， ， ∴点与的位置关系是点在外． 故答案为：点在外． 13. 若，是方程的两个实数根，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，掌握根与系数的关系是解题的关键．利用一元二次方程的根与系数的关系求解． 【详解】解：，是方程的两个实数根， ． 故答案为：． 14. 如图，把绕着点顺时针方向旋转，得到，点恰好在上，则______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据旋转性质得出，，再利用等边对等角和三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵把绕着点顺时针方向旋转，得到， ∴，， ∴． 故答案为：． 15. 如图，已知正方形，以为腰向正方形内部作等腰，其中，过点E作于点F，若点P是的内心，，连接，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用已知条件以及三角形内心的性质，将转化为定角，进而通过作的外接圆，利用圆内接四边形的性质找到当点P与点重合时，CP的值最小，最后通过求解即可． 【详解】解：， ， ， 点P是的内心， 分别是和的平分线， ， ， ∵，，， ∴， 点P在以为弦，所对的圆周角为的圆上运动，作的外接圆，如图所示： 圆心记作点O，连接，在优弧上取一点Q，连接，则， ， ， 连接，交于点，当点P与点重合时，的值最小，分别过点O作于点M，交的延长线于点N，如图所示： ∴，， ∴四边形是正方形， ， ， 在中，， 即的最小值为 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了最短路径问题，涉及到正方形的性质、三角形的内心、三角形外接圆以及圆内接四边形的性质等知识，根据已知条件作出适当的辅助线以及借助圆的相关性质是解决本题的关键． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 已知关于的一元二次方程的一个根是1，求它的另一个根及的值． 【答案】方程的另一个根是，的值是 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解．根据一元二次方程根与系数的关系即可解答． 【详解】解：设方程的另一个根为n， 则， ∴， ∴方程的另一个根是2，的值是4． 17. 已知二次函数，求： （1）当时，函数的值； （2）该函数图像的对称轴． 【答案】（1） （2）直线 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数的函数值，求二次函数的对称轴，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）直接把代入对应的函数解析式中求出y的值即可得到答案； （2）二次函数的对称轴为直线，据此求解即可． 【小问1详解】 解：在中，当时，， ∴当时，函数的值为； 【小问2详解】 解：∵二次函数解析式为， ∴该函数的对称轴为直线． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为． （1）画出绕点C逆时针旋转后的图形； （2）将先向左平移4个单位，再向上平移4个单位得到，画出； （3）若可以看作绕某点旋转得到，则旋转中心的坐标是__________． 【答案】（1） 如下图即为所求： （2） 如图所示， （3） 【解析】 【分析】本题考查了平移作图，旋转作图，找旋转中心，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）利用网格特点和旋转的性质画出点、绕点逆时针旋转的对应点、，再顺次连接点、、即可； （2）先将点、、分别先向左平移4个单位，再向上平移4个单位得到点、、的坐标，再顺次连接即可； （3）分别作和的垂直平分线，它们的交点满足条件． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：略； 【小问3详解】 解：作和的垂直平分线，交于点， 由图可知点的坐标为， 故答案为：． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 潮汕地区有着深厚的文化底蕴，如潮汕抽纱历史悠久，工艺精湛．清乾隆《潮州府志》载：“潮州妇女多勤纺织，凡女子十一二龄，其母即预备嫁衣，故织维刺绣之功，虽富家不废也”．潮汕抽纱多以几何图案与花卉、动物等自然图案相互搭配，其中几何图案多具对称性，以平衡和谐的视觉效果给人以舒适、稳定的美感，再通过图案的重复性和规律性，营造出强烈的节奏感和韵律感．抽纱之美也体现了中国传统美学观念． 现有一幅精美抽纱作品，主要由以下几何图形组成：A等边三角形、B正五边形、C正六边形、D圆形．通过统计这幅作品中A、B、C、D，4种几何图形的个数，绘制了如下尚不完整的统计图． 类别 A B C D 图形名称 等边三角形 正五边形 正六边形 圆形 个数 24 30 9 请完成下列问题： （1）统计表中______，在统计图中，A所对应扇形的圆心角______； （2）这幅作品中A、B、C、D，4种类别的几何图形，是轴对称图形的一共有______个； （3）若从A、B、C、D这4种几何图形中任意选择两种进行抽纱图案设计，请你用画树状图或列表的方法，求选到的两个图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的概率． 【答案】（1）27； （2）4 （3） 【解析】 【分析】本题考查频数分布表，扇形统计图，轴对称图形和中心对称图形的概念，列表法或树状图法求概率． （1）根据C组人数所占百分比列方程求解即可得m的值；A组人数占总人数的比例乘以360度即为对应的圆心角的度数； （2）根据轴对称图形的定义判断即可； （3）先根据轴对称和中心对称的定义得出既是轴对称图形又是中心对称图形的图形，再画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，然后根据概率公式计算可得． 【小问1详解】 解：根据统计图得：， 解得， ， ∴， 故答案为：27；； 【小问2详解】 解：A等边三角形，是轴对称图形； B正五边形，是轴对称图形； C正六边形，是轴对称图形； D圆形，是轴对称图形； ∴是轴对称图形的一共有4个， 故答案为：4； 【小问3详解】 解：既是轴对称图形又是中心对称图形的有C正六边形、D圆形， 画出树状图如下： 一共有12种情况，选到的两个图形既是轴对称图形又是中心对称图形的情况有2种， ∴选到的两个图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的概率为：． 20. 如图，是的直径，且，D为上一动点（不与点B、C重合）过点C作的切线交延长线于点A，E为中点，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，求阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：如图所示，连接， ∵， ∴； ∵是的直径， ∴， ∴， ∵E为中点， ∴， ∴； ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）由等边对等角得到，由直径所对的圆周角是直角推出，则由直角三角形的性质和等边对等角推出，根据切线的性质得到，则，据此可证明结论； （2）可证明是的中位线，推出，则，进而求出，可证明根据求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示，连接， ∵点O和点E分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的性质与判定，圆周角定理，求不规则图形的面积，三角形中位线定理，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键． 21. 综合与实践． 实验操作：物理实验课上小明做一个实验，在一条笔直的滑道上有一个黑球以一定的速度在处开始向前滚动，并且均匀减速，测量黑球减速后的滚动速度，（单位：）随滚动时间（单位：s）变化的数据，整理得下表． 滚动时间 0 1 2 3 4 滚动速度 10 9.5 9 8.5 8 （一）解决问题： （1）小明探究发现，黑球的滚动速度与滚动时间之间成一次函数关系，直接写出关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）：______； （2）黑球在滑道上滚动用了多少秒？ （二）拓展提升： （3）黑球在滑道上滚动多远距离后停下来？（提示：距离平均速度时间，，其中是开始时的速度，是秒时的速度．） 【答案】（1）（2）秒（3）滚动后停下来 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用； （1）设，根据表格提供的数据代入求解即可； （2）求出，再由求出解析式，当时求解即可； （3）当时，解得，将代入求解即可． 【详解】（1）解：设，则有 ， 解得， ， 故答案为； （2）解：，； ， ， ， 解得，（舍去）， 故黑球在滑道上滚动用了秒； （3）解：对于， 当时，， 解得， （）， 故黑球在滑道上滚动后停下来． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 数学活动：矩形绿地中的花圃设计 活动背景：学校准备在一块矩形绿地（记为矩形，，）内建造一个花圃，有如下两种方案设计． 方案一：如图1，已知绿地的长米，宽米，在绿地中间开辟一个矩形花圃，使四周绿地等宽，设宽度为米； 问题1．花圃的面积可表示为___________（用含的代数式表示）； 问题2．若花圃的面积刚好是绿地面积的一半，则___________米； 方案二：如图2，是矩形的中心（即矩形对角线的交点），以为圆心在绿地上开辟一个圆形花圃，分别过四点按图中方式铺四条小路（小路的宽度忽略不计），四条小路所在的直线均为的切线，切点分别为、； 问题3．请在图中作出小路，尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法； 问题4．学校打算用18000元改建绿地，经测量，米，米，圆的半径为7米，若建设圆形花圃花需80元/平方米，铺设小路需50元/米，那么按方案二设计，预算是否够用？请说明理由．（取3.14） 【答案】问题1：平方米；问题2：； 问题3：如图，即为所求作； 问题4： 按方案二设计，预算够用，理由如下： 如图，连接，， 由题意可知，， 圆的半径为7米， 圆心花圃的面积为平方米， 设米， 米，米， 米，米， ， 是矩形的中心（即矩形对角线的交点）， ， ， 是的切线， ， ， ， 整理得：， 解得（舍）或， 即小路的总长度为米， 总费用为元， 元元， 按方案二设计，预算够用． 【解析】 【分析】问题1：由图形可知，花圃的宽为米，长为米，根据长方形的面积公式列式展开即可； 问题2：根据“花圃的面积刚好是绿地面积的一半”，列一元二次方程求解即可； 问题3：连接，作的垂直平分线，再作以为直径的圆交于点，连接，由直径所对的圆周角是直角可知，为的切线； 问题4：连接，，由题意可知，，先求出圆心花圃的面积，设米，则米，米，利用勾股定理得出，，再结合矩形的对角线互相平分列方程，从而得出小路的总长度，计算总费用与预算相比较即可． 【详解】解：问题1：由图形可知，花圃的宽为米，长为米， 则花圃的面积可表示为平方米， 故答案为：平方米； 问题2：若花圃的面积刚好是绿地面积的一半， 则， 解得或（舍）， 故答案为：； 问题3：略 问题4：略 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，过圆外一点作圆的切线，圆周角，勾股定理，矩形的性质，掌握相关知识点是解题关键． 23. 如图1，抛物线y＝tx2﹣16tx＋48t（t为常数，t＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C． （1）点A的坐标是 　 　，点B的坐标是 　 　； （2）如图2，点D是抛物线上的一点，且位于第一象限，连接BD，延长BD交y轴于点E，若∠BCE＝∠BEC． ①求点D的坐标（用含t的式子表示）； ②若以点D为圆心，半径为8作⊙D，试判断⊙D与y轴的位置关系； （3）若该抛物线经过点（h，），且对于任意实数x，不等式tx2﹣16tx＋48t≤恒成立，求△BOC外心F与内心I之间的距离． 【答案】（1），；（2）①；②与轴相切，证明见解答；（3）． 【解析】 【分析】（1）令，则，可得答案； （2）①如图2，根据“三角形中，等角对等边”可得，进而可根据等腰三角形旋转得出，可得，利用待定系数法求得直线的解析式为，联立方程组求解即可得出答案； ②根据⊙D到y轴的距离等于半径，利用切线的判定定理即可得出结论； （3）根据题意可得该抛物线顶点为，建立方程求出，从而得出：，，，过的内心作于点，于点，于点，则，利用，可求得，进而得出，再由是的外心，可得，运用两点间距离公式即可求得答案． 【详解】解：（1）令，则， 解得：，， 点在点左侧， ，， 故答案为：，； （2）①如图2，， ， ，， ， 在中，令，得， ， ， 设直线的解析式为， 则， 解得：， 直线的解析式为， 联立方程组，得， 解得：，（舍去）， ； ②与轴相切，理由如下： ， 点到轴的距离为8， 的半径为8， 与轴相切． （3）对于任意实数，不等式恒成立，且抛物线经过点， 该抛物线顶点为， ， 抛物线顶点为， ， 解得：， ， ，， ，， ， 过的内心作于点，于点，于点， 则， ， ， 解得：， ， 是的外心， 是的中点， ， ． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，抛物线与坐标轴及直线的交点坐标，顶点坐标，二次函数图象和性质，三角形的内心和外心，三角形面积，中点公式，勾股定理，圆的切线判定等，涉及知识点较多，综合性强，有一定难度，是一道典型的中考数学压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $