反比例函数与几何综合问题、反比例函数与实际应用问题专项训练-2025-2026学年人教版九年级数学下册

反比例函数与几何综合问题、反比例函数与实际应用问题专项训练 反比例函数与几何综合问题、反比例函数与实际应用问题专项训练念 考点目录 反比例函数与几何综合问题 反比例函数与实际应用问题 考点一 反比例函数与几何综合问题 例1．（25-26九年级上·广东江门·期末）如图1，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在轴正半轴，顶点在轴正半轴，，点分别在上，且，反比例函数的图象经过两点，连接，四边形的面积为24． (1)求反比例函数解析式； (2)如图2，点、分别为、的中点，点在该反比例函数的图象上，且点的横坐标大于点的横坐标，连接并延长交反比例函数图象于点，过点作直线于点，过点作直线于点． ①请探究与的数量关系，并说明理由； ②若，试判断的值是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；理由见解析；②是定值； 【详解】（1）解：∵四边形为矩形， ∴，，，，， 设，则， ∴， ， ∵四边形的面积为24， ∴， 解得：，负值舍去， ∴，， ∴， 把代入得：， ∴反比例函数解析式为； （2）解：①∵四边形为矩形， ∴，，，，， ∴， ∵点、分别为、的中点， ∴，， 设直线的解析式为：， 把，代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为：， 过点H作，交于点K，过点G作于点J，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵点H在反比例函数图象上，K在直线上， ∴，， 即，， 则， ∴， ∴， ∴ ， ∵，， ∴，，， ∴ ， ∴， ∴； ②过点I作轴，交于点M，过点I作于点N，如图所示： 则，， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设点I的坐标为，则， ∵点I在反比例函数图象上，K在直线上， ∴，， 即，， 则， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴，， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴设，， ， ∴． 例2．（25-26九年级上·江西萍乡·期末）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边在轴上，点在反比例函数的图象上，已知点的坐标为，平行四边形的面积为． (1)求反比例函数的解析式； (2)连接，点为边与反比例函数图象的交点，点为轴上一动点．若点为的中点，，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，在轴上， ∴， ∵点坐标为， ∴平行四边形的底边上的高为3． ∵已知平行四边形面积为， ∴，解得． ∴， ∴点坐标为． ∵点在反比例函数上， 将代入得，解得． ∴反比例函数的解析式为； （2）解：由（1）知：，点到轴的距离为3， ∴． ∵设点，，，是的中点， ∴ ∴点的纵坐标是， ∴将，代入得， ∴，，解得， ∴． 设，则，的边边上的高为， ∴． 解得或． ∴点的坐标为或． 例3．（25-26九年级上·山东聊城·期末）在平面直角坐标系中，点A，B在反比例函数的图象上． (1)如图，若直线的表达式为，，求反比例函数的表达式及点B的坐标． (2)如图2，以为边作矩形，点C、D的坐标分别是，，求k的值． 【答案】(1)，点B的坐标为 (2) 【详解】（1）解：把代入，得， ∴点A的坐标为． 把代入，得， ∴反比例函数的表达式为． ∵点B为直线与反比例函数的图象的交点， 联立方程组得， 解得，， ∴点B的坐标为． （2）解：如图，过点B作轴于点E，过点D作轴于点F，则，则． ∵四边形是矩形，，， ，，，，． ∴， 线段先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到线段． 设点B的坐标为，则，． ∴点A的坐标为． 又∵点A、B在反比例函数的图象上， ∴，，即， 化简得． ∵，， ∴， ． ∴，即， ∴， 联立得，解得， ． 例4．（2026·重庆大渡口·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)点是直线下方，反比例函数图象上一点，连接，当时，求点的坐标； (3)在（2）求出点的条件下，将点向左平移3个单位长度得到点，连接，点是轴上一点，且．请求出所有符合条件的点的坐标（选一种情况写出解答过程）． 【答案】(1) (2) (3)或． 【详解】（1）解：把代入得， ∴， 设直线解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线的函数表达式为； （2）解：令，， ∴， ∴，，， ，， ∴， 取点，则，连接，， ∴，， 过作交的图象于点，此时， ∵直线的函数表达式为， ∴设直线的函数表达式为， 代入得， ∴直线的函数表达式为， 联立，解得（负值舍去）， ∴； （3）解：将点向左平移3个单位长度得到点，则，则， 过作轴于， 由（2）得，， ∴， ∴，即， ∴， 当在点下方时，过作交直线于，过作轴于， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线的函数表达式为， 令，， ∴； 当在点上方时，过作交直线于，过作轴于， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线的函数表达式为， 令，， ∴； 综上所述，或． 变式1．（25-26九年级上·河北廊坊·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点与原点重合，点在轴的正半轴上，反比例函数的图象经过点，点的坐标为． (1)的值为___________； (2)若将菱形沿轴正方向平移个单位． ①当菱形的顶点落在反比例函数的图象上时，求的值； ②若在平移过程中，反比例函数的图象与菱形的边始终有交点，请直接写出的取值范围和线段长的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②， 【详解】（1）解：如图所示：过点D作x轴的垂线，垂足为F，则共线， ∵点D的坐标为， ∴， ∴， ∴菱形， ∴，则 ∴， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴， （2）①将菱形沿x轴正方向平移m个单位， 则平移后， ∵菱形的顶点B落在反比例函数的图象上， ∴， ②如图， 将菱形沿x轴正方向平移m个单位， 使得点D落在函数的图象处， 过点作x轴的垂线，垂足为， ∵， ∴， ∴点的纵坐标为， ∵落在函数的图象上， ∴， ∴，则 ∴， ∴， ∴． 当与点重合时，， 当与点重合时，， ∴． 变式2．（25-26九年级上·广东揭阳·期末）【问题背景】 如图1，矩形的顶点B，C分别在x轴和y轴上，点A的坐标为，E是边上的一个动点（不与C，A重合），反比例函数的图象经过点E且与边交于点F，连接，沿着将矩形折叠使A、D两点重合，连接对角线． 【构建联系】 （1）①点E坐标是______（用含有k的代数式表示）； ②请探究与的位置关系，并说明理由； 【深入探究】 （2）连接，线段是否存在最小值？若存在，请求出该最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）①；②，见解析；（2）存在的最小值，理由见解析 【详解】解：（1）①∵矩形的顶点B，C分别在x轴和y轴上，点A的坐标为，E是边上的一个动点（不与C，A重合）， ∴点E的纵坐标为3， 将代入，得 解得 ∴点E坐标是； ②，理由如下： ∵点A的坐标为， ∴，， ∴， ∵点F在上， ∴点F的横坐标4， ∵点F在上， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：存在的最小值．理由如下： 由②知：， ∵沿着将矩形折叠使A、D两点重合， ∴垂直平分， ∴， ∴点D的轨迹为过点A且与垂直的射线上， 根据垂线段最短，得当时，最小， 即点D落在上时，取得最小值，如图， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴的最小值． 变式3．（25-26九年级上·广东惠州·期末）如图，在平面直角坐标系中，、是矩形的两个顶点，反比例函数的图象与边交于点D，与边交于点E． (1)若点D为边的三等分点（靠近点A），求点E的坐标和k的值； (2)在（1）的条件下，点F为y轴上一个动点，求当周长最小值时，点F的坐标． (3)求证：当k变化时，． 【答案】(1)；的值为 (2) (3)见解析 【详解】（1）解：∵矩形中，，， ∴平行于轴,平行于轴，， ∵为三等分点且靠近， ∴， ∴ 将代入，得， ∵在上，横坐标为，代入得， ∴． 答：点的坐标为，的值为． （2）解：作关于轴的对称点，连接交轴于，此时周长最小． 设直线的解析式为， 代入、：， 解得，， ∴直线解析式为 令，得， ∴ （3）证明：∵在上，纵坐标为，代入得， ∴， ∵在上，横坐标为，代入得， ∴，， ∴． 变式4．（25-26九年级上·辽宁丹东·期末）已知：两个反比例函数和（，）的图象如图1所示，点在反比例函数的图象上，过点作轴，交反比例函数的图象于点，且． (1)求和的值； (2)如图2，过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点，直线交轴于点，直线的表达式为（）． ①不等式的解集是_____； ②点是反比例函数图象上的一点，若的面积等于面积的三分之一，求点的坐标． ③点是轴上的一动点，当是以为直角边的直角三角形时，请直接写出线段的长度． 【答案】(1)， (2)①或；②点的坐标为或；③的长度为或 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴点， ∵轴， ∴点的纵坐标为2， 又∵， ∴点的横坐标为， ∴点坐标为， ∵反比例函数的图象经过点， ∴； （2）解：①∵过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点， ∴点的横坐标为2， ∴点的纵坐标为， ∴点的坐标为， ∵直线的表达式为， ∴不等式的解集是或， 故答案为：或； ②∵点坐标为，点，点的坐标为， ∴，， ∴， ∵的面积等于面积的三分之一， ∴， 设的边上的高为， ∴， ∴， ∴点的纵坐标为或， 当时，，解得， 此时点的坐标为； 当时，，解得， 此时点的坐标为； 综上，点的坐标为或； ③∵直线的表达式为， ∴， 解得， ∴直线的表达式为， 令，∴， ∴点的坐标为， 设点的坐标为， 当时，是以为直角边的直角三角形，如图， ∴，，， 由勾股定理得，即， 解得， ∴点的坐标为， ∴； 当时，是以为直角边的直角三角形，如图， ∴，，， 由勾股定理得，即， 解得， ∴点的坐标为， ∴； 综上，的长度为或． 考点二 反比例函数与实际应用问题 例1．（25-26九年级上·广东深圳·期末）为预防“甲流”传播，学校用某种含氯消毒剂对教室实施了药物喷洒消毒．在教室内，消毒药物在空气中的浓度y（）随时间x（min）变化的函数关系如图所示，药物喷洒阶段y与x成正比例函数关系；喷洒结束后药物浓度逐渐下降，y与x成反比例函数关系． (1)当时，求y与x的函数关系式； (2)当教室内的药物浓度不低于时，才能有效灭活病毒．则此次消毒过程中，有效杀灭病毒的持续时间是多久？ 【答案】(1) (2)此次消毒过程中，有效杀灭病毒的持续时间是 【详解】（1）解：当时，设函数的表达式为， 将代入上式得， 并解得， 即函数表达式为． （2）解：当时，设该段函数的表达式为， 将代入上式得：， 解得， 故该段的函数表达式为， 当时，解得； 当时， 时，得； ∵（min） 即此次消毒过程中，有效杀灭病毒的持续时间是． 例2．（25-26九年级上·贵州安顺·期末）如图，小华设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一根匀质的木杆中点处左侧固定位置并悬挂重物，在中点处右侧用一个弹簧秤向下拉，改变弹簧秤与点的距离，观察弹簧秤的示数的变化情况．他把5组实验数据记录如下： 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 5 5 4 3 小华与小组成员讨论后发现，他有一组数据记录时出现了错误 (1)小华第__________组数据的记录出现了错误． (2)求与之间的函数关系表达式． (3)若弹簧秤的示数为，求此时弹簧秤与点的距离． 【答案】(1)5 (2) (3) 【详解】（1）解：观察计算每组数据的乘积： 第1组：； 第2组：； 第3组：； 第4组：； 第5组：； 故第5组数据记录出现了错误； 故答案为：5； （2）解：通过（1）的计算，发现大部分弹簧秤与点的距离与观察弹簧秤的示数之积相等，所以与成反比例关系，设函数表达式为； 将第1组数据代入，得，解得； 因此与之间的函数表达式为； （3）解：将代入，得； 解得； 故此时弹簧秤与点的距离为． 例3．（25-26九年级上·河北保定·期末）当前中小学生的视力状况，备受关注．在做视力矫正时，验光师测得近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）的部分数据如表： 镜片焦距（米） 近视眼镜的度数（度） (1)根据上表数据，猜想函数模型，并求关于的函数表达式． (2)嘉琪同学原先配的眼镜镜片的焦距为米，一段时间后又去眼镜店新配一副眼镜．验光师测得新镜片的焦距为米，问嘉琪同学的眼镜度数是上升还是下降了？上升或下降了多少度？ (3)若配镜师需配制一副度数小于度的近视眼镜，请求出焦距的取值范围． 【答案】(1)； (2)上升了度； (3)米． 【详解】（1）解：由表格可得，，，，， 猜想与成反比例函数关系，设，则， ∴关于的函数表达式为； （2）解：当时，， 当时，， ∴上升了（度）， 答：嘉琪同学的眼镜度数上升了，上升了度； （3）解：由，即，， 所以， ， 答：焦距的取值范围为米． 例4．（25-26九年级上·河北唐山·期末）水果店购进一批葡萄，按每箱质量相等的规定分装，装箱数x（单位：箱）与每箱的质量y（单位：千克）之间的关系如表所示： 装箱数x（箱） 120 100 80 60 …… 每箱质量y（千克） 10 12 15 20 …… (1)这批水果一共有 千克； (2)用式子表示y与x的关系，y与x成什么比例关系？ (3)最终这批葡萄分装了50箱．在出售时每箱葡萄要去掉的损耗，经过粗略估计，售出的葡萄每千克可盈利5元，计算卖出一箱葡萄，可盈利多少钱？ 【答案】(1)1200 (2)，y与x成反比例关系 (3)卖出一箱葡萄，可盈利108元 【详解】（1）解：根据表格可知，这批水果一共有（千克）， 故答案为：； （2）解：由表格可知， ∴，y与x成反比例关系； （3）解：当时，，（元）， 答：卖出一箱葡萄，可盈利108元． 变式1．（25-26九年级上·重庆綦江·期末）已知蓄电池的电压为定值．使用此蓄电池作为电源时，电流Ⅰ（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)如果以此蓄电池为电源的用电器的电流不能超过，那么该用电器的可变电阻至少是多少？ 【答案】(1) (2)该用电器的可变电阻至少是 【详解】（1）解：设反比例函数表达式为， 将点代入得：， ∴ ∴反比例函数的表达式为； （2）解：由题可知，当时，， ∵， ∴I随着R的增大而减小， ∴当时，， ∴该用电器的可变电阻至少是． 变式2．（25-26九年级上·广东广州·期末）在一次综合实践活动课上，小明设计了一个探究杠杆平衡条件的装置．左边固定的托盘中放置一个重物，右边可左右移动的托盘中放置若干数量的砝码．改变托盘与之间的距离（单位：），调整托盘中砝码的总质量（单位：），使装置重新在水平位置平衡（平衡时遵循杠杆的平衡条件），根据实验结果得到的数据如下表格： 托盘与点之间的距离/ 托盘中砝码的总质量/ (1)根据表格中的数据，从你所学的函数中选择一个函数，使它能近似反映砝码总质量关于托盘与点之间的距离的函数关系，并求出这个函数的解析式； (2)根据（1）中求出的函数解析式，当托盘与点之间的距离为时，求托盘中砝码的总质量． 【答案】(1)选择反比例函数表示与的关系， (2) 【详解】（1）解：根据表格，的值恒定，则选择反比例函数表示与的关系， 设反比例函数为， 将，代入，可得， 故反比例函数为． （2）解：对于反比例函数为， 当时，， 故当托盘与点之间的距离为时，托盘中砝码的总质量为． 变式3．（25-26九年级上·广东揭阳·期末）数学兴趣小组了解到一款如图1所示的电子托盘秤，它是通过所称重物调节可变电阻的大小，从而改变电路中的电流，最终通过显示器显示物体质量．已知可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间的关系如图2所示，电流（单位：）与可变电阻之间关系为． (1)该小组先探究该函数的图象与性质，并根据与之间关系得到如下表格： 0 1 2 3 4 5 6 … 2 1.5 1.2 0.75 … ①表格中的_____； ②请在图3中画出对应的函数图象； (2)该小组综合图2和图3发现，随着的增大而_____；（填“增大”或“减小”） (3)若将该款电子秤中的电路电流范围设定为（单位：），判断该电子托盘秤能否称出质量为的物体的质量？请说明理由． 【答案】(1)①1；②见解析 (2)增大 (3)该电子托盘秤不能称出质量为的物体的质量，见解析 【详解】（1）解：①由题意，将代入中，得， ． 故答案为：1． ②图象如下图所示，即为所求． ； （2）解：由题意，根据图象，可得R随着m的增大而减小， 又∵I随R的增大而减小， ∴I随着m的增大而增大． 故答案为：增大． （3）解：不能，理由如下： 由题意，设（，b为常数） 将，代入，得， ∴ ∴． 又∵， ∴． ∵由（2）知I随着m的增大而增大， ∴当时，则 ∴． ∴该电子托盘秤不能称出质量为的物体的质量． 变式4．（25-26九年级上·河北张家口·期末）生物实践小组搜集了某种植园温室大棚智能控制系统测试阶段时的温度变化，并绘制出大棚内的温度随时间（时）变化的图象，如图所示，点表示智能控制系统在0时启动，此时大棚内的温度为，线段表示升温阶段，线段表示恒温阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段，点表示24时温度降到． (1)求线段及双曲线段的函数解析式（写出自变量取值范围）； (2)求该大棚在时内，温度不低于的时长， (3)此地日出时间为，日落时间为，为保证该大棚中的植物至少有9小时的光照且在此期间大棚温度不低于，小组同学决定推迟智能控制系统的启动时间，至少推迟___________小时，能满足上述要求． 【答案】(1)， (2)大棚在时内，温度不低于的时长为12小时． (3)1 【详解】（1）解：设线段所在直线的解析式为． 将和代入，则， 解得， 线段的函数解析式为． 设段的函数解析式为， 将代入，， ． 当时，， ， 段的函数解析式为． （2）解：令， 解得， 段温度为的时刻为15时． 令，解得， ∴段温度为的时刻为3时， ， 大棚在时内，温度不低于的时长为12小时． （3）解：由题意得，日出时间为，此时大棚气温是，符合要求， 由（2）得到15时后，大棚气温低于， 因此符合要求的时间只有（小时）， 故至少需要推迟（小时）． 故答案为：1． 2 学科网（北京）股份有限公司 $反比例函数与几何综合问题、反比例函数与实际应用问题专项训练 反比例函数与几何综合问题、反比例函数与实际应用问题专项训练念 考点目录 反比例函数与几何综合问题 反比例函数与实际应用问题 考点一 反比例函数与几何综合问题 例1．（25-26九年级上·广东江门·期末）如图1，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在轴正半轴，顶点在轴正半轴，，点分别在上，且，反比例函数的图象经过两点，连接，四边形的面积为24． (1)求反比例函数解析式； (2)如图2，点、分别为、的中点，点在该反比例函数的图象上，且点的横坐标大于点的横坐标，连接并延长交反比例函数图象于点，过点作直线于点，过点作直线于点． ①请探究与的数量关系，并说明理由； ②若，试判断的值是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由． 例2．（25-26九年级上·江西萍乡·期末）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边在轴上，点在反比例函数的图象上，已知点的坐标为，平行四边形的面积为． (1)求反比例函数的解析式； (2)连接，点为边与反比例函数图象的交点，点为轴上一动点．若点为的中点，，求点的坐标． 例3．（25-26九年级上·山东聊城·期末）在平面直角坐标系中，点A，B在反比例函数的图象上． (1)如图，若直线的表达式为，，求反比例函数的表达式及点B的坐标． (2)如图2，以为边作矩形，点C、D的坐标分别是，，求k的值． 例4．（2026·重庆大渡口·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)点是直线下方，反比例函数图象上一点，连接，当时，求点的坐标； (3)在（2）求出点的条件下，将点向左平移3个单位长度得到点，连接，点是轴上一点，且．请求出所有符合条件的点的坐标（选一种情况写出解答过程）． 变式1．（25-26九年级上·河北廊坊·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点与原点重合，点在轴的正半轴上，反比例函数的图象经过点，点的坐标为． (1)的值为___________； (2)若将菱形沿轴正方向平移个单位． ①当菱形的顶点落在反比例函数的图象上时，求的值； ②若在平移过程中，反比例函数的图象与菱形的边始终有交点，请直接写出的取值范围和线段长的取值范围． 变式2．（25-26九年级上·广东揭阳·期末）【问题背景】 如图1，矩形的顶点B，C分别在x轴和y轴上，点A的坐标为，E是边上的一个动点（不与C，A重合），反比例函数的图象经过点E且与边交于点F，连接，沿着将矩形折叠使A、D两点重合，连接对角线． 【构建联系】 （1）①点E坐标是______（用含有k的代数式表示）； ②请探究与的位置关系，并说明理由； 【深入探究】 （2）连接，线段是否存在最小值？若存在，请求出该最小值；若不存在，请说明理由． 变式3．（25-26九年级上·广东惠州·期末）如图，在平面直角坐标系中，、是矩形的两个顶点，反比例函数的图象与边交于点D，与边交于点E． (1)若点D为边的三等分点（靠近点A），求点E的坐标和k的值； (2)在（1）的条件下，点F为y轴上一个动点，求当周长最小值时，点F的坐标． (3)求证：当k变化时，． 变式4．（25-26九年级上·辽宁丹东·期末）已知：两个反比例函数和（，）的图象如图1所示，点在反比例函数的图象上，过点作轴，交反比例函数的图象于点，且． (1)求和的值； (2)如图2，过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点，直线交轴于点，直线的表达式为（）． ①不等式的解集是_____； ②点是反比例函数图象上的一点，若的面积等于面积的三分之一，求点的坐标． ③点是轴上的一动点，当是以为直角边的直角三角形时，请直接写出线段的长度． 考点二 反比例函数与实际应用问题 例1．（25-26九年级上·广东深圳·期末）为预防“甲流”传播，学校用某种含氯消毒剂对教室实施了药物喷洒消毒．在教室内，消毒药物在空气中的浓度y（）随时间x（min）变化的函数关系如图所示，药物喷洒阶段y与x成正比例函数关系；喷洒结束后药物浓度逐渐下降，y与x成反比例函数关系． (1)当时，求y与x的函数关系式； (2)当教室内的药物浓度不低于时，才能有效灭活病毒．则此次消毒过程中，有效杀灭病毒的持续时间是多久？ 例2．（25-26九年级上·贵州安顺·期末）如图，小华设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一根匀质的木杆中点处左侧固定位置并悬挂重物，在中点处右侧用一个弹簧秤向下拉，改变弹簧秤与点的距离，观察弹簧秤的示数的变化情况．他把5组实验数据记录如下： 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 5 5 4 3 小华与小组成员讨论后发现，他有一组数据记录时出现了错误 (1)小华第__________组数据的记录出现了错误． (2)求与之间的函数关系表达式． (3)若弹簧秤的示数为，求此时弹簧秤与点的距离． 例3．（25-26九年级上·河北保定·期末）当前中小学生的视力状况，备受关注．在做视力矫正时，验光师测得近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）的部分数据如表： 镜片焦距（米） 近视眼镜的度数（度） (1)根据上表数据，猜想函数模型，并求关于的函数表达式． (2)嘉琪同学原先配的眼镜镜片的焦距为米，一段时间后又去眼镜店新配一副眼镜．验光师测得新镜片的焦距为米，问嘉琪同学的眼镜度数是上升还是下降了？上升或下降了多少度？ (3)若配镜师需配制一副度数小于度的近视眼镜，请求出焦距的取值范围． 例4．（25-26九年级上·河北唐山·期末）水果店购进一批葡萄，按每箱质量相等的规定分装，装箱数x（单位：箱）与每箱的质量y（单位：千克）之间的关系如表所示： 装箱数x（箱） 120 100 80 60 …… 每箱质量y（千克） 10 12 15 20 …… (1)这批水果一共有 千克； (2)用式子表示y与x的关系，y与x成什么比例关系？ (3)最终这批葡萄分装了50箱．在出售时每箱葡萄要去掉的损耗，经过粗略估计，售出的葡萄每千克可盈利5元，计算卖出一箱葡萄，可盈利多少钱？ 变式1．（25-26九年级上·重庆綦江·期末）已知蓄电池的电压为定值．使用此蓄电池作为电源时，电流Ⅰ（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)如果以此蓄电池为电源的用电器的电流不能超过，那么该用电器的可变电阻至少是多少？ 变式2．（25-26九年级上·广东广州·期末）在一次综合实践活动课上，小明设计了一个探究杠杆平衡条件的装置．左边固定的托盘中放置一个重物，右边可左右移动的托盘中放置若干数量的砝码．改变托盘与之间的距离（单位：），调整托盘中砝码的总质量（单位：），使装置重新在水平位置平衡（平衡时遵循杠杆的平衡条件），根据实验结果得到的数据如下表格： 托盘与点之间的距离/ 托盘中砝码的总质量/ (1)根据表格中的数据，从你所学的函数中选择一个函数，使它能近似反映砝码总质量关于托盘与点之间的距离的函数关系，并求出这个函数的解析式； (2)根据（1）中求出的函数解析式，当托盘与点之间的距离为时，求托盘中砝码的总质量． 变式3．（25-26九年级上·广东揭阳·期末）数学兴趣小组了解到一款如图1所示的电子托盘秤，它是通过所称重物调节可变电阻的大小，从而改变电路中的电流，最终通过显示器显示物体质量．已知可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间的关系如图2所示，电流（单位：）与可变电阻之间关系为． (1)该小组先探究该函数的图象与性质，并根据与之间关系得到如下表格： 0 1 2 3 4 5 6 … 2 1.5 1.2 0.75 … ①表格中的_____； ②请在图3中画出对应的函数图象； (2)该小组综合图2和图3发现，随着的增大而_____；（填“增大”或“减小”） (3)若将该款电子秤中的电路电流范围设定为（单位：），判断该电子托盘秤能否称出质量为的物体的质量？请说明理由． 变式4．（25-26九年级上·河北张家口·期末）生物实践小组搜集了某种植园温室大棚智能控制系统测试阶段时的温度变化，并绘制出大棚内的温度随时间（时）变化的图象，如图所示，点表示智能控制系统在0时启动，此时大棚内的温度为，线段表示升温阶段，线段表示恒温阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段，点表示24时温度降到． (1)求线段及双曲线段的函数解析式（写出自变量取值范围）； (2)求该大棚在时内，温度不低于的时长， (3)此地日出时间为，日落时间为，为保证该大棚中的植物至少有9小时的光照且在此期间大棚温度不低于，小组同学决定推迟智能控制系统的启动时间，至少推迟___________小时，能满足上述要求． 2 学科网（北京）股份有限公司 $