精品解析：陕西省商洛市镇安中学2026届高三上学期1月期末数学试题

高三数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用集合的基本运算和集合关系即可作出判断. 详解】，故A错误； ，故B错误； 因为，但，所以，故C错误， 因为中的任意元素满足，则必有，即也在中，所以， D正确； 故选：D 2. 曲线在处的切线的斜率为（ ） A. 4 B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数来求斜率即可. 【详解】由题意得，所以曲线在处的切线的斜率为. 故选：B. 3. 在的展开式中，系数最大的项是（ ） A. 第109项 B. 第110项 C. 第111项 D. 第112项 【答案】C 【解析】 【分析】利用二项式系数性质即可得到判断. 【详解】在的展开式中，系数最大的项是，是第111项. 故选：C. 4. 已知一组样本数据1，2，4，4，9，则该组数据的（ ） A. 平均数是30%分位数和极差的等比中项 B. 30%分位数是平均数和极差的等比中项 C. 平均数是30%分位数和极差的等差中项 D. 30%分位数是平均数和极差的等差中项 【答案】A 【解析】 【分析】利用百分位数，平均数，极差，等比中项的概念进行求解判断即可. 【详解】因为5×30%=1.5，所以该组数据的30%分位数为2， 因为该组数据的平均数为，极差为， 所以该组数据的平均数是30%分位数和极差的等比中项， 故选：A. 5. 若抛物线：的焦点为，是上的一个动点，点，则的最小值为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出抛物线的焦点坐标与准线方程，再根据抛物线的定义计算可得. 【详解】抛物线：的焦点，准线方程为， 过点作准线，垂足为，则， 所以，当且仅当、、三点共线时取等号. 故选：B 6. 设向量，，则的最大值为（ ） A. 13 B. 8 C. 5 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的数量积坐标表示结合三角恒等变换即可求出答案. 【详解】 ，其中， 当时，取得最大值8. 故选：B. 7. 从棱长为4的正方体中截去到正方体顶点B的距离小于或等于4的部分后，得到几何体，则的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先分析挖去部分的形状，再分别计算正方体剩余部分的表面积和挖去部分的表面积，最后将两部分面积相加得到几何体Ω的表面积. 【详解】根据题意易得是由正方体，挖去个以4为半径的球所得， 所以的表面积为. 故选：D 8. 已知某超市的某商品每月的销售量y（单位：千袋）与销售价格x（单位：元/袋）满足函数关系式.已知该商品的成本为3元/袋，则该超市每月销售该商品获得的利润的最小值为（ ） A. 30000元 B. 50000元 C. 40000元 D. 48000元 【答案】C 【解析】 【分析】列出每月销售该商品所获得的总利润Z元与售价元和每月销量千袋之间的函数关系式，再利用基本不等式求出的最小值，即可得解. 【详解】设每月销售该商品所获得的总利润为Z元，该商品每袋的利润为元， 每月的销售量为袋， 则， 因为，所以，， 所以 ，当且仅当，即时等号成立， 所以该超市每月销售该商品获得的利润的最小值为40000元. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若函数的最小正周期为，则（ ） A. B. 的图象关于点对称 C. 函数是奇函数 D. 将的图象向右平移个单位长度后，与函数的图象重合 【答案】AB 【解析】 【分析】根据周期公式求出的值，即可判断A；由选项A得到函数的解析式，求出其对称中心，即可判断B；求出函数的解析式，并判断其奇偶性，即可判断C；将的图象向右平移个单位长度，得到的解析式，并判断它与函数的关系，即可判断D. 【详解】由题意可知，解得，故A正确； 可知. 令，解得.当时，可得. 所以的图象关于点对称，故B正确； 因为， 令，因为， 所以函数偶函数，即是偶函数，故C错误； 将的图象向右平移个单位长度后，得到函数 的图象， 与的图象不重合，故D错误. 故选：AB 10. 已知函数，则（ ） A. 在上存在零点 B. 的零点个数为1 C. D. 在上单调递减 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用对数的运算对进行转化可得到，可判断C；证明，根据零点存在性定理即可判断A；对求导，利用导函数与函数单调性的关系可判断D；结合A选项可判断B. 【详解】， 故C错误； 易得在上连续， 又， 所以，则在上存在零点，故A正确； ， 设函数，则， 所以在上单调递增，所以，所以， 则在上单调递减，故D正确； 因为在上单调递减，结合A选项，可得仅有1个零点，故B正确. 故选：ABD. 11. 记到两定点、的距离之积为的动点的轨迹为，则（ ） A. 经过点 B 直线与恰有个公共点 C. 上所有点的横坐标的绝对值均不大于 D. 当点椭圆上，且时，点在上 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用曲线的定义可判断A选项；求出曲线的方程，将直线的方程与曲线的方程联立，求出方程组的公共解，可判断B选项；由可得出关于的不等式，解出的取值范围可判断C选项；分析可知、为椭圆的焦点，利用椭圆的定义以及勾股定理、曲线的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项， ， 故点在曲线上，A正确； 对于B选项，设点在曲线上，则， 即， 即，所以. 由，得，得，则， 则直线与只有个公共点，B错误； 对于C选项，因为， 所以，可得，解得，则，C正确； 对于D选项，在椭圆中，，，则， 所以、为椭圆的焦点，所以， 因为，所以， 则，得， 所以点在上，D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 复数的共轭复数为_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的除法运算和共轭运算即可. 【详解】因为， 所以复数的共轭复数为. 故答案为： 13. 若直线：截圆C：所得弦长为整数，则这样的有_____条. 【答案】4 【解析】 【分析】先确定圆的圆心，半径及直线所过的定点，通过分析得到过点的弦长的取值范围，即可得到弦长为整数的直线的条数，特别注意直线斜率不存在的情况. 【详解】 由圆的方程可知圆心，半径为5. 将变形为，可知直线过定点， 则， 当过点的弦与垂直时，弦长最短，最短弦长为， 最长弦长为直径10，则弦长可能为8，9，10. 因为直线截C所得弦长为8，所以满足题意的有4条. 故答案为：4 14. 已知数列满足，且，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】通过构造新数列的方法，将给定的递推公式转化为一个等比数列的形式，进而可求出数列的通项公式. 【详解】设，则. 由，解得. . 又，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列. ，. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在锐角三角形中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，. （1）求的面积； （2）求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理角化边，即可求角，再利用面积公式求解即可； （2）利用余弦定理求边，再用正弦定理求角即可. 【小问1详解】 因为，所以， 因为，，所以，得. 所以的面积. 【小问2详解】 因为为锐角三角形，所以. 由余弦定理可得， 所以由正弦定理，则 解得. 16. 某市配备两支应急支援小队，承担日常民生保障任务.社区支援队由3名负责水电维修的男队员和3名负责物资协调的女队员组成，城区保障队由3名负责应急搬运的男队员和1名负责医疗急救的女队员组成. （1）现需随机调派一支小队执行临时民生保障任务，调派社区支援队的概率为，调派城区保障队的概率为.再从被调派的小队中随机选1名队员执行一线任务，求选中男队员的概率. （2）因城区保障队物资仓库整理任务繁重，需从社区支援队随机抽调2名队员支援.记支援后城区保障队中男队员与女队员的人数之差为，求的分布列与数学期望. 【答案】（1） （2）分布列见解析，2 【解析】 【分析】（1）利用全概率公式即可求解； （2）的所有可能取值为0，2，4，分别求得概率即可得到分布列，利用期望公式即可求出期望. 【小问1详解】 设事件为“调派社区支援队”，事件为“调派城区保障队”，事件为“选中男队员”， 则 . 所以选中男队员的概率为. 【小问2详解】 从社区支援队抽调2名女队员，支援后城区保障队中有3名男队员，3名女队员，， 从社区支援队抽调1名男队员1名女队员，支援后城区保障队中有4名男队员，2名女队员，， 从社区支援队抽调2名男队员，支援后城区保障队中有5名男队员，1名女队员，， 的所有可能取值为0，2，4， ， ， ， 所以的分布列为 0 2 4 数学期望. 17. 如图，在三棱台中，平面，为等边三角形，，，，D，E分别为，的中点. （1）证明：平面. （2）证明：平面平面. （3）求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）. 【解析】 【分析】（1）取的中点F，通过证明四边形为平行四边形，得到，再根据线面平行的判定定理证明即可； （2）根据线面垂直，面面垂直的判定定理证明即可； （3）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量及平面的法向量，根据公式先求出两个半平面的夹角的余弦值，再结合图形，判断二面角是锐角还是钝角，即可得解. 【小问1详解】 取的中点F，连接，. E为的中点，， 是三棱台，，， ，四边形为平行四边形，. 平面，平面，平面； 【小问2详解】 平面，平面，. 为等边三角形，E为的中点，. ，平面,平面. 平面，平面平面； 【小问3详解】 取的中点，连接，. ，平面. 为等边三角形，， 以为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， ，. 设平面的法向量为， 则，即. 令，则，. 易知是平面的一个法向量. ， 且由图可知二面角为锐角， 二面角的余弦值为. 18. 已知双曲线：，，分别是C的左、右焦点，M，N分别是C的左、右顶点，点，是以为底边的等腰三角形，且. （1）求C的方程. （2）若C上两点P，Q关于点对称，求直线的方程. （3）设过点的动直线交C的右支于A，B两点，若直线，的斜率分别为，.试探究是否为定值.若是，求出这个定值；若不是，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）是，定值是. 【解析】 【分析】（1）利用中点坐标公式可得，再利用两点间距离公式即可求解C的方程； （2）利用点差法来求中点弦斜率，即可得中点弦直线方程； （3）利用直线与双曲线联立方程组，由韦达定理来证明斜率比值为定值即可. 【小问1详解】 设，因为是以为底边的等腰三角形，所以，即， 因为，所以， 又由，所以可得，则， 即， 所以C的方程为； 【小问2详解】 设，，则，两式相减得. 因为P，Q关于点对称，所以，，则， 所以直线的方程为，即. 【小问3详解】 如图，作出符合题意的图形， 设，，直线的方程为. 由，得到，则且， 由韦达定理得，， 则 ， 即为定值，定值是. 19. 已知函数，. （1）求函数的单调区间. （2）设，且. （i）证明：. （ii）证明：. 【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为. （2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数来判断函数单调区间即可； （2）（i）根据三角函数值域可得，得，将等式变形可得不等式，再由在上单调递增，即可得，可得结论； （ii）利用分析法将不等式等价转化为，构造函数求导来判断单调性,从而证明不等式. 【小问1详解】 因为， 所以由题意得， 则， 令，得，令，得， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为. 【小问2详解】 证明：（ⅰ）设，其中， 当时，，，所以， 所以，得. 因为，即， 所以. 所以，即， 由于，所以在上单调递增， 即，故. （ⅱ）要证，即证， 由（ⅰ）得，所以要证， 只要证，即证. 因为在上单调递增，所以只需要证， 因为，所以. 设，，则上恒成立， 所以在上单调递增， 因为，所以，所以. 所以，所以， 得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 曲线在处的切线的斜率为（ ） A. 4 B. 3 C. D. 3. 在展开式中，系数最大的项是（ ） A. 第109项 B. 第110项 C. 第111项 D. 第112项 4. 已知一组样本数据1，2，4，4，9，则该组数据（ ） A. 平均数是30%分位数和极差的等比中项 B. 30%分位数是平均数和极差的等比中项 C. 平均数是30%分位数和极差的等差中项 D. 30%分位数是平均数和极差的等差中项 5. 若抛物线：的焦点为，是上的一个动点，点，则的最小值为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 6. 设向量，，则的最大值为（ ） A. 13 B. 8 C. 5 D. 10 7. 从棱长为4的正方体中截去到正方体顶点B的距离小于或等于4的部分后，得到几何体，则的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知某超市的某商品每月的销售量y（单位：千袋）与销售价格x（单位：元/袋）满足函数关系式.已知该商品的成本为3元/袋，则该超市每月销售该商品获得的利润的最小值为（ ） A. 30000元 B. 50000元 C. 40000元 D. 48000元 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若函数的最小正周期为，则（ ） A. B. 的图象关于点对称 C. 函数是奇函数 D. 将的图象向右平移个单位长度后，与函数的图象重合 10. 已知函数，则（ ） A. 在上存在零点 B. 的零点个数为1 C. D. 在上单调递减 11. 记到两定点、的距离之积为的动点的轨迹为，则（ ） A 经过点 B. 直线与恰有个公共点 C. 上所有点横坐标的绝对值均不大于 D. 当点在椭圆上，且时，点在上 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 复数的共轭复数为_____. 13. 若直线：截圆C：所得弦长为整数，则这样的有_____条. 14. 已知数列满足，且，则_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在锐角三角形中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，. （1）求的面积； （2）求. 16. 某市配备两支应急支援小队，承担日常民生保障任务.社区支援队由3名负责水电维修的男队员和3名负责物资协调的女队员组成，城区保障队由3名负责应急搬运的男队员和1名负责医疗急救的女队员组成. （1）现需随机调派一支小队执行临时民生保障任务，调派社区支援队的概率为，调派城区保障队的概率为.再从被调派的小队中随机选1名队员执行一线任务，求选中男队员的概率. （2）因城区保障队物资仓库整理任务繁重，需从社区支援队随机抽调2名队员支援.记支援后城区保障队中男队员与女队员的人数之差为，求的分布列与数学期望. 17. 如图，在三棱台中，平面，为等边三角形，，，，D，E分别为，的中点. （1）证明：平面. （2）证明：平面平面. （3）求二面角的余弦值. 18. 已知双曲线：，，分别是C左、右焦点，M，N分别是C的左、右顶点，点，是以为底边的等腰三角形，且. （1）求C的方程. （2）若C上两点P，Q关于点对称，求直线的方程. （3）设过点的动直线交C的右支于A，B两点，若直线，的斜率分别为，.试探究是否为定值.若是，求出这个定值；若不是，请说明理由. 19. 已知函数，. （1）求函数的单调区间. （2）设，且. （i）证明：. （ii）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $